Расчет F-статистики для коэффициента детерминации. Оценка коэффициентов линейной регрессии

Размещено на http://allbest.ru/

Задача 1

Имеется информация о деятельности 10 компаний. X - оборот капитала (млрд. руб.), Y - чистый доход (млрд. руб.):

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	31,3	13,4	4,5	10,0	20,0	15,0	60,1	17,9	40,2	2,0
Y	2,2	1,7	0,7	1,7	2,2	1,3	4,1	1,6	2,5	0,5

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = ₀ + ₁X + по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b₀, b₁, теоретических коэффициентов ₀, ₁ при уровне значимости = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-ные доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте чистый доход при обороте капитала X = 50,0 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M(YX = 50,0).

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений чистого дохода при обороте капитала X = 50,0.

6. Оцените, на сколько изменится чистый доход, если оборот капитала вырастет на 3 млрд. руб.

7. Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Решение.

1. Уравнение регрессии будем искать в виде линейного уравнения:

.

Параметры найдем из системы нормальных уравнений:

,

,

Необходимые расчеты выполним в таблице 1.

Таблица 1

№ п/п
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2,2 1,7 0,7 1,7 2,2 1,3 4,1 1,6 2,5 0,5	31,3 13,4 4,5 10,0 20,0 15,0 60,1 17,9 40,2 2,0	68,86 22,78 3,15 17,0 44,0 19,5 246,41 28,64 100,5 1,0	979,69 179,56 20,25 100,00 400,00 225,00 3612,01 320,41 1616,04 4,00	4,84 2,89 0,49 2,89 4,84 1,69 16,81 2,56 6,25 0,25	2,38 1,42 0,94 1,23 1,77 1,50 3,94 1,66 2,86 0,80	0,0324 0,0784 0,0576 0,2209 0,1849 0,0400 0,0256 0,0036 0,1296 0,0900	97,22 64,64 286,96 130,87 2,07 41,47 1494,60 12,53 351,94 377,91
	18,5	214,4	551,84	7456,96	43,51	18,5	0,863	2860,21
Сред. знач.	1,85	21,44	55,184	745,696	4,351			286,021

;

.

.

Из полученного уравнения регрессии следует, что при увеличении оборота капитала X на 1 млрд. руб. чистый доход Y увеличивается на 0,054 млрд. руб.

2. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента. Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля: b₀ = b₁ = 0.

t_табл для числа степеней свободы df = n - 2 = 10 - 2 = 8 и = 0,05 составит:

t_табл = 2,306.

Определим случайные ошибки:

,

;

.

.

.

;

.

Так как t_табл и t_табл, то гипотеза Н₀ отклоняется, то есть параметры b₀ и b₁ не случайно отклоняются от нуля, а статистически значимы.

3. Рассчитаем доверительный интервал для b₀ и b₁. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

статистический регрессия детерминация автокорреляция

Доверительные интервалы:

;

;

.

;

;

.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью p = 1 - = 0,95 параметры b₀ и b₁, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, то есть являются статистически значимыми.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Если оборот капитала составит X = 50 млрд. руб., то чистый доход будет:

млрд. руб.

Для построения доверительного интервала для М(YX=50) необходимо найти дисперсию его оценки, то есть .

Выборочная остаточная дисперсия:

;

;

млрд. руб.

Из приложения находим .

;

;

;

Итак, чистый доход при обороте капитала X = 50 млрд. руб. с надежностью 0,95 находится в пределах от 2,92 до 3,86 млрд. руб.

5. Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения , необходимо найти дисперсию его оценки по формуле:

;

млрд. руб.

;

;

.

Таким образом, возможные значения чистого дохода Y при обороте капитала X = 50 млрд. руб. с надежностью 0,95 находятся в пределах от 2,5 до 4,28 млрд. руб.

6. (млрд. руб.) - средний оборот капитала по 10 компаниям.

(млрд. руб.) - чистый доход компании при среднем обороте капитала X = 21,44 млрд. руб.

(млрд. руб.);

(млрд. руб.);

.

Следовательно, если оборот капитала вырастет на 3 млрд. руб., то чистый доход компании увеличится на 0,16 млрд. руб.

7. Вначале вычислим коэффициент корреляции:

.

Выборочные средние квадратические отклонения:

;

.

,

то есть связь между переменными X и Y достаточно тесная и прямая (с ростом оборота капитала чистый доход компании увеличивается).

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:

.

Это означает, что вариация зависимой переменной Y - чистого дохода - на 90,6% объясняется вариацией переменной X - оборота капитала.

8. F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы H₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполним сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера.

.

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости .

При = 0,05 и числе степеней свободы k = n - 2 = 8:

F_табл = 5,32.

Так как F_факт F_табл, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Задача 2

Имеется информация за 15 лет относительно среднего дохода X и среднего потребления Y (млн. руб.):

Таблица

Годы	X	Y
1986	10,5	8,8
1987	11,6	12,0
1988	12,3	13,0
1989	13,7	12,6
1990	14,5	11,2
1991	16,1	11,9
1992	17,3	13,5
1993	18,7	15,0
1994	20,1	18,2
1995	21,8	21,2
1996	23,1	20,5
1997	24,3	19,5
1998	25,5	19,1
1999	27,8	19,3
2000	30,0	24,0

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = ₀ + ₁X + по методу наименьших квадратов.

2. Вычислите значение DW статистики Дарбина-Уотсона и проанализируйте наличие автокорреляции остатков.

3. При наличии автокорреляции переоцените уравнение регрессии, используя для этого один цикл метода Кохрейна-Оркатта.

Решение.

1. Уравнение регрессии будем искать в виде линейного уравнения:

.

Параметры найдем по формулам:

; ,

Необходимые расчеты выполним в таблице 2.

Таблица 2

№ п/п
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	8,8 12,0 13,0 12,6 11,2 11,9 13,5 15,0 18,2 21,2 20,5 19,5 19,1 19,3 24,0	10,5 11,6 12,3 13,7 14,5 16,1 17,3 18,7 20,1 21,8 23,1 24,3 25,5 27,8 30,0	92,4 139,2 159,9 172,62 162,4 191,59 233,55 280,5 365,82 462,16 473,55 473,85 487,05 536,54 720,0	110,25 134,56 151,29 187,69 210,25 259,21 299,29 349,69 404,01 475,24 533,61 590,49 650,25 772,84 900,00	77,44 144,00 169,00 158,76 125,44 141,61 182,25 225,00 331,24 449,44 420,25 380,25 364,81 372,49 576,00	10,1 10,8 11,3 12,3 12,8 13,9 14,7 15,7 16,6 17,8 18,7 19,5 20,3 21,9 23,4
	239,8	287,3	4951,13	6028,67	4117,98	239,8
Среднее значение	15,987	19,153	330,0753	401,911	274,532

;

.

.

Из полученного уравнения регрессии следует, что при увеличении среднего дохода X на 1 млн. руб. уровень потребления Y увеличивается в среднем на 0,681 млн. руб.

2. Тест Дарбина-Уотсона определяет наличие автокорреляции между соседними членами. Он основан на простой идее: если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии , получающихся в результате применения обычного метода наименьших квадратов. В тесте Дарбина-Уотсона для оценки корреляции используется статистика вида:

.

При большом числе наблюдений n используется формула:

.

Расчет сумм, необходимых для вычисления d-статистики приведем в таблице 3.

Таблица 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	8,8 12,0 13,0 12,6 11,2 11,9 13,5 15,0 18,2 21,2 20,5 19,5 19,1 19,3 24,0	10,1 10,8 11,3 12,3 12,8 13,9 14,7 15,7 16,6 17,8 18,7 19,5 20,3 21,9 23,4	-1,3 1,2 1,7 0,3 -1,6 -2,0 -1,2 -0,7 1,6 3,4 1,8 0 -1,2 -2,6 0,6	- -1,3 1,2 1,7 0,3 -1,6 -2,0 -1,2 -0,7 1,6 3,4 1,8 0 -1,2 -2,6	- -1,56 2,04 0,51 -0,48 3,2 2,4 0,84 -1,12 5,44 6,12 0 0 3,12 -1,56	1,69 1,44 2,89 0,09 2,56 4,00 1,44 0,49 2,56 11,56 3,24 0 1,44 6,76 0,36
	-	-	0	-0,6	18,95	40,52

По таблице приложений при n=15 критические значения , то есть фактически найденное значение находится в интервале . Таким образом, для рассматриваемого временного ряда на уровне значимости 0,05 гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции возмущений отвергается, то есть принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции.

3. Переоценим уравнение регрессии, используя для этого один цикл метода Кохрейна-Оркатта.

Получим оценочное значение параметра . Для этого применим обычный метод наименьших квадратов к регрессионному уравнению

.

Итак, .

Перейдем от наблюдений и к наблюдениям

,

.

Применим обычный метод наименьших квадратов к уравнению:

.

Необходимые расчеты выполним в таблице 4.

Таблица 4

№ п/п
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	7,6 7,0 6,1 4,9 6,3 7,55 8,25 10,7 12,1 9,9 9,25 9,35 9,75 14,35	6,35 6,5 7,55 7,65 8,85 9,25 10,05 10,75 11,75 12,2 12,75 13,35 15,05 16,1	48,26 45,5 46,055 37,485 55,755 69,8375 82,9125 115,025 142,175 120,78 117,9375 124,8225 146,7375 231,035	40,3225 42,25 57,0025 58,5225 78,3225 85,5625 101,0025 115,5625 138,0625 148,84 162,5625 178,2225 226,5025 259,21	6,01 6,11 6,80 6,87 7,65 7,92 8,44 8,90 9,56 9,86 10,22 10,61 11,73 12,42
	123,1	148,15	1384,318	1691,9475	123,1

;

.

.

Получив оценку параметра , образуем новый вектор остатков:

.

Задача 3

Имеются следующие значения переменных X и Y:

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	2,6	4,6	6	9,4	9	12,3	15,1	14,3	17,9	23,1

Рассчитайте коэффициент корреляции , проверьте гипотезу о наличии (отсутствии) корреляционной связи.

Решение. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

.

Выборочные средние квадратические отклонения:

; .

Необходимые расчеты выполним в таблице 5.

Таблица 5

№ п/п
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2,6 4,6 6 9,4 9 12,3 15,1 14,3 17,9 23,1	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2,6 9,2 18 37,6 45 73,8 105,7 114,4 161,1 231	1 4 9 16 25 36 49 64 81 100	6,76 21,16 36,00 88,36 81,00 151,29 228,01 204,49 320,41 533,61
	114,3	55	798,4	385	1671,09
Среднее значение	11,43	5,5	79,84	38,5	167,109

;

.

Коэффициент корреляции значим на уровне (иначе - гипотеза Н₀ о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю, то есть Н₀: , отвергается), если

,

где - табличное значение t-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости при числе степеней свободы .

.

.

Так как , то гипотеза Н₀ о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю отвергается. Другими словами, коэффициент корреляции значим на уровне , то есть гипотеза о наличии линейной корреляционной связи между переменными X и Y принимается.

Задача 4

Как действует на величину коэффициента корреляции увеличение в n раз всех значений переменных X и Y?

Решение.

Если все значения переменных X и Y увеличить в n раз, то величина коэффициента корреляции не изменится.

Докажем это.

Размещено на Allbest.ru