Решение математических и экономических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант №2

Задача №1

Решить прямую задачу потребителя (найти оптимальную потребительскую корзину).

Дано: функция полезности потребителя

Цена блага х равна 10, цена блага у равна 15, доход потребителя равен 200.

Найти: оптимальный набор благ потребителя (х; у).

Решение:

Оптимальный набор благ потребителя - это такой набор значений (х; у), при котором функция U достигает максимума.

Составим бюджетное ограничение:

10х+15у=200

Исследуем функцию U на экстремум при условии, что 10х+15у=200.

10х+15у=200

Тогда:

+ -

х

0 10 20 U

х=10 - точка максимума

у=

Ответ: оптимальная потребительская корзина: х=10, у

Задача №2

Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается формулой:

Найти предельные издержки при объеме производства Q=10.

Решение:

Предельные издержки

МС=(C)^/=20-0,21Q²

При Q=10 МС=20-0,21*100= -1

Ответ: -1.

Задача №3

Производственная функция задается формулой:

,

где Q - выпуск,

К - капитал,

L - труд.

Найти:

а) Предельные продукты труда и капитала при K=10, L=20.

б) Коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу и объяснить их экономический смысл для полученных значений.

Решение:

а) Предельный продукт капитала определяется формулой:

При K=10, L=20:

Предельный продукт труда определяется формулой:

При K=10, L=20:

б) В формуле производственной функции Кобба-Дугласа:

Q=A

- эластичность выпуска по капиталу

- эластичность выпуска по труду

Эластичность выпуска по капиталу равна 0,5; эластичность выпуска по труду 0,3.

Коэффициенты эластичности выпуска по капиталу и труду показывают, что увеличение капитала на 1% ведет к росту выпуска на 0,5%, а приращение труда на 1% обуславливает увеличение выпуска на 0,3%.

Задача №4

Функция спроса задается формулой:

,

где С - товар,

D-доход,

Р - цена товара.

1) Найти предельный спрос по доходу и цене при D=50, Р=3.

2) Коэффициенты эластичности спроса по доходу и цене и объяснить их экономический смысл для полученных значений.

Решение:

1) Предельный спрос по доходу равен:

При D=50, Р=3 находим, что:

=3,53

Предельный спрос по цене равен

При D=50, Р=3 находим, что:

= - 19,6

2) Коэффициент эластичности спроса по доходу определяется формулой:

Коэффициент эластичности спроса по цене определяется формулой:

Коэффициент эластичности спроса по доходу показывает, что увеличение дохода на 1% ведет к росту спроса на 0,6%. Коэффициент эластичности спроса по цене показывает, что увеличение цены на 1% ведет к уменьшению спроса на 0,2%.

Задача №5

Конечная игра в нормальной форме задана следующей платежной матрицей: . Найти верхнюю и нижнюю цены матричной игры.

Решение:

? -нижняя цена игры, или максимальный выигрыш (максимин). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В.

? - верхняя цена игры или минимаксный выигрыш (минимакс). Это гарантированный проигрыш игрока В.

Ответ: верхняя цена игры равна 5, нижняя цена игры равна 5.

Задача №6

Найти минимум функции:



при условии .

Решение:

Тогда:

+ -

х

0 10 20 U

х= - точка минимума

у=

Ответ: минимальное значение функции равно .

Задача №7

Решить задачу линейного программирования. Найти максимальное значение целевой функции

при ограничениях:

Решение:

Решим задачу геометрическим методом.

Построим прямые и и определим какую часть полуплоскости задают соответствующие неравенства.

у

6 С

3

В

1

х

0 1 4 А 6

Строим направляющий вектор целевой функции . Двигаясь снизу вверх в направлении роста целевой функции, находим самую верхнюю точка, которая и будет являться точкой максимума функции. Это точка В.

Найдем координаты точки В. Эта точка образуется при пересечении прямых:

и

В(4;2)

Ответ:

Задача №8

Для 10 различных семей получены следующие статистические данные величин их накоплений Y (в виде банковских вкладов) и величин их совокупных доходов Х (за месяц) в некоторых условных единицах.

Х	5	7	12	16	21	27	32	37	38	43
У	8	13	29	45	95	127	120	170	220	310

а) Найдите величины:

, , , , , , , ,

б) Постройте модель парной линейной регрессии

в) Найдите стандартные оценки S_a, S_b, коэффициент детерминации R². Оцените достоверность расчетов и их погрешность.

Решение:

б) Постройте модель парной линейной регрессии

Параметры уравнения находятся методом наименьших квадратов. Для этого составляется система:

Из этой системы a и b определяются по формулам:

уравнение линейной регрессии:

в) Найдем стандартные оценки S_a, S_b

S_a=

,

где

Х	У
5	8	-14,9	524,41	353,44	11172,49
7	13	-1,3	204,49	282,24	10140,49
12	29	32,7	13,69	139,24	7174,09
16	45	59,9	222,01	60,84	4719,69
21	95	93,9	1,21	7,84	349,69
27	127	134,7	59,29	10,24	176,89
32	120	168,7	2371,69	67,24	39,69
37	170	202,7	1069,29	174,24	3169,69
38	220	209,5	110,25	201,64	11299,69
43	310	243,5	4422,25	368,64	38533,69
Сумма			8998,58	1665,6	86776,1

S_a=

Коэффициент детерминации R² рассчитывается по формуле:

Оцените достоверность расчетов по критерию Стьюдента.

Выберем уровень значимости 5%.

Выдвигаем гипотезу:

H₀:

Н₁:

Так как , то гипотезу Н₀ принимаем - параметр не достоверен.

Выдвигаем гипотезу:

H₀:

Н₁:

Так как , то гипотезу Н₀ отвергаем и принимаем гипотезу о существенности параметра b.

Для оценки погрешности вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

Погрешность модели составляет 26,4%.

Задача №9

Имеются ежемесячные (номера месяца - переменная Х) данные о выпуске продукции на производственном предприятии (количество - переменная У) в некоторых единицах:

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
У	15	36	48	89	150	270	346	400	420	380	490	430

Найдите значения параметров a,b,c для следующих моделей:

,

,

,

,

,

.

Вычислите коэффициенты детерминации для них. Выберите наиболее подходящую модель и обоснуйте.

Решение:

1) Определим параметры уравнения:

	X	Y	XY	Х2
	1	15	15	1	-2,603	309,87	58162,97
	2	36	72	4	44,446	71,335	48474,83
	3	48	144	9	91,495	1891,8	43334,75
	4	89	356	16	138,54	2454,6	27945,81
	5	150	750	25	185,59	1266,9	11272,07
	6	270	1620	36	232,64	1395,6	191,27
	7	346	2422	49	279,69	4396,9	8069,43
	8	400	3200	64	326,74	5367	20687,07
	9	420	3780	81	373,79	2135,5	26840,27
	10	380	3800	100	420,84	1667,7	15333,87
	11	490	5390	121	467,89	488,98	54676,47
	12	430	5160	144	514,94	7214,1	30216,87
Сумма	78	3074	26709	650	3074	28660	345205,67
Среднее	6,5	256,17	2225,8	54,167

2) Определим параметры уравнения из системы:

	X	Y	X4	X3	X2	YX2	YX
	1	15	1	1	1	15	15	-39,74	2996,4676
	2	36	16	8	4	144	72	27,55	71,4025
	3	48	81	27	9	432	144	90,78	1830,1284
	4	89	256	64	16	1424	356	149,95	3714,9025
	5	150	625	125	25	3750	750	205,06	3031,6036
	6	270	1296	216	36	9720	1620	256,11	192,9321
	7	346	2401	343	49	16954	2422	303,1	1840,41
	8	400	4096	512	64	25600	3200	346,03	2912,7609
	9	420	6561	729	81	34020	3780	384,9	1232,01
	10	380	10000	1000	100	38000	3800	419,71	1576,8841
	11	490	14641	1331	121	59290	5390	450,46	1563,4116
	12	430	20736	1728	144	61920	5160	477,15	2223,1225
Сумма	78	3074	60710	6084	650	251269	26709	3071,06	23186,036
Среднее	6,5	256,17

Решив систему нашли, что А=-111,09; В=78,38; С=-2,03.

3) Определим параметры уравнения

Обозначим .

Приходим к линейной модели: .

Тогда

	X	Y
	1	15	0	0	0	-108,40	15227,56
	2	36	0,69	24,953	0,48	42,91	47,80
	3	48	1,10	52,733	1,21	131,43	6960,07
	4	89	1,39	123,38	1,92	194,23	11072,94
	5	150	1,61	241,42	2,59	242,94	8637,90
	6	270	1,79	483,78	3,21	282,74	162,34
	7	346	1,95	673,28	3,79	316,39	876,62
	8	400	2,08	831,78	4,32	345,54	2965,66
	9	420	2,20	922,83	4,83	371,25	2376,16
	10	380	2,30	874,98	5,30	394,25	203,19
	11	490	2,40	1175	5,75	415,06	5615,92
	12	430	2,48	1068,5	6,17	434,06	16,44
Сумма	78	3074	19,99	6472,6	39,57	3062,41	54162,62
Среднее	6,5	256,17	1,67	539,38	3,30

4) Определим параметры уравнения .

Проведем лианеризацию функции:

Переобозначим:

,

.

Приходим к линейной модели: .

Тогда:

	Х	Y			X2
	1	15	2,71	2,71	1	3,72	127,14
	2	36	3,58	7,17	4	7,43	816,52
	3	48	3,87	11,61	9	14,80	1102,00
	4	89	4,49	17,95	16	29,51	3538,57
	5	150	5,01	25,05	25	58,84	8309,65
	6	270	5,60	33,59	36	117,32	23312,50
	7	346	5,85	40,93	49	233,89	12567,74
	8	400	5,99	47,93	64	466,32	4398,11
	9	420	6,04	54,36	81	929,71	259800,14
	10	380	5,94	59,40	100	1853,57	2171406,10
	11	490	6,19	68,14	121	3695,49	10275163,86
	12	430	6,06	72,77	144	7367,76	48132445,90
Сумма	78	3074	61,34	441,61	650	14778,35764	60892988,24
Среднее	6,5	256,17	5,11	36,80	54,167



5) Определим параметры уравнения .

Проведем лианеризацию функции:

Переобозначим:

,

,

.

Приходим к линейной модели:

.

Тогда:



	Х	Y			X2
	1	15	2,71	2,71	1	3,72	127,30
	2	36	3,58	7,17	4	7,40	818,10
	3	48	3,87	11,61	9	14,72	1107,49
	4	89	4,49	17,95	16	29,29	3564,72
	5	150	5,01	25,05	25	58,30	8409,54
	6	270	5,60	33,59	36	116,01	23712,93
	7	346	5,85	40,93	49	230,86	13257,25
	8	400	5,99	47,93	64	459,41	3529,68
	9	420	6,04	54,36	81	914,23	244261,40
	10	380	5,94	59,40	100	1819,31	2071624,48
	11	490	6,19	68,14	121	3620,43	9799621,08
	12	430	6,06	72,77	144	7204,66	45896085,16
Сумма	78	3074	61,34	441,61	650	14478,35	58066119,14
Среднее	6,5	256,17	5,11	36,80	54,167

6) Определим параметры уравнения .

Проведем лианеризацию функции:

Переобозначим:

,

,

.

Приходим к линейной модели: .

Тогда:

	X	Y
	1	15	0,00	2,71	0,00	0	13,10	3,61
	2	36	0,69	3,58	2,48	0,4805	37,57	2,46
	3	48	1,10	3,87	4,25	1,2069	69,58	465,77
	4	89	1,39	4,49	6,22	1,9218	107,75	351,42
	5	150	1,61	5,01	8,06	2,5903	151,25	1,57
	6	270	1,79	5,60	10,03	3,2104	199,55	4962,59
	7	346	1,95	5,85	11,38	3,7866	252,24	8790,25
	8	400	2,08	5,99	12,46	4,3241	309,01	8279,76
	9	420	2,20	6,04	13,27	4,8278	369,59	2541,19
	10	380	2,30	5,94	13,68	5,3019	433,78	2892,48
	11	490	2,40	6,19	14,85	5,7499	501,40	130,06
	12	430	2,48	6,06	15,07	6,1748	572,30	20250,43
Сумма	78	3074	19,99	61,34	111,76	39,57	3017,14	48671,60
Среднее	6,5	256,17	1,67	5,11	9,31	3,30

Наиболее подходящая модель - полином второй степени:

,

т.к. для этой модели коэффициент детерминации наиболее близок к единице.

Задача №10

задача стьюдент лианеризация функция линейный

При исследовании выборки из n=24 данных, представляющих собой расходы на электроэнергию Y при различной величине выпуска продукции Х, производственным предприятием получена следующая парная линейная регрессия:

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии: S_а=1,8; S_b=0,035.

При этом коэффициент корреляции r=0,65.

Пользуясь критерием Стьюдента, найдите доверительные интервалы для параметров a,b и проверьте гипотезу r=0 для следующих уровней значимости: =20%; 10%; 5%; 2,5%; 1%; 0,5%.

Решение:

Формулы доверительных интервалов существования коэффициентов регрессии имеют следующий вид:



где ;

Выберем уровень значимости 5%. Табличное значение t-критерия Стьюдента при и k=n-2=24-2=22 будет равно T_табл=2,07.

Для параметров d_a, d_b определим их значения:

Таким образом доверительные интервалы для a и b выглядят следующим образом:

Для проверки значимости коэффициента корреляции выдвигаются две гипотезы:

Выдвигаем гипотезу:

H₀:

Н₁:

Рассчитываем величину

По таблице значений Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы к=n-2 находим критическое значение

Если , то гипотезу Н₀ принимаем, в противном случае принимаем гипотезу Н₁.

1) , к=22

гипотезу отвергаем

2) , к=22

гипотезу отвергаем

3) , к=22

гипотезу отвергаем

4) , к=22

гипотезу отвергаем

5) , к=22

гипотезу отвергаем

Размещено на Allbest.ru