Исследование задач математического анализа в Maple

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: «Исследование задач математического анализа в Maple»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Структура окна Maple

1.2. Арифметические операции

1.2.1. Математические константы и арифметические операции

1.2.2. Комплексные, целые и рациональные числа

1.3. Синтаксис команд. Стандартные функции

1.3.1. Синтаксис команд

1.3.2. Стандартные функции

1.4. Математический анализ

1.4.1. Вычисление пределов

1.4.2. Дифференцирование

1.4.2.1. Вычисление производных

1.4.2.2. Дифференциальный оператор

1.4.3. Исследование функции

1.4.3.1. Непрерывность функции и точки разрыва

1.4.3.2. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции

1.4.3.3. Исследование функции по общей схеме

1.4.3.4. Построение графика

1.4.4. Интегрирование

1.4.4.1. Аналитическое и численное интегрирование

1.4.4.2. Интегралы, зависящие от параметра

1.4.4.3. Обучение основным методам интегрирования

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Вычисление пределов с помощью пакета Maple

2.1.1. Основные определения

2.1.2. Методы вычисления пределов

2.2. Использование на непрерывность с помощью пакета Maple

2.2.1. Основные определения

2.2.2. Приемы исследования функций на непрерывность

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Цель данных курсовой работы - изучить и познакомится с математическим пакетом MAPLE, научиться, как с помощью этого пакета решать задачи, возникающие при изучении стандартного курса математического анализа для инженерных специальностей.

Настороженное отношение к использованию компьютерных технологий в изучении математических дисциплин связано прежде всего с далеко не наивным вопросом - не заменит ли “нажатие клавиш” творческий процесс постижения фундаментальных основ изучаемых дисциплин? Авторы убеждены, что, если рассматривать математические пакеты как мощные вычислительные средства, помогающие избежать рутинных вычислений и освобождающие тем самым время для более серьезного, качественного подхода к изучаемому курсу, как средства, позволяющие наглядно демонстрировать глубокие математические результаты (например, сходимость рядов Фурье), такой замены не произойдет. Кроме прививания глубоких теоретических знаний, преподаватели должны научить будущих инженеров при необходимости за короткое время получать ответ на вычислительные задачи из математического анализа. Безусловно, студент, успешно изучивший курс математического анализа, будет в состоянии и через довольно продолжительный отрезок времени самостоятельно вычислить, например, какой-либо интеграл. Он будет вспоминать, какие замены переменных можно использовать для вычисления этого интеграла, или смотреть в справочниках. Но не лучше ли дать ему возможность мгновенно получить ответ.

В этой части работы рассматриваются задачи вычисления пределов (включая односторонние пределы), исследования на непрерывность и вычисления производных функций одной переменной. Все разделы устроены по единой схеме. Сначала приводится краткий теоретический материал (как правило, основные определения), а затем на примерах показаны способы решения задач из соответствующих разделов «вручную» и с помощью пакета MAPLE.

maple арифметический математический экстремум интегрирование дифференцирование

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 СТРУКТУРА ОКНА Maple

Maple ? это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики.

Для того, чтобы запустить Maple, необходимо в Главном меню Windows выбрать в группе Программы название данного приложения: Maple.

Maple представляет собой типичное окно Windows, которое состоит из Строки названия, Основного меню, Панели инструментов, Рабочего поля и Строки состояния, а также Линейки и Полос прокрутки.

Вид фрагмента окна Maple (Рис.1), содержащего Строку названия, Основное меню, Панель инструментов:

Рис. 1. Фрагмент окна Maple

Пункты Основного меню:

File (Файл) ? содержит стандартный набор команд для работы с файлами, например: сохранить файл, открыть файл, создать новый файл и т.д.

Edit (Правка) ? содержит стандартный набор команд для редактирования текста, например: копирование, удаление выделенного текста в буфер обмена, отмена команды и т.д.

View (Вид) - содержит стандартный набор команд, управляющих

структурой окна Maple.

Insert (Вставка) - служит для вставки полей разных типов:

математических текстовых строк, графических двух и трехмерных изображений.

Format (Формат) - содержит команды оформления документа, например: установка типа, размера и стиля шрифта.

Options (Параметры) - служит для установки различных параметров ввода и вывода информации на экран, принтер, например, таких как качество печати.

Windows (Окно) - служит для перехода из одного рабочего листа в другой.

Help (Справка) - содержит подробную справочную информацию о Maple.

Работа в Maple проходит в режиме сессии - пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple. Рабочее поле разделяется на три части:

1) область ввода - состоит из командных строк. Каждая командная строка начинается с символа >;

2) область вывода - содержит результаты обработки введенных команд в виде аналитических выражений, графических объектов или сообщений об ошибке;

3) область текстовых комментариев - содержит любую текстовую информацию, которая может пояснить выполняемые процедуры.

Текстовые строки не воспринимаются Maple и никак не обрабатываются.

Для того, чтобы переключить командную строку в текстовую, следует на Панели инструментов нажать мышью на кнопку .

Обратное переключение текстовой строки в командную осуществляется нажатием на Панели инструментов на кнопку .

1.2 Арифметические операции. Целые и рациональные числа, константы в Maple

1.2.1 Математические константы и арифметические операции

Основные математические константы:

Pi - число ? ; I - мнимая единица i; infinity - бесконечность; Gamma - константа Эйлера; true, false - логические константы, обозначающие истинность и ложность высказывания.

Знаки арифметических операций:

+ - сложение; - - вычитание;

* - умножение; / - деление;

^ - возведение в степень; ! - факториал.

Знаки сравнения: <, >, >=,<=, <>, =.

1.2.2 Комплексные, целые и рациональные числа

Числа в Maple бывают действительные (real) и комплексные (compleх). Комплексное число записывается в алгебраической форме z=x+iy, и в командной строке такая запись должна выглядеть так: > z:=x+I*y;

Вещественные числа разделяются на целые и рациональные. Целые числа (integer) выражаются цифрами в десятичной записи.

Рациональные числа могут быть представлены в 3-х видах:

1) рациональной дроби с использованием оператора деления, например: 28/70;

2) с плавающей запятой (float), например: 2.3;

3) в показательной форме, например: 1,602*10^(-19) означает 1,602*10^-19.

Для того, чтобы получить рациональное число не в точной форме, а в виде приближенного значения (числа с плавающей запятой), следует дописывать к целой части числа .0. Пример:

> 75/4;

4

75

> 75/4.0;

18.75000000

В Maple можно записать буквы греческого алфавита в полиграфическом виде (Таблица 1). Для этого в командной строке набирается название греческой буквы.

Например, буква ? получится, если набрать alpha.

Таблица 1. Команды строчных греческих букв и их названий.

? - alpha

? - beta

? - gamma

? - delta

? - epsilon

? - zeta

? - eta

? - theta

? - ita

? - kappa

? - lambda

? - nu

? - mu

? -xi

? - pi

? - rho

? - sigma

? - upsilon

? - phi

? - chi

? - psi

? -omega

Заглавные греческие буквы можно записать, если набирать название греческой буквы с заглавной, например, чтобы получить ? , следует набрать Omega. Греческие буквы также можно набирать с помощью специального меню.

1.3 Синтаксис команд. Стандартные функции

1.3.1 Синтаксис команд

Стандартная команда Maple состоит из имени команды и ее параметров, указанных в круглых скобках: command(p1, p2, …). В конце каждой команды должен быть знак (;) или (:). Разделитель (;) означает, что в области вывода после выполнения этой команды будет сразу виден результат. Разделитель (:) используется для отмены вывода, то есть когда команда выполняется, но ее результат на экран не выводится.

Символ процента (%) служит для вызова предыдущей команды.

Этот символ играет роль краткосрочной замены предыдущей команды

с целью сокращения записи. Пример использования (%):

> a+b;

a+b

> %+c;

a+b+c.

Для присвоения переменной заданного значения используется знак присвоить (:=).

Когда программа Maple запускается, она не имеет ни одной команды, полностью загруженной в память. Большая часть команд имеют указатели их нахождения, и при вызове они загружаются автоматически. Другие команды находятся в стандартной библиотеке и перед выполнением обязательно должны быть вызваны командой readlib(command), где command - имя вызываемой команды.

Остальная часть процедур Maple содержится в специальных библиотеках подпрограмм, называемых пакетами. Пакеты необходимо подгружать при каждом запуске файла с командами из этих библиотек.

Имеется два способа вызова команды из пакета:

1) можно загрузить весь пакет командой with(package) где package - имя пакета;

2) вызов какой-нибудь одной команды command из любого пакета package можно осуществить, если набрать команду в специальном формате:

> package[command](options);

где вначале записывается название пакета package, из которого надо вызвать команду, а затем в квадратных скобках набирается имя самой команды command, и после чего в круглых скобках следуют параметры options данной команды.

К библиотекам подпрограмм Maple относятся, например, следующие пакеты: linalg - содержит операции линейной алгебры; geometry - решение задач планиметрии; geom3d - решение задач стереометрии; student - содержит команды, позволяющие провести поэтапное решение задачи в аналитическом виде с промежуточными вычисления.

1.3.2 Стандартные функции

Maple содержит огромное количество специальных функций (Таблица 2), таких, как Бесселевы функции, Эйлеровы бета- и гамма - функции, интеграл ошибок, эллиптические интегралы, различные ортогональные полиномы.

С помощью функции exp(x) определяется число

е=2.718281828… посредством записи exp(1).

Таблица 2. Стандартные функции Maple.

1.4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.4.1 Вычисление пределов

В Maple для некоторых математических операций существует по две команды: одна прямого, а другая - отложенного исполнения.

Имена команд состоят из одинаковых букв за исключением первой: команды прямого исполнения начинаются со строчной буквы, а команды отложенного исполнения - с заглавной. После обращения к команде отложенного действия математические операции (интеграл, предел, производная и т.д.) выводятся на экран в виде стандартной аналитической записи этой операции. Вычисление в этом случае сразу не производится. Команда прямого исполнения выдает результат сразу.

Для вычисления пределов имеются две команды:

1) прямого исполнения - limit(expr,x=a,par), где expr - выражение, предел которого следует найти, a - значение точки, для которой вычисляется предел, par - необязательный параметр для поиска односторонних пределов (left - слева, right - справа) или указание типа переменной (real - действительная, complex - комплексная).

2) отложенного исполнения - Limit(expr,x=a,par), где параметры команды такие же, как и в предыдущем случае. Пример действий этих команд:

С помощью этих двух команд принято записывать математические выкладки в стандартном аналитическом виде, например:



Односторонние пределы вычисляются с указанием параметров:

left - для нахождения предела слева и righ - справа. Например:

1.4.2 Дифференцирование

1.4.2.1 Вычисление производных

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

1) прямого исполнения - diff(f,x), где f - функция, которую следует продифференцировать, x - имя переменной, по которой производится дифференцирование.

2) отложенного исполнения - Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде . После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.

Пример:

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n - порядок производной; например:

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Полученное выражение можно упростить двумя способами:

1.4.2.2 Дифференциальный оператор

Для определения дифференциального оператора используется команда D(f) - f-функция. Например:

> D(sin);

cos

Вычисление производной в точке:

> D(sin)(Pi):eval(%);

-1

Оператор дифференцирования применяется к функциональным операторам

1.4.3 Исследование функции

Исследование функции необходимо начинать с нахождения ее области определения, но, к сожалению, это трудно автоматизируемая операция. Поэтому при рассмотрении этого вопроса приходится решать неравенства. Однако, ответить на вопрос, определена ли функция на всей числовой оси, или нет, можно исследовав ее на непрерывность.

1.4.3.1 Непрерывность функции и точки разрыва

Проверить непрерывность функции f(x) на заданном промежутке [x1,x2] можно с помощью команды iscont(f,x=x1..x2). Если функция f непрерывна на этом интервале, то в поле вывода появится ответ true - (истина); если функция f не является непрерывной на этом интервале, то в поле вывода появится ответ false - (ложь). В частности, если задать интервал x=-infinity..+infinity, то функция f будет проверяться на всей числовой оси. В этом случае, если будет

получен ответ true, то можно сказать, что функция определена и непрерывна на всей числовой оси. В противном случае следует искать точки разрыва. Это можно сделать двумя способами:

1) с помощью команды discont(f,x), где f - функция, исследуемая на непрерывность, x - переменная. Эта команда пригодна для нахождения точки разрыва первого и второго родов.

2) с помощью команды singular(f,x), где f - функция, x - переменная. Эта команда годится для нахождения точек разрыва второго рода как для вещественных значений переменной, так и для комплексных. Перед использованием этих команд их следует обязательно загрузить из стандартной библиотеки readlib(name), где name - имя любой из указанных выше команд.

Обе эти команды выдают результаты в виде перечисления точек разрыва в фигурных скобках. Тип такой записи называется set. Для того, чтобы в дальнейшем можно было использовать полученные значения точек разрыва, следует из типа set с помощью команды convert перевести их в обычный числовой тип.

1.4.3.2Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции

В Maple для исследования функции на экстремум имеется команда extrema(f,{cond},x,'s') , где f - функция, экстремумы которой ищутся, в фигурных скобках {cond} указываются ограничения для переменной, х - имя переменной, по которой ищется экстремум, в апострофах 's' - указывается имя

переменной, которой будет присвоена координата точки экстремума.

Если оставить пустыми фигурные скобки {}, то поиск экстремумов будет производиться на всей числовой оси. Результат действия этой команды относится к типу set. Пример:

В первой строке вывода приводится экстремум функции, а во второй строке вывода - точка этого экстремума.

К сожалению, эта команда не может дать ответ на вопрос, какая из точек экстремума есть максимум, а какая - минимум. Для нахождения максимума функции f(x) по переменной х на интервале

x [x1, x2] используется команда maximize(f,x,x=x1..x2), а для нахождения минимума функции f(x) по переменной х на интервале

x [x1, x2] используется команда minimize(f, x, x=x1..x2).

Если после переменной указать 'infinity' или интервал

x=-infinity..+infinity, то команды maximize и minimize будут искать, соответственно, максимумы и минимумы на всей числовой оси как во множестве вещественных чисел, так и комплексных. Если такие параметры не указывать, то поиск максимумов и минимумов будет производиться только во множестве вещественных чисел. Пример:

> maximize(exp(-x^2),{x});

1

Недостаток этих команд в том, что они выдают только значения функции в точках максимума и минимума, соответственно. Поэтому для того, чтобы полностью решить задачу об исследовании функции y=f(x) на экстремумы с указанием их характера (max или min) и координат (x, y) следует сначала выполнить команду:

> extrema(f,{},x,'s');s;

а затем выполнить команды maximize(f,x); minimize(f,x).

После этого будут полностью найдены координаты всех экстремумов и определены их характеры (max или min).

Команды maximize и minimize быстро находят абсолютные экстремумы, но не всегда пригодны для нахождения локальных экстремумов. Команда extrema вычисляет так же критические точки, в которых функция не имеет экстремума. В этом случае экстремальных значений функции в первой строке вывода будет меньше, чем вычисленных критических точек во второй строке

вывода. Выяснить характер найденного экстремума функции f(x) в точке x=x0 можно, если вычислить вторую производную в этой точке и по ее знаку сделать вывод: если f ??(x0 ) > 0 , то в точке x0 будет min, а если f ??(x0 ) < 0 ? то max.

В последней версии пакета аналитических вычислений Maple 6 описанный выше недостаток команд maximize и minimize устранен. Координаты точек максимума или минимума можно получить, если в параметрах этих команд после переменной записать через запятую новую опцию location. В результате в строке вывода после самого максимума (минимума) функции будут в фигурных скобках указаны координаты точек максимума (минимума). Например:

В строке вывода получились координаты минимумов и значения функции в этих точках.

Команды extrema, maximize и minimize обязательно должны быть загружены из стандартной библиотеки командой readlib(name), где name - имя загружаемой команды.

1.4.3.3 Исследование функции по общей схеме

1. Область определения функции f(x) - полностью может быть указана после исследования функции на непрерывность.

2. Непрерывность и точки разрыва функции f(x) исследуются по схеме:

> iscont(f, x=-infinity..infinity);

> d1:=discont(f,x);

> d2:=singular(f,x);

В результате наборам переменным d1и d2 будут присвоены значения x-координат в точках разрыва 1 и 2-го родов (если они будут найдены).

3. Асимптоты. Точки бесконечных разрывов определяют вертикальные асимптоты графика f(x). Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:

> yr:=d2;

Поведение функции f(x) на бесконечности характеризуется наклонными асимптотами (если они есть). Уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где коэффициенты вычисляются по формулам:

Аналогичные формулы для x > ?? . Поэтому нахождение наклонных асимптот можно провести по следующей схеме:

> k1:=limit(f(x)/x, x=+infinity);

> b1:=limit(f(x)-k1*x, x=+infinity);

> k2:=limit(f(x)/x, x=-infinity);

> b2:=limit(f(x)-k2*x, x=-infinity);

Часто оказывается, что k1=k2 и b1=b2, в этом случае будет одна асимптота при x > +? и при x > ?? . С учетом этого составляется уравнение асимптоты

> yn:=k1*x+b1;

4. Экстремумы. Исследование функции f(x) на экстремумы можно проводить по схеме:

> extrema(f(x), {}, x, 's');

> s;

> fmax:=maximize(f(x), x);

> fmin:=minimize(f(x), x);

После выполнения этих команд будут найдены координаты (x, y) всех максимумов и минимумов функции f(x).

1.4.3.4 Построение графика

Построение графика функции f(x) - это окончательный этап исследования функции. На рисунке помимо графика исследуемой функции f(x) должны быть нанесены все ее асимптоты пунктирными линиями, подписаны координаты точек max и min.

1.4.4 Интегрирование

1.4.4.1 Аналитическое и численное интегрирование

Неопределенный интеграл ? f (x)dx вычисляется с помощью 2-х

команд:

1) прямого исполнения - int(f, x), где f - подынтегральная

функция, x - переменная интегрирования;

2) отложенного исполнения - Int(f, x) - где параметры команды

такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла в командах int и Int добавляются пределы интегрирования, например,

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=

int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous:

int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой

evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e - точность вычислений (число знаков после запятой).

1.4.4.2 Интегралы, зависящие от параметра. Ограничения для

параметров

Если требуется вычислить интеграл, зависящий от параметра, то

его значение может зависеть от знака этого параметра или каких-либо

других ограничений. Рассмотрим в качестве примера интеграл , который, как известно из математического анализа, сходится при а>0 и расходится при а<0. Если вычислить его сразу, то получится:

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> a

Will now try indefinite integration and then take limits.



Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume(expr1), где expr1 - неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды

additionally(expr2), где expr2 - другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

После наложения ограничений на параметр Maple добавляет к его имени символ (~), например параметр a, на который были наложены некоторые ограничения, в сроке вывода будет иметь вид: a~.

Описание наложенных ограничений параметра a можно вызвать

командой about(a). Пример: наложить ограничения на параметр a

такие, что a>-1, a?3:

> assume(a>-1); additionally(a<=3);

> about(a);

Originally a, renamed a~:

is assumed to be: RealRange(Open(-1),3)

Вернемся к вычислению интеграла с параметром ,

которое следует производить в таком порядке:

> assume(a>0);

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

1.4.4.3 Обучение основным методам интегрирования

В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.

Формула интегрирования по частям:

Если обозначить подынтегральную функцию f=u(x)v'(x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u), где u - именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле

интегрирования по частям.

Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t ? новая переменная.

Обе команды intparts и changevar не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % - обозначают предыдущую строку.

Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student).

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Вычисление пределов с помощью пакета Maple

Пакет Maple предоставляет широкие возможности для вычисления пределов функций одной переменной как односторонних, так и двусторонних, в точке или в бесконечности.

Для вычисления двустороннего предела функции в точке следует в окне команд после приглашения Maple (“>”) ввести следующую команду:

limit(<функция>,<точка>);

здесь <функция> - некоторое выражение, содержащее переменную, например,

((x^2-2*x+1)/(x^3-x)),

а <точка> - значение переменной, при котором вычисляется предел, например,

x=0

После нажатия клавиши Enter команда будет обработана и Maple выведет ответ. Пример команды для нахождения этого предела:

limit(x^2+2*x+1,x=0);

Если требуется найти предел функции в бесконечности, в выражении <точка> следует написать

x=infinity или x=-infinity

взависимости от знака бесконечности, например,

limit(x^3+x,x=infinity);

В случае одностороннего предела, команда выглядит следующим образом:

limit(<функция>,<точка>,<сторона>);

Поле <сторона> содержит слово left в случае левого предела, или right в случае правого. Пример вычисления одностороннего предела:

limit(1/x,x=0,left);

2.2 Основные определения

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Число - предел функции в точке (Рис.2), если для любого существует такое , что из следует неравенство .

Определение 2. Число - предел функции в точке справа (Рис.4) (слева)(Рис. 3).

, если определена в некоторой

окрестности точки и для любого существует такое , что из неравенства следует неравенство .

 Замечательные пределы:

.

.

Пример вычисления замечательных пределов с помощью пакета Maple:

>limit(sin(x)/x,x=0);

1

>limit((1+1/x)^x,x=infinity);

exp(1)

Следствия из II замечательного предела:

,

.

Пример проверки с использованием Maple:

>limit(ln(1+x)/x,x=0);

1

>limit((exp(x)-1)/x,x=0);

1

Определение 3. Функция называется бесконечно малой при (обозначается ), если .

Определение 4. Бесконечно малые при функции и называются эквивалентными (обозначается )(Таблица 2), если .

Таблица 2. Эквивалентных бесконечно малых при функций.

;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

2.3. Методы вычисления пределов

Функция преобразуется к виду, для которого предел легко найти.

Пример 1.

;

Пример решения с использованием Maple:

>limit((x^2-2*x+1)/(x^3-x),x=1);

0

Пример 2.

.

Пример решения с использованием Maple:

>limit(tan(3*x)/x,x=0);

3

В пределах, содержащих иррациональные выражения :

а) вводят новую переменную для получения рационального выражения

Пример 3.

Пример решения с использованием Maple:

>limit((sqrt(x-1)-3)/(x-10),x=10);

1/6

b) переводят иррациональность из знаменателя в числитель или наоборот.

Пример 4.

.

Пример решения с использованием Maple:

>limit((sqrt(x+1)-1)/x,x=0);

1/2

При вычислении пределов вида , где , , используется II замечательный предел.

Пример 5.

.

Пример решения с использованием Maple:

>limit(((x+3)/(x-2))^(2*x+1),x=infinity);

exp(10)

Вычисление пределов с помощью замены на эквивалентные бесконечно малые функции:

Пример 6.

.

Пример решения с использованием Maple:

>limit((4*x^2-1)/arcsin(1-2*x),x=1/2);

-2

Односторонние пределы

Пример 7.

;

Пример решения с использованием Maple:

>limit((2+x)^(1/x),x=0,right);

infinity

Пример 8.

.

Пример решения с использованием Maple:

>limit((2+x)^(1/x),x=0,left);

-infinity

2.4 Исследование на непрерывность с помощью пакета Maple

Для нахождения точек разрыва функции можно воспользоваться следующей командой Maple:

readlib(singular): singular(<функция>,<переменная>);

где <функция> - исследуемая функция, <переменная> - переменная, по которой необходимо найти разрывы. Параметр <переменная> можно вообще не указывать. Тогда Maple выведет на экран все возможные точки разрыва функции по всем переменным, от которых она зависит. Приведем пример нахождения точек разрыва:

readlib(singular): singular(2^(x/(9-x^2)),x);

Maple выведет на экран следующий набор точек:

{x=3}, {x=-3}.

2.4.1.Основные определения

Определение 1. Функция непрерывна в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , или:

функция определена в точке и некоторой ее окрестности;

существует ;

3).

Определение 2. Точка , в которой функция не обладает свойством непрерывности, называется точкой разрыва функции .

Определение 3. Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует, но функция не определена в точке или нарушено условие .

Определение 4. Точка называется точкой разрыва I рода, если не существует, но при этом существуют конечные односторонние пределы и , неравные друг другу.

Определение 5. Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов , не существует или равен бесконечности.

2.4.2 Примеры исследования функций на непрерывность

Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.

Пример 1. .

Функция не определена в точках , уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.

Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках.

.

.

Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

;

.

Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Пример решения с использованием Maple:

> readlib(singular): singular(2^(x/(9-x^2)),x);

{x=3}, {x=-3}

> limit(2^(x/(9-x^2)),x=-3,left);

infinity

> limit(2^(x/(9-x^2)),x=-3,right);

0

> limit(2^(x/(9-x^2)),x=3,left);

infinity

> limit(2^(x/(9-x^2)),x=3,right);

0

Пример 2.

Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как , , , т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.

Пример 3. .

Функция неопределена в нуле, следовательно , - точка разрыва.

Так как и , то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.

Пример решения и его графического представления (Рис. 5) с использованием Maple:

> readlib(singular): singular(sin(x)/x,x);

{x=0}

> limit(sin(x)/x,x=0,left);

1

> limit(sin(x)/x,x=0,right);

1

> plot(sin(x)/x,x=-30..30);

Рис. 5. Графическое представление в Maple.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой - большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.

Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний. Через задачи мы знакомимся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств. Эти задачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения положений изучаемой теории на практике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агарёва О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Методические указания к практическим занятиям по теме: Maple в курсе математический анализ.- Москва, 2002 - 15с.

2. Немнюгин С. А. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для вузов. 2-е изд. СПб.: Питер, 2005. - 544 с.

3. Савотченко С.Е., Кузмичёва Т.Г. Методы решения математических задач в Maple. - Белгород, 2001. - 115с.

4. Шахов М.В. 100 лучших программ для Windows (+CD). Популярный самоучитель. СПб.: Питер, 2005. - 366 с.

5. Все необходимые файлы для учёбы.

http://www.studfiles.ru\TEMP\Rar967\StudFiles.hml.

Размещено на http://www.allbest.ru/