Определение параметров уравнения множественной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Определение параметров уравнения множественной регрессии

Задание 1

множественная корреляция регрессионная модель двухфакторная

По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X₁), ставки по депозитам (X₂) и размера внутрибанковских расходов (X₃).

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры модели.

3. Для характеристики модели определить:

Ш линейный коэффициент множественной корреляции,

Ш коэффициент детерминации,

Ш средние коэффициенты эластичности, бетта-, дельта-коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.

5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

7. Отразить результаты расчетов на графике.

Выполнение задач отразить в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов.

1. Построение системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

В этом примере n = 10, m = 3.

При вычислении коэффициента корреляции по формуле:

.

В таблице 2.3 приведены сводные результаты корреляционного анализа.

Таблица 2

Y	X1	X2	X3
Объем прибыли	Среднегодовые ставки по кредитам	ставки по депозитам	размер внутрибанковских расходов
22 30 20 32 44 34 52 56 66 68	176 170 156 172 162 160 166 156 152 138	150 154 146 134 132 126 134 126 88 120	86 94 100 96 134 114 122 118 130 108

Таблица 2.1.

t	Y	X1
1	22	176	-20,4	416,16	15,2	231,04	-310,08
2	30	170	-12,4	153,76	9,2	84,64	-114,08
3	20	156	-22,4	501,76	-4,8	23,04	107,52
4	32	172	-10,4	108,16	11,2	125,44	-116,48
5	44	162	1,6	2,56	1,2	1,44	1,92
6	34	160	-8,4	70,56	-0,8	0,64	6,72
7	52	166	9,6	92,16	5,2	27,04	49,92
8	56	156	13,6	184,96	-4,8	23,04	-65,28
9	66	152	23,6	556,96	-8,8	77,44	-207,68
10	68	138	25,6	655,36	-22,8	519,84	-583,68
?	424	1608	0	2742,4	-	1113,6	-1231,2
сред	42,4	160,8	-	-	-	-	-
знач

Таблица 2.2

t	Y	X2
1	22	150	-20,4	416,16	19	361	-387,6
2	30	154	-12,4	153,76	23	529	-285,2
3	20	146	-22,4	501,76	15	225	-336
4	32	134	-10,4	108,16	3	9	-31,2
5	44	132	1,6	2,56	1	1	1,6
6	34	126	-8,4	70,56	-5	25	42
7	52	134	9,6	92,16	3	9	28,8
8	56	126	13,6	184,96	-5	25	-68
9	66	88	23,6	556,96	-43	1849	-1014,8
10	68	120	25,6	655,36	-11	121	-281,6
?	424	1310	0	2742,4	-	3154	-2332
сред	42,4	131	-	-	-	-	-
знач

Таблица 2.3

t	Y	X3
1	22	86	-20,4	416,16	-24,2	585,64	493,68
2	30	94	-12,4	153,76	-16,2	262,44	200,88
3	20	100	-22,4	501,76	-10,2	104,04	228,48
4	32	96	-10,4	108,16	-14,2	201,64	147,68
5	44	134	1,6	2,56	23,8	566,44	38,08
6	34	114	-8,4	70,56	3,8	14,44	-31,92
7	52	122	9,6	92,16	11,8	139,24	113,28
8	56	118	13,6	184,96	7,8	60,84	106,08
9	66	130	23,6	556,96	19,8	392,04	467,28
10	68	108	25,6	655,36	-2,2	4,84	-56,32
?	424	1102	0	2742,4	-	2331,6	1707,2
сред	42,4	110,2	-	-	-	-	-
знач

Таблица 2.4

t	Х1	X2	Х1-	(Х1-)2	Х2-	(Х2-)2	(Х1-)* (Х2-)
1	176	150	15,2	231,04	19	361	288,8
2	170	154	9,2	84,64	23	529	211,6
3	156	146	-4,8	23,04	15	225	-72
4	172	134	11,2	125,44	3	9	33,6
5	162	132	1,2	1,44	1	1	1,2
6	160	126	-0,8	0,64	-5	25	4
7	166	134	5,2	27,04	3	9	15,6
8	156	126	-4,8	23,04	-5	25	24
9	152	88	-8,8	77,44	-43	1849	378,4
10	138	120	-22,8	519,84	-11	121	250,8
?	1608	1310	-	1113,6	-	3154	1136
сред	160,8	131	-	-	-	-	-
знач

Таблица 2.5

t	Х1	X3	Х1-	(Х1-)2	Х3-	(Х3-)2	(Х1-)* (Х3-)
1	176	86	15,2	231,04	-24,2	585,64	-367,84
2	170	94	9,2	84,64	-16,2	262,44	-149,04
3	156	100	-4,8	23,04	-10,2	104,04	48,96
4	172	96	11,2	125,44	-14,2	201,64	-159,04
5	162	134	1,2	1,44	23,8	566,44	28,56
6	160	114	-0,8	0,64	3,8	14,44	-3,04
7	166	122	5,2	27,04	11,8	139,24	61,36
8	156	118	-4,8	23,04	7,8	60,84	-37,44
9	152	130	-8,8	77,44	19,8	392,04	-174,24
10	138	108	-22,8	519,84	-2,2	4,84	50,16
?	1608	1102	-	1113,6	-	2331,6	-701,6
сред	160,8	110,2	-	-	-	-	-
знач

Таблица 2.6

t	Х2	X3	Х2-	(Х2-)2	Х3-	(Х3-)2	(Х2-)* (Х3-)
1	150	86	19	361	-24,2	585,64	-459,8
2	154	94	23	529	-16,2	262,44	-372,6
3	146	100	15	225	-10,2	104,04	-153
4	134	96	3	9	-14,2	201,64	-42,6
5	132	134	1	1	23,8	566,44	23,8
6	126	114	-5	25	3,8	14,44	-19
7	134	122	3	9	11,8	139,24	35,4
8	126	118	-5	25	7,8	60,84	-39
9	88	130	-43	1849	19,8	392,04	-851,4
10	120	108	-11	121	-2,2	4,84	24,2
?	1310	1102	0	3154	-	2331,6	-1854
сред	131	110,2	-	-	-	-	-
знач

Таблица 2.7.

	Объем прибыли	Среднегодовые ставки по кредитам	Ставки по депозитам	Размер внутрибанковских расходов
	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
Объем прибыли Среднегодовые ставки по кредитам Ставки по депозитам Размер внутрибанковских расходов	1 -0,705 -0,793 0,675	1 0,606 -0,435	1 -0,684	1

Анализ результатов коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем прибыли имеет тесную связь:

- со ставками по депозитам ( )

- со среднегодовыми ставками по кредитам( )

В этом примере n=10, m = 3, после исключения незначимых факторов n = 10, k = 2.

Выбор вида модели и оценка ее параметров.

Таблица 2.8

Y	X1	X2
Объем прибыли	Среднегодовые ставки по кредитам	ставки по депозитам
22 30 20 32 44 34 52 56 66 68	176 170 156 172 162 160 166 156 152 138	150 154 146 134 132 126 134 126 88 120

Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:

Y = f(в , X) + е

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:

s = (X^TX)^-1X^TY

Матрица X

1	176	150
1	170	154
1	156	146
1	172	134
1	162	132
1	160	126
1	166	134
1	156	126
1	152	88
1	138	120

Матрица Y

22
30
20
32
44
34
52
56
66
68

Матрица X^T

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
176	170	156	172	162	160	166	156	152	138
150	154	146	134	132	126	134	126	88	120

Умножаем матрицы, (X^TX)

Расписать как получили каждый элемент матрицы (что на что умножали цифрами):

а₁₁=

а₁₂=

…

а₂₁=

а₂₂=

…

а₁₃=

В матрице, (X^TX) число 10, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X^T и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, (X^TY)

аналогично расписать цифрами что на что умножали.

Находим обратную матрицу (X^TX)^-1 аналогично расписать, как нашли каждое значение

23.87	-0.16	0.0166
-0.16	0.0014	-0.0005
0.0166	-0.0005	0.0005

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

s = (X^TX)^-1X^TY =

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 202.3647-0.5554X₁-0.5393X₂

Регрессионный анализ составлен на основе прил. №1

Таблица 2.9

Регрессионная статистика
№	Принятые наименования	формула	Результат
1	Коэффициент множественной корреляции		0,841
2	Коэффициент детерминации, R2		0,708
3	Скорректированный R2		0,625
4	Стандартная ошибка		10,7
5	Количество наблюдений	n	10

Таблица 2.10

	df - число степеней свободы	SS - сумма квадратов	MS	F-критерий Фишера
Регрессия	k=2
Остаток	n - k - 1=7
Итого	N - 1 =9

Таблица 2.11

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y - пересечение Реклама Индекс потребительских расходов	202,365 -0,555 -0,539	52,253 0,403 0,239	3,873 -1,378 -2,252

Таблица 2.12 Оценка качества модели

Y(X1,X2)	ei	ei2	ei - ei-1	(ei - ei-1)2
23.71	-1.71	2.93	0	0
24.89	5.11	26.16	-6.82	46.58
36.98	-16.98	288.19	22.09	488
34.56	-2.56	6.56	-14.41	207.79
41.19	2.81	7.87	-5.37	28.81
45.54	-11.54	133.19	14.35	205.83
37.89	14.11	198.99	-25.65	657.78
47.76	8.24	67.85	5.87	34.44
70.48	-4.48	20.06	12.72	161.7
61	7	49.05	-11.48	131.85
424	0	800.85	-8.71	1962.77
42.4	0	80.08	-0.87	196.28

Проверку независимости проведем с помощью d-критерия Дарбина - Уотсона.

В качестве критических табличных уровней при N = 10, двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% возьмем величины d₁ = 0,98 и d₂ = 1,54.

Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂.

По таблице Дарбина-Уотсона для n=9 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d₁ = 1.08; d₂ = 1.36.

Поскольку 0,98 < 2,451 и 1,54 < 2,451 < 4 - 1,54, то автокорреляция остатков присутствует.

Вычислим для модели коэффициент детерминации

Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 71% вариация зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов

Средним коэффициентом эластичности, показывающим на сколько процентов среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при измени фактора x_i на 1% от своего среднего значения;

Частный коэффициент эластичности E₁ < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности E₂ < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

- в-коэффициенты, показывающие, что, если величина фактора изменится на одно среднеквадратическое отклонение S_xi, то значение результативного признака изменится в среднем на в своего среднеквадратического отклонения;

- долю каждого фактора в общей вариации результативного признака определяют коэффициенты раздельной детерминации (отдельного определения):

d²_i = r_yxiв_i.

d²₁ = -0.7 * -0.0209 = 0.0147.

d²₂ = -0.79 * -0.0121 = 0.0096.

Проверка гипотезы H₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² = 0) производится по F-критерию Фишера сравнением

F_факт с F_табл.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости б.

2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=2 для множественной регрессии с двумя факторами.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 2 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2-1.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=2 и k₂=7, Fkp = 4.74

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента.

Оценка значимости коэффициентов регрессии b₁ и b₂ производится с помощью t-критерия Стьюдента и связана с сопоставлением их значений с величиной случайных ошибок mb1 и mb2. Более простым способом расчета фактических значений t_b1 и t_b2 является их определение через критерии F:

Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости б=0.05.

t_крит (n-m-1;б/2) = (7;0.025) = 2.365

(расписать, как рассчитали числитель и знаменатель)

Поскольку 3.87 > 2.365, то статистическая значимость коэффициента регрессии b₀ подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

(расписать, как рассчитали числитель и знаменатель)

Поскольку 1.38 < 2.365, то статистическая значимость коэффициента регрессии b₁ не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

(расписать, как рассчитали числитель и знаменатель)

Поскольку 2.25 < 2.365, то статистическая значимость коэффициента регрессии b₂ не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

Таблица 2.13

Объем прибыли	Среднегодовые ставки по кредитам	ставки по депозитам	абсолютные приросты
y	X1	X2	xi-xi-1	xi-xi-1
22	176	150	-	-
30	170	154	-6	4
20	156	146	-14	-8
32	172	134	16	-12
44	162	132	-10	-2
34	160	126	-2	-6
52	166	134	6	8
56	156	126	-10	-8
66	152	88	-4	-38
68	138	120	-14	32
?	-	-	-38	-30
Ср.зн.	-	-	-4,22	-3,33

Для получения прогнозных оценок зависимостей переменных по модели

Y = 202,365-0,555X₁-0,539X₂

Подставим в нее найденные прогнозные значения факторов X₁ и X₂.

Y_t=11 = 202,365-0,555*(138-4,22)-0,539*(120-3.33)=65.22

Y_t=12 = -1471,438 + 9,5684,85 + 15,754112,488 = 69.36

t_крит (n-m-1;б/2) = (7;0.025) = 2.365

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза

Y_p (N+1) + U(1)

Нижняя граница прогноза:

Y_p (N+1) - U(1).

Результаты прогнозных оценок модели регрессии.

Таблица 2.14

Таблица прогнозов (р=95%)
Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
1	65,22	39,91	90,52
2	69,36	44,04	94,67

Отразить результаты расчетов на графике.

Рисунок 1.Фактический и расчетный ряд.

Приложение1

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,841413
R-квадрат	0,707975
Нормированный R-квадрат	0,62454
Стандартная ошибка	10,69612
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1941,552	970,7758	8,485289	0,013458
Остаток	7	800,8485	114,4069
Итого	9	2742,4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	202,3647	52,25349	3,87275	0,00611	78,80482	325,9246	78,80482	325,9246
Переменная X 1	-0,55543	0,403	-1,37824	0,210569	-1,50837	0,397513	-1,50837	0,397513
Переменная X 2	-0,53933	0,239463	-2,25223	0,059004	-1,10557	0,026915	-1,10557	0,026915
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки
1	23,71029	-1,71029	-0,18131
2	24,88557	5,114434	0,54218
3	36,97618	-16,9762	-1,79964
4	34,56121	-2,56121	-0,27151
5	41,19416	2,805841	0,297447
6	45,54097	-11,541	-1,22346
7	37,89379	14,10621	1,495397
8	47,76269	8,237311	0,873236
9	70,47877	-4,47877	-0,47479
10	60,99637	7,003625	0,742453

Размещено на Allbest