Элементы математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Элементы математического моделирования

1. Понятие о математическом моделировании. Этапы построения математической модели

Математическое моделирование - это описание анализируемого объекта внешнего мира с помощью математической символики.

Математическая модель - это приближённое описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-либо математической теории (с помощью системы алгебраических уравнений и неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предложений, векторов и т.п.).

Метод построения математических моделей - это метод математического познания действительности изучаемых объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех, возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата.

Как алгоритм математической деятельности метод математического моделирования содержит три этапа:

1) Построение математической модели объекта (явления, процесса);

2) Исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средством математики;

3) Интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.

При этом должны соблюдаться следующие требования:

1) Модель должна адекватно отражать наиболее существенные (с точки зрения определённой постановки задачи) свойства объекта, отвлекаясь от несущественных его свойств;

2) Модель должна иметь определённую область применения, обусловленную принятыми при её построении допущениями;

3) Модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте.

Математическая модель и моделирование позволяют решать в учебном процессе следующие задачи:

v Развитие мышления и интеллекта;

v Формирование мировоззрения;

v Овладение элементами математической культуры.

После того как математическая модель построена, возможны два случая:

1) Полученная конкретная модель принадлежит к уже изученному в математике классу моделей и тогда математическая задача решается уже известными методами;

2) Эта модель не укладывается не в одну из известных схем (классов) моделей, разработанных в математике, и тогда возникает проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой.

Это развитие математических теорий находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математическим объектам того же класса.

2. Ограниченная и целевая функция. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции при наличии ограничений на переменные

Целевая функция - функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации.

В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.п.) в сравнении с другим. Цель - найти такие оценки, при которых целевая функция достигает минимума. Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило решения, минимизирующее или максимизирующее целевую функцию.

Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации или ограниченными функциями, (ограничение ресурсов).

Задача на отыскание наибольшего значения функции с ограничением на переменные:

Условие: Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов. Составить математическую модель.

Известны:

Bi (i = 1,2,3,…, m) - запасы каждого i-го вида ресурса;

a _ij (_i = _1,2,3,…, m_j=_1,2,3,…, n) - затраты каждого i-го вида ресурса на производство единицы объема j-го вида продукции;

c_j (_j = ₁,_2,3,…,_n) - прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции.

Требуется составить план производства продукции, который обеспечивает максимум прибыли при заданных ограничениях на ресурсы (сырье).

Введем вектор переменных X=(X₁, X₂,…, X_n), где x_j (_j =₁,₂,…,_n) - объем производства j-го вида продукции.

Затраты i-го вида ресурса на изготовление данного объема xj продукции равны aijxj, поэтому ограничение на использование ресурсов на производство всех видов продукции имеет вид:

целевой математический наименьший функция

Прибыль от реализации j-го вида продукции равна cjxj, поэтому целевая функция равна:

Ответ - Математическая модель имеет вид:

Задача на отыскание наименьшего значения функции с ограничением на переменные:

Выполнить заказ по производству 32 изделий и 4 изделий взялись бригады и. Производительность бригады по производству изделий и составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады - соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени - 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады - 15 и 30 руб.

Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Решение

Переменные задачи:

Искомыми величинами в задаче являются объемы выпуска изделий. Изделия будут выпускаться двумя бригадами и. Поэтому необходимо различать количество изделий, произведенных бригадой, и количество изделий И1, произведенных бригадой. Аналогично, объемы выпуска изделий бригадой и бригадой также являются различными величинами. Вследствие этого в данной задаче 4 переменные. Для удобства восприятия будем использовать двухиндексную форму записи - количество изделий (j=1,2), изготавливаемых бригадой (i=1,2), а именно,

- количество изделий, изготавливаемых бригадой, [шт.];

- количество изделий, изготавливаемых бригадой, [шт.];

- количество изделий, изготавливаемых бригадой, [шт.];

- количество изделий, изготавливаемых бригадой, [шт.]

Примечание 1.2. В данной задаче нет необходимости привязываться к какому-либо временному интервалу (в задаче №1.01 была привязка к суткам), поскольку здесь требуется найти не объем выпуска за определенное время, а способ распределения известной плановой величины заказа между бригадами.

Целевая функция:

Целью решения задачи является выполнение плана с минимальными затратами, т.е. критерием эффективности решения служит показатель затрат на выполнение всего заказа. Поэтому ЦФ должна быть представлена формулой расчета этих затрат. Затраты каждой бригады на производство одного изделия и известны из условия. Таким образом, ЦФ имеет вид

Ограничения:

Возможные объемы производства изделий бригадами ограничиваются следующими условиями:

общее количество изделий, выпущенное обеими бригадами, должно равняться 32 шт., а общее количество изделий - 4 шт.;

время, отпущенное на работу над данным заказом, составляет для бригады - 9,5 ч, а для бригады - 4 ч;

объемы производства изделий не могут быть отрицательными величинами.

Таким образом, все ограничения задачи делятся на 3 группы, обусловленные:

1) величиной заказа на производство изделий;

2) фондами времени, выделенными бригадам;

3) неотрицательностью объемов производства.

Для удобства составления ограничений запишем исходные данные в виде таблицы:

Ограничения по заказу изделий имеют следующую содержательную форму записи

и

Математическая форма записи имеет вид

Ограничение по фондам времени имеет содержательную форму

Проблема заключается в том, что в условии задачи прямо не задано время, которое тратят бригады на выпуск одного изделия или, т.е. не задана трудоемкость производства. Но имеется информация о производительности каждой бригады, т.е. о количестве производимых изделий в 1 ч. Трудоемкость Тр и производительность Пр являются обратными величинами, т.е.

Поэтому используя таблицу получаем следующую информацию:

1/4 ч тратит бригада на производство одного изделия;

1/2 ч тратит бригада на производство одного изделия;

1/1 ч тратит бригада на производство одного изделия;

1/3 ч тратит бригада на производство одного изделия.

Запишем ограничения по фондам времени в математическом виде

Неотрицательность объемов производства задается как .

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид

История линейного программирования

Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

В 1939 году Леонид Витальевич Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой сформулировал новый класс экстремальных задач с ограничениями и разработал эффективный метод их решения, таким образом были заложены основы линейного программирования. Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования» (один из переводов англ. programming). Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

Размещено на Allbest.ru