Исследование свойств случайных величин, проверка значимости влияния факторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

по дисциплине Планирование и организация эксперимента

Исследование свойств случайных величин, проверка значимости влияния факторов

Введение

Целью курсовой работы является изучение показателей качества (ПК), как случайных величин, и доказательство факта влияния на них нескольких факторов, действующих одновременно. По имитационной модели процесса необходимо получить значения двух функций отклика (ПК), выбрав несколько факторов и задавая им градации. Модель является таблицей EXCEL.

В ходе курсовой работы необходимо выявить, какие факторы и их градации достоверно влияют на выбранные показатели качества.

1. Одномерные случайные величины

1.1 Получение функции отклика У2 и формирование выборки объёмом 15

Используя модель переменных, выбираем функцию отклика Y2 и формируем выборку объемом 15.

Таблица 1- Выборка объёмом 15

№	Y2
1	107,17
2	110,17
3	121,77
4	112,17
5	121,17
6	121,37
7	119,77
8	120,17
9	119,57
10	128,57
11	134,37
12	126,17
13	133,77
14	106,77
15	115,77

1.1.1 Вычисление среднего и дисперсии

Определяем среднее выборки по формуле:

, (1)

где n - объем выборки;

yi - наблюдаемые значения выборки.

Определяем дисперсию D выборке по формуле:

, (2)

Для данной выборки:

n=15;

= 119,92;

= 73,55;

S=8,58.

1.1.2 Проверка наличия грубых погрешностей

Грубая погрешность, или промах, - это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором.

При многократных измерениях для обнаружения промахов используют следующие статистические критерии:

- Критерий “трех сигм”. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |xi - x| < 3у, где у - оценка СКО измерений. Данный критерий надежен при числе измерений n > 20…50.

- Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение:

(x - xi)/ Sx =

n - сравнивается с критерием Т, выбранным по таблице. Если Т, то результат xi считается промахом и отбрасывается.

- Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико ( n > 20).

- Вариационный критерий Диксона- удобный и достаточно мощный ( с малыми вероятностями ошибок).

Т. к. n<20 воспользуемся критерием Романовского.

Вычисляем для каждого значения выборки отношение по формуле:

(y - yi)/ S = (3)

И сравниваем его с табличным значением Т, на уровне значимости 0,05 для n=15 Т = 2,64.

(119,92 - 107,17)/ 8,58 =1,49

(119,92 - 110,17)/ 8,58=1,14

(119,92 - 121,77)/ 8,58=0,22

(119,92 - 112,17)/ 8,58 =0,9

(119,92 - 121,17)/ 8,58 =0,15

(119,92 - 121,37)/ 8,58 =0,17

(119,92 - 119,77)/ 8,58 =0,02

(119,92 - 120,17)/ 8,58 =0,03

(119,92 - 119,57)/ 8,58 =0,04

(119,92 - 128,57)/ 8,58 =1,01

(119,92 - 134,37)/ 8,58 =1,68

(119,92 - 126,17)/ 8,58 =0,72

(119,92 - 133,77)/ 8,58 =1,61

(119,92 - 106,77)/ 8,58 =1,53

(119,92 - 115,77)/ 8,58 =0,48

Все полученные значения меньше т, значит можно сделать вывод о том, что грубых погрешностей нет.

1.1.3 Оценка нормальности выборки

О нормальности распределения можно судить вычислив особые параметры выборочной совокупности результатов анализа, носящих название асимметрии А и эксцесса Е.

Для нахождения значений асимметрии и эксцесса воспользуемся описательной статистикой:

Таблица 2 - Описательная статистика

Среднее	119,9166667
Стандартная ошибка	2,214279775
Медиана	120,17
Мода	#Н/Д
Стандартное отклонение	8,575868691
Дисперсия выборки	73,54552381
Эксцесс	-0,583272968
Асимметричность	0,101463874
Интервал	27,6
Минимум	106,77
Максимум	134,37
Сумма	1798,75
Счет	15
Уровень надежности(95,0%)	4,749157769

Найдем дисперсии асимметрии и эксцесса по формулам:

(4)

D(A) = 0,29

(5)

D(E) = 0,78

Зная дисперсии D(A) и D(E) можно оценить, значимо ли выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса отличаются от нуля. Если выполняются следующие неравенства:

Р?Р ?3vD(A) и РEР?5vD(E)

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным

В нашем случае: Р0,101Р? 1,62 и Р-0,58Р? 4,42

Так как значение асимметрии и эксцесса близки к нулю, а их значения не превышают соответствующие значения дисперсий, то мы можем сделать вывод о нормальности распределения.

1.1.4 Определение доверительного интервала для математического ожидания

Доверительные интервалы для математического ожидания находим, используя критерий Стьюдента.

Рассмотрим случайную величину , которая согласно следствию из теоремы о распределении выборочных характеристик распределена по закону Стьюдента . При заданном значении , пользуясь таблицей, вычислим значение из условия:

, (6)

где - надежность интервальной оценки.

б - генеральное среднее.

Из условия (6) получаем:

 (7)

Таким образом, интервальная оценка надежности для неизвестной генеральной средней а имеет границы:

(8)

Выразим границы интервала через исправленную дисперсию . Так как =, то . Поэтому

(9)

Значит, границы доверительного интервала можно записать так:

, (10)

По выборке объема 15 нормально распределенной найдено среднее значение 119,92. Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью г =0,95.

Пользуясь таблицей находим величину t(0,95;15)=2,15.

Тогда доверительные границы для математического ожидания с доверительной вероятностью 0,95:

Окончательно с надежностью 0,95 получаем, что параметр а заключен в интервале:

1.1.5 Определение доверительного интервала для сигмы

По выборке объёма 15, имеющей нормальное распределение, найдено значение S=8,58. Найдем доверительный интервал для у с надежностью г=0,95

Доверительный интервал покрывающий с заданной надежностью находим по формуле:

S(1-q)<у<S(1+q) (11)

По таблице по данным г=0,95 и n=15 находим q=0,46, подставляя значения в (11) получаем:

8,58(1-0,46)< 8,58(1+0.46)

Искомый доверительный интервал: 4,63<12,53

1.2 Получение второй выборки объемом более 60

Формируем вторую выборку Y2 объемом 70.

Таблица 3 - Выборка объёмом 70

№ п/п	У2	№ п/п	У2	№п/п	У2	№ п/п	У2	№ п/п	У2
1	118,17	15	128,97	29	134,97	43	133,77	57	122,77
2	116,17	16	131,57	30	122,57	44	133,17	58	150,77
3	104,37	17	109,37	31	118,37	45	125,37	59	137,97
4	125,57	18	114,37	32	100,37	46	114,37	60	128,37
5	136,77	19	125,57	33	125,37	47	109,17	61	109,37
6	134,37	20	141,77	34	138,77	48	119,17	62	118,17
7	116,77	21	123,77	35	120,17	49	126,97	63	108,37
8	133,17	22	134,77	36	145,77	50	141,77	64	118,57
9	125,97	23	140,77	37	137,97	51	109,37	65	117,17
10	113,17	24	139,37	38	133,77	52	123,57	66	127,17
11	131,97	25	127,57	39	116,37	53	121,17	67	142,77
12	132,17	26	127,77	40	128,17	54	112,17	68	126,97
13	129,97	27	133,37	41	129,17	55	131,77	69	125,77
14	122,77	28	110,37	42	120,57	56	127,97	70	123,57

1.2.1 Вычисление среднего и дисперсии

Для данной выборки:

n=70;

=125,59;

=110,52.

1.2.2 Проверка наличия грубых погрешностей

Для определения наличия грубых погрешностей воспользуемся критерием «трех сигм»

,

,

уmax=150,77; 150,77-125,59= 25,18 < 31,5

уmin=100,37; 100,37-125,59= 25,22 < 31,5

Т.к. условие выполняется при уmax и при уmin, то данное условие будет выполняться и при остальных уi, входящих в интервал [100,37; 150,77]. Следовательно можно сделать вывод о том, что грубых погрешностей нет.

1.2.3 Проверка нормальности выборки

Чтобы оценить нормальность выборки, воспользуемся критерием Пирсона. Использование критерия Пирсона возможно при большом числе измерений (n > 50).

Критерий Пирсона заключается в вычислении величины ч2 (хи-квадрат):

ч2 = ?((mi - Ni)2 / Ni) = ? ((mi - nPi)2 / nPi), (12)

где mi, Ni - экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения;

l - число интервалов разбиения;

Pi - значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; n = ? mi.

При n ? случайная величина ч2 имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы k = l-1-r, где r - число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения r=2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров - математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения ч2 меньше определённого из таблицы значения чq2, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Если же ч2 выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

В качестве нулевой гипотезы H0 принимаем гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону N(a,у).

Для применения критерия Пирсона найдём наибольшее и наименьшее значения выборки:

a=min(y1,…,yn)=100,37;

b=max(y1,…,yn)=150,77.

Интервал [a,b] разобьём на l интервалов длиной h:

l=1+3,32lgn=1+3,32lg70=6,94.

h=(b-a)/l=(543,63-132,83)/7=7,2.

Таблица 4 - Расчёт математического ожидания и дисперсии выборки n=70

№ п/п i	Интервал	Час-тота mi	Час- тость pi=mi/n	Среднее значение интервала Xi	Xipi	Центри-рованное значение xi=Xi-mx	xi2	xi2pi
1	[100,37; 114,77)	12	0,171	107,570	18,441	-17,846	318,470	54,595
2	[114,77;121,97)	12	0,171	118,370	20,292	-7,046	49,642	8,510
3	[121,97;129,17)	22	0,314	125,570	39,465	0,154	0,024	0,007
4	[129,17;136,37)	13	0,186	132,770	24,657	7,354	54,086	10,044
5	[136,37;150,77)	11	0,157	143,570	22,561	18,154	329,578	51,791
?		70	1		125,416			124,948

По результатам таблицы получаем:

Математическое ожидание:

mx*=? Xipi; (13)

mx*=125,47.

Дисперсия:

Dx=? xi2pi; (14)

Dx=101,44.

Среднее квадратическое отклонение:

у=vDx (15)

у=v101,44=10,07.

Для вычисления ч2 составим таблицу , в которой:

Pi = F(zi+1)-F(zi),

где F - функция нормального распределения, равная

F(z) = Ф[(zв-mx)/уx] - Ф[(zн-mx)/ уx]. (16)

Р1=Ф[(114,77-107,57)/10,07]-Ф[(100,37-107,57)/ 10,07]=0,171;

Р2= Ф[(121,97-107,57)/10,07]-Ф[(114,77-107,57)/ 10,07]=0,207;

Р3= Ф[(129,17-107,57)/10,07]-Ф[(121,97-107,57)/ 10,07]=0,255;

Р4= Ф[(136,37-107,57)/10,07]-Ф[(129,17-107,57)/ 10,07]=0,203;

Р5= Ф[(150,77-107,57)/10,07]-Ф[(136,37-107,57)/ 10,07]=0,164;

Таблица 5 - Статистическая проверка гипотезы нормальности распределения результатов измерений

№ п/п i	Интервал	Частота mi	Pi	nPi	(mi-nPi)2/nPi
1	[100,37; 114,77)	12	0,171	11,977	0,000
2	[114,77;121,97)	12	0,207	14,504	0,432
3	[121,97;129,17)	22	0,255	17,836	0,972
4	[129,17;136,37)	13	0,203	14,238	0,108
5	[136,37;150,77)	11	0,164	11,445	0,017
?		70			1,529

Из таблицы ч2=1,529

Число степеней свободы k=6-1-2=3. При уровне значимости б=0,05 получаем чq2(0,05;3)=7,8.

Так как ч2=1,529<чq2(0,05;3)=7,8, то можно сделать вывод о том, что нулевая гипотеза H0 принимается при уровне значимости 0,05

1.2.4 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий этих двух выборок при условии равенства их генеральных дисперсий

Проверим нулевую гипотезу H0: M(Y1)=M(Y2) на уровне значимости 0,05 для двух выборок n=15 и m=70.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

(17)

Критерий Z - нормированная нормальная случайная величина, так как М(Z)=0, при справедливости нулевой гипотезы (Z)=1. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай: нулевая гипотеза H0: M(Y1)=M(Y2). Конкурирующая гипотеза H1: M(Y1)?M(Y2). В этом случае строим двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости 0,05

По таблице функции Лапласа находим критическую точку по равенству

(18)

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу, если - нулевую гипотезу отвергают.

Найдем для наших выборок:

=(119,92-125,59)/v(73,55/15-110,52/70) = -3,11

По таблице находим

Так как |Zнабл|>Zкр нулевую гипотезу отвергаем на уровне значимости 0,05.

Второй случай: нулевая гипотеза H0: M(Y1)=M(Y2). Конкурирующая гипотеза H1: M(Y1)>M(Y2). В этом случае строим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости 0,05

Найдем .

= -3,11

По таблице функции Лапласа находим критическую точку по равенству

Так как |Zнабл|>Zкр нулевую гипотезу отвергаем на уровне значимости 0,05, следовательно Y2>Y1

1.2.5 Оценка доверительного интервала для среднего первой выборки на основе данных второй выборки

Чтобы оценить доверительный интервал для среднего 1-ой выборки, используя данные 2-ой выборки, воспользуемся формулой:

(19)

Причём у используем из 2-ой выборки, а остальные параметры из 1-ой выборки, т.е.: n=15, г=0,95.

Используя таблицу функции , находим, что при xг=1,96.

119,92 - 1,96*10,07/v15 < a < 119,92 + 1,96*10,07/v15

114,82 < a < 125,02.

C надежностью 0,95 параметр а находится в интервале:

114,82 < a < 125,02.

2. Двумерные случайные величины

2.1 Выбор двух функций и построение корреляционного поля

Корреляционное поле используется для выявления и демонстрации зависимостей между двумя связанными наборами данных и для подтверждения предполагаемых зависимостей между ними. Корреляционное поле представляет графически исследуемые зависимости между двумя связанными наборами данных. Корреляционное поле показывает пары чисел как скопление точек. Зависимости между связанными наборами данных устанавливают по форме этих скоплений. Для экспериментального изучения зависимости между величинами проведем 50 опытов. Результат каждого опыта дает пару значений (Y2 , Y3).Положительная зависимость между Y2 и Y3 означает, что увеличение значений Y2 связано с увеличением значений Y3. При отрицательной зависимости увеличение Y2 связано с уменьшением Y3.

Таблица 6 - Значения У2 и У3 при постоянных уровнях всех действующих факторов - 4

У1	У3	У1	У3	У1	У3	У1	У3	У1	У3
107,37	119,8	120,17	130,6	133,77	159,2	130,97	151,4	140,77	149,2
123,17	136,6	116,17	139,6	127,97	138,4	112,37	130,8	129,97	146,4
123,57	143	125,57	135	134,37	145,8	127,37	148,8	133,77	143,2
133,97	133,97	112,77	130,2	145,77	152,2	115,17	134,6	115,77	133,2
139,77	153,2	102,77	127,2	109,37	120,8	123,57	142	123,57	135
115,37	140,8	120,17	133,6	115,57	134	132,77	146,2	117,57	139
127,97	143,4	120,37	143,8	142,77	151,2	127,57	139	133,37	149,8
134,37	140,8	131,37	144,8	138,37	146,8	128,77	144,2	141,77	152,2
132,77	157,2	121,57	142	131,77	150,2	135,97	156,4	131,37	150,8
108,37	117,8	115,17	128,6	119,17	130,6	134,97	152,4	136,37	151,8

Строим корреляционное поле.

Рисунок 1 - Корелляционное поле Y2 и Y3

Коэффициент корреляции находится по формуле:

СКО вычисляем так:

(21)

Так как коэффициент близок к +1 можем сделать вывод о существовании положительной линейной корреляционной зависимости между величинами.

2.2 Изучение зависимости выбранного Y от одного из факторов Х

Значения Y2 сводим в таблицу, изменяя значение фактора X3=0, X3=1, X3=2.

Таблица 7 - Значения У2 при Х3

№	Х1=0	Х1=1	Х1=2
1	14,27	57,37	100,77
2	28,37	58,17	74,17
3	11,97	64,57	111,37
4	30,37	70,37	93,37
5	26,47	38,57	86,47
6	26,37	49,77	79,17
7	3,97	60,57	93,07
8	16,27	59,57	98,77
9	4,87	57,77	95,37
10	17,87	62,57	92,77
11	5,97	46,57	109,67
12	17,37	42,57	78,17
13	21,47	53,77	73,17
14	28,37	27,37	100,07
15	34,37	35,37	95,47
16	13,07	39,57	86,37
17	1,97	53,97	89,47
18	24,47	41,57	85,47
19	29,37	40,77	95,37
20	15,07	43,77	90,07

2.2.1 Условные средние Y для фиксированных значений Х

Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений по формуле (1):

(Х=0)= 18,62;

(Х=1)= 50,23;

(Х=2)= 91,43;

2.2.2 Условные дисперсии Y для фиксированных значений Х

Вычисляем дисперсии результатов наблюдений по формуле (2):

D(X=0) =95,31;

D(X=1) =127,71;

D(X=2) =107,92;

2.2.3 Построение линии регрессии эмпирической и приближенной

Рисунок 2 - Линии регрессии Y2 по X3

2.2.4 Линии регрессии У2 по Х3

Уравнение регрессии (21) можно определить с помощью коэффициентов b0 (22) и b1 (23).

= b0 + b1·х

b0 =17,02;

b1 =36,41;

Уравнение регрессии принимает вид:

= 168,44+45,94x.

Рисунок 3 - Линия эмпирической регрессии Y2 по X3

3. Дисперсионный анализ и планирование эксперимента

3.1 Краткое описание продукции. Наименования факторов (Х) и показателей качества (Y)

На заводе по производству бетонных плит требуется подобрать оптимальный состав смеси для изготовления качественных изделий.

Исследуемыми показателями качества (ПК) выбраны:

У1 - теплопроводность, Вт/(м·°С);

У2 - прочность, МПа.

Исследование проводится с целью выявления влияния на ПК следующих факторов:

- х1 (А) - модуль крупности песка;

А0 - 2,2;

А1 - 2,3;

А2 - 2,4;

А3 - 2,5;

А4 - 2,6;

- х2 (B) - вид крупного заполнителя;

В0 - щебень из обычной природной пемзы;

В1 - щебень из ракушечника;

В2 - шлаковая пемза;

В3 - керамзитовый гравий средний;

В4 - керамзитовый гравий крупный.

- х3 (C) - вид цемента;

С0 - портландцемент М400;

С1 - портландцемент М500;

С2 - портландцемент М600;

С3 - шлакопортландцемент М400;

С4 - шлакопортландцемент М500.

- х4 (D) - вид добавки;

D0 - пластифицирующая;

D1 - вохдухововлекающая;

D2 - пластифицирующая-воздухововлекающая;

D3 - газообразующая;

D4 - для повышения морозостойкости;

- х5 (E) - количество добавки;

E0 - 0,1 %;

E1 - 0,15 %;

E2 - 0,2 %;

E3 - 0,25 %;

E4 - 0,3%;

- x6 (F) - температура твердения;

F0 - 20°С;

F1 - 30°С;

F2 - 40°С;

F3 - 50°С;

F4 - 60°С;

Постоянными для данной модели эксперимента считаем показатели:

- x7 - способ приготовления смеси - в автобетоносмесителе;

- х8 - водоцементное отношение - 0,45;

- х9 - цех №2.

- х10 - вода по Гост 23732.

Для оптимизации производства бетонной смеси будем использовать статистическую модель эксперимента - гипергреко-латинский квадрат 5х5 (4-го порядка). По этой модели проводится эксперимент из 25 опытов. Такая модель наиболее оптимальна для данного количества факторов, то есть позволяет учесть максимальное количество сочетаний факторов при минимальном количестве опытов.

3.2 Составление плана эксперимента

В данной курсовой работе планом эксперимента является гипергреко-латинский квадрат 5х5 (4 порядка), представленный в таблице 8.

Таблица 8 - План эксперимента

	В0	В1	В2	В3	В4
А0	С0	D0	С1	D1	С2	D2	С3	D3	С4	D4
	E0	K0	E1	K1	E2	K2	E3	K3	E4	K4
А1	С1	D2	С2	D3	С3	D4	С4	D0	С0	D1
	E3	K4	E4	K0	E0	K1	E1	K2	E2	K3
А2	С2	D4	С3	D0	С4	D1	С0	D2	С1	D3
	E1	K3	E2	K4	E3	K0	E4	K1	E0	K2
А3	С3	D1	С4	D2	С0	D3	С1	D4	С2	D0
	E4	K2	E0	K3	E1	K4	E2	K0	E3	K1
А4	С4	D3	С0	D4	С1	D0	С2	D1	С3	D2
	E2	K1	E3	K2	E4	K3	E0	K4	E1	K0

3.3 Составление матрицы эксперимента и графика его выполнения

случайный величина двумерный дисперсия

Таблица 9 - матрица эксперимента

	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	Y1	Y2
1	0	0	0	0	0	0	1	1	1
2	0	1	1	1	1	1	1	1	1
3	0	2	2	2	2	2	1	1	1
4	0	3	3	3	3	3	1	1	1
5	0	4	4	4	4	4	1	1	1
6	1	0	1	2	3	4	1	1	1
7	1	1	2	3	4	0	1	1	1
8	1	2	3	4	0	1	1	1	1
9	1	3	4	0	1	2	1	1	1
10	1	4	0	1	2	3	1	1	1
11	2	0	2	4	1	3	1	1	1
12	2	1	3	0	2	4	1	1	1
13	2	2	4	1	3	0	1	1	1
14	2	3	0	2	4	1	1	1	1
15	2	4	1	3	0	2	1	1	1
16	3	0	3	1	4	2	1	1	1
17	3	1	4	2	0	3	1	1	1
18	3	2	0	3	1	4	1	1	1
19	3	3	1	4	2	0	1	1	1
20	3	4	2	0	3	1	1	1	1
21	4	0	4	3	2	1	1	1	1
22	4	1	0	4	3	2	1	1	1
23	4	2	1	0	4	3	1	1	1
24	4	3	2	1	0	4	1	1	1
25	4	4	3	2	1	0	1	1	1

После составления матрицы эксперимента составляют график выполнения самих экспериментов, где случайным образом (рандомизация) назначают их даты проведения. График выполнения экспериментов приведен в приложении А.

3.4 Проведение модульного эксперимента с назначенными значениями факторов

Согласно графику были проведены эксперименты и заполнена матрица эксперимента, представленная в таблице 9.

Матрица эксперимента представлена в таблице 10.

Таблица 10 - Модель эксперимента.

	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	Y2	Y2
1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	24,967	29,17
2	0	1	1	1	1	1	1	1	1	42,567	44,77
3	0	2	2	2	2	2	1	1	1	84,367	68,37
4	0	3	3	3	3	3	1	1	1	126,17	99,47
5	0	4	4	4	4	4	1	1	1	177,57	134,17
6	1	0	1	2	3	4	1	1	1	44,467	52,67
7	1	1	2	3	4	0	1	1	1	161,3	129,67
8	1	2	3	4	0	1	1	1	1	110,47	94,67
9	1	3	4	0	1	2	1	1	1	70,933	56,47
10	1	4	0	1	2	3	1	1	1	41,167	64,87
11	2	0	2	4	1	3	1	1	1	40,167	39,17
12	2	1	3	0	2	4	1	1	1	121,23	65,37
13	2	2	4	1	3	0	1	1	1	203,23	121,57
14	2	3	0	2	4	1	1	1	1	165,6	131,27
15	2	4	1	3	0	2	1	1	1	102,9	121,77
16	3	0	3	1	4	2	1	1	1	206,8	123,87
17	3	1	4	2	0	3	1	1	1	80,833	37,37
18	3	2	0	3	1	4	1	1	1	72,333	72,37
19	3	3	1	4	2	0	1	1	1	231,47	214,37
20	3	4	2	0	3	1	1	1	1	122,1	91,87
21	4	0	4	3	2	1	1	1	1	224,33	126,87
22	4	1	0	4	3	2	1	1	1	267,97	194,17
23	4	2	1	0	4	3	1	1	1	177,9	122,77
24	4	3	2	1	0	4	1	1	1	139,47	84,67
25	4	4	3	2	1	0	1	1	1	227,87	170,07

Для удобства вычислений проведем масштабирование значений Y2 с учетом номинальных значений по формулам

у2i,испр = у2i/150 (24)

у3i,испр = (у3i +500)/20 (25)

Полученные значения представлены в таблице 11:

Таблица 11 - масштабированные значения Y2и Y3

№	Y2, Вт/м?С	Y3, Мпа
1	0,1664	26,4585
2	0,2838	27,2385
3	0,5624	28,4185
4	0,8411	29,9735
5	1,1838	31,7085
6	0,2964	27,6335
7	1,0753	31,4835
8	0,7364	29,7335
9	0,4729	27,8235
10	0,2744	28,2435
11	0,2678	26,9585
12	0,8082	28,2685
13	1,3549	31,0785
14	1,104	31,5635
15	0,686	31,0885
16	1,3787	31,1935
17	0,5389	26,8685
18	0,4822	28,6185
19	1,5431	35,7185
20	0,814	29,5935
21	1,4956	31,3435
22	1,7864	34,7085
23	1,186	31,1385
24	0,9298	29,2335
25	1,5191	33,5035

3.5 Дисперсионный анализ гипергреко-латинского квадрата

Дисперсионный анализ проводим по следующему алгоритму:

1) Находим итоги по строкам - Аi;

2) Находим итоги по столбцам - Вj;

3) Находим итоги по латинской букве - Сq, Dl, Еh, Кp;

4) Считаем сумму квадратов всех наблюдений по формуле

; (26)

5) Считаем сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюдений в строке по формуле

; (27)

6) Считаем сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце по формуле

; (28)

7) Считаем сумму квадратов итогов по латинской букве, деленную на число наблюдений по формуле

; (29)

8) Считаем квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений в квадрате по формуле

; (30)

9) Считаем общую сумму квадратов по формуле

; (31)

10) Считаем суммы квадратов для Х1 (А), Х2 (В), Х3 (С), Х4 (D), Х5 (Е), Х6 (К):

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

11) Считаем остаточную сумму квадратов по формуле

(38)

12) Считаем дисперсии факторов Х1 (А), Х2 (В), Х3 (С), Х4 (D), Х5 (Е), Х6 (К):

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

13) Считаем дисперсию ошибки по формуле

(45)

14) Составляем таблицу дисперсионного анализа

15) Находим наблюдаемые значения критерия Фишера по каждому фактору:

 (46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

16) Определяем критическое значение критерия Фишера в соответствии со степенями свободы и проводим сравнение

(52)

Проведем дисперсионный анализ по Y2.

Таблица 12

	В0	В1	В2	В3	В4	Ai
А0	0,17	0,28	0,56	0,84	1,18	3,04
А1	0,30	1,08	0,74	0,47	0,27	2,86
А2	0,27	0,81	1,35	1,10	0,69	4,22
А3	1,38	0,54	0,48	1,54	0,81	4,76
А4	1,50	1,79	1,19	0,93	1,52	6,92
Вi	3,60	4,49	4,32	4,89	4,48	?=21,79

Таблица 13 - Итоги по латинской букве

	0	1	2	3	4
Сq	3,814	3,995	3,649	5,284	5,046
Dl	3,448	4,222	4,021	4,580	5,518
Eh	3,058	3,026	4,684	5,093	5,928
Kp	5,659	4,434	4,886	3,108	3,700

Далее произведем расчеты в соответствии с перечислениями 4 - 16:

SS1=24,34;

SS2=21,13;

SS3=19,17;

SS4С=19,44;

SS4D=19,46;

SS4Е=20,3;

SS4К=19,78;

SS5=18,99;

SSобщ=5,36;

SSА=2,15;

SSВ=0,18;

SSС=0,45;

SSD=0,47

SSЕ=1,315;

SSК=0,79;

SSост=0,00;

Таблица 14 - Таблица дисперсионного анализа по Y2

Источник дисперсии	f	Сумма квадратов	Средний квадрат
А	4	2,145	0,536
В	4	0,177	0,044
С	4	0,452	0,113
D	4	0,471	0,118
Е	4	1,315	0,329
К	4	0,794	0,199
ост	0,00	0,000	0,000
общ	24	5,355

Для дальнейших расчетов необходимо пересчитать остаточную сумму квадратов и дисперсию ошибки без учета фактора В по формулам (38), (45)

SSост=1,18;

Далее считаем наблюдаемые значения критерия Фишера по каждому фактору в соответствии с перечислением пункта 15:

F1=12,12;

F2=1,00;

F3=2,55;

F4=2,66;

F5=7,43;

F6=4,49.

По таблице находим критическое значение критерия Фишера

Произведем сравнения:

- 12,12>6,39 - факторное влияния есть;

- 1,00<6,39 - факторного влияния нет;

- 2,55<6,39 - факторного влияния нет;

- 2,66<6,39 - факторного влияния нет;

- 7,43>6,39 - факторное влияния есть;

- 4,49<6,39 - факторного влияния нет.

Таким образом влияние на теплопроводность бетонных плит оказывают:

- модуль крупности песка;

- количество добавки.

Произведем дисперсионный анализ по Y3.

Таблица 15

	В0	В1	В2	В3	В4	Ai
А0	26,46	27,24	28,42	29,97	31,71	143,80
А1	27,63	31,48	29,73	27,82	28,24	144,92
А2	26,96	28,27	31,08	31,56	31,09	148,96
А3	31,19	26,87	28,62	35,72	29,59	151,99
А4	31,34	34,71	31,14	29,23	33,50	159,93
Вi	143,59	148,57	148,99	154,31	154,14	?=749,59

Таблица 16 - Итоги по латинской букве

	0	1	2	3	4
Сq	149,593	152,818	145,688	152,673	148,823
Dl	143,283	146,988	147,988	152,508	158,828
Eh	143,383	144,143	151,993	152,988	157,088
Kp	158,243	149,473	153,233	143,183	145,463

Далее произведем расчеты в соответствии с перечислениями 4 - 16:

SS1=22618,01;

SS2=22509,13;

SS3=22491,53;

SS4С=22482,59;

SS4D=22504,04;

SS4Е=22503,79;

SS4К=22504,69;

SS5=22475,56;

SSобщ=142,46;

SSА=33,58;

SSВ=15,97;

SSС=7,04;

SSD=28,49;

SSЕ=28,24;

SSК=29,14;

SSост=0,00;

Таблица 17 - Таблица дисперсионного анализа Y2

Источник дисперсии	f	Сумма квадратов	Средний квадрат
А	4	33,576	8,394
В	4	15,976	3,994
С	4	7,040	1,760
D	4	28,486	7,121
Е	4	28,239	7,060
К	4	29,140	7,285
ост	0,00	0,000	0,000
общ	24	142,457

Для дальнейших расчетов необходимо пересчитать остаточную сумму квадратов и дисперсию ошибки без учета фактора D по формулам (38), (45):

SSост= 7,04;

Далее считаем наблюдаемые значения критерия Фишера по каждому фактору в соответствии с перечислением пункта 15:

F1=4,78;

F2=2,27;

F3=1,00;

F4=4,05;

F5=4,01;

F6=4,14.

По таблице находим критическое значение критерия Фишера

Произведем сравнения:

- 4,78<6,39 - факторного влияния нет;

- 2,27<6,39 - факторного влияния нет;

- 1,00<6,39 - факторного влияния нет;

- 4,05<6,39 - факторного влияния нет;

- 4,01<6,39 - факторного влияния нет;

- 4,14<6,39 - факторного влияния нет.

3.6 Анализ по критерию Дункана

Необходимо провести анализ по критерию Дункана для ПК Y2, так как при расчете по этому показателю присутствует факторное влияние х1, х5. Проверим, какие градации этих факторов дают наибольшее различие.

По таблице критерия Дункана выписываем значения рангов числом

n-1=4 c уровнем значимости 0,05. Затем умножаем ранги на значение S, которое находится по формуле:

 (53)

Таблица 18 - Таблица критерия Дункана для Y2

	0	1	2	3	4
Значение ранга	-	3,98	4,01	4,02	4,02
Критерий Дункана (S=0,188)	-	0,74824	0,75388	0,75576	0,75576

Проведем анализ по критерию Дункана по фактору х1.

Определим средние значения по градациям и расположим их в порядке возрастания:

x1(1) = 0,5711,

х1(0) = 0,6075,

х1(2) = 0,8442,

х1(3) = 0,9514,

х1(4) = 1,3834.

Найдем разности и сравним их с критериями Дункана:

- х1(4) - х1(1) = 0,8123 > 0,74824 значимая разность;

- х1(4) - х1(0) = 0,7759 > 0,75576 значимая разность;

- х1(4) - х1(2) = 0,5392 < 0,75388 незначимая разность;

- х1(4) - х1(3) = 0,432 < 0,75576 незначимая разность.

- х1(3) - х1(1) = 0,3803 < 0,74824 незначимая разность;

- х1(3) - х1(0) = 0,3439 < 0,75576 незначимая разность;

- х1(3) - х1(2) = 0,1072 < 0,75388 незначимая разность;

- х1(2) - х1(1) = 0,2731 < 0,74824 незначимая разность;

- х1(2) - х1(0) = 0,2367 < 0,75388 незначимая разность;

- х1(0) - х1(1) = 0,0364 > 0,74824 незначимая разность.

Фактор А (х1 - модуль крупности песка) на всех градациях не является значимым.

Проведем анализ по критерию Дункана по фактору х5.

Определим средние значения по градациям и расположим их в порядке возрастания:

х5(1) = 0,61,

х5(0) = 0,60,

х5(2) = 0,94,

х5(3) = 29,6349,

х5(4) = 30,9509.

Найдем разности и сравним их с критериями Дункана:

- х5(4) - х5(1) = 0,58 < 0,74824 незначимая разность;

- х5(4) - х5(0) = 0,57 < 0,75576 незначимая разность;

- х5(4) - х5(2) = 0,25 < 0,75388 незначимая разность;

- х5(4) - х5(3) = 0,17 < 0,75576 незначимая разность.

- х5(3) - х5(1) = 0,41 < 0,74824 незначимая разность;

- х5(3) - х5(0) = 0.41 < 0,75576 незначимая разность;

- х5(3) - х5(2) = 0,08 < 0,75388 незначимая разность;

- х5(2) - х5(1) = 0,33 < 0,74824 незначимая разность;

- х5(2) - х5(0) = 0,32 < 0,75388 незначимая разность;

- х5(0) - х5(1) = 0,01 < 0,74824 незначимая разность.

Фактор Е (х5 - количество добавки) на всех градациях не является значимым

Список литературы

1. Воскобойников Ю. Е. Математическая статистика: учебное пособие/ Ю. Е. Воскобойников, Е. И. Тимошенко. - Новосибирск: НГАСУ, 2000.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов /В.Е Гмурман. - М.: Высш. шк., 1997. - 480 с.

3. Сергеев А. Г. Метрология: учебное пособие/ А. Г. Сергеев, В. В, Крохин. - М.: Логос, 2000. - 408 с.

4. Ахназарова С. Л. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: учебное пособие/ Ахназарова С. Л., Кафаров В. В. - М.: Высш. шк., 1985.- 327 с., ил.

5. ГОСТ Р 1.5. Государственная система стандартизации РФ. Стандарты. Общие требования к построению, изложению, оформлению, содержанию и обозначению. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 2004.

Размещено на Allbest.ru