Программа максимизации прибыли

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Задача №1

выручка математический оптимизация сырье

Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице 1.1.,

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать месячную программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Таблица 1.1

Наименование ресурсов	Норма затрат на	Объём ресурса
	Продукт А	Продукт Б
Сырьё	3	1	178
Оборудование	1	2	160
Трудоресурсы	7	1	386
Цена реализации	459	85

1. Построение математической модели оптимизации выпуска продукции Обозначим переменные месячных объёмов выпуска продукции модели: Х₁ - месячный объём выпуска продукции А

Х₂ - месячный объём выпуска продукции Б

Используя данные таблицы 1.1, определим затраты каждого вида ресурса для выпуска производственной программы х=(х₁;х₂):

расход сырья = 3х₁+х₂,

затраты времени работы оборудования = х₁+2х₂,

затраты рабочего времени = 7х₁+х₂

Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их имеющийся объём, то имеем ресурсные ограничения

3х₁+х₂?178

х₁+2х₂?160

7х₁+х₂?386

Если обозначить функцию размера выручки через Z, то Z=459x₁+85x₂.

Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х₁, х₂, удовлетворяющие ограничениям:

3х₁+х₂?178

х₁+2х₂?160

7х₁+х₂?386

x₁?0, x₂?0,

и доставляющие максимальное значение целевой функции

Z=459x₁+85x₂>max

2. Нахождение оптимальной производственной программы выпуска продукции

Построим множество (область) допустимых решений. В неравенствах ограничений заменим знак неравенства на знак равенства.

Для нахождения оптимального решения определим направление возрастания целевой функции. Для этого приравняем Z к нескольким возрастающим значениям, например, 25000 и 23000.

Оптимальное решение соответствует точке С. Она лежит на пересечении прямых 3х₁+х₂=178 и 7х₁+х₂=386. Решая систему этих уравнений, находим координаты точки С. . При этом значение целевой функции .

Полученное решение означает, что предприятию необходимо ежемесячно производить 52 единиц продукции А и 22 единицу продукции Б, что позволит ему получать максимальную месячную выручку вы размере 25738 рублей.

Рис. 1 Иллюстрация построения множества допустимых решений и нахождения точки максимума целевой функции

3. Построение двойственной задачи

Коэффициенты при х₁ станут коэффициентами первого ограничения двойственной задачи, коэффициенты при х₂ станут коэффициентами второго ограничения двойственной задачи, а коэффициенты целевой функции станут правой частью ограничений двойственной задачи. А правые части прямой задачи станут коэффициентами целевой функции двойственной задачи.

Таким образом, двойственная задача:

найти неизвестные значения переменных u₁, u₂, u₃, удовлетворяющие ограничениям

3u₁+u₂+7u₃?459

u₁+2u₂+u₃?85

u₁?0, u₂?0, u₃?0

и доставляющие минимальное значение целевой функции

W=178u₁+160u₂+386u₃>min

4. Нахождение оптимального решения двойственной задачи

Составим систему уравнений для нахождения значений переменных u₁, u₂, u₃ в соответствии с теоремами двойственности.

Подставляя в эти уравнения найденные ранее значения , получим:

т.к. , то =0;

т.к. , то =0;

т.к. =160-52-2*22=64?0, то u₂=0.

Таким образом, получаем новую систему уравнений:

=0

=0

u₂=0.

Решая данную систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

u₁=34, u₂=0, u₃=51

Вычислим оптимальное значение целевой функции двойственной задачи:

W*=178u₁*+160u₂*+386u₃*=25738, т.е. Z*=W*=25738, что соответствует первой теореме двойственности.

5. Экономическая интерпретация переменных и оптимального решения двойственной задачи

Для исследуемой задачи оптимизации производственной программы получим:

u₁ - стоимостная оценка сырья, её размерность [руб./кг];

u₂ - стоимостная оценка времени работы оборудования, её размерность [руб./ст.-час]

u₃ - стоимостная оценка трудовых ресурсов, её размерность [руб./чел.-час]

u₁*=34 означает, что при увеличении месячного размера используемого сырья со 178 до 178+?s₁ увеличение максимальной суммарной выручки составит u₁*?s₁=34?s₁ руб., а при уменьшении сырья на ?s₂ выручка уменьшится на u₁*?s₂=34?s₂ руб.

u₂*=0 означает, что ни уменьшение, ни увеличение месячного фонда времени работы оборудования не приведёт к изменению оптимального значения суммарной выручки. Действительно, использование месячного фонда времени работы оборудования для выпуска оптимальных объёмов продукции составит х₁+2х₂=52+2*22=96 ст.-час, а на предприятии может быть задействовано 160 ст.-час. Следовательно, 160-96=64 ст.-час фонда времени работы оборудования остаются незанятыми. Поэтому прирост фонда времени работы оборудования или его сокращение (но не более, чем на 64 ст.-час) не приведёт к изменению оптимальной программы выпуска и, следовательно, к изменению оптимального значения суммарной выручки.

u₃*=51 означает, что при увеличении трудоресурсов с 386 до 386+?m₁ увеличение максимальной суммарной выручки составит u₃*?m₁=51?m₁ руб., а при уменьшении фонда времени на ?m₂ выручка уменьшится на u₃*?m₂=51?m₂ руб.

1) предприятию выгодно приобретение дополнительного сырья, если его рыночная цена не превышает 34 рубля за килограмм

2) предприятию целесообразно сокращение времени использования оборудования, но не более чем на 64 ст.-час.

3) предприятию выгодно увеличить используемые при производстве продукции А и Б трудовые ресурсы, но если их содержание не превысит 51 руб. за 1 чел.-час.

6. Графический анализ устойчивости изменения используемого сырья

При изменении объёма используемого сырья точка С оптимального решения перемещается вдоль отрезка BD, где точка D лежит на пересечении оси ОХ₁ и граничной прямой (3): х₁+2х₂=160, а точка В на пересечении прямых (2) и (1): х₁+2х₂=160 и 3х₁+х₂=178. Координаты точки

В . Любое изменение объёма используемого сырья, приводящее к выходу точки пересечения С из этого отрезка, ведёт к тому, что точка С перестаёт быть оптимальным решением. Поэтому можно сказать, что концевые точки В и D отрезка BD определяют искомый интервал устойчивости. Для определения интервала устойчивости изменения сырья найдём количество сырья, используемого в точках D и В. Количество сырья, соответствующего точке В, равно 3х₁+х₂=3*39.2+60.4=178, аналогично, количество используемого сырья, соответствующего точке D, равно 3х₁+х₂=3*0+80=.80

Таким образом, интервал устойчивости изменения сырья - это интервал [80; 178].

При значении объёма используемого сырья, равного левой границе интервала устойчивости, т.е. 80, оптимальная точка С совпадёт с точкой D. Максимальное значение выручки в этом случае будет равно Z*=459х₁*+85х₂*=459*0+85*80= 6800

Аналогично для правой границы, т.е. для 178 кг, оптимальная точка С совпадёт с точкой B и

Z*=459х₁*+85х₂*=459*39.2+85*60.4= 23126.8.

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск новой продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьём и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих.

Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информации о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объёмах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции приведены в таблице 3.1.

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведённой за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Таблица 3.1

Наименование ресурсов	Норма затрат на	Объём ресурса
	Продукт А	Продукт Б
Сырьё	3	3	1170
Оборудование	1	3	450
Трудоресурсы	2	3	?
Цена реализации	1216	1260

1. Построение математической модели оптимизации выпуска продукции

Для построения модели введём следующие обозначения:

x1 - объём выпуска продукции А,

x2 - объём выпуска продукции Б,

S - потребность в трудовых ресурсах,

t - почасовая ставка оплаты труда,

V - размер кредита,

Z - выручка от реализации произведённой продукции,

P - прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения данной задачи.

Ограничения по использованию сырья:

3х₁+3х₂?1170

Ограничения по использованию оборудования:

х₁+3х₂?450

Потребность в трудовых ресурсах:

S= 2х₁+3х₂

Размер необходимого кредита:

V=tS=t(2х₁+3х₂)

Выручка от реализации произведённой продукции:

Z=1216x₁+1260x₂

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

V+V+0.1V=1.1V

Прибыль предприятия:

P=Z-1.1V=(1216x₁+1260x₂)-1.1 t(2х₁+3х₂)=(1216-2.2t)x₁+(1260-3.3t)x₂.

Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции принимает следующий вид: найти неизвестные значения объёмов выпуска х₁ и х₂, удовлетворяющие ограничениям

3х₁+3х₂?1170 (1)

х₁+3х₂?450 (2)

х₁?0, х₂?0 (3)

и доставляющие максимальное значение целевой функции

P=(1216-2.2t)x₁+(1260-3.3t)x₂>max. (4)

При этом необходимый размер кредита определяется по формуле:

V=tS=2tх₁+3tх₂,

где - оптимальное решение задачи (1) - (4).

2. Определение оптимальной программы выпуска продукции

При ставке оплаты труда t=10 коэффициенты целевой функции равны соответственно

с₁=1216-2.2*10=1194

с₂=1260-3,3*10=1227

Следовательно, Р=1194 x₁+1227x₂>max.

Графическое решение задачи изображено на рис. 2.

Рис. 2. Иллюстрация графического решения

Множество допустимых решений представляет собой четырёхугольник ОАВС. Вектор-градиент целевой функции обозначении через grad P(10). Точкой максимума является точка В с координатами .

Максимальный размер прибыли: Р==1194*360+1227*30=466650 (руб.).

Потребность в трудовых ресурсах: S*= 2х₁*+3х₂*=2*360+3*30= 810 (чел.-час)

Размер необходимого кредита: V*=tS*=10*810=8100 (руб.)

Сумма уплаченных процентов: 0,1V*=0.1*8100=810 (руб.)

3. Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы

Сначала найдём решение задачи при t=50. Она имеет следующий вид:

3х₁+3х₂?1170

х₁+3х₂?450

х₁?0, х₂?0

P=1106x₁+1095x₂>max.

Оптимальное решение сместилось в точку С=(390;0).

Максимальный размер прибыли:

Р*=1106x₁*+1095x₂*=1106*390+1095*0= 431340 руб.,

а потребность в трудовых ресурсах:

S*= 2х₁*+3х₂*=2*390+3*0= 780 (чел.-час),

размер кредита:

V*=tS*=50*780=39000 (руб.)

сумма уплаченных процентов: 0,1V*=0.1*39000=3900 (руб.)



При уменьшении t от 50 до 10 вектор grad P(t), а значит, и линии уровня целевой функции поворачиваются против часовой стрелки. Между двумя этими значениями параметра t существует такое значение, при котором оптимальным решением будет являться любая точка отрезка ВС.

Так как граничная прямая (1) задаётся уравнением 3х₁+3х₂=1170, а линии уровня целевой функции - уравнением (1216-2.2t)x₁+(1260-3.3t)x₂=h, где h - любое число, то имеем: . Отсюда 1216-2.2t=1260-3.3t, значит 1,1t=44. Таким образом, t*=40.

Теперь мы можем построить функцию спроса на трудовые ресурсы.

§ При 10?t<40 спрос на трудовые ресурсы равен ранее найденной при t=10 величине спроса в точке В, т.е. S*(t)=S*(10)=810

§ При 40<t?50 спрос на трудовые ресурсы равен ранее найденной при t=50 величине спроса в точке C, т.е. S*(t)=S*(50)=780

§ При t=40 спрос на трудовые ресурсы определён неоднозначно. В зависимости от того, какое оптимальное решение из отрезка ВС будет выбрано, он может принять любое значение из числового отрезка [780;810]

Зная, спрос на трудовые ресурсы, можно определить величину необходимого кредита как функцию от ставки труда, используя формулу V*(t)=t•S*(t)

§ При 10?t<40 размер кредита V*(t)=t•S*(t)=810 t

§ При 40<t?50 размер кредита V*(t)=t•S*(t)=780 t

§ При t=40 размер кредита определён неоднозначно. Так как спрос на трудовые ресурсы может принять любое значение из числового отрезка [780;810], размер кредита V*(40) может быть любым числом из отрезка [780•40;810•40]=[31200,32400]

Найдём зависимость величины прибыли от ставки оплаты труда t, используя формулу

P*(t)= (1216-2.2t)x₁*+(1260-3.3t)x₂*

§ При 10?t<40 оптимальное решение - точка В=(360,30). Поэтому величина прибыли P*(t)= (1216-2.2t)•360+(1260-3.3t)•30=475560-891t

§ При 40<t?50 оптимальное решение - точка С=(390,0). Поэтому величина прибыли P*(t)= (1216-2.2t)•390+(1260-3.3t)•0=474240-858t

§ При t=40 оптимальное решение задачи - любая точка отрезка ВС. Однако во всех точках этого отрезка величина прибыли одинакова и равна

475560-891t=474240-858t=439920



Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час) и оборудование (К, тыс. ст.-час). Производственная функция фирмы, построенная путём обработки статистических данных, имеет вид: Y=5*L^0.9*K^0.1,где Y - объём выпуска продукции (ед.).

а) Пусть К=0.5(К_min +К_max)=36. Тогда ПФ - степенная функция следующего вида:

Y=5*L^0.9*36^0.1?7,155L^0.9

б) Пусть L=0.5(L_min +L_max)=36. Тогда ПФ - степенная функция следующего вида:

Y=5*36^0.9*K^0.1?125,789K^0.1

2) Y1=120, Y2=180, Y3=240

Составим соответствующие этим значениям уравнения изоквант:

Y=5*L^0.9*K^0.1=120

Y=5*L^0.9*K^0.1=180

Y=5*L^0.9*K^0.1=240

Выразим L через К:

Итак, уравнения изоквант:

3) Yбаз =180, Lбаз =36

При заданном увеличении объём выпуска продукции составит:

Y=1.1*Y баз =1.1*180=198

Используя уравнения изокванты: Y=5*L^0.9*K^0.1=198

имеем:

Т.о. если объём трудовых ресурсов не изменится, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит:

В базовом периоде потребность в оборудовании составляла:

Если же объём трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит L=1.05*L баз =1.05*36=37,8, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

4) Согласно условию фирма может приобрести на рынке, используемые в производстве, ресурсы по ценам р_к =10 и р_l =90. величина её затрат С на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит

С= р_кК+ р_lL=10K+90L

Математическая модель: найти объёмы ресурсов K и L, удовлетворяющие ограничениям:

10K+90L ?4000

К?0, L?0

и доставляющие максимальное значение целевой функции:

Y=5*L^0.9*K^0.1>max

Граничная прямая бюджетного ограничения задаётся уравнением:

10K+90L=4000

т.к. =, то

K=L

т.о. 10L+90L=4000

100L=4000

L*=40

K*=40

MRTS_KL==10/90=0.11

Итак,

1. Фирма должна взять в аренду К*=40 тыс. ст.-час оборудования и нанять по контракту L*=40 тыс. чел.-час рабочей силы. В этом случае при имеющемся бюджетном ограничении будет выпущено максимальное количество продукции Y*=200

2. Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой MRTS_KL=0.11

3. Предельная эффективность финансовых ресурсов равна 0,05.

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очерёдность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Имя работы	A	B	С	D	E	F	G	H	Q	V
Опирается на работу	E	G		C,F,Q	V	E	V	G	V
Нормальный срок (дни)	22	33	47	11	22	11	11	33	39	11
Ускоренный срок (дни)	18	27	36	9	18	9	9	27	27	9
Нормальная стоимость (млн. руб.)	5,4	16,2	356,4	91,8	9	7,2	0,9	10,8	315,9	108
Плата за ускорение (млн. руб.)	6,6	19,8	465,3	112,2	11	8,8	1,1	13,2	456,3	132

Построим сетевой график строительства торгового павильона.

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Полные пути:

Рассчитаем раннее время наступления каждого события сетевого графика.

Таким образом, раннее время наступления конечного события сетевого графика составляет 61 день, то есть раньше, чем за 61 день, торговый павильон не может быть построен.

Следовательно,

, а

Стоимость строительства торгового павильона

S=5,4+16,2+356,4+91,8+9+7,2+0,9+10,8+315,9+108= 921,6 млн. руб.

Рассчитаем удельные затраты на ускорение работ:

Работа	A	B	С	D	E	F	G	H	Q	V
Максимальное сокращение времени выполнения (дни)	4	6	11	2	4	2	2	6	12	2
Удельные затраты на ускорение (млн. руб.)	1,65	3,3	42,3	56,1	2,75	4,4	0,55	2,2	38,025	66

Так как критический путь один, то можно сократить одну из работ, входящих в него. Работа Q имеет меньшие удельные затраты на сокращение, значит, на первом этапе её и нужно сократить.

Т.о. новая стоимость проекта S₁=S+38,025=959,625. После выполнения сокращения нового критического пути не появилось. Так как работу Q можно сократить ещё максимум на 11 дней, то мы воспользуемся этой возможностью и сократим её. Получим S_уск=S₁+38,025=959,625+38,025=997,65. Нового критического пути не появилось.

Новый сетевой график:

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Итак, стратегия минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дня (с 61 до 59 дней) состоит в следующем: необходимо уменьшить продолжительность работы Q на 2 дня. Ускорение строительства павильона обойдётся в S_уск=997,65 млн. руб., что на 76,05 млн. руб. больше, чем при нормальном режиме работы: S_уск - S=997,65-921,6=76,05 млн. руб. При ускоренном строительстве сроком 59 дней сетевой график проекта будет иметь 1 критический путь:

.

Размещено на Allbest.ru