Экономико-математические методы и прикладные модели

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

· определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида;

· оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 денежных единиц, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых видов продукции А, Б, В, Г, Д соответственно как х1, х2, х3, х4, х5 . Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий -- 3. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):

(для копирования снимка окна в буфер обмена данных используется комбинация клавиш Alt + Print Screen).

Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(0; 0; 400; 550). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=9000 (прил. 1).

Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x3*=400 изделий В, x4*=550 изделий Д и не производить изделия А и Б (x1*=0 и x2*=0).

2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III как y1, y2, y3 соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи -- 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y1*=3; y2*=1,5; y3*=0.

Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи

совпадает (в пределах погрешности округления) с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*).

3. Выпуск изделий А и Б невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что стоимость ресурсов на изготовление единицы этой продукции в теневых ценах превышает цену реализации:

Продукция А:

Продукция Б:

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y2*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y1*=3); следующим по дефицитности идет ресурс II (y2*=1,5).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I, II сдерживают рост объемов выпускаемой продукции и наибольшей выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 3ден.ед., увеличение объема ресурса II на единицу -- на 1,5 ден.ед.

Ресурс III является недефицитными (y3*=0), т. е. избыточными в оптимальном плане. Увеличение объемов этих ресурсов не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:

При этом «новая» наибольшая выручка составит

оптимизация линейный математический анализ

Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:

Следовательно, продукцию Д выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции. Это, в свою очередь, препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие Д реализовывалось по цене равной или большей 12 руб., то его производство было бы выгодным.

ПРИЛОЖЕНИЕ:

1) рабочий лист EXCEL;

2) «Отчет по устойчивости».

ЗАДАЧА 3

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Решение. Для решения задачи используем табличный процессор EXCEL.

1. Матрица коэффициентов прямых затрат A является квадратной матрицей порядка n=3. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат

,

где -- единичная матрица порядка n=3. С помощью встроенной функции EXCEL «МОБР» получим (см. прил.):

Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат B неотрицательны, следовательно матрица коэффициентов прямых затрат A продуктивна.

2. Вычисляем вектор валовой продукции X по формуле . С помощью встроенной функции EXCEL «МУМНОЖ» получим (см. прил.):

Распределение продукции между предприятиями (внутреннее потребление) определяется из соотношения . Получим (см. прил.):

Заполняем схему баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга:

ПРИЛОЖЕНИЕ: рабочий лист EXCEL с исходными данными и схемой баланса.

ЗАДАЧА 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен в таблице:

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( -- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить адаптивную линейную модель Брауна Пункт 3 выполняют только студенты специальности 060400 -- «Финансы и кредит»..

4. Оценить адекватность линейной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70 %).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение. 1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика

,

где -- стандартное отклонение уровней ряда.

Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: Sy6,73 млн. руб. (прил. 1). Расчет значений ?t для всех уровней ряда, начиная со второго, приведен в прил. 1. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости =0,05 и длины временного ряда n=9 составляет =1,5. Видно, что ни одно из значений t не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.

2. Линейную трендовую модель строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис»):

Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты» в прил. 1):

.

Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю уменьшается в среднем на 0,4 млн. руб.

Коэффициент детерминации уравнения R20,967 (см. «R-квадрат» в прил. 1) превышает критическое значение для =0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значение R2 показывает, что изменение спроса во времени на 96,7 % описывается линейной моделью.

4. Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса , остатки и их график были получены в EXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 1).

Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда остатков сравниваем с двумя соседними -- предыдущим и последующим. Если этот уровень одновременно больше или одновременно меньше обоих соседних уровней, то точка считается поворотной (на графике остатков такие уровни выглядят как «пики» и «впадины»). В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=5.

Критическое число поворотных точек для =0,05 и n=9 определяется по формуле

Так как , остатки признаются случайными.

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Для расчета d_статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n-1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

d_статистика имеет значение (см. прил. 1):

.

Критические значения d_статистики для =0,05 и n=9 составляют: d1=0,82; d2=1,32. Так как выполняется условие

,

остатки признаются независимыми (автокорреляция остатков не выявлена).

Проверим независимость остатков также и по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 1):

.

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n-1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

Критическое значение коэффициента автокорреляции для =0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю:

(определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 1). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю не отклоняется.

Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

,

где emax=0,98; emin=(-0,82) -- наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»);

-- стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»; см. прил. 1).

Критические границы R/S-критерия для =0,05 и n=9 заданы условием имеют табулированные границы: (R/S)1=2,7 и (R/S)2=3,7. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей.

Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.

5. Оценим точность линейной модели. Стандартная ошибка модели Sмод была определена одновременно с ее построением (см. «Стандартная ошибка» в прил. 1):

млн. руб.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по приближенной формуле:

%,

где млн. руб. -- средний уровень временного ряда (определен с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 1).

Значение Eотн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 1,19 %. Модель имеет высокую точность.

6. Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед.

Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):

1) Точечный прогноз :

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 15,23 млн. руб.

2) Интервальный прогноз с надежностью (доверительной вероятностью) =0,7:

млн. руб.,

где tтаб=1,12 -- табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной вероятности =0,7 и числа степеней свободы ; Kпр=1,24 -- коэффициент интервального прогноза для n=9 и k=1.

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 14,49 до 15,97 млн. руб.

Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):

1) Точечный прогноз:

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 14,83 млн. руб.

2) Интервальный прогноз с надежностью =0,7:

млн. руб.,

где Kпр=1,31 -- коэффициент интервального прогноза для n=9 и k=2.

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 14,05 до 15,61 млн. руб.

7. График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма» EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t» и «yt» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:

Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» «Добавить линию тренда…» «Линейная»), и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R2:

Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (см. прил. 2).

Размещено на Allbest.ru