Основы экономико-математического моделирования и задачи оптимизации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный - 4 ден. Ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Сформулируем прямую оптимизационную задачу.

Пусть х1 - количество обычных наборов удобрений;

х2 - количество улучшенных наборов удобрений.

Содержание в двух данных наборах азотных удобрений: 3х1 + 2х2

А для некоторого газона требуется по крайней мере 10 кг азотных удобрений, следовательно:

3х1 + 2х2 ? 10

Содержание в двух данных наборах фосфорных удобрений должно быть не менее 20 кг, т.е.:

4х1 + 6х2 ? 20

И содержание в двух данных наборах калийных удобрений должно быть не менее 7 кг, т.е.:

1х1 + 3х2 ? 7

Стоимость необходимых наборов удобрений составит:

3х1 + 4х2.

Таким образом, получим следующую экономико-математическую модель задачи:

min (х) = 3х1 + 4х2

3х1 + 2х2 ? 10

4х1 + 6х2 ? 20

х1 + 3х2 ? 7

х1 0, х2 0

Построим область решений системы ограничений. Для этого рассмотрим равенства и построим их графики - прямые.

1) 3х1 + 2х2 ? 10

3х1 + 2х2 = 10

х1	х2
0	5
4	-1

Для нахождения полуплоскости, соответствующей данному неравенству, берем любую точку, не лежащую на граничной прямой, и подставляем ее координаты в неравенство.

Возьмем точку О(0;0):

3*0 + 2*0 ? 10

0 ? 10

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует та полуплоскость, которая не содержит точку (0;0).

2) 4х1 + 6х2 ? 20

4х1 + 6х2 = 20

х1	х2
-1	4
5	0

4*0 + 6*0 20

0 20

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).

3) х1 + 3х2 ? 7

х1 + 3х2 = 7

х1	х2
-2	3
7	0

1*0 + 3*0 7

0 7

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).

4) х1 0

х1 = 0 - ось ОХ2.

5) х2 0

х2 = 0 - ось ОХ1.

Следовательно, область решений системы ограничений находится только в первой четверти декартовой системы координат.

Рис.1. Графическое решение ЗЛП

Находим общую часть всех построенных полуплоскостей. Это выпуклая заштрихованная область.

Для нахождения оптимального решения задачи изобразим графически функцию цели:

(х) = d1x1 + d2x2

(х) = 3х1 + 4х2

Для этого строим вектор d, начало которого в точке (0;0), а конец в точке (d1;d2).

d = (3; 4).

И строим одну из линий уровня функции цели (это линия, на которой функция цели принимает постоянное значение).

Для определения минимума данной функции, передвигаем линию уровня в направлении, противоположном вектору d, и видим, что она последний раз соприкасается с областью решений в точке В, где и будет достигнут min(х).

Определим координаты точки В:

3х1 + 2х2 = 10 *(-3)

4х1 + 6х2 = 20

-9х1 - 6х2 = -30

4х1 + 6х2 = 20

Складываем почленно уравнения и получаем:

-5х1 = -10

х1 = 2

В(2; 2)

(х) = 3*2 + 4*2 = 14 (ден. ед.)

Таким образом, чтобы минимизировать стоимость удобрений, нужно купить 2 обычных набора удобрений и 2 улучшенных набора удобрений. При этом минимальные затраты на покупку удобрений составят 14 денежных единиц.

Если решать данную задачу на максимум, то конечного оптимума не найдем, т.к. функция цели неограниченна, область решений системы ограничений бесконечна.

Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления четырех видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	2	1	3	2	200
II	1	2	4	8	160
III	2	4	1	1	170
Цена изделия	5	7	3	6

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида;

- оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Сформулируем прямую оптимизационную задачу.

Пусть х1 - количество продукции вида А;

х2 - количество продукции вида Б;

х3 - количество продукции вида В;

х4 - количество продукции вида Г.

mах (х) = 5x1 + 7x2 + 3x3 + 6x4 - общая стоимость продукции;

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ? 200

левая часть - расход сырья I типа на производство всей продукции

правая часть (200 ед.) - запас сырья I типа

x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 ? 160

левая часть - расход сырья II типа на производство всей продукции

правая часть (160 ед.) - запас сырья II типа

2x1 + 4x2 + x3 + x4 ? 170

левая часть - расход сырья III типа на пр-во всей продукции

правая часть (170 ед.) - запас сырья III типа

xj 0 (j = 1,2,3,4)

Оптимальный план задачи получим с помощью надстройки Excel Поиск решения (см. приложение 1).

Приложение 1.

Для того чтобы получить оптимальный производим ввод исходных данных (рис. 1.1)

Рис. 1.1

1) Вводим зависимость для целевой ячейки F4. С помощью «Мастера функции», функция СУММПРОИЗВ вводим данные (рис. 1.2) и получаем введенную функцию в ячейку F4.

Рис. 1.2

2) Копируем значения ячейки F4 в ячейки F8, F9, F10.

3) В ячейке F4 находим значение с помощью Поиска решения, введя данные показанные на рис. 1.3.

рис. 1.3

4) Результат поиска решения (рис. 1.4)

рис. 1.4

Таким образом, получен оптимальный план:

x1 = 80

x2 = 0

x3 = 0

x4 = 10

mах (х) = 460 (ден. ед.)

Т.е. максимальный доход в 460 денежных единиц можно получить, если продукции вида А выпустить 80 единиц, вида Г - 10 ед.; вида Б и В не выпускать (т.к. х2 = 0 и х3 = 0); при этом ресурсы II и III типа используются полностью, а ресурс I не полностью, его остаток составляет 20 ед.

2. Сформулируем двойственную задачу.

	2	1	2	5
	1	2	4	7
А' =	3	4	1	3
	2	8	1	6
	200	160	170	min g(у)

уi - цена единицы ресурса i-го типа (i = 1,2,3)

min g(у) = 200у1 + 160у2 + 170у3 - общая стоимость ресурсов

2у1 + у2 + 2у3 ? 5

левая часть - стоимость ресурсов, расходуемых на производство

одного изделия вида А (если предприятие решило

продать имеющиеся ресурсы)

правая часть - сумма, которую предприятие может получить при

переработке сырья в готовую продукцию

у1 + 2у2 + 4у3 ? 7

стоимость ресурсов, идущих на пр-во одного изделия вида Б

3у1 + 4у2 + у3 ? 3

стоимость ресурсов, идущих на пр-во одного изделия вида В

2у1 + 8у2 + у3 ? 6

стоимость ресурсов, идущих на пр-во одного изделия вида Г

у1, у2, у3 0

Найдем оптимальное решение двойственной задачи:

2у1 + у2 + 2у3 = 5

2у1 + 8у2 + у3 = 6

у1 = 0

у2 + 2у3 = 5

8у2 + у3 = 6 *(-2)

у2 + 2у3 = 5

-16у2 - 2у3 = -12

-15у2 = -7

у2 =

у3 =

у = (0; ; )

g(у) = 200*0 + 160* + 170* = 460

max g(у) = min (х) = 460

Следовательно, у = (0; ; ) - оптимальный план двойственной задачи.

3. Поясним нулевые значения переменных в оптимальном плане.

x2 = 0

x3 = 0

Т.е. продукцию вида Б и В выпускать не следует, т.к. их выпуск не приведет к максимальной выручке от реализации готовой продукции.

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Оценим использование ресурсов:

I типа: 2*80 + 1*0 + 3*0 + 2*10 = 180 < 200 - сырье I типа используется не полностью, остаток составляет 20 ед.; х5 = 20

II типа: 1*80 + 2*0 + 4*0 + 8*10 = 160 = 160 - сырье II типа используется полностью; х6 = 0

III типа: 2*80 + 4*0 + 1*0 + 1*10 = 170 = 170 - сырье III типа используется полностью; х7 = 0

х = (80, 0, 0, 10, 20, 0, 0)

Т.к. у1 = 0, то ресурс I типа используется не полностью.

Т.к. у2 0 и у3 0, то ресурсы II и III типов используются полностью. При чем ресурс III типа является более ценным, более дефицитным, чем ресурс II типа, т.к. у3 у2.

Определим, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида.

Изменение плана выпуска продукции ДХ находим следующим образом:

ДХ = Д * ДВ

Матрица А* состоит из столбцов матрицы А (канонической формы), которые соответствуют основным переменным.

х = (80, 0, 0, 10, 20, 0, 0)

	2	1	3	2	1	0	0
А =	1	2	4	8	0	1	0
	2	4	1	1	0	0	1

	2	2	1
А* =	1	8	0
	2	1	0

Определитель матрицы А* равен:

|А*| = 0 + 0 + 1 - (16 + 0 + 0) = -15

Транспонируем матрицу А*:

	2	1	2
(А*)' =	2	8	1
	1	0	0

Находим элементы присоединенной матрицы (Г*):

Получили присоединенную матрицу:

	0	1	-8
(Г*) =	0	-2	1
	-15	2	14

Дх1 = х1* = 80 =

Дх4 = х4* = 10 + =

Дх5 = х5* = 20 + =

Х* = (; 0; 0; ; ; 0; 0)

(Х*) = 5* + 7*0 + 3*0 + 6* =

Д(Х*) = 5* + 6* =

Таким образом, при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида выпуск продукции вида А уменьшится на ед., вида Г - увеличится на ед. Остаток сырья I вида увеличится на ед.

Определим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

С5 = 10

а15 = 2; а25 = 2; а35 = 2

Дj = ?аijyj - cj

Д5 = а15y1 - а25y2 - а35y3 - c5

Д5 =

Д5 < 0, следовательно изделие вида Д выпускать выгодно.

Так как затраты на ресурсы при выпуске одного данного изделия вида Д будут меньше цены изделия вида Д.

Задача 3

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	3	7	10	11	15	17	21	25	23

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t) = а0 + а1t, параметры которой оценить МНК.

3. Построить адаптивную модель Брауна Y(t) = a0 +a1k с параметром сглаживания а = 0,4 и а = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для изобразим на графике фактические уровни.

Рис.2. Фактические уровни спроса в течение девяти последовательных недель

Резко отличающихся отдельных значений нет, следовательно аномальных наблюдений в данном временном ряду нет.

2. Построим линейную трендовую модель y = а0 + а1t, определив ее параметры с помощью метода наименьших квадратов.

Для этого решим систему нормальных уравнений:

na0 + а1 t = yt

a0 t + a1 t2 = tyt

Составим расчетную таблицу:

t	yt	t2	tyt	yt	Еt	m	Еt2	(Еt - Еt-1)2		(t - )2
1	3	1	3	3,9	-0,9	-	0,81	-	0,3000	16
2	7	4	14	6,6	0,4	0	0,16	1,69	0,0571	9
3	10	9	30	9,3	0,7	1	0,49	0,09	0,0700	4
4	11	16	44	12,0	-1,0	1	1,00	2,89	0,0909	1
5	15	25	75	14,7	0,3	1	0,09	1,69	0,0200	0
6	17	36	102	17,4	-0,4	1	0,16	0,49	0,0235	1
7	21	49	147	20,1	0,9	0	0,81	1,69	0,0429	4
8	25	64	200	22,8	2,2	1	4,84	1,69	0,0880	9
9	23	81	207	25,5	-2,5	-	6,25	22,09	0,1087	16
45	132	285	822	132,3	-0,3	5	14,61	32,32	0,8011	60
5	14,7

9а0 + 45 а1 = 132 *(-5)

45 а0 + 285 а1 = 822

-45 а0 - 225 а1 = -660

45 а0 + 285 а1 = 822

60 а1 = 162

а1 = 2,7

Уравнение линейного тренда имеет вид: y = 2,7 + 1,2 t

4. Оценим адекватность построенной модели.

а) Проверим случайность значений остатков по критерию пиков (поворотных точек):

m - количество поворотных точек;

[ … ] - целая часть числа.

Уровень Et считается поворотной точкой, если он меньше (или больше) двух рядом с ним стоящих уровней.

График остатков имеет вид:

Рис.3. График остатков

Получили пять поворотных точек, т.е. m = 5.

m > 2 свойство выполняется; значения остатков случайные.

б) Проверим независимость уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона (критические уровни: d1 = 0,82 и d2 = 1,32):

dрасч. > 2 рассчитываем d' = 4 - dрасч. = 4 - 2,21 = 1,79

d2 d' 2 свойство выполняется; остатки независимы, автокорреляция отсутствует.

в) Проверим нормальность распределения остатков по R/S-критерию (критические уровни: 2,7 - 3,7):

Emax = 2,2; Emin = -2,5

Т.к. значение R/S-критерия попадает в интервал 2,7 - 3,7, то свойство выполняется; остаточная компонента подчинена нормальному закону распределения.

Таким образом, последовательностью остатков выполняются все свойства по выбранным критериям, следовательно, можно сделать вывод о том, что модель

y = 2,7 + 1,2 t является адекватной.

5. Оценим точность построенной трендовой модели.

Для оценки точности модели найдем среднее квадратическое отклонение от линии тренда Sy и среднюю относительную ошибку аппроксимации S:

где р - количество параметров модели, р = 2.



Т.е. в среднем расчетные значения по линейному тренду отличаются от фактических уровней на 8,9%.

Т.к. S 5%, то модель является не точной.

6. Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели.

y = 1,2 + 2,7 t

Точечный прогноз:

y(10) = 1,2 + 2,7*10 = 28,2 (млн. руб.)

y(11) = 1,2 + 2,7*11 = 30,9 (млн. руб.)

Интервальный прогноз:

yn+k = tб * Sпрогноз.

tб = 1,05

k - период упреждения;

tб * Sпрогноз. - ширина доверительного интервала;

Sпрогноз. - средняя квадратическая ошибка прогноза.

tn+k = n + k

1 шаг k = 1

tn+k = 9 + 1 = 10

28,2 ± 1,05 * 1,786

(26,3 - 30,1) - интервальный прогноз на один шаг.

2 шаг k = 2

tn+k = 9 + 2 = 11

30,9 ± 1,05 * 1,890

(28,9 - 32,9) - интервальный прогноз на второй шаг.

7. Результаты моделирования и прогнозирования представим на графике.

Рис.4. Динамика спроса и прогноз на две надели вперед

3. Построим адаптивную модель Брауна y = а0 + а1k с параметром сглаживания а = 0,4 и а = 0,7.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов.

t	yt	t -	(t - )2	(yt - )	(t - ) (yt - )
1	3	-2	4	-6,2	12,4
2	7	-1	2	-2,2	2,2
3	10	0	0	0,8	0,0
4	11	1	2	1,8	1,8
5	15	2	4	5,8	11,6
15	46	0	10	0,0	28,0

где в = 1 - б - коэффициент дисконтирования.

Возьмем k = 1 и б = 0,4, следовательно, в = 1 - 0,4 = 0,6.

Подробно покажем расчет на первых двух шагах, остальное представим в таблице.

t = 1

t = 2

и т.д.

t	yt	a0	a1	yt расч	Et	Et2	m	(Et-Et-1)2		(t - )2
0	-	0,8	2,8	-	-	-	-	-	-	-
1	3	3,2	2,7	3,6	-0,6	0,36	-	-	0,2000	16
2	7	6,6	2,9	5,9	1,1	1,17	1	2,82	0,1543	9
3	10	9,8	3,0	9,5	0,5	0,26	0	0,32	0,0512	4
4	11	11,6	2,7	12,8	-1,8	3,15	1	5,23	0,1613	1
5	15	14,8	2,8	14,3	0,7	0,47	1	6,06	0,0458	0
6	17	17,2	2,7	17,5	-0,5	0,29	1	1,50	0,0316	1
7	21	20,6	2,9	19,9	1,1	1,23	0	2,71	0,0528	4
8	25	24,5	3,1	23,5	1,5	2,32	1	0,17	0,0609	9
9	23	24,6	2,4	27,6	-4,6	20,90	-	37,14	0,1988	16
45	132	-	-	134,6	-2,6	30,14	5	55,95	0,9566	60,0

На последнем шаге получена модель: Yр(N+k) = 24,6 + 2,4 k.

Среднее квадратическое отклонение равно:

Построим адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания б = 0,7, т.е. в = 1 - 0,7 = 0,3.

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

t = 5

t = 6

t = 7

t = 8

t = 9

t	yt	a0	a1	yt расч	Et	Et2
0	-	0,8	2,8	-	-	-
1	3	3,1	2,5	3,6	-0,6	0,36
2	7	6,9	3,2	5,6	1,4	2,07
3	10	10,0	3,2	10,1	-0,1	0,01
4	11	11,2	2,1	13,2	-2,2	4,75
5	15	14,8	2,9	13,3	1,7	2,89
6	17	17,1	2,6	17,8	-0,8	0,61
7	21	20,9	3,2	19,6	1,4	1,90
8	25	24,9	3,7	24,1	0,9	0,80
9	23	23,5	0,9	28,6	-5,6	31,20
45	-	-	-	135,8	-3,8	44,59

На последнем шаге получена модель: Yр(N+k) = 23,5 + 0,9 k.

Среднее квадратическое отклонение равно:

Т.к. Sy(1) < Sy(2), то точнее первая модель Yр(N+k) = 24,6 + 2,4 k с параметром сглаживания б = 0,4.

Оценим качество первой модели Yр(N+k) = 24,6 + 2,4 k.

4. Оценим адекватность построенной модели.

а) Проверим случайность значений остатков по критерию пиков (поворотных точек).

График остатков имеет вид:

Рис.5. График остатков

Получили пять поворотных точек, т.е. m = 5.

m > 2 свойство выполняется; значения остатков случайные.

б) Проверим независимость уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона (критические уровни: d1 = 0,82 и d2 = 1,32):

d2 dрасч 2 свойство выполняется; остатки независимы, автокорреляция отсутствует.

в) Проверим нормальность распределения остатков по R/S-критерию (критические уровни: 2,7 - 3,7):

Emax = 1,5; Emin = -4,6

Т.к. значение R/S-критерия попадает в интервал 2,7 - 3,7, то свойство выполняется; остаточная компонента подчинена нормальному закону распределения.

Таким образом, последовательностью остатков выполняются все свойства по выбранным критериям, следовательно, модель Yр(N+k) = 24,6 + 2,4 k является адекватной.

5. Оценим точность построенной модели.

Для оценки точности модели найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации S:

оптимизация ряд динамика показатель

Т.к. S > 5%, то модель не является точной.

6. Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели.

Yр(N+k) = 24,6 + 2,4 k

Точечный прогноз:

y(9+1) = 24,6 + 2,4*1 = 27,0

y(9+2) = 24,6 + 2,4*2 = 29,4

Интервальный прогноз:

tб = 1,05

1 шаг k = 1

tn+k = 9 + 1 = 10

27,0 ± 1,05 * 2,565

(24,3 - 29,7) - интервальный прогноз на один шаг.

2 шаг k = 2

tn+k = 9 + 2 = 11

29,4 ± 1,05 * 2,714

(26,6 - 32,3) - интервальный прогноз на второй шаг.

7. Результаты моделирования и прогнозирования представим на графике.



Рис.6. Динамика спроса и прогноз на две надели вперед

Размещено на Allbest.ru