Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава I. Теоретические основы методов построения нелинейных регрессионных моделей

1.1 Линейная регрессия и виды нелинейных моделей регрессии

1.2 Линеаризация и логарифмические преобразования

1.3 Оценка качества и адекватности модели

Глава II. Парная нелинейная регрессия и линеаризация на примере влияния уровня инфляции на количество безработных

Заключение

Список литературы

Введение

В данной курсовой работе рассматриваются нелинейные модели регрессии и линеаризация на примере влияния уровня инфляции (индекс потребительских цен) на количество безработных. В настоящий момент, в период мирового экономического кризиса, исследования этого влияния очень актуально. С повышением индекса потребительских цен (инфляции) сокращается количество рабочих мест и, следовательно, увеличивается количество безработных. Эконометрические исследования призваны выяснить, насколько тесно связаны между собой два этих показателя и по возможности определить и рассчитать возможные варианты развития общества и экономики страны при дальнейшем увеличении или наоборот снижении уровня потребительских цен (инфляции).

Цель работы: изучить. Изучит методы построения моделей нелинейных процессов.

Задачи работы:

1) Ознакомиться с понятиями линейной регрессии и видами нелинейных регрессий;

2) Привести внутренне линейные модели к линейному виду с помощью логарифмирования;

3) Оценить качество полученных моделей и их адекватность;

4) Проанализировать влияние уровня инфляции на количество безработных.

Предметом исследования выступает выбор наиболее подходящей модели для описания зависимости между исходными данными.

Объект исследования - исследование нелинейных моделей регрессии и линеаризации с помощью соотношения таких социально-экономических явлений как инфляция и безработица, их взаимосвязь.

В работе использовались различные методы исследования: эконометрические, экономические, математические, а также использование табличного процессора Microsoft Excel.

Для написания курсовой работы использовались учебное пособие Магнуса Я.Р. «Эконометрика. Начальный курс», учебник «Эконометрика» Елисеевой И.И., «Введение в эконометрику» Кристофера Доугерти, учебно-методическое пособие «Эконометрика» Шалобанова А.К.

Курсовая работа состоит из 2-х глав. В первой главе приводятся теоретические и основы методов построения нелинейных регрессионных моделей. Приводятся определения понятий модели, линейной регрессии, рассматриваются основные виды нелинейной регрессии, и приведение их к линейному виду простой заменой переменных и дальнейшая оценка параметров. Наличие формул коэффициента эластичности, индекса корреляции, индекса детерминации и F- критерия Фишера позволяет оценить качество полученных моделей и их адекватность.

Во второй главе рассмотрены модели характеризующие зависимость между инфляцией и числом безработных, использованы линейная, параболическая, гиперболическая, полулогарифмическая и степенная функции, произведен подсчет параметров и основных коэффициентов.

Глава I. Теоретические основы методов построения нелинейных регрессионных моделей

1.1 Линейная регрессия и виды нелинейных моделей регрессии

Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике, общественных науках, исследовании экономической активности даже в исследовании политических процессов.

Математические модели полезны для более полного понимания сущности происходящих процессов, их анализа. Модель, построенная и верифицированная на основе (уже имеющихся) наблюденных значений объясняющих переменных, может быть использована для прогноза значений зависимой переменной в будущем или для других наборов значений объясняющих переменных. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М., 2004. С. 26-28.

Простейшая модель регрессии - линейная регрессия. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (1.1)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров - и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна:

. (1.2)

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

- полиномы различных степеней -

,

.

- равносторонняя гипербола -

;

- полулогарифмическая функция -

.

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

- степенная -

;

- показательная -

;

- экспоненциальная -

.² Шалабанов А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. Казань, Академия управления «ТИСБИ»,2004. с.13

Нелинейная регрессия по включенным переменным не имеет никаких сложностей для оценки её параметров. Они определяются, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов. Параметры a, b и c определяются либо методом подстановки, либо методом определителей.

- определитель системы;

- частные определители для параметров a, b, c.³ Нарбут М. А., Соколовская М.В. Эконометрика: текст лекций/ СПб ГУАП. СПб, 2004. с. 10



Рис. 1.1 Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя переменными

1.2 Линеаризация и логарифмические преобразования

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных (линеаризация), а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК, приводит к системе следующих нормальных уравнений:



А после обратной замены переменных получим

(1.3)

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

(1.4)

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , и другие.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).⁴ Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. с. 98

К внутренне линейным моделям относятся

- степенная функция -

Линеаризация проводится логарифмированием,

(1.5)

Сделаем замены: ; ; .

После этого уравнение регрессии становится линейным:

;

- показательная -

,

- экспоненциальная -

.⁵ Шалабанов А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. Казань, Академия управления «ТИСБИ»,2004., с. 26

Чтобы уравнение стало линейным, нужно убрать из показателя степени коэффициент b. Единственный способ это сделать - логарифмировать обе части равенства:

(1.6)

Сделаем замены : ; ; .

После этого уравнение регрессии становится линейным:

.

Нужно пересчитать исходные данные для фактора Y, и потом, когда коэффициенты регрессии будут найдены, вернуться назад к коэффициентам .;

- логистическая -

,

- обратная -

.

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели:

, .

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием⁶ Замков О.О. Математические методы в экономике. Учебник, М..: МГУ им. Ломоносова. Изд. «Дело и Сервис», 1999.:

, (1.7)

где . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Таблица 1.1 Линеаризация моделей

Название функции	Вид модели	Заменяемые переменные	Вид линеаризированной модели
Показательная	Ln y = Ln a+ х ln b	Ln y = Y, Ln a = б, Ln b =в	Y = a + xb
Степенная	Ln y = Ln a+ b ln x	Ln y = Y, Ln a = б, Ln x =x	Y = a + bx
гиперболическая	Y = a + b/x	1/x=X	Y = a +b X

Рассмотрим далее функции вида (1.8), которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным:

. (1.8)

Мы обнаружим, что соотношение (1.8) может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов.

Применение логарифмов

Основные правила гласят:

Если у = xz, то log у = log x + log z-

Если у = x/z, то log у = log х - log z.

Если у = х^п, то log у - n log х

Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений. Например, возьмем уравнение (1.8). Если то по правилу 1:

log у = log а + log x и по правилу 3

= log a + log х.

Для натуральных логарифмов справедливо еще одно правило:

4. Если у = e^x, то log у = х.

Выражение е^х, которое часто записывается как exp (x), известно также как антилогарифм х. Можно сказать, что log () является логарифмом антилогарифма х, и так как логарифм и антилогарифм взаимно уничтожаются, неудивительно, что log (е) превращается просто в х.

Используя приведенные выше правила, уравнение (1.8) можно преобразовать в линейное путем логарифмирования его обеих частей. Если соотношение (4.4) верно, то

logy = log = log a + logx (1.9)

Если обозначить у'= log у, z = log х и a'= log а, то уравнение (1.8) можно переписать в следующем виде:

у'=а'+вz. (1.10)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычислим у' и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость у' от z. Коэффициент при z будет представлять собой непосредственно оценку в. Постоянный член является оценкой а', т. е. log а. Для получения оценки а необходимо взять антилогарифм, т. е. вычислить ехр (а').⁷ Фестер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа: Пер. с нем. - М.: Финансы и статистика, 1982, с.137

1.3 Оценка качества и адекватности модели

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование - он является коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%.) Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

. (1.11)

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

. (1.12)

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

Таблица 1.2 Формулы расчёта коэффициентов эластичности Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: Инфра-М, 1999, с. 204

Вид функции,	Первая производная,	Средний коэффициент эластичности,
1	2	3

Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения в процентах.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части - «объясненную» и «необъясненную»:

, (1.12)

где - общая сумма квадратов отклонений; - сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); - остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов. Айвазян С.А., Мхиторян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ, 1998.,с. 128

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.3 ( - число наблюдений, - число параметров при переменной ).

Табл. 1.3 Схема дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

. (1.13)

Фактическое значение -критерия Фишера (1.13) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

, (1.14)

где - общая дисперсия результативного признака ,

- остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: учебное пособие - Мн.: БГУ, 2000, с. 74

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, (1.15)

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;

.

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по -критерию Фишера:

, (1.16)

где - индекс детерминации, - число наблюдений, - число параметров при переменной . Фактическое значение - критерия (1.16) сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации, которая вычисляется по формуле:

. (1.17)

Таблица 1.4 Значения - критерия Фишера при уровне значимости Шалабанов А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. Казань, Академия управления «ТИСБИ»,2004, с. 194

	1	2	3	4	5	6	8	12	24
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	161,5	199,5	215,7	224,6	230,2	233,9	238,9	243,9	249,0	254,3
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,64	1,28
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
400	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1

Глава II. Парная нелинейная регрессия и линеаризация на примере влияния уровня инфляции на количество безработных

Данные об уровне инфляции и количестве безработных с 1992 года по 2007 год включительно:

Год	Индекс потребительских цен (инфляция), Х	Число безработных, тыс. чел., y
1992	20	62,4
1993	8,5	36,4
1994	3	53,8
1995	2,3	53,1
1996	1,2	69,8
1997	1,1	81,4
1998	1,7	93,3
1999	1,4	92,5
2000	1,2	80,3
2001	1,2	43,4
2002	1,1	49,2
2003	1,2	43,1
2004	1,1	38
2005	1,1	39,9
2006	1	21,8
2007	1,1	21,2

Для того чтобы определить уравнение регрессии воспользуемся графическим методом:

Из графика поля корреляции невозможно точно определить, какую функцию лучше использовать. В связи с этим исследуем каждую Нелинейную функцию по отдельности, чтобы определить какая из них подходит.

1. Линейная функция

Найдем параметры уравнения a и b методом наименьших квадратов (МНК):

y - фактическое значение.

Для нахождения параметров а и b рассчитываем частные производные по каждому из параметров и приравниваем их к нулю.

;

Проведя дифференцирование, получим следующую систему уравнений:



Год	Индекс потребительских цен (инфляция), Х	Число безработных, тыс. чел., y	xІ	xy	а+bx
1992	20	62,4	400	1248	56,7558608
1993	8,5	36,4	72,25	309,4	55,5502744
1994	3	53,8	9	161,4	54,9736896
1995	2,3	53,1	5,29	122,13	54,9003061
1996	1,2	69,8	1,44	83,76	54,7849891
1997	1,1	81,4	1,21	89,54	54,7745057
1998	1,7	93,3	2,89	158,61	54,8374059
1999	1,4	92,5	1,96	129,5	54,8059558
2000	1,2	80,3	1,44	96,36	54,7849891
2001	1,2	43,4	1,44	52,08	54,7849891
2002	1,1	49,2	1,21	54,12	54,7745057
2003	1,2	43,1	1,44	51,72	54,7849891
2004	1,1	38	1,21	41,8	54,7745057
2005	1,1	39,9	1,21	43,89	54,7745057
2006	1	21,8	1	21,8	54,7640224
2007	1,1	21,2	1,21	23,32	54,7745057
Итого:	48,2	879,6	504,2	2687,43	879,6
Среднее:	3,0125	54,975	31,5125	167,9644	54,975

Параметры а и b можно найти методом определителей:

; .

- частные определители для параметров а и b.

- определитель системы.

;

Можно сделать вывод, что связь между факторным и результативным признаком (между индексом потребительских цен и количеством безработных) прямая, потому что b>0, с изменением значения инфляции на 1, число безработных в среднем меняется на 0,1048336 тысячу человек.

Коэффициент эластичности является показателем силы связи, выраженным в процентах.

Для линейной функции рассчитывается следующим образом:

Э =

При линейной зависимости признаков x и y, средний коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

Э = = 0,1048336 * 3,0125/54,975= 0,01002178

0,01002178 = 0,01% - с ростом инфляции на 1%, число безработных увеличивается на 0,1%.

; ;

4,73680734 20,5635287 = 0,02414841

Линейный коэффициент корреляции не лежит в пределах и равен 0,02414841. Это говорит о том, что связь между факторами и результативными признаками практически отсутствует.

Средняя ошибка аппроксимации.

43,1798051%, более 7%.

Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

2. Параболическая функция

Найдем параметры уравнения a и b МНК

Находим производные по параметрам a, b, c:

; ; .

хІ	хі	Х4	хy	xІy	(a+b*x+c*xІ)	(y-yх)І	(y- yср.)І
400	8000	160000	1248	24960	61,0452322	1,835396	55,130625
72,25	614,125	5220,06	309,4	2629,9	45,681885	86,15339	345,030625
9	27	81	161,4	484,2	51,7736238	4,106201	1,380625
5,29	12,167	27,9841	122,13	280,899	53,1727553	0,005293	3,515625
1,44	1,728	2,0736	83,76	100,512	55,6559903	200,053	219,780625
1,21	1,331	1,4641	89,54	98,494	55,8989874	650,3016	698,280625
2,89	4,913	8,3521	158,61	269,637	54,484126	1506,672	1468,80563
1,96	2,744	3,8416	129,5	181,3	55,1786203	1392,885	1408,12563
1,44	1,728	2,0736	96,36	115,632	55,6559903	607,3272	641,355625
1,44	1,728	2,0736	52,08	62,496	55,6559903	150,2093	133,980625
1,21	1,331	1,4641	54,12	59,532	55,8989874	44,87643	33,350625
1,44	1,728	2,0736	51,72	62,064	55,6559903	157,6529	141,015625
1,21	1,331	1,4641	41,8	45,98	55,8989874	320,3737	288,150625
1,21	1,331	1,4641	43,89	48,279	55,8989874	255,9676	227,255625
1	1	1	21,8	21,8	56,1448592	1179,569	1100,58063
1,21	1,331	1,4641	23,32	25,652	55,8989874	6557,989	1140,75063
504,2	8675,52	165358	2687,43	29446,38	879,6		7906,49



; ; .

58,76168853; -2,76056647; 0,143737183.

a > 0 - относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Знак при коэффициенте регрессии показывает направлении связи. b<0 и c>0 парабола симметрична относительно своего минимума, что позволяет определить минимум в точке меняющей направление связи, т.е. снижение на рост.

Ввиду симметричности кривой параболу 2-й степени не всегда можно использовать в конкретных исследованиях. Чаще всего исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы. Кроме того, параметры параболической связи не всегда могут быть логически истолкованы.

Индекс корреляции:

0,412984531

 из этого следует, что связь между рассматриваемыми признаками слабая.

Коэффициент эластичности.

Э = -7,10889586% = -7 с ростом инфляции на 1%, число безработных уменьшается в среднем на 7%.

Средняя ошибка аппроксимации

31,97123809

- это больше 7%. Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

=

Табличное значение F= 3.81. Значение F=1.34< табличного значения, значит, используемая модель неадекватна.

3. Полулогарифмическая функция

Найдем параметры уравнения a и b МНК



Ln X	lnx*y	(lnx)І	(y-yср)І	a+blnx	y-a-blnx	(y-a-blnx)І
2,995732	186,9337	8,97441185	55,13063	57,5192608	4,88073925	23,8216156
2,140066	77,89841	4,57988318	345,0306	56,6213156	-20,2213156	408,901604
1,098612	59,10534	1,20694896	1,380625	55,5284027	-1,72840274	2,98737604
0,832909	44,22747	0,69373761	3,515625	55,249571	-2,149571	4,62065547
0,182322	12,72604	0,03324115	219,7806	54,5668374	15,2331626	232,049241
0,09531	7,758249	0,00908403	698,2806	54,4755268	26,9244732	724,927259
0,530628	49,50762	0,28156634	1468,806	54,9323542	38,3676458	1472,07624
0,336472	31,12368	0,11321357	1408,126	54,7286048	37,7713952	1426,67829
0,182322	14,64042	0,03324115	641,3556	54,5668374	25,7331626	662,195655
0,182322	7,912756	0,03324115	133,9806	54,5668374	-11,1668374	124,698258
0,09531	4,689261	0,00908403	33,35063	54,4755268	-5,27552677	27,8311827
0,182322	7,858059	0,03324115	141,0156	54,5668374	-11,4668374	131,488361
0,09531	3,621787	0,00908403	288,1506	54,4755268	-16,4755268	271,442982
0,09531	3,802876	0,00908403	227,2556	54,4755268	-14,5755268	212,445981
0	0	0	1100,581	54,3755073	-32,5755073	1061,16367
0,09531	2,020576	0,00908403	1140,751	54,4755268	-33,2755268	1107,26068
9,140257	513,8262	16,0281463	7906,49	879,6	-1,7053E-13	7894,58906
0,571266	32,11414	1,00175914

;



; ; .

54,3755073; 1,0494107.

Y= 54,3755073 + 1,0494107·lnx

Параметр b = 1,0494107 (b>0), следовательно, связь - прямая. Параметр а = 54,3755073 (а>0), следовательно, относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

Индекс корреляции:

0,03879705, ,

следовательно, связь между признаками практически отсутствует.

Коэффициент эластичности.

0,01889714

- с ростом уровня инфляции на 1%, число безработных возрастает в среднем на 0,02%.

Средняя ошибка аппроксимации.

43,0545643%

это больше 7%. Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

==0,02

< табличного 4,6, значит, модель не адекватна.

4. Равносторонняя гипербола

Найдем параметры уравнения a и b МНК

1/х	y/x	1/xІ	a+b/x	y-yср	(y-yср.)І	y-a-b/x
0,05	3,12	0,0025	61,6205657	7,425	55,13063	0,7794343
0,117647	4,282353	0,01384083	60,9233865	-18,575	345,0306	-24,523387
0,333333	17,93333	0,111111111	58,7004964	-1,175	1,380625	-4,9004964
0,434783	23,08696	0,189035917	57,6549473	-1,875	3,515625	-4,5549473
0,833333	58,16667	0,694444444	53,547433	14,825	219,7806	16,252567
0,909091	74	0,826446281	52,7666659	26,425	698,2806	28,633334
0,588235	54,88235	0,346020761	56,0734445	38,325	1468,806	37,226555
0,714286	66,07143	0,510204082	54,7743529	37,525	1408,126	37,725647
0,833333	66,91667	0,694444444	53,547433	25,325	641,3556	26,752567
0,833333	36,16667	0,694444444	53,547433	-11,575	133,9806	-10,147433
0,909091	44,72727	0,826446281	52,7666659	-5,775	33,35063	-3,5666659
0,833333	35,91667	0,694444444	53,547433	-11,875	141,0156	-10,447433
0,909091	34,54545	0,826446281	52,7666659	-16,975	288,1506	-14,766666
0,909091	36,27273	0,826446281	52,7666659	-15,075	227,2556	-12,866666
1	21,8	1	51,8297452	-33,175	1100,581	-30,029745
0,909091	19,27273	0,826446281	52,7666659	-33,775	1140,751	-31,566666
11,11707	597,1613	9,082721884	879,6	0	7906,49	6,324E-13
0,694817	37,32258	0,567670118

;

; .

62,13587203; -10,3061268

Параметр а = 62,13587203 (а>0), следовательно, относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Параметр b<0, следовательно, мы имеем медленно повышающуюся функцию.

Индекс корреляции:

 0,135087786, ,

следовательно, связь между признаками практически отсутствует.

Коэффициент эластичности.

Э = - = -9,8064604 = -9,8

- с ростом инфляции на 1%, число безработных уменьшается в среднем на 9,8%.

Средняя ошибка аппроксимации.

41,96227481%

- это больше 7%. Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

=

< табличного 4,6, значит, модель неадекватна.

5. Степенная функция

Преобразование функции данного вида путем логарифмирования будет осуществлено следующим образом:

,

где , , , - натуральный логарифм y, a, x, е соответственно;

b - параметр уравнения.

Далее следует произвести замену прологарифмированных параметров и переменных: ln y=Y; ln a= A; ln x=X, ln е= е.

Исходное уравнение примет вид:

.

;

Ln ; .

Ln a = 3,884109536; b = 0,057261978; a = exp(ln a) = 48,62362559.

Параметр а = 48,62362559 (а>0), следовательно, относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Параметр b>0, следовательно, мы имеем медленно повышающуюся функцию. Связь прямая.



Ln X	ln y	(lnx)І	(y-yср)І	a*x^b	ln x*lny	y-a*x^b	(y-a*x^b)І
2,995732	4,133565	8,974411855	55,13063	57,7227335	12,38305	4,67726646	21,8768216
2,140066	3,594569	4,579883184	345,0306	54,9626552	7,692615	-18,5626552	344,572166
1,098612	3,985273	1,206948961	1,380625	51,7807391	4,37827	2,01926087	4,07741445
0,832909	3,972177	0,693737607	3,515625	50,9988743	3,308462	2,1011257	4,41472922
0,182322	4,245634	0,03324115	219,7806	49,1339199	0,774071	20,6660801	427,086867
0,09531	4,399375	0,00908403	698,2806	48,8897218	0,419305	32,5102782	1056,91819
0,530628	4,53582	0,281566341	1468,806	50,1237205	2,406834	43,1762795	1864,19111
0,336472	4,527209	0,113213566	1408,126	49,5695435	1,52328	42,9304565	1843,0241
0,182322	4,38577	0,03324115	641,3556	49,1339199	0,79962	31,1660801	971,32455
0,182322	3,770459	0,03324115	133,9806	49,1339199	0,687436	-5,73391989	32,8778373
0,09531	3,895894	0,00908403	33,35063	48,8897218	0,371318	0,31027824	0,09627258
0,182322	3,763523	0,03324115	141,0156	49,1339199	0,686171	-6,03391989	36,4081892
0,09531	3,637586	0,00908403	288,1506	48,8897218	0,346699	-10,8897218	118,58604
0,09531	3,686376	0,00908403	227,2556	48,8897218	0,351349	-8,98972176	80,8150974
0	3,08191	0	1100,581	48,6236256	0	-26,8236256	719,50689
0,09531	3,054001	0,00908403	1140,751	48,8897218	0,291077	-27,6897218	766,720691
9,140257	62,66914	16,02814627	7906,49	804,76618	36,41956	74,8338199	8292,49697
0,571266	3,916821	1,001759142

Индекс корреляции:

0,48821534

из этого следует, что связь между рассматриваемыми признаками слабая.

Коэффициент эластичности.

Э = b = 0,057261978 - с ростом инфляции на 1%, число безработных увеличивается в среднем на 0,06%.

Средняя ошибка аппроксимации.

 37,49593051

- это больше 7%. Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

=

< табличного 4,49, но непосредственно близко к нему по значению, поэтому можно сказать, что данная модель наиболее адекватна из всех рассмотренных.

Заключение

нелинейный регрессия инфляция безработный

В первой главе мы рассмотрели теоретические аспекты, а именно что такое модель, линейная регрессия, нелинейная регрессия, какие виды нелинейной регрессии бывают, нахождение параметров, что такое линеаризация, приведение нелинейной функции к линейному виду с помощью замены переменных и логарифмирования. Рассмотрели оценку качества моделей с помощью коэффициентов эластичности, индексов корреляции и оценку адекватности моделей с помощью F - критерия Фишера, привели табличные значения, по которым сравнивается адекватность модели.

Во второй главе на основании исходных данных, взятых из статистического ежегодника Тульской области, а именно индекса потребительских цен (инфляции) и количества безработных в тысячах человек, мы строили модели и оценивали их по параметрам и коэффициентам, и пытались определить какая из функциональных моделей наиболее подходит для описания данных. Были исследованы следующие функции: линейная, параболическая, гиперболическая, полулогарифмическая и степенная. Путем расчетов мы выяснили, что наилучшим образом из всех рассмотренных функциональных моделей для описания исходных данных подходит степенная функция.

Список литературы

1. Магнус Я.Р., Катышев П.К, Пересецкий А.А.. Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие, 6-е издание. М: Дело, 2004 - 576с.

2. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: Инфра-М, 1999, 402 с.

4. Шалабанов А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. Казань, Академия управления «ТИСБИ»,2004.

5. Трофимов В.В., Тужилин А.А. Математические модели экономики. М.: 2005

6. Нарбут М.А., Соколовская М.В. Эконометрика: текст лекций/ СПб ГУАП. СПб, 2004. 48 с.

7. Айвазян С.А., Мхиторян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ, 1998.

8. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для ВУЗов/ Под ред. Проф. Н.Ш.Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311с.

9. Статистический ежегодник. 2008 г.

10. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. Учебник, М..: МГУ им. Ломоносова. Изд. «Дело и Сервис», 1999.

11. Груббер Й. Эконометрика. В 2-х т. Т 1.: Введение в эконометрию. К., 1996 - 397 с.

12. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: учебное пособие - Мн.: БГУ, 2000. - 354 с.

13. Фестер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа: Пер. с нем. - М.: Финансы и статистика, 1982

14. Кулинич Е.И. Эконометрия. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 304 с.

15. Эконометрика: Учебн. пособие для вузов / А.И. Орлов - М.: Издательство «Экзамен», 2002. - 576 с.

Размещено на Allbest.ru