Данилов Н. Н., Мешечкин В. В. Основы математической теории оптимальных процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

34

Раздел 1. Методологические основы теории оптимальных процессов

§1. Формализация задач оптимального управления

оптимальный управление детерминированный стохастический

Теория оптимальных процессов - это наука, которая занимается математическими моделями управляемых объектов и систем с целью выработки оптимальных способов управления ими.

Управляемыми называются объекты или системы, на которые можно воздействовать извне при помощи каких-либо "рычагов" с целью изменения их состояния в желаемом направлении.

Рассмотрим некоторую управляемую систему (или объект), состояние которой в любой момент описывается n параметрами. Обозначим через x_i(t) значение i-го параметра в момент t, i = 1,…, n. Вектор x(t) = (x₁(t),…, x_n(t)) называется (фазовым) состоянием системы. Формально это есть точка n-мерного пространства Rⁿ, которое называется пространством состояний или фазовым пространством. Пусть объект снабжен m "рулями". Обозначим через u_j(t) значение j-го управляющего параметра в момент t (положение j-го руля в момент t). Вектор u(t) = (u₁(t),…, u_m(t)) называется управлением (в момент t), т.е. это есть вектор m-мерного пространства R^m.

Под воздействием управления u(t) изменяется состояние x(t), т.е. объект приходит в "движение". Процесс управления будем считать непрерывным, т.е. будем считать, что состояние объекта изменяется непрерывно во времени. Поэтому будем предполагать, что задан непрерывный отрезок времени [t₀,T]. Движение объекта будем рассматривать при непрерывном изменении времени t[t₀,T]. Для описания движения объекта применяется формула производной от функции времени x(t):

.

Для разных систем движение, т.е. значение , определяется по-разному.

Предположим, что известна функция f, описывающая скорость изменения состояния x(t) под воздействием управления u(t): f: Rⁿ ЧR^m > Rⁿ или отображение

(x(t), u(t)) > f (x(t), u(t)).

Тогда мы можем написать:

t[t₀,T]. (1.1)

Это есть закон или уравнение движения (уравнение динамики) системы.

Под воздействием управления точка x(t), изменяясь во времени, описывает некоторую кривую в Rⁿ, которая называется траекторией движения. Для формального вычисления траектории надо интегрировать уравнение движения, а для этого нужно иметь начальные условия. Поэтому будем считать, что в начальный момент времени известно начальное состояние системы

. (1.2)

Система (1.1)-(1.2) составляет задачу Коши. Интегрируя ее, получаем описание траектории:

t₀ ? t ? T.

Если траектория определена на всем отрезке t[t_0,T], ее будем обозначать так (рис. 1.1):

.

Точно так же для управления, определенного на всем отрезке времени [t_0,T], будем писать: , где u(t) - значение управления в момент времени t.

Для формализации реального факта ограниченности ресурсов управления будем считать заданным множество U R^m такое, что в каждый момент времени t

u(t) U R^m. (1.3)

U называется множеством допустимых значений управляющих параметров. В самом простом случае U есть n-мерный параллелепипед:

или единичный круг:

.

Любая функция u, определенная на всем отрезке времени [t_0,T] и в каждый момент t[t₀,T] принимающая значение из заданного множества U, называется допустимым управлением: u: [t₀,T] > U.

Таким образом, любой управляющий параметр u(t) - постоянный вектор (мгновенное значение управления в момент t), а управление - это функция на [t₀,T] (рис. 1.2).

Множество всех допустимых управлений обозначим через U. Подчеркнем: U - множество точек, U - множество функций. В зависимости от рассматриваемой конкретной задачи допустимые управления могут иметь различные функциональные свойства (непрерывность, кусочная непрерывность, гладкость, измеримость и т.д.).

Пусть задано фазовое состояние x^T Rⁿ, в которое требуется привести систему в конечный момент T (цель управления), т.е. должно выполняться условие

x(T) = x^T. (1.4)

В дальнейшем будем предполагать, что для любого допустимого управления существует и единственна соответствующая ему траектория системы (1.1)-(1.2).

С помощью соотношений (1.1)-(1.4) может быть сформулирована задача управления: требуется найти такое допустимое управление , которое приводит систему (в силу уравнения (1.1)) из заданного начального состояния x⁰ в предписанное конечное состояние x^T.

Оказывается, что задача управления почти всегда разрешима и часто существует множество допустимых управлений, решающих эту задачу. Поэтому имеет смысл ставить более сложную оптимизационную задачу - задачу о наилучшем (в том или ином смысле) решении задачи управления. Другими словами, из всех управлений, решающих задачу управления, нужно найти то, которое соответствует, например, кратчайшему расстоянию, быстрейшему достижению точки, наименьшему расходу ресурсов, наименьшему риску и т.д.

Для формализации этого вопроса задается функционал качества, определенный на множестве всех траекторий системы (1.1)-(1.2). Этот функционал в общем случае имеет вид

, (1.5)

где функция f ⁰ оценивает мгновенный процесс (x(t), u(t)), а F - качество достижения конечной точки x(T). Первое слагаемое в (1.5) называется интегральной частью, а второе - терминальной. Функционал (1.5) каждой паре или соответствующей ей траектории ставит в соответствие число, оценивающее качество этой траектории.

Соотношения (1.1)-(1.5) образуют задачу оптимального управления, в которой требуется найти допустимое управление , переводящее систему из заданного начального состояния x⁰ в предписанное конечное состояние x^T так, чтобы вдоль соответствующей ему траектории функционал качества (1.5) принимал максимальное (минимальное) значение.

Другими словами, из числа всех допустимых управлений, решающих задачу управления, требуется найти то, которое максимизирует (минимизирует) функционал (1.5).

Управление, решающее эту задачу, называется оптимальным управлением, соответствующая ему траектория - оптимальной траекторией, а пара - оптимальным процессом.

Основными вопросами исследования в задачах оптимального управления являются:

- нахождение условий существования оптимальных управлений в различных классах допустимых управлений;

- нахождение необходимых и достаточных признаков оптимальности управлений;

- разработка методов вычисления оптимальных управлений.

§2. Примеры моделирования задач управления

Пример 1.1 (о мягкой посадке ракеты на Луне). Пусть в момент t = 0 ракета массы m находится на высоте h над поверхностью Луны и имеет скорость, направленную вниз. Зная предельное значение силы тяги двигателя и коэффициент пропорциональности расхода топлива к силе тяги двигателя, построить математические модели следующих задач:

выбрать такой режим работы двигателя, чтобы в некоторый заданный момент времени t =T ракета совершила мягкую посадку на поверхности Луны;

мягкую посадку совершить с минимальным расходом горючего.

Прежде всего, введем необходимые обозначения: x(t) - высота ракеты над поверхностью Луны в момент t, t[0,T]; u(t) - сила тяги двигателя в момент t; q(t) - расход топлива в момент t; - коэффициент пропорциональности q(t) и u(t); u_max - предельное значение силы тяги двигателя (const). Тогда математическая модель задачи I (задачи управления) выглядит так:

Здесь x(t) - фазовый параметр, u(t) - параметр управления, U = [0,u_max] - множество допустимых значений управляющих параметров, l - ускорение свободного падения на Луну.

Модель задачи II (задачи оптимального управления): к приведенной выше модели добавляется функционал качества

,

где J - общий расход топлива на отрезке [0,T].

В этой задаче место (точка) посадки ракеты не фиксировано, так как конечное условие x(T) = 0 выполняется на всей поверхности Луны. Поэтому из всех траекторий (управлений ), приводящих ракету на поверхность Луны, нужно найти оптимальные в смысле функционала J.

Однако даже если точка посадки была бы фиксирована, то все равно имеет смысл ставить оптимизационную задачу, так как существует множество траекторий (управлений), приводящих ракету в момент t =T в заданную точку.

Пример 1.2 (об экономическом росте).

Одной из важных задач ведения хозяйства на макроуровне (на уровне национальной экономики) является так называемая задача об экономическом росте, т.е. поддерживание роста экономических показателей на длительный период времени. Эту задачу можно формализовать и исследовать методами теории оптимальных процессов. Модель основывается на тенденциях уровня жизни, оцениваемых величиной потребления на одного рабочего. Цель управления состоит в выборе допустимой траектории на одного рабочего, вдоль которой достижима максимальная полезность от потребления товаров.

Горизонт экономического планирования есть [t₀,T]. Для любых t[t₀,T] введем в рассмотрение следующие величины: за фазовое состояние экономики возьмем капиталовооруженность на одного рабочего (k(t)); через обозначим выпуск продукции, приходящийся на одного рабочего (в стоимостном выражении); c(t) - потребление на одного рабочего (в стоимостном выражении); - коэффициент поддержания капиталовооруженности на прежнем уровне.

Считается известным начальный уровень капиталовооруженности k⁰ и задан конечный (к концу планового периода) уровень капиталовооруженности k^T - цель управления.

Скорость изменения фазового состояния можно задать следующим уравнением:

С точки зрения центрального планирующего органа (правительства), обладающего властью над развитием всей экономики, управляющим параметром является c(t). Очевидно, должно быть:

0 c(t) f(k(t)), t[t₀,T].

Задача управления: найти такую непрерывную функцию (управление) , которая в любой момент времени t удовлетворяет приведенным выше неравенствам и приводит систему из состояния k(t₀) = k⁰ в состояние k(T) = k^T.

Для того, чтобы поставить оптимизационную задачу, вводят так называемую функцию полезности:

- число, оценивающее полезность (качество) потребления в момент t в объеме c(t).

Теперь оптимизационную задачу можно получить, присоединив к задаче управления требование о максимизации "суммарной" на [t₀,T] полезности:

Недостаток такого критерия заключается в том, что полезность "будущего" (для t(t₀,T]) потребления оценивается точно так же, как полезность "сегодняшнего" (t = t₀) потребления. Поэтому применяют такой прием, как дисконтирование полезности, т.е. "приведение" полезности в любой момент t(t₀,T] к моменту t₀. Это достигается введением под интегралом дисконтирующего множителя , так что для любого t(t₀,T] величина

есть оценка полезности W(c(t)) в момент t₀. Эта оценка убывает с удалением t от t₀, т.е. "близкое" потребление оценивается выше, чем "далекое".

Итак, задача оптимального управления, как модель задачи оптимального экономического роста, получается присоединением к задаче управления функционала вида

§3. Классификация задач оптимального управления

Большое разнообразие задач оптимального управления, встречающихся в различных сферах человеческой деятельности, порождает различные классы моделей (математических постановок) таких задач. Их можно группировать (классифицировать) по различным признакам.

С точки зрения условий протекания процесса управления отличают детерминированные и стохастические системы (см. рис. 1.3).



В детерминированных системах движение управляемого объекта при заданных начальных условиях вполне точно и однозначно определяется выбором положения "рулей" в каждый момент времени. При их изучении никакие случайности во внимание не принимаются.

В стохастических системах в процесс управления вмешиваются случайные факторы, действия которых могут быть оценены лишь с некоторой вероятностью (состояние погоды, поведение противодействующих сторон, сбой в работе механизмов управления и т.д.). Для учета действия случайных факторов в модели (1.1)-(1.5) вводятся соответствующие изменения: в уравнение движения добавляется "возмущающий" элемент, вместо траекторий и значений критерия качества рассматриваются их математические ожидания и т.д. Изучению всех этих вопросов посвящена самостоятельная теория оптимального управления стохастическими системами.

По характеру движения (по динамическим свойствам) различают (рис. 1.4):

нелинейные системы (f - нелинейная функция);

линейные системы (f - линейная функция);

неавтономные системы (f явно зависит от t);

автономные системы (f не зависит явно от t).

По характеру фазового пространства (в зависимости от наличия или отсутствия запрещенных состояний системы) различают задачи с фазовыми ограничениями и без таковых (рис. 1.5.).

По протяженности во времени бывают задачи (см. рис. 1.6):

с фиксированным или нефиксированным временем окончания ();

с неограниченной продолжительностью.

По характеру условий на концах траекторий различают задачи (см. рис. 1.7):

с закрепленными концами;

с подвижными левым или правым концами;

с подвижными концами.

По характеру оценки качества управления, т.е. по виду функционала качества бывают задача Больца, когда (см. (1.5))

;

задача Лагранжа, когда

;

задача Майера, когда

.

И, наконец, по характеру управления можно говорить о задачах программного или позиционного управления. Последнюю еще называют задачей синтеза оптимального управления. Подробному рассмотрению видов управлений посвящен следующий параграф.

§4. Классы допустимых управлений

Определение 1.1. Любая функция называется программным управлением.

Программные управления используют в тех практических задачах, когда заранее принимается решение (программа) о том, в какие моменты времени управление должно быть скорректировано.

В качестве примера такого управления можно привести процесс вывода искусственного спутника Земли на желаемую орбиту. Состояние спутника в каждый момент времени описывается высотой подъема, скоростью и массой, а в качестве управления выступает режим работы двигателя ракеты-носителя. Поскольку непосредственно и непрерывно управлять полетом не представляется целесообразным, заранее составляется программа полета, которая и выполняется автоматически во времени.

Другим примером может послужить работа станков с числовым программным управлением в том случае, когда обратная связь невозможна по технологическим причинам. Для них определяются оптимальные режимы (давление, температура, рабочие объемы и др.), чтобы общая эффективность работы была максимальной, а затем составляется программа, обеспечивающая работу станка во времени в соответствии с введенными начальными параметрами.

Программное управление, как функция одной переменной, является наиболее простым для формирования и потому сравнительно несложным для исследования с точки зрения оптимальности, существования и вычисления. В то же время оно имеет существенный недостаток - конструируется без учета текущих фазовых состояний системы.

Это наглядно можно продемонстрировать на примере отопительной системы, с температурой нагрева помещения в качестве фазовой переменной и расходом горючего в котельной в роли управления. Очевидно, что любая программа ее работы должна ориентироваться не только на время года, но и учитывать погодные условия: в случае потепления необходимо снизить расход топлива и уменьшить температуру, а при похолодании - увеличить подачу топлива.

Поэтому более практичными по сравнению с программными управлениями являются позиционные управления.

Определение 1.2. Любая функция (или ) называется позиционным управлением. Задача нахождения позиционного оптимального управления называется задачей синтеза.

Применение того или иного вида позиционного управления определяется исходя из содержания исследуемой задачи.

Естественно, что исследование задачи синтеза с точки зрения проблем управления сложнее, чем задачи программного управления.

Примером системы с позиционным управлением может служить движущийся автомобиль. Его состояние в каждый момент характеризуется пройденным расстоянием (или местоположением) и скоростью движения. Эти две величины меняются с течением времени, но не самопроизвольно, а сообразно воле водителя, который может по своему желанию управлять работой двигателя, увеличивая или уменьшая развиваемую этим двигателем силу, а также изменять направление движения, меняя угол поворота руля. При этом он может вовремя отреагировать на внештатную ситуацию и скорректировать процесс в зависимости от текущего положения и скорости (повернуть, начать торможение или ускориться).

В качестве другого примера можно привести электрический утюг с терморегулятором. Здесь фазовыми координатами будут сила тока и температура нагрева, а управляющим параметром - положение регулятора. Чтобы избежать порчи утюга и ткани, следует не допускать перегрева и вовремя реагировать на скачки напряжения в сети. Поэтому и здесь целесообразным будет применение позиционного управления. При этом в математической постановке допускается зависимость управления только от текущего фазового состояния: .

Класс допустимых управлений уточняется указанием их функциональных свойств по каждому аргументу, что также продиктовано содержанием рассматриваемой задачи. Такими свойствами управлений являются (рис. 1.8):

непрерывность, кусочная непрерывность, в частности, линейность, кусочное постоянство;

гладкость, кусочная гладкость;

измеримость.

Часто по разным аргументам управление имеет разные свойства. Например, позиционное управление может быть непрерывным по t и измеримым по x.

При исследовании практической задачи очень важно правильное определение адекватного содержанию задачи класса допустимых управлений. Например, исследование вопросов управления искусственным спутником Земли в классе гладких по t функций, кажущееся, на первый взгляд, заманчивым, скорее всего, неверно, поскольку в этом классе управлений невозможно учитывать внештатные ситуации, требующие мгновенного переключения управления. Иначе говоря, в этой задаче среди гладких функций оптимального управления, скорее всего, нет, и нужно расширить класс допустимых управлений хотя бы до кусочно-гладких функций. Для точного ответа на этот вопрос перед математическим моделированием требуется доскональное изучение предметной области, дабы не получить псевдо-оптимального решения задачи.

Читателю предлагается самостоятельно проанализировать приведенные выше примеры с точки зрения определения для них подходящих функциональных свойств для допустимых управлений.

§5. Примеры задач оптимального управления

Для демонстрации области применения теории оптимальных процессов приведем краткое описание некоторых задач оптимального управления, которые, благодаря их типичности, часто встречаются во многих учебниках по теории оптимальных процессов. Эти задачи относятся к различным областям человеческой деятельности: технике, экономике, экологии и др. Но в то же время они являются "учебными" и служат, в основном, для иллюстрации некоторых теоретических положений. Очевидно, задачи и модели, представляющие непосредственный практический интерес, должны быть более подробными, глубокими и сложными. Учебные задачи - это первое приближение к реальным практическим задачам, их упрощенный аналог.

Максимизация дальности полета аппарата в атмосфере. Рассматривается летательный аппарат, положение которого описывается следующими параметрами: дальность и высота полета, величина и угол наклона к горизонту вектора скорости. Роль управлений играют угол атаки и функция, отвечающая возможности изменять в полете геометрию крыльев (т.е. их эффективную площадь). Требуется найти такие управляющие функции, которые доставляют максимум дальности полета.

С точки зрения приведенной в §3 классификации, данная задача является детерминированной задачей Майера с фазовыми ограничениями, нефиксированным временем окончания и подвижным правым концом траектории. К этому же классу относится и следующая задача. Заметим, что в этом примере, как и в рассматриваемых далее, ограничения на фазовые переменные обязательно включают в себя условия неотрицательности. Помимо этого, здесь могут использоваться ограничения на максимальную высоту полета, развиваемую скорость и т.п.

Задача о максимальной высоте подъема вертикально взлетающей в атмосфере ракеты-зонда. Состояние ракеты задается значениями высоты, скорости и массы. Задача состоит в выборе тяги, которая максимизировала бы высоту подъема при свободной продолжительности полета.

Задача ракетодинамики в однородном поле (задача об оптимальном в смысле расхода топлива движении ракеты в пустоте). Рассматривается управляемый ракетный аппарат, фазовое состояние которого задается координатами в трехмерном пространстве, вектором скорости и значением массы. Управление осуществляется выбором направления и абсолютного значения тяги ракеты. Требуется так управлять ракетой, чтобы в фиксированный (конечный) момент времени она достигла заданной точки, имея определенную скорость и израсходовав минимум топлива (т.е. имея максимально возможную массу).

В результате формализации получаем задачу Майера, которая отличается от предыдущих фиксированным временем окончания и закрепленными концами.

Устранение колебаний спутника на круговой орбите. Для ориентации спутников вдоль вертикали часто используется эффект собственной устойчивости, обусловленный слабым градиентом поля тяготения. Этот эффект приводит к колебаниям при отклонении от положения равновесия, которые требуется погасить с наименьшими затратами топлива, если сглаживание колебаний производится с помощью ракетного двигателя. В качестве фазовых переменных берутся угол и скорость отклонения оси спутника относительно текущего радиуса-вектора центра масс на орбите, управлением является тяга реактивного двигателя.

Данная задача представляет собой задачу с минимизацией интегрального критерия качества (подынтегральная функция обычно представляется в виде суммы квадратов отклонений фазовых переменных от состояния равновесия), фазовыми ограничениями, закрепленными концами и нефиксированным временем окончания.

Определение состава и боевого порядка системы локальной противовоздушной обороны. Рассматривается система ПВО, состоящая из нескольких типов оборонительного оружия для отражения различных приемов налета, доступных противнику. Необходимо определить, сколько оружия и какого типа должно быть предусмотрено в системе обороны. Состояние системы определяется бюджетом, выделенным для ее создания и эксплуатации, управлением является выбор средств обороны и вариантов их размещения. Каждое оружие характеризуется первоначальной стоимостью и стоимостью эксплуатации, его эффективность описывается математическим ожиданием числа атакующих целей, пораженных до достижения ими рубежа бомбометания. При этом система ПВО должна минимизировать бомбовый потенциал (т.е. число бомб), пропущенный к обороняемым объектам за все рассматриваемое время.

Данная задача - стохастическая задача Лагранжа с фазовыми ограничениями, подвижным правым концом траектории и неограниченной продолжительностью.

Тактическое воздушное сражение. Рассматривается тактическое воздушное сражение определенной продолжительности между воздушными силами двух противников, наносящими удары по аэродромам или поддерживающими наземные силы. Обе стороны в любой момент операции распределяют свои силы для одновременного выполнения этих двух задач. Каждая сторона испытывает определенные потери в результате аварий, катастроф и т.д. и, кроме того, теряет самолеты пропорционально интенсивности вражеских атак на ее аэродромы. Для каждого из противников заданы пополнения как функции времени. Целевые функционалы представляют собой разности между общими числами самолетовылетов для поддержки наземных сил той и другой стороны за время операции.

Математическая модель рассматриваемой задачи является дифференциальной игрой двух лиц с фазовыми ограничениями, фиксированным временем, интегральными критериями качества и подвижными правыми концами траекторий.

Анализ танковой дуэли. Рассматриваются два танка, движущиеся навстречу друг другу по прямой линии. Каждый из них может выбирать скорость, которая изменяется от минимального до максимального значения и играет роль управления. Фазовой переменной служит расстояние между танками. В зависимости от этого расстояния определяются вероятности того, что тот или иной танк будет поражен в конце дуэли. (Эти вероятности зависят от бронезащищенности, эффективности оружия и т.п.) Очевидно, что каждый танк будет максимизировать вероятность поражения противника.

Эта ситуация моделируется стохастической дифференциальной игрой с противоположными интересами, где правый конец траектории подвижен, а время окончания нефиксировано.

Распределение температуры в тонком стержне конечной длины с теплоизолированными концами. Состояние объекта описывается функцией распределения температуры по длине стержня и во времени, роль управления играет плотность тепловых источников. Задача состоит в отыскании такого управления, для которого распределение температуры как можно быстрее достигает заданного состояния.

Эта задача является частным случаем задачи Лагранжа - задачей на быстродействие. В данном случае в этой задаче имеются ограничения на фазовые переменные (т.е на температуру стержня), оба конца траектории закреплены, а время окончания процесса нефиксировано (и подлежит минимизации).

Оптимальный режим процесса ферментации. Рассматривается процесс выращивания бактерий в условиях ограничения по питательному субстрату. Фазовыми переменными являются концентрации бактерий (биомассы) и продуктов их метаболизма (целевых продуктов), а управлением - концентрация субстрата. Критерий оптимальности - съем целевого продукта за определенное время или полученный за это время доход от реализации данного продукта.

По введенной классификации эта задача - детерминированная задача Лагранжа с фазовыми ограничениями, фиксированным временем окончания и подвижным правым концом.

Задача об оптимальном управлении возрастной структурой популяции. Рассматривается непрерывная модель возрастной структуры популяции, разделенной на две возрастные группы. Управление заключается в том, что в обеих группах может происходить "пополнение-изъятие", а целью управления является максимизация дохода от урожая, за вычетом издержек на пополнение. Фазовыми переменными здесь, очевидно, являются численности популяций, а саму модель можно трактовать, например, как процесс эксплуатации некоторого водоема посредством выпуска мальков и отлова взрослых экземпляров рыбы.

После формализации получается задача Лагранжа (максимизируется суммарный доход на всем рассматриваемом промежутке времени) с фазовыми ограничениями (численность популяции не может быть отрицательна и в то же время не должна превосходить некоторого предела, за которым начинается перенаселенность) и подвижным правым концом траектории.

Управление рубками на ограниченной территории леса. Рассматривается лесозаготовительное предприятие, действующее на определенном участка леса, на котором произрастают различные породы деревьев. Фазовыми переменными служат мощность предприятия и площадь леса, занятая каждой породой; управлениями являются инвестиции и интенсивность рубок; целевой функционал представляет собой прибыль леспромхоза за все время его функционирования. Уравнение динамики леса может учитывать смену одних пород другими, естественный прирост, деятельность предприятия, возникновение пожаров и т.п.

Получившаяся задача - задача Лагранжа с подвижным правым концом и ограничениями на фазовые переменные (условия неотрицательности, максимально возможная мощность предприятия, ограничения на площадь леса).

Задача об оптимизации мясозаготовок. На ферме имеется стадо скота. Ежегодно часть стада отправляется на мясозаготовки, причем доход фермы зависит от количества проданного скота. Численность стада возрастает за счет естественного прироста и уменьшается в результате мясозаготовок. Фазовой переменной выступает количество скота на ферме в конце каждого года после мясозаготовок, управляющим параметром - количество проданного на мясо скота. Требуется определить, каким образом ферма может получить максимальный доход за несколько лет при определенном минимуме ежегодных мясозаготовок и заданном значении поголовья скота на конец планового периода.

Математическая модель этой задачи является дискретной детерминированной задачей Лагранжа с ограничениями на фазовые переменные, фиксированным временем окончания и закрепленными концами (известно начальное поголовье и задан план на конец рассматриваемого периода). Критерий качества определяется как сумма ежегодных доходов, получаемых от мясозаготовок.

Сотрудничество организаций в выполнении совместного проекта. Несколько организаций приступают к выполнению заказа, состояние которого выступает в качестве фазовой переменной. При этом задано начальное состояние проекта и состояние, при достижении которого заказ считается выполненным. Весь объем работ разбивается на части и поручается различным исполнителям (организациям). Ставится задача выполнения заказа за возможно более короткий срок при заданных затратах. Управление интерпретируется как скорость выделения капитала для каждой отдельной организации, а каждая организация пытается минимизировать время выполнения своей части заказа. Подобная постановка может встречаться при составлении и реализации планов капитального строительства в случае нескольких субподрядных организаций.

В результате формализации получаем многокритериальную задачу оптимального быстродействия (т.е. дифференциальную игру) с закрепленными концами и нефиксированным временем окончания.

Задача оптимального распределения капитальных вложений в отрасли на заданном интервале планирования. Состояние отрасли описывается величиной основных производственных фондов, количество которых растет за счет капитальных вложений и уменьшается за счет физического и морального износа. Капитальные вложения в отрасль играют роль управлений, а критерий оптимальности процессов одновременно учитывает экономию капиталовложений, с одной стороны, и увеличение основных производственных фондов отрасли к концу рассматриваемого срока - с другой. Эту задачу можно обобщить на случай нескольких отраслей. Тогда распределение капитальных вложений нужно осуществить не только во времени, но и между отраслями, которые являются "конкурентами".

Эта задача является задачей Больца с подвижным правым концом и фиксированным временем окончания.

Оптимальное распределение ресурсов. Некоторая заданная начальная сумма денег затрачивается на приобретение оборудования двух типов А и В. С помощью этого оборудования организуется производство. Распределяя имеющиеся средства между различными типами оборудования, к концу срока эксплуатации получаем определенный экономический эффект. Затем амортизированное оборудование реализуют (частично или полностью), а вырученные средства используют как начальную сумму для следующего цикла, и т.д. Требуется найти такую стратегию распределения средств для покупки оборудования типов А и В в каждом цикле, чтобы обеспечить наибольший экономический эффект после фиксированного числа производственно-экономических циклов.

В результате моделирования получаем дискретную задачу Лагранжа (максимизируется сумма экономических эффектов по всем циклам), в которой, в отличие от предыдущей, правый конец траектории подвижный. Управляющими параметрами являются распределения средств между разными типами оборудования, а в роли переменных состояния выступают количества единиц оборудования типов А и В в каждом цикле.

Вопросы для самопроверки

Что такое теория оптимальных процессов?

Как задается движение объекта?

Из каких элементов состоит задача оптимального управления и чем она отличается от задачи управления?

Каковы основные проблемы исследования в задачах оптимального управления?

Каковы классифицирующие признаки задач оптимального управления?

В чем отличие детерминированных и стохастических систем?

Какой характер (интегральный или терминальный) имеет целевой функционал в каждой из задач Больца, Лагранжа, Майера и каков его смысл?

Чем различаются программное и позиционное управление?

Размещено на Allbest.ru