Размещено на http://www.allbest.ru/

17

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Контрольная работа

Исполнитель: Пугачёва В.А.

Специальность: Финансы и кредит

№ зачетной книжки: 10ФФД40932

Руководитель: Князева. И.В.

г.Калуга 2011г

Содержание

• Задача 1
• Задача 2
• Задача 3
• Задача 4
• Задача 1
• Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
• Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.

Питательное вещество	Количество питательных веществ в 1 кг корма
	1	2
А	2	1
В	2	4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

• Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
• Решение:
• 1. сформулируем целевую функцию:
• 2. сформулируем функциональные ограничения для целевой функции:
• ?6
• ?12
• х_1,2?0
• найдем значения х₁ и х₂ методом Гаусса:
• ?6; ?6;
• ?12. 3х₂?6; х₂=2; х₁=2 ;
• 3. Вычислим значение целевой функции в точке пересечения (2;2):
• 4. График изобразим на рисунке 1:
• Рис. 1.
• Ответ: 1. и достигается при х₁=2; х₂=2.
• 2. Если задачу решать на максимум, то целевая функция неограниченная и ЗЛП не имеет решения, .
• Задача 2
• Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
• Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы, каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	0	2	1	180
II	0	1	3	2	210
III	4	2	0	4	800
Цена изделия	9	6	4	7

• Решение:
• 1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
• 2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
• 3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
• 4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• Ш проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• Ш определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
• Ш оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
• 1. Сформулируем целевую функцию:
• сформулируем функциональные ограничения для целевой функции:
• ?180
• ?210
• ?800
• х1,2,3,4?0
• С помощью надстройки Excel « Поиск решения» (рис.2.) найдем оптимальный план задачи (значения , и значение функции
• ).
• Таким образом, функция достигает максимального значения при
• x₁ =95
• x₂ = 210
• x₃ = 0
• x₄ = 0
• max f(x) = 2115
• 1. Сформулируйте двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
• Двойственная задача имеет вид:
• Min f(y) = 180 • y₁ + 210 • y₂ + 800 • y₃
• 1 • y₁ + 0 • y₂ + 4 • y₃ ? 9
• 0 • y₁ + 1 • y₂ + 2 • y₃ ? 6
• 2 • y₁ + 3 • y₂ + 0 • y₃ ? 4
• 1 • y₁ + 2 • y₂ + 4 • y₃ ? 7
• y_i ?0 , i = {1, .. 3}
• Найдем значения двойственных переменных, используя теоремы двойственности.
• Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:

у1 :	1 • 95 + 0 • 210 + 2 • 0 + 1 • 0 = 95 ? 180
у2 :	0 • 95 + 1 • 210 + 3 • 0 + 2 • 0 = 210
у3 :	4 • 95 + 2 • 210 + 0 • 0 + 4 • 0 = 800

• Так как первое ограничение выполняется как строгое неравенство, то
• у₁ = 0.
• Учитывая, что x₁ ? 0 ; x₂ ? 0, то значения остальных двойственных переменных найдем из 1 и 2-го уравнений системы неравенств. То есть


{	1 • y1 + 0 • y2 + 4 • y3 = 9
	0 • y1 + 1 • y2 + 2 • y3 = 6

• у₁ = 0;
• у₃ = 9 / 4 = 2,25;
• у₂ = 6 - 2 • 2,25 = 1,5.
• Рассчитаем значение целевой функции двойственной задачи
• Min f(y) = 180 • 0 + 210 • 1,5 + 800 • 2,25 = 2115.
• 2. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
• Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашей задаче это изделие В и Г. Подтвердим этот факт, подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y.
• 1 • 0 + 0 • 1,5 + 4 • 2,25 = 9
• 0 • 0 + 1 • 1,5 + 2 • 2,25 = 6
• 2 • 0 + 3 • 1,5 + 0 • 2,25 =4,5 ? 4
• 1 • 0 + 2 • 1,5 + 4 • 2,25 =12 ? 7
• 3. На основе двойственных оценок и теорем двойственности:
• а) Поясним использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.
• В оптимальном плане не полностью используется сырье 1, т.к. у₁ = 0
• Сырье 2 и 3 - дефицитное, т.к. их двойственные оценки отличны от нуля.
• б) При увеличении сырья 2 на 120 ед, сырья 3 - на 160 ед, и уменьшении сырья 1 на 60 ед. произойдут следующие изменения:
• Увеличение сырья 2 на 120 ед. приведет к увеличению выручки на
• 120 • у₂ = 120 • 1,5 = 180 ед.
• Увеличение сырья 3 на 160 ед. приведет к увеличению выручки на
• 160 • у₃ = 160 • 2,25 = 360 ед.
• Увеличение сырья 1 на 60 ед. не повлияет на оптимальный план, так как
• у₁ = 0
• Таким образом, общее изменение выручки составит:
• ? = 180 + 360 + 0 = 540 ед.
• в) оценим целесообразность внедрения изделия ? ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого сырья.
• 2 • 0 + 2 • 1,5 + 2 • 2,25 - 12 = -4,5 < 0 целесообразно.
• Задача 3
• Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.
• Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске; продукции первого вида, второе предприятие -- продукции второго вида; третье предприятие -- продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).
• Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2, 3; j= 1, 2, 3) элементов технологической матрицы A (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i вектора конечной продукции Y.
• Требуется:
• 1. Проверить продуктивность технологической матрицы A = (а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

• 2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аij	Конечный продукт Y
	1	2	3
1	0,0	0,1	0,2	180
2	0,1	0,2	0,1	200
3	0,2	0,1	0,2	200

• Решение:
• Ш Опишем модель Леонтьева в общем виде
• Ш Отдельные элементы матрицы прямых материальных затрат вычисляются по формуле:
• Ш С учетом представленных формул модель Леонтьева для решения данной задачи такова:
• Ш


A	0	0,1	0,2		E	1	0	0
	0,1	0,2	0,1			0	1	0
	0,2	0,1	0,2			0	0	1
(E-A)	1	-0,1	-0,2
	-0,1	0,8	-0,1
	-0,2	-0,1	0,8
B	1,075085	0,170648	0,290102		Y	180
	0,170648	1,296928	0,204778			200
	0,290102	0,204778	1,348123			200
X	285,6655
	331,058
	362,7986
Xij	0	33,1058	72,55973
	28,56655	66,2116	36,27986
	57,13311	33,1058	72,55973
производящие отрасли	потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1	0	33,1058	72,55973	180	285,6655
2	28,56655	66,2116	36,27986	200	331,058
3	57,13311	33,1058	72,55973	200	362,7986
Условно чистая продукция	199,9659	198,6348	181,3993	580
валовый продукт	285,6655	331,058	362,7986		979,5222

• Задача 4.
• Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
• Задачи 4.1-4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

Номер варианта	Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	43	47	50	48	54	57	61	59	65

• Требуется:
• 1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
• 2) Построить линейную модель
• ,
• параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
• 3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).
• 4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
• 5) По двум построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
• 6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
• Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
• Решение.
• 1). Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число ()
• ; ,
• Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

• Таблица 4.1

	t	Y
	1	43	-4	16	-10,78	116,16	-	-
	2	47	-3	9	-6,78	45,94	4	0,08
	3	50	-2	4	-3,78	14,27	3	0,06
	4	48	-1	1	-5,78	33,38	2	0,04
	5	54	0	0	0,22	0,05	6	0,11
	6	57	1	1	3,22	10,38	3	0,06
	7	61	2	4	7,22	52,16	4	0,08
	8	59	3	9	5,22	27,27	2	0,04
	9	65	4	16	11,22	125,94	6	0,11
Сумма	45	484	0	60	0,00	425,56
Среднее	5	53,78

• Все полученные значения сравнили с табличными значениями, не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
• 2) Построить линейную модель
• параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
• Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (рис. 4.2).

• Рис. 4.2
• оптимизация двойственность регресионный балансовый
• Результат регрессионного анализа содержится в таблице 4.3 и 4.4.
• Таблица 4.3

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	а0	40,86	1,38	29,68
t	а1	2,58	0,24	10,56

• Во втором столбце табл. 4.2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁, в третьем столбце - стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t - статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	43,44	-0,44
2	46,03	0,97
3	48,61	1,39
4	51,19	-3,19
5	53,78	0,22
6	56,36	0,64
7	58,94	2,06
8	61,53	-2,53
9	64,11	0,89

• Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (рис. 4.5).
• Таблица 4.4
• Вывод остатков
• 3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия
• нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).
• Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.
• 3.1 Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d - критерия Дарбина - Уотсона по формуле:
• , используются данные табл. 4.4.
• Таблица 4.6

Наблюдение
1	-0,44	0,20	-	-	-
2	0,97	0,95	1,41	-0,44	0,19
3	1,39	1,93	0,42	0,97	0,94
4	-3,19	10,20	-4,58	1,39	1,93
5	0,22	0,05	3,41	-3,19	10,18
6	0,64	0,41	0,42	0,22	0,05
7	2,06	4,23	1,42	0,64	0,41
8	-2,53	6,39	-4,59	2,06	4,24
9	0,89	0,79	3,42	-2,53	6,40
Сумма	0	25,14			24,35

• ,
• Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d₁ (рис. 4.7). Свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.
• Анализ независимости с помощью критерия Дарбина - Уотсона Рис. 4.7

1)			2)		3)		4)
	d1	d2		2			4
свойство не выполняется	применять другой критерий	свойство выполняется	преобразовать dn=4-d
0	d1	d2		2			4
	1,08	1,36
			|r(1)|<0,36

• 3.2 Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) - 1, 96 - (16n-29)/90]
• Количество поворотных точек равно 4 (рис.4.8).
• Рис. 4.8
• Неравенство выполняется (4 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
• 3.3 Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS - критерия
• ,
• где
• - максимальный уровень ряда остатков,
• - минимальный уровень ряда остатков,
• - среднеквадратическое отклонение,
• ,
• Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
• 3.4 Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков
• В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
• В таблице 4.9 собраны данные анализа ряда остатков.
• Анализ ряда остатков

• Таблица 4.9

Проверяемое свойство	Используемые статистики	Граница	Вывод
	наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	d - критерий Дарбина-Уотсона		1,08	1,36	Нельзя сделать вывод по этому критерию, т.к.
Случайность	Критерий пиков (поворотных точек)	4 > 2	2	адекватна
Нормальность	RS - критерий	2,96	2,7	3,7	адекватна
Среднее = 0 ?	t - статистика Стьюдента	0,000	-2,179	2,179	адекватна
Вывод: модель статистически неадекватна

• 4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
• Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
• , где
• Таблица 4.10
• Расчет относительной ошибки аппроксимации

	t	Y	Предсказанное Y
	1	43	43,44	-0,44	0,01
	2	47	46,03	0,97	0,02
	3	50	48,61	1,39	0,03
	4	48	51,19	-3,19	0,07
	5	54	53,78	0,22	0,00
	6	57	56,36	0,64	0,01
	7	61	58,94	2,06	0,03
	8	59	61,53	-2,53	0,04
	9	65	64,11	0,89	0,01
Сумма	45	484		0	0,23
Среднее	5	53,78

• Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.
• 5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
• Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.11)
• t = 1,12

• Рис. 4.11
• Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий
• Стьюдента при
• равен 1,12.
• Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
• , где
• (находим из таблицы 4.1),
• ,
• .
• Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (таб. 4.12).
• Таблица 4.12
• Таблица прогноза

n +k	U (k)	Прогноз	Формула	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1) =3,23	66,66	Прогноз + U(1)	69,89	63,43
11	U(2) =3,62	69,24	Прогноз - U(2)	72,86	65,62

• 6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
• Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив его данными прогноза.
• Рис. 4.13
• Размещено на Allbest.ru