Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГОУ ВПО «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет экономический

Специальность финансы и кредит

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Колесникова Ольга Михайловна

Форма обучения заочная

Курс, группа 203ф

Руководитель

доц. каф. СиИСЭ. Салимова Г.А.

Уфа 2011

ЗАДАЧА 1

1 Рассчитайте параметры парной линейной регрессии

2 Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации

3 Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений

4 Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента

5 Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня (). Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости = 0,05

6 Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке

Таблица 1.1 Исходные данные

Регионы	Среднедушевые денежные расходы за месяц, руб., y	Среднемесячная начисленная заработная плата работающих в экономике, руб., x
Республика Башкортостан	14253	14084,1
Республика Марий Эл	7843	10534,6
Республика Мордовия	8384	10530,5
Республика Татарстан	14181	14904,0
Удмуртская Республика	9581	12153,8
Чувашская Республика	8594	11146,6
Пермский край	16119	14774,1
Кировская область	10112	10971,0
Нижегородская область	13090	13467,7
Оренбургская область	10184	12087,2
Пензенская область	10173	11723,1
Самарская область	15805	14674,9
Саратовская область	9062	12008,3
Ульяновская область	9756	10895,0
Свердловская область	17171	17526,7

Построим поле корреляции (рис.1.1)

Рис. 1.1 Поле корреляции. Зависимость среднемесячного начисленная заработной платы работающих в экономике от среднедушевого денежного расхода за месяц

Таблица 1.2 Расчетные данные для построения модели парной линейной регрессии

1	14253	14084,1	200740677,3	198361872,8	203148009
2	7843	10534,6	82622867,8	110977797,2	61512649
3	8384	10530,5	88287712	110891430,3	70291456
4	14181	14904	211353624	222129216	201100761
5	9581	12153,8	116445557,8	147714854,4	91795561
6	8594	11146,6	95793880,4	124246691,6	73856836
7	16119	14774,1	238143717,9	218274030,8	259822161
8	10112	10971	110938752	120362841	102252544
9	13090	13467,7	176292193	181378943,3	171348100
10	10184	12087,2	123096044,8	146100403,8	103713856
11	10173	11723,1	119259096,3	137431073,6	103489929
12	15805	14674,9	231936794,5	215352690	249798025
13	9062	12008,3	108819214,6	144199268,9	82119844
14	9756	10895	106291620	118701025	95179536
15	17171	17526,7	300950965,7	307185212,9	294843241
Итого	174308	191481,6	2310972718	2503307351,56	2164272508
Среднее	11620,53	12765,44	154064847,9	166887156,8	144284833,9

Для уравнения зависимости среднедушевых денежных расходов за месяц от среднемесячной начисленной заработной платы на человека система нормальных уравнений составит:

Решаем ее:

Итак, уравнение парной линейной регрессии, описывающее зависимость среднедушевых денежных расходов за месяц от среднемесячной начисленной заработной платы на человека, рассчитанное на основе выборочного обследования 15 регионов РФ, имеет вид:

.

В среднем по изучаемой нами совокупности отклонение уровня заработной платы от средней величины на 1 тыс. руб. приводило к отклонению средних денежных расходов на 1,456 тыс. руб. в среднем.

По полученному уравнению определим теоретические (расчетные) значения и запишем их в таблице 1.3. Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена с помощью сравнения сумм Изобразим полученное уравнение на графике - построим линию регрессии (рис. 1.2.).

Рис. 1.2 Линия регрессии зависимости среднемесячных начислений заработной платы работающих в экономике от среднедушевых денежных расходов за месяц

Коэффициент эластичности составит

,

т.е. при повышении среднемесячной заработной платы 1 человека в среднем на 1% средние денежные расходы за месяц на 1 человека увеличиваются на 1,6%.

Таблица 1.3

1	13540,68	4,99	1738864,196	6929880,75	507399,64	712,32	0,05
2	8372,13	6,74	4976647,106	14269758,08	279978,02	529,13	0,06
3	8366,16	0,21	4994956,804	10475148,02	318,29	17,84	0,002
4	14734,56	3,9	4573438,874	6555989,55	306434,26	553,56	0,039
5	10729,9	11,99	374103,4896	4159696,22	1319978,15	1148,9	0,119
6	9263,28	7,78	2620642,946	9159904,02	447941,09	669,28	0,077
7	14545,41	9,76	4034714,996	20236202,35	2476175,62	1573,58	0,097
8	9007,58	10,92	3220014,914	2275672,82	1219728,65	1104,41	0,109
9	12643,12	3,41	493169,1076	2159332,28	199703	446,88	0,034
10	10632,92	4,41	460009,4976	2063628,02	201533,15	448,92	0,044
11	10102,74	0,69	1086472,676	2095352,75	4935,66	70,25	0,006
12	14400,96	8,88	3646037,492	17509761,28	1971315,52	1404,03	0,088
13	10518,03	16,07	573260,9796	6546092,82	2120039,09	1456,03	0,16
14	8896,92	8,8	3498545,794	3476484,55	738017,6	859,08	0,088
15	18553,57	8,05	22669596,79	30807680,22	1911499,49	1382,57	0,08
Итого	174308	106,64	58960475,66	138720583,7	13704997,27	12376,82	1,066
Среднее	11620,53	7,11	3930698,377	9248038,916	913666,4846	825,12	0,071

Средняя ошибка аппроксимации составит (относительные ошибки аппроксимации для каждого наблюдения рассчитаны в таблице 1.3.):

- уравнение прямой линии достаточно хорошо отражает зависимость между изучаемыми явлениями.

Оценим тесноту линейной связи среднемесячной заработной платы на душу населения и среднедушевых денежных расходов с помощью коэффициента корреляции:

- связь между среднемесячной заработной платой на душу населения и среднедушевыми денежными расходами высокая, прямая.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции - коэффициент детерминации

или 90,1%.

Это означает, что 90,1% расходов обусловлены различиями в уровне среднемесячных заработных плат регионов РФ, остальные 9,9% вызваны прочими факторами, которые в данном случае не рассматриваются (допустим, в нашем случае ими могут быть количество безработных, детей и т.д.).

Оценим значимость уравнения регрессии в целом:

Фактическое значение критерия Фишера, равное 118,585, больше табличного, равного 4,67, следовательно, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсии отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость средних денежных расходов на душу населения от уровня среднемесячных заработных плат на человека в 15 регионах РФ в 2008 г.

Рассчитаем стандартные ошибки параметров и коэффициента корреляции:



t-критерий для числа степеней свободы составит 1,770933.

следовательно, являются статистически значимыми.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии:

предельная ошибка параметра ;

предельная ошибка коэффициента регрессии ;

предельная ошибка коэффициента корреляции .

; или

;

Рассчитаем точечные ожидаемые средние денежные расходы на душу населения для среднемесячной заработной платы, превышающей среднюю на 10%, имея построенную модель зависимости:

руб. на душу населения.

Стандартная ошибка прогнозирования:

Доверительный интервал для прогнозируемого значения:

, где

- предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена.

Доверительный интервал прогноза:

,

т.е. прогнозное значение денежных расходов человека, имеющего заработную плату 14041,984 руб. в месяц, будет находиться в интервале руб. Это то интервальное значение средних денежных расходов при заданном прогнозном значении уровня среднемесячной заработной платы, который в 95 случаях из 100 подтвердится.

ЗАДАЧА 2

линейный регрессия корреляция аппроксимация

Таблица 2.1 Исходные данные. Показатели российских банков на 1 марта 2008 г.

Банк	Работающие активы, млн. руб., y	Собственный капитал, %, х1	Средства частных лиц, %, х2
Сбербанк	1917403	10	60
Внешторгбанк	426484	16	13
Газпромбанк	362532	8	9
Альфа-банк	186700	13	15
Банк Москвы	157286	11	30
Росбанк	151849	8	19
Ханты-Мансийский банк	127440	3	5
МДМ-банк	111285	12	9
ММБ	104372	8	10
Райффайзенбанк	96809	8	22
Промстройбанк	85365	10	24
Ситибанк	81296	11	12
Уралсиб	76617	16	22
Межпромбанк	67649	36	1
Промсвязьбанк	54848	9	11
Петрокоммерц	53701	15	26
Номос-банк	52473	11	6
Зенит	50666	14	10
Русский стандарт	46086	19	7
Транскредитбанк	41332	9	8
Ак Барс	40521	23	19
Глобэкс	40057	26	16
Еврофинанс-Моснарбанк	38245	15	5
Никойл	36946	23	11
Автобанк-Никойл	34762	19	34
Импэксбанк	34032	13	37
Союз	33062	13	8
БИН-банк	32948	12	20
Возрождение	30713	9	49
Гута-банк	30596	10	13

Таблица 2.2 Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения множественной регрессии

i
1	1917403	10	60	3676434264409,00	100	3600	600	19174030	115044180
2	426484	16	13	181888602256,00	256	169	208	6823744	5544292
3	362532	8	9	131429451024,00	64	81	72	2900256	3262788
4	186700	13	15	34856890000,00	169	225	195	2427100	2800500
5	157286	11	30	24738885796,00	121	900	330	1730146	4718580
6	151849	8	19	23058118801,00	64	361	152	1214792	2885131
7	127440	3	5	16240953600,00	9	25	15	382320	637200
8	111285	12	9	12384351225,00	144	81	108	1335420	1001565
9	104372	8	10	10893514384,00	64	100	80	834976	1043720
10	96809	8	22	9371982481,00	64	484	176	774472	2129798
11	85365	10	24	7287183225,00	100	576	240	853650	2048760
12	81296	11	12	6609039616,00	121	144	132	894256	975552
13	76617	16	22	5870164689,00	256	484	352	1225872	1685574
14	67649	36	1	4576387201,00	1296	1	36	2435364	67649
15	54848	9	11	3008303104,00	81	121	99	493632	603328
16	53701	15	26	2883797401,00	225	676	390	805515	1396226
17	52473	11	6	2753415729,00	121	36	66	577203	314838
18	50666	14	10	2567043556,00	196	100	140	709324	506660
19	46086	19	7	2123919396,00	361	49	133	875634	322602
20	41332	9	8	1708334224,00	81	64	72	371988	330656
21	40521	23	19	1641951441,00	529	361	437	931983	769899
22	40057	26	16	1604563249,00	676	256	416	1041482	640912
23	38245	15	5	1462680025,00	225	25	75	573675	191225
24	36946	23	11	1365006916,00	529	121	253	849758	406406
25	34762	19	34	1208396644,00	361	1156	646	660478	1181908
26	34032	13	37	1158177024,00	169	1369	481	442416	1259184
27	33062	13	8	1093095844,00	169	64	104	429806	264496
28	32948	12	20	1085570704,00	144	400	240	395376	658960
29	30713	9	49	943288369,00	81	2401	441	276417	1504937
30	30596	10	13	936115216,00	100	169	130	305960	397748
Итого	4604075	410	531	4173183447549,00	6876	14599	6819	52747045	154595274
Среднее	153469,1667	13,67	17,7	139106114918,30	229,2	486,6333	227,3	1758234,833	5153175,8

Матрица парных коэффициентов корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид

где r_yxi - парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Парные коэффициенты корреляции найдем по формулам:

Где

Получаем:

В данной модели мультиколлинеарные факторы отсутствуют, так как все парные коэффициенты корреляции < 0,7.

Оценка параметров с помощью метода определителей

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии. Так, для уравнения система нормальных уравнений составит:

На основе расчетов, представленных в таблице 2.2, получили следующую систему:

Решаем систему с помощью метода определителей.

При этом

где - определитель системы; - частные определители.

Определитель системы имеет вид:



Частные определители получаем путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

,

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

.

В линейной множественной регрессии параметры при х называются коэффициентами условно чистой регрессии. Они характеризуют среднее изменение результатов, с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Так, в нашем случае, с увеличением собственного капитала на 1%, работающие активы уменьшатся в среднем на 3251,508 млн. руб. при тех же средствах частных лиц. Повышение средств частных лиц на 1% при том же уровне собственного капитала приведет к увеличению работающих активов на 13783,625 млн. руб.

Построение уравнения регрессии в стандартизованном масштабе

Параметры множественной регрессии можно определить другим способом, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

,

где t- стандартизованные переменные, для которых среднее значение равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1;

в - стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида:

где r_ух1, r_ух2 - парные коэффициенты корреляции.

Система уравнений имеет вид:



Решив систему методом определителей, получили формулы:

Уравнение в стандартизованном масштабе имеет вид:

Уравнение в стандартизованном масштабе показывает, что с ростом собственного капитала на 1 сигму при неизменном уровне средств частных лиц, работающие активы в среднем уменьшатся на 0,062 сигмы; а с ростом средств частных лиц на 1 сигму при неизменном уровне собственного капитала, работающие активы увеличатся в среднем на 0,534 сигмы.

Во множественной регрессии коэффициенты «чистой» регрессии b_i связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии в_i следующим образом:

Проверяем:

Частные коэффициенты корреляции

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в модель. Формула коэффициента частной корреляции, выраженная через показатель детерминации, для х₁ принимает вид:

Таким образом, при закреплении фактора на постоянном уровне (элиминировании) корреляция и равна 0,073, то есть связь слабая, обратная. При закреплении фактора на постоянном уровне корреляция и равна 0,532, то есть связь слабая, прямая.

Построение частных уравнений регрессии

Частные уравнения регрессии связывают результативный признак с соответствующими факторами х при закреплении других, учитываемых во множественной регрессии, факторов на среднем уровне. Частные уравнения имеют вид:

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, т.к. другие факторы закреплены на неизменном среднем уровне.

В данной задаче частные уравнения имеют вид:



Определение средних коэффициентов эластичности

Средние по совокупности показатели эластичности находим по формуле:

Для данной задачи они окажутся равными:

Таким образом, с повышением собственного капитала на 1%, работающие активы в среднем по совокупности понизятся на 0,29% при неизменных средствах частных лиц. При увеличении средств частных лиц на 1%, работающие активы в среднем по изучаемой совокупности увеличатся на 1,59% при неизменном уровне собственного капитала.

Коэффициент множественной корреляции

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата - коэффициента детерминации. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, т.е. оценивает тесноту связи совместного влияния факторов на результат. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции. При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции может быть представлена следующим выражением:



где в_xi - стандартизованные коэффициенты регрессии;

r_yxi - парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

R_yx1x2 =

Таким образом, связь величины работающих активов с уровнем собственного капитала и средствами частных лиц слабая.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции или совокупного коэффициента корреляции.

Определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции

При линейной зависимости совокупный коэффициент корреляции можно также определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где ?r - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

?r₁₁ - определитель матрицы межфакторной корреляции.

Для уравнения определитель матрицы коэффициентов парной корреляции принимает вид:

Определитель более низкого порядка ?r₁₁ остается, когда вычеркиваются из матрицы коэффициентов парной корреляции первый столбец и первая строка, что соответствует матрице коэффициентов парной корреляции между факторами:

В данной задаче

Тогда

Определение коэффициента детерминации

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

_.

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

где n - число наблюдений;

m - число параметров при переменных х (число факторов, включенных в модель).

Чем больше величина m, тем сильнее различия и чем больше объем совокупности, по которой исчислена регрессия, тем менее различаются и .

Таким образом, вариация величины работающих активов на 0,3% (0,25% - при скорректированном индексе детерминации) зависит от уровня собственного капитала и средств частных лиц, а на остальные 99,7% (99,75%) от других факторов, не включенных в модель.

Оценка значимости уравнения с помощью F-критерия Фишера

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера по формуле:

где R² - коэффициент множественной детерминации;

n - число наблюдений;

m - число параметров при переменных (в линейной регрессии совпадет с числом включенных в модель факторов).

При этом выдвигается гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

F_табл. = 3,34 (при ; и ).

Так как F_факт.> F_табл, то гипотезу (Н₀) отклоняем. С вероятностью 0,95 делаем вывод о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов и .

Частные F-критерии оценивают статистическую значимость присутствия факторов и в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. F_х1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х₁ после того, как в него был включен фактор х₂. Соответственно, F_x2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х₁. Определим частные F-критерии для факторов х₁ и х₂ по формулам:

F_табл. = 4,20 (при ; и ).

Таким образом, значение F_х1факт. < F_табл, что свидетельствует о нецелесообразности включения в модель фактора х₁ (собственного капитала). Включение фактора х₂ (средств частных лиц) в модель статистически целесообразно, так как F_х2факт. > F_табл.

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по t-критерию Стьюдента

Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов чистой регрессии:

Так как t_b1 <t_табл.=2,0484, то фактор х₁ статистически незначим, так как t_b2 > _табл., то фактор х2 статистически значим.

Реализация задачи построения модели регрессии и корреляции в ППП Excel

Рис. 2.1 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Рис. 2.2 Результаты применения инструмента Регрессия

Пояснения к рисунку 2.2.

· Множественный R - коэффициент корреляции (множественный в случае множественной корреляции, в нашем случае это парный коэффициент корреляции между х и у).

· R - квадрат - коэффициент детерминации.

· Нормированный R - квадрат - коэффициент детерминации с поправкой на число степеней свободы.

· Стандартная ошибка - ошибка модели.

· Наблюдений - число наблюдений, по которым строится модель (в нашем случае это число групп населения).

· df - число степеней свободы (строка Регрессия - для факторной (объясненной сумы квадратов отклонений), строка Остаток - для остаточной (необъясненной суммы квадратов отклонений), строка Итого - для общей суммы квадратов отклонений).

· SS - значение вариации или сумма квадратов отклонений;

· MS - дисперсия, деленная на соответствующее число степеней свободы.

· F - критерий Фишера.

· Значимость F - вероятность совершить ошибку при отклонении нулевой гипотезы: модель является незначимой. Если значимость модели проверяется на уровне значимости, равном 0,05 (как обычно мы принимаем в расчетах), то для нашего примера значимость F равна 0,001, что меньше 0,05, следовательно, модель является значимой.

· «Y - пересечение» - означает свободный член уравнения регрессии «а».

· «Располагаемые ресурсы, тыс.руб. на человека в месяц (в общем случае пишется Переменная х» - значение коэффициента регрессии.

· Стандартная ошибка - ошибка коэффициента (свободного члена или коэффициент регрессии по соответствующим строкам).

· t - статистика - критерий Стьюдента для коэффициента;

· «Р - значение» - уровень значимости критерия Стьюдента.

· «Нижние 95%», «Верхние 95%» - нижние и верхние 95% доверительные интервалы нахождения математических ожиданий коэффициентов модели.

Рис. 2.3 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Корреляция

Рис. 2.4 Результаты применения инструмента Корреляция

Делаем вывод, что результаты расчетов вручную с применением формул совпадают с расчетами, выполненными в ППП Excel.

ЗАДАЧА 3

Таблица 3.1 Исходные данные

Годы	Численность городского населения РБ, тыс. чел., на начало года
1990	2545,2
1991	2569,3
1992	2587,0
1993	2603,7
1994	2614,0
1995	2607,6
1996	2646,4
1997	2648,4
1998	2661,1
1999	2672,3
2000	2640,1
2001	2636,5
2002	2631,9
2003	2628,1
2004	2626,3
2005	2434,8
2006	2422,7
2007	2415,0
2008	2421,6

Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда предполагает нахождение трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Аддитивная модель: Y=T+S+E, мультипликативная модель: Y=TSE. По исходным табличным данным построим график ряда, чтобы определить наличие компонент T, S, E.

Рис. 3.1 Временной ряд динамики численности городского населения РБ за 1990-2008 гг.



Рис. 3.2 Выравнивание ряда динамики аналитическим методом по линейному тренду

Уравнение имеет вид:

y = -7,816x + 2657,7

Величина достоверности: RІ = 0,2485.

Рис. 3.3 Выравнивание ряда динамики аналитическим методом по логарифмическому тренду

Уравнение имеет вид:

y = -26,036ln(x) + 2633,5

Величина достоверности: RІ = 0,0568.

Рис. 3.4 Выравнивание ряда динамики аналитическим методом по полиноминальному тренду

Уравнение имеет вид:

y = -2,4671x² + 41,526x + 2485.

Величина достоверности: RІ = 0,8377.



Рис. 3.5 Выравнивание ряда динамики аналитическим методом по степенному тренду

Уравнение имеет вид:

y = 2635,6x^-0,0106.

Величина достоверности: RІ = 0,0609.

Рис. 3.6 Выравнивание ряда динамики аналитическим методом по экспоненциальному тренду

Уравнение имеет вид:

y = 2660,1e^-0,0031x.

Величина достоверности: RІ = 0,2556.

Произведём отбор функции в качестве тренда используя F - критерий Фишера при =0,05.

1) Линейная функция:

=

>, таким образом линейная функция считается статистически значимой и существенной.

2) Логарифмическая функция:

=

<, таким образом логарифмическая функция считается статистически не значимой.

3) Полиномиальная функция:

=

;

>, таким образом полиномиальная функция считается статистически значимой и существенной.

4) Степенная функция:

=

<, таким образом, степенная функция считается статистически не значимой.

5) Экспоненциальная функция:

=

>, таким образом, экспоненциальная функция считается статистически значимой и существенной.

Так как по F-критерию Фишера три функции подходят для отображения тенденции, то отберем наиболее адекватную функцию по наименьшему среднему квадратическому отклонению остаточному.

Отбор наиболее адекватной функции проведем с помощью среднеквадратического отклонения:

1. Линейная функция:

2. Полиномиальная функция:

3. Экспоненциальная функция:

Наиболее адекватной функцией будет - полиномиальная функция, так как у нее среднеквадратическое отклонение наименьшее.

= -2,4671t² +41,526t + 2485

Выполним интервальный прогноз на 2 года:

,

где =

- интервальный прогноз,

- табличное значение Стьюдента,

при ,

Интервальный прогноз на 2009 год:

Интервальный прогноз на 2010 год:



Таким образом, если выявленная тенденция по полиномиальной функции сохранится, то в следующие два года можно ожидать увеличение численности городского населения РБ, причем в 2009 году потребление будет составлять от 2239,96 тыс. чел. до 2417,396 тыс. чел., а в 2010 году - от 2169,445 тыс. чел. до 2368,66 тыс. чел.

Задача 4

Используя данные своего варианта и разобранный пример, построить аддитивную и мультипликативную модели временного ряда (вариант определяет преподаватель), сделать прогноз на первый квартал следующего года (после таблицы для вариантов 1 - 10 дается фактический уровень для первого квартала следующего года - для которого Вы делаете прогноз - для проверки правильности Ваших расчетов и выбора наиболее точной модели).

Таблица 4.1 Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы	2001	2002	2003
Квартал,	1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
Производство яиц в РФ, млрд. шт.	7,72	9,68	9,69	8,08	8,30	10,10	9,63	8,24	8,34	10,14	9,73	8,23

Фактический уровень ряда за 1-ый квартал 2004 г. = 8,18 млрд. шт.

Решение:

Необходимо построить аддитивную и мультипликативную модели временного ряда. Для этого найдем трендовый (Т), сезонный (S) и случайный (Е) компоненты.

Аддитивная модель:

Y=T+S+E

Мультипликативная модель:

Y=TSE.

По исходным табличным данным построим график ряда, чтобы определить наличие компонент T, S, E.

Рисунок 4.1 Временной ряд

График фактических значений временного ряда показывает, что ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. То есть уровни ряда во 2-й квартал каждого года больше, чем в остальные.

Построим аддитивную модель ряда:

Шаг 1.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого составим вспомогательную таблицу 4.2.

Таблица 4.2 Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Номер квартала,	Уровни ряда,	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	7,72	-	-	-	-
2	9,68	35,17	8,7925	-	-
3	9,69	35,75	8,9375	8,865	0,825
4	8,08	36,17	9,0425	8,99	-0,91
5	8,3	36,11	9,0275	9,035	-0,735
6	10,1	36,27	9,0675	9,0475	1,0525
7	9,63	36,31	9,0775	9,0725	0,5575
8	8,24	36,35	9,0875	9,0825	-0,8425
9	8,34	36,45	9,1125	9,1	-0,76
10	10,14	36,44	9,11	9,11125	1,029
11	9,73	-	-	-	-
12	8,23	-	-	-	-

1. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени (графа 3);

2. разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние (графа 4). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты (их количество будет меньше количества уровней исходного временного ряда на 3 единицы);

3. приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для этого найдем средние значения их двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (графа 5) (их количество будет меньше количества уровней исходного временного ряда на 4 единицы).

Шаг 2.

Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 таблицы 2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 4.3).

Таблица 4.3 Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатель	Год	Номер квартала
		1	2	3	4
	1 2 3	- -0,735 -0,76	- 1,052 1,029	-0,825 0,557 -	-0,91 -0,842 -
Итого за i-й квартал (за все годы)	х	-1,495	2,081	1,382	-1,752
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала,	х	-0,748	1,041	0,691	-0,876
Скорректированная сезонная компонента,	х	-0,775	1,014	0,664	-0,903

Найдем средние за каждый квартал (по все годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по все кварталам должна быть равна нулю.

Имеем для данной модели: -0,748 + 1,041 + 0,691 - 0,876 = 0,108.

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом :

,

где

1 квартал: S₁=-0,748-0,027= -0,775

2 квартал: S₂=1,041-0,027= 1,014

3 квартал: S₃=0,691-0,027= 0,664

4 квартал: S₄=-0,876-0,027= -0,903

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

-0,775+1,014+0,664-0,903 = 0.

Занесем полученные значения в таблицу 4 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3.

Вычтем значение сезонной компоненты из каждого уровня исходного временного ряда, чтобы устранить ее влияние. Получим:

T + E = Y - S (графа 4 таблицы 4.4).

Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4.4 Расчет выровненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

			Т + Е =	Т	Т + S	Е = yt - (T + S)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	7,72	-0,775	8,495	8,758	7,983	-0,263	0,069	1,613
2	9,68	1,014	8,666	8,8	9,814	-0,134	0,0179	0,476
3	9,69	0,664	9,026	8,842	9,506	0,184	0,034	0,49
4	8,08	-0,903	8,983	8,884	7,981	0,0987	0,0097	0,828
5	8,3	-0,775	9,075	8,926	8,152	0,1478	0,022	0,476
6	10,1	1,014	9,086	8,968	9,982	0,118	0,014	1,232
7	9,63	0,664	8,966	9,01	9,674	-0,044	0,002	0,41
8	8,24	-0,903	9,143	9,052	8,149	0,091	0,008	0,563
9	8,34	-0,775	9,115	9,094	8,319	0,021	0,0004	0,423
10	10,14	1,014	9,126	9,136	10,15	-0,01	0,0001	1,323
11	9,73	0,664	9,066	9,178	9,842	-0,112	0,013	0,548
12	8,23	-0,903	9,133	9,22	8,317	-0,087	0,008	0,578
сумма	107,88						0,1981	8,96

Шаг 4.

Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда.

Таблица 4.5 Расчет линейного тренда уровней временного ряда

№ п/п
1	2	3	4	5	6
1	1	8,495	8,495	1	8,758
2	2	8,666	17,332	4	8,8
3	3	9,026	27,078	9	8,842
4	4	8,983	35,932	16	8,884
5	5	9,075	45,375	25	8,926
6	6	9,086	54,516	36	8,968
7	7	8,966	62,762	49	9,01
8	8	9,143	73,144	64	9,053
9	9	9,115	82,035	81	9,095
10	10	9,126	91,26	100	9,137
11	11	9,066	99,726	121	9,179
12	12	9,133	109,596	144	9,22
Итого	78	107,88	707,251	650	107,88

Для оценки параметров и необходимо составить систему нормальных уравнений:

Система нормальных уравнений составит:



Решаем ее:

Итак, линейный тренд имеет вид:

.

Найдем уровни Т для каждого момента времени (графа 5 таблицы 4.4).

Шаг 5.

Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6 таблицы 4).

Шаг 6. Рассчитаем ошибку (случайную компоненту Е) модели. Численные значения абсолютных ошибок приведены в таблице 4 (графа 7).

Таким образом, рассчитаны количественные значения трендовой, сезонной и случайной компонент уровней временного ряда за каждый квартал за три года по аддитивной модели. Так, например, расчеты за второй квартал 2003 г. (10-й уровень ряда) показывают, что если бы ряд содержал только трендовую составляющую (тенденцию уровней - сезонное увеличение производства яиц на 0,042 млрд. шт.), то производства яиц составил бы 9,136 млрд. шт. Прибавляя сезонную компоненту (из реальной жизни мы наблюдаем, что за 2 - 3 квартал производится больше яиц), равную за второй квартал 1,014 млрд. шт., мы получаем уровень ряда 9,136 + 1,014 = 10,15 млрд. шт. Однако из-за воздействия случайной составляющей, равной -0,01, фактическое производство яиц во втором квартале 2003 г. составил 10,15 - 0,01 = 10,14 млрд. шт.

Для оценки качества построения модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Для данной построенной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна = 0,89. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной , эта величина составляет:

или 97,79% -

аддитивная модель объясняет 97,79% общей вариации уровней временного ряда производства яиц в Российской Федерации за 2001 - 2003 гг.

На основе построенной модели сделаем точечный прогноз ожидаемого ввода в действие жилых домов в Российской Федерации в течение первого квартала 2004 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, рассчитанным нами на шаге 4:

:

рассчитываем (первый квартал четвертого в ряду года будет стоять под номером 13 - продолжение ряда)

.

Значение сезонной компоненты за первый квартал равно

Прогнозное значение составит:

Производство яиц в Российской Федерации в первом квартале 2004 года составит 8,487 млрд. шт. Фактическое производство яиц в первом квартале 2004 г. 8,18 млрд. шт. - рассчитанный показатель незначительно отличается от фактического.

Построим мультипликативную модель ряда:

Шаг 1.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (таблица 6 - та же методика расчета, что и для аддитивной модели табл. 2).

Таблица 4.6 Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Номер квартала,	Уровни ряда,	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	7,72	-	-	-	-
2	9,68	35,17	8,7925	-	-
3	9,69	35,75	8,9375	8,865	1,093
4	8,08	36,17	9,0425	8,99	0,899
5	8,3	36,11	9,0275	9,035	0,919
6	10,1	36,27	9,0675	9,0475	1,116
7	9,63	36,31	9,0775	9,0725	1,061
8	8,24	36,35	9,0875	9,0825	0,907
9	8,34	36,45	9,1125	9,1	0,916
10	10,14	36,44	9,11	9,11125	1,113
11	9,73	-	-	-	-
12	8,23	-	-	-	-

Шаг 2.

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда (графа 6 таблица 6). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 6). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по все кварталам должна быть равна числе периодов в цикле, т.е. 4 (4 квартала в цикле - в году).

Таблица 4.7 Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатель	Год	Номер квартала
		1	2	3	4
	1 2 3	- 0,919 0,916	- 1,116 1,113	1,093 1,061 -	0,899 0,907 -
Итого за i-й квартал (за все годы)	х	1,835	2,229	2,154	1,806
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала,	х	0,917	1,1146	1,077	0,903
Скорректированная сезонная компонента,	х	0,915	1,111	1,0739	0,9002

Имеем: 0,917 + 1,1146 + 1,077 + 0,903 = 4,0124.

Рассчитаем корректирующий коэффициент:

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k: , где

Получим следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: S₁= 0,915

2 квартал: S₂= 1,111

3 квартал: S₃= 1,0739

4 квартал: S₄= 0,9002

Проверим условие равенства четырем суммы значений сезонной компоненты:

0,921+1,091+1,081+0,907=4

Занесем полученные значения в таблицу 8 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3.

Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим T E = Y / S (графа 4 таблицы 8). Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4.8 Расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

			Т Е =	Т	Т S	Е = yt / (TS)	Е = yt - (TS)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7,72	0,915	8,440	8,751	8,005	0,964	-0,285	0,081	1,613
2	9,68	1,111	8,712	8,795	9,772	0,991	-0,092	0,009	0,476
3	9,69	1,0739	9,023	8,838	9,491	1,021	0,199	0,039	0,49
4	8,08	0,9002	8,976	8,882	7,995	1,011	0,085	0,007	0,828
5	8,3	0,915	9,074	8,925	8,164	1,017	0,136	0,019	0,476
6	10,1	1,111	9,090	8,968	9,965	1,014	0,135	0,018	1,232
7	9,63	1,0739	8,967	9,012	9,678	0,995	-0,048	0,002	0,41
8	8,24	0,9002	9,153	9,055	8,151	1,011	0,089	0,008	0,563
9	8,34	0,915	9,118	9,098	8,323	1,002	0,017	0,000	0,422
10	10,14	1,111	9,126	9,142	10,158	0,998	-0,018	0,000	1,323
11	9,73	1,0739	9,060	9,185	9,864	0,986	-0,134	0,018	0,547
12	8,23	0,9002	9,142	9,229	8,308	0,991	-0,078	0,006	0,578
								0,208	8,96

Шаг 4.

Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т Е) с помощью линейного тренда.

Таблица 4.9 Расчет линейного тренда уровней временного ряда

№п/п					Т
1	1	8,440	8,440	1	8,751
2	2	8,712	17,423	4	8,795
3	3	9,023	27,069	9	8,838
4	4	8,976	35,903	16	8,882
5	5	9,074	45,369	25	8,925
6	6	9,090	54,538	36	8,968
7	7	8,967	62,770	49	9,012
8	8	9,153	73,228	64	9,055
9	9	9,118	82,058	81	9,098
10	10	9,126	91,256	100	9,142
11	11	9,060	99,664	121	9,185
12	12	9,142	109,708	144	9,229
Итого	78	107,88	707,425	650	107,88

Для оценки параметров и необходимо составить систему нормальных уравнений:

Система нормальных уравнений составит:

Решаем ее:



Итак, линейный тренд имеет вид:

.

Найдем уровни Т для каждого момента времени (графа 5 таблицы 8).

Шаг 5.

Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6 таблицы 8).

Шаг 6.

Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле

Е = y_t /(T S).

Численные значения ошибки приведем в графе 7 таблицы 8.

Итак, рассчитаны количественные значения трендовой, сезонной и случайной компонент уровней временного ряда за каждый квартал за три года по мультипликативной модели. Выводы можно сделать аналогично построенной ранее аддитивной модели.

Чтобы сравнить мультипликативную модель ряда с построенной ранее аддитивной моделью, используем сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются по формуле:

Е = y_t - (TS).

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 0,208. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения . Доля объясненной дисперсии уровней ряда динамики равна:

или 97,67% -

мультипликативная модель объясняет 97,67% общей вариации уровней временного ряда ввода в действие жилых домов в Российской Федерации за 2001 - 2003 гг.

Таким образом, аддитивная модель лучше описывает данный временной ряд, чем мультипликативная.

Чтобы на основе построенной мультипликативной модели дать прогноз производства яиц, сделаем точечный прогноз ожидаемого производства яиц в Российской Федерации в течение первого квартала 2004 года. Прогнозное значение уровня временного ряда F_t в мультипликативной модели есть произведение трендового значения Т_t и соответствующего значения сезонной компоненты S_t. Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, рассчитанным нами на шаге 4:

Т= 8,708+0,0434t:

первый квартал 2004 г. будет стоять под номером 13 в ряду, поэтому

Т₁₃= 8,708+0,0434*13= 9,272

Значение сезонной компоненты за первый квартал равно S₁=0,915

Прогнозное значение составит:

Производство яиц в Российской Федерации в первом квартале 2004 года составит 8,484 млрд. шт. (меньше, чем рассчитанный по аддитивной модели, и более приближенный к фактическому известному уровню (8,18 млрд. шт.)).

Размещено на Allbest.ru