Области приложения нечетких концепций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство внутренних дел

Национальный Университет внутренних дел

Курсовая работа

по дисциплине: Системный анализ и теория принятия решения

Харьков 2004

Содержание

Введение

1. Понятие нечеткого множества

2. Операции над нечеткими множествами

3. Приложение к задачам оптимизации

4. Приложение к задачам теории управления

5. Приложения в технической диагностике

Литература

Введение

Изучение окружающего нас мира, проектирование новой техники и создание новых технологий невозможны без проведения разнообразных экспериментов. При этом далеко не всегда могут быть поставлены натурные эксперименты, зачастую они слишком дороги и требуют значительного времени, во многих случаях их проведение связано с риском и большими материальными или моральными издержками. В таких ситуациях предпочтительнее компьютерное моделирование, которое, однако, невозможно без использования математических моделей изучаемых объектов и процессов или проектируемых изделий.

Одним из главных требований к таким моделям является требование адекватности, то есть соответствия модели рассматриваемому явлению. Для многих технических систем и их элементов давно существуют весьма точные модели, которые зарекомендовали себя настолько хорошо, что зачастую удается провести процесс проектирования без обращения к натурному эксперименту. Этап испытаний изготовленных изделий (его можно рассматривать как натурный эксперимент) необходим в основном для выявления производственных дефектов.

Иначе обстоит дело со сложными системами, где человек играет активную роль. Здесь действует так называемый принцип несовместимости [1]: для получения существенных выводов о поведении сложной системы необходимо отказаться от высоких стандартов точности и строгости, которые характерны для сравнительно простых систем, и привлекать к ее анализу подходы, которые являются приближенными по своей природе.

Один из таких подходов был предложен Л. Заде [1], он связан с введением так называемых лингвистических переменных, описывающих неточное (нечеткое) отражение человеком окружающего мира. Для того чтобы лингвистические переменные стали полноправными математическими объектами, потребовалось расширить одно из базовых понятий математики - понятие множества. Для этого было введено определение нечеткого множества и разработана теория нечетких множеств, включившая в себя обычные множества как частный случай.

Категория нечеткости и связанные с ней модели и методы очень важны с мировоззренческой точки зрения, поскольку с их появлением стало возможно подвергать количественному анализу те явления, которые раньше либо могли быть учтены только на качественном уровне, либо требовали использования весьма грубых моделей.

1. Понятие нечеткого множества

В классической теории множеств непустое подмножество А из универсального множества Х однозначно определяется характеристическим функционалом

(1.1)

т.е. подмножество А определяется как совокупность объектов, имеющих некоторое общее свойство, наличие или отсутствие которого у любого элемента х задается характеристическим функционалом. Причем относительно природы объекта не делается никаких предположений.

Задание некоторого множества в этом случае эквивалентно заданию его характеристического функционала, поэтому все операции над множествами можно выразить через действия над их характеристическими функционалами.

Основные операции объединения, пересечения и разности двух подмножеств А и В из Х с характеристическими функционалами соответственно определяются следующим образом для каждого х Х:

(1.2)

Операции объединения и пересечения могут быть записаны также в несколько ином виде:

(1.3)

Однако такие понятия, как множество “больших" или "малых величин”, уже не являются множествами в классическом смысле, так как не определены границы их степеней малости, которые позволили бы провести классификационную процедуру (1.1) и четко отнести каждый объект к определенному классу. Большинство классов реальных объектов и процессов относятся именно к такому нечетко определенному типу. Поэтому возникает необходимость введения понятия о нечетком подмножестве как о классе с непрерывной градацией степеней принадлежности.

Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия множества в классическом смысле, на пространстве объектов Х={x} вводится уже не функционал вида (1.1), а характеристическая функция, задающая для всех элементов степень наличия у них некоторого свойства, по которому они относятся к подмножеству А. Эта характеристическая функция для нечеткого множества традиционно носит название функции принадлежности.

Нечеткое подмножество А множества Х характеризуется функцией принадлежности , которая ставит в соответствие каждому элементу х Х число из интервала [0, 1], характеризующее степень принадлежности элемента х подмножеству А. Причем 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству.

Точкой перехода А называется элемент х множества Х, для которого

.

Если в классической теории множеств понятие характеристического функционала играет второстепенную роль, то для нечетких множеств функция принадлежности становится единственно возможным средством их описания. С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. В этом смысле ТНМ можно рассматривать как теорию функций специального вида - обобщенных характеристических функций.

Численное значение функции принадлежности характеризует степень принадлежности элемента некоторому нечеткому множеству, являющемуся в выражении естественного языка некоторой, как правило, элементарной характеристикой явления (степени загрязненности участка газопровода, степени эффективности режима, степени обводненности продукции газовых скважин и т.д.).

Л. Заде ввел понятие лингвистической переменной [98], значениями которой являются слова и или предложения естественного языка, которые описываются нечеткими значениями.

Например, лингвистическая переменная ВОЗРАСТ принимает нечеткие значения молодой, не молодой, старый, не очень старый и т.д.

Пример 1.1. Нечеткое подмножество, обозначаемое термином старый, можно определить функцией принадлежности

Рис. 1.1. Функция принадлежности для значений термина старый

В этом примере носителем нечеткого множества старый является интервал [50, 100], а точкой перехода значение x=55.

Другими примерами нечетких ситуаций могут служить модели и принятие решения для процессов обводнения скважин и газовых месторождений, загидрачивания газопроводов, износа оборудования и т.д. Все эти процессы протекают монотонно и трудно бывает выделить четкую границу между допустимыми и недопустимыми состояниями (например, до которой можно считать трубу чистой и за которой ее состояние становится загрязненным).

Существуют достаточно четкие области, где классификация, а соответственно и решения, будут достаточно однозначными - область, близкая к идеальному состоянию трубы, и область, близкая к полному загрязнению (закупорка). Наиболее сложно принимать решение, когда состояние системы приходится на переходный режим между этими двумя крайними состояниями, и когда этот переход не скачкообразен, а непрерывен. Такая ситуация очень типична для реальных систем, и многие понятия естественного языка не могут быть формализованы с помощью классических математических понятий, так как граница между двумя классифицируемыми состояниями (например, “чистый” - “загрязненный”) является нечеткой, размытой.

Таким образом, основное предположение состоит в том, что нечеткое множество, несмотря на расплывчатость его границ, может быть точно определено путем сопоставления каждому элементу х числа, лежащего между 0 и 1, которое представляет степень его принадлежности к А.

Носителем нечеткого подмножества А называется четкое подмножество из Х, на котором

>0: (1.4)

Для практических приложений носители нечетких множеств всегда ограничены. Так, носителем нечеткого множества допустимых режимов для системы может служить четкое подмножество (интервал), для которого степень допустимости не равна нулю (рис.1.2).

Рис.1.2. Понятие носителя нечеткого множества (выделен жирной чертой)

Высотой d нечеткого множества А называется максимальное значение функции принадлежности этого множества .

Если d = 1, то нечеткое множество называется нормальным.

Одноточечным нечетким множеством называется множество, носитель которого состоит из единственной точки. Нечеткое множество А иногда рассматривают как объединение составляющих его одноточечных множеств:

,

где знак + обозначает операцию объединения;??i - степень принадлежности х i множеству А.

F- множествами называют совокупность всех нечетких подмножеств F(X) произвольного (базового) множества Х, а их функции принадлежности F -функциями. Как правило, под понимают сужение функции принадлежности со всего Х на .

Для обозначения F-множеств используют запись вида:

.

Например,

Кроме того, при необходимости данная форма обозначения может применяться и для обычных (четких) подмножеств из Х.

2. Операции над нечеткими множествами

Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда нечеткое множество является четким (обычным), эти операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.

Начнем с отношения между множествами. Пусть A и B - нечеткие множества; будем говорить, что A содержится в B, и обозначать A K B, если

" x k U, mA(x) # mB(x).

Например, если A - множество чисел, очень близких к 10, а B - множество чисел, близких к 10, то A K B. Формально это можно проверить используя функции принадлежности, описанные выше. Если A и B - обычные множества, а mA и mB - характеристические функции, то из неравенства (1) следует, что если некоторый элемент x принадлежит A, то есть mA(x) = 1, то он принадлежит и B, поскольку mB(x) = 1. Таким образом, определение (1) корректно в том смысле, что в частном случае оно переходит в известное.

Два нечетких множества A и B равны в том и только том случае, если равны их функции принадлежности.

Объединением нечетких множеств A и B называется нечеткое множество, обозначаемое A > B, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

"x k U, mA > B(x) = max {mA(x), mB(x)}.

Пересечение множеств A < B определяется функцией принадлежности

"x k U, mA < B(x) = min {mA(x), mB(x)}.

Дополнение нечеткого множества A имеет функцию принадлежности На рис. 2 приведены функции принадлежности соответствующих множеств.

Алгебраическое произведение множеств A и B - это множество A " B с функцией принадлежности

mA J B(x) = mA(x)mB(x).

Нетрудно проверить, что в случае обычных множеств эта операция переходит в пересечение множеств, которое, таким образом, имеет в теории нечетких множеств два обобщения: алгебраическое произведение и пересечение. Аналогично обстоит дело и с операцией объединения - в теории нечетких множеств ей соответствуют операции объединения и алгебраической суммы A + + B с функцией принадлежности

mA + B(x) = mA(x) + mB(x) - mA(x)mB(x).

Для операций объединения, пересечения и дополнения нечетких множеств остаются справедливыми практически все свойства соответствующих обычных операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. (правила де Моргана)

При этом, и например, если A - множество целых неотрицательных чисел, не очень далеких от 0, то функция mA может иметь вид

mA = {(0; 1), (1; 1), (2; 1), (3; 0,9), (4; 0,8), _, (9; 0,3), _}.

По определению, - множество целых, не очень близких к 0, и

= {(0; 0), (1; 0), (2; 0), (3; 0,1), (4; 0,2), _, (9; 0,7), _}.

Тогда - множество целых, не очень далеких от 0 и одновременно не очень близких к 0:

= {(0; 0), (1; 0), (2; 0), (3; 0,1), (4; 0,2), _, (9; 0,3), _}.

Операции алгебраического произведения и алгебраической суммы обладают более ограниченным набором свойств, для них не выполняется дистрибутивность, но правила де Моргана остаются в силе: и Другие операции и понятия, связанные с нечеткими множествами, можно найти, например, в [1, 3].

3. Приложение к задачам оптимизации

Использование категории нечеткости может дать новый взгляд на решение задач оптимизации. Рассмотрим это на примере определения наибольшего значения функции y = f (x) при ограничении на переменную x: x # c. Из рис. 3 видно, что при заданном виде целевой функции решение достигается в точке c.

Обсудим ограничение x # c. Иногда оно носит объективный характер (например, обусловлено законами природы, ограниченными ресурсами и т.д.) и, безусловно, должно соблюдаться. Нередко же его наличие связано с субъективными причинами, в частности нежеланием лица, поставившего задачу, выйти за определенные пределы (в данном случае превысить число c). В этом случае более реалистичным является подход, когда ограничение формулируется нечетким образом: "переменная x не должна быть существенно больше числа c".

Введем функцию f *

Ясно, что f *(x) # 1 и, следовательно, в интервале, где f *(x) $ 0, эту функцию можно рассматривать в качестве функции принадлежности некоторого нечеткого множества. По условию задачи необходимо найти максимальное значение f *(x) при выполнении нечеткого ограничения на переменную x. Это отвечает операции пересечения соответствующих нечетких множеств и дает функцию принадлежности m*, показанную на рис. 3 красной линией. Ее можно рассматривать как нечеткую инструкцию решения задачи. С позиции нечеткого подхода этой инструкции наилучшим образом соответствует ее наибольшее значение, достигаемое при x = x*, что можно считать решением задачи; ясно, что f (x*) > f (c).

Данную задачу можно также рассматривать как многокритериальную, поскольку, с одной стороны, требуется найти наибольшее значение функции f (или f *), а с другой - наилучшим образом удовлетворить нечеткому ограничению, что также приводит к необходимости поиска наибольшего значения функции принадлежности m. Известно, что такие задачи, как правило, не имеют решения, если не привлекать дополнительные соображения, приводящие, в частности, к переходу от многих критериев к одному тем или иным способом (так называемая свертка критериев). Одним из таких способов является описанный выше переход к функции принадлежности m*. Более подробно с многокритериальными задачами можно познакомиться в [2].

Возможна постановка таких задач оптимизации, где нечеткими являются как ограничения, так и критерий оптимальности [4].

4. Приложение к задачам теории управления

Одной из обширных областей приложения нечетких концепций является теория управления техническими системами. При этом имеются в виду не только сложные системы, существенной составляющей которых является человек с его нечеткими представлениями, но и сравнительно простые системы, работающие без вмешательства человека. Как уже говорилось во введении, для многих таких систем известны весьма точные модели, которые позволяют строить оптимальные алгоритмы управления. Тем не менее даже в этом случае использование нечетких представлений может дать заметный эффект. Дело в том, что для построения оптимальных алгоритмов управления необходимо знать точные значения параметров системы. Последние нередко известны только приближенно, причем в процессе работы системы они могут изменяться в широких пределах. Кроме того, при функционировании системы на нее действуют различные внешние факторы, которые имеют случайный характер и не всегда могут быть адекватно отражены в алгоритме управления.

Сказанное приводит к тому, что эффективность алгоритма управления (выраженная каким-либо критерием), весьма высокая для расчетных значений параметров системы, резко падает при изменении этих параметров. Один из путей преодоления этого недостатка состоит в использовании нечетких моделей и нечетких алгоритмов управления, которые имеют меньшую эффективность для расчетных значений параметров, но сохраняют ее почти постоянной в широком диапазоне изменения этих значений (кривая 2 на рис. 4).

Реализация этого подхода состоит из трех основных этапов: 1) фазификация - переход от точных исходных данных решаемой задачи к нечетким на основе входных функций принадлежности, 2) решение задачи с использованием нечетких рассуждений (нечеткой логики), 3) дефазификация - переход от нечетких инструкций к четким на основе выходных функций принадлежности.

Проиллюстрируем этот подход на простом примере управления уличным движением, заимствованным из работы [5]. Входным точным значением здесь является плотность потока r автомашин на некоторой дороге (предполагается, что r # 1); выходным - длительность зеленого сигнала t (для простоты рассуждений плотность движения на пересекаемой дороге принимается примерно постоянной). Введем две лингвистические переменные: "плотность потока автомашин" с термами "малая", "средняя", "большая" и "длительность зеленого сигнала" с термами "короткая", "средняя", "большая". Нечеткая инструкция управлением этой системой может сводиться к трем простым правилам: 1) при малой плотности длительность зеленого сигнала должна быть короткой, 2) средней плотности должна соответствовать средняя длительность, 3) в случае большой плотности требуется большая длительность.

Как следует из рис. 5, а, области определения входных функций принадлежности различных термов пересекаются, поэтому выходная нечеткая инструкция будет представляться некоторой комбинацией приведенных правил. При этом естественно предположить, что в эту комбинацию отдельные правила будут входить с коэффициентами, определяемыми степенями принадлежности точных исходных данных соответствующим термам.

Пусть зафиксированное в некоторый момент значение плотности равно 0,3. Процедура фазификации показывает, что эта плотность со степенью 0,5 принадлежит терму "малая плотность" и со степенью 0,75 - терму "средняя плотность". Согласно принятому правилу комбинирования нечетких выходных инструкций, длительность зеленого сигнала должна быть на 0,5 короткой и на 0,75 средней. Конкретные правила дефазификации могут быть различными.

5. Приложения в технической диагностике

Наряду с медицинской существует техническая диагностика - наука, занимающаяся разработкой методов, алгоритмов и технических средств обнаружения дефектов, которые могут возникнуть в технической системе. Одна из решаемых в ней задач состоит в следующем. Имеется некоторая система (объект диагностирования (ОД)), выполняющая ответственную функцию (например, система управления ядерным или химическим реактором, робот и т.д.). Требуется разработать устройство диагностирования, которое должно работать одновременно с ОД. На него поступают два типа сигналов: во-первых, те же управляющие сигналы u, что и на ОД, во-вторых, сигналы y с датчиков, установленных на ОД, которые несут информацию о происходящих в нем процессах. Устройство диагностирования непрерывно обрабатывает поступающую на него информацию и формирует заключение о состоянии ОД - появились в нем дефекты, существенно влияющие на качество его функционирования, или нет, и если появились, то какие.

Во многих случаях такое заключение принимается весьма просто: если r = 0, то дефектов нет. Ненулевое значение r говорит о появлении дефекта, причем по величине r можно с большей или меньшей точностью сказать, какой дефект возник. Однако нередко из-за действующих помех, неучтенных факторов и прочих причин сигнал r может принимать ненулевые значения даже при отсутствии дефектов. Самый простой выход из положения здесь - ввести порог r0 и принимать решение очевидным образом: | r | # r0 - дефекта нет, | r | > > r0 - дефект появился. Ясно, что такая проверка может производиться автоматически без вмешательства человека.

Приведенное простое бинарное правило имеет недостатки, один из которых состоит в том, что при небольших значениях r0 будет велика вероятность ложной тревоги (дефекта нет, а порог превышен). При больших значениях r0 существенно возрастет вероятность того, что возникший дефект останется незамеченным.

Выход здесь может быть найден за счет использования нечеткого порога и включения человека-оператора в процесс принятия решения. В качестве информации для принятия решения оператору сообщается величина 1 - m, характеризующая уровень тревоги. Она может быть представлена в форме звукового сигнала различной интенсивности, уровня яркости красного цвета на экране или иным способом, согласующимся с тем, как оператору сообщается другая информация об объекте.

Интересно отметить, что в отличие от рассмотренных выше (и многих других) случаев нечеткие представления используются в настоящей задаче как бы в обратную сторону. Имеется в виду то, что, как правило, нечеткие модели, описывая представления человека о процессах, происходящих в сложной системе, позволяют исключить его из процесса управления этой системой. В рассмотренной же задаче они, напротив, делают присутствие человека обязательным, представляя информацию о системе в нечетком виде.

множество нечеткий задача управление диагностика

Литература

1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 165 с.

2. Теория выбора и принятия решений: Учеб. пособие. М.: Наука, 1982. 328 с.

3. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

4. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. 208 с.

5. Ермоленко В. Применение нечеткой логики в микроконтроллерном управлении // Радиолюбитель. Ваш компьютер. 1997. № 3. С. 13-17.

6. Прикладные нечеткие системы. М.: Мир, 1993. 368 с.

7. Internet ресурс http://www.pereplet.ru

8. Internet ресурс http://www.plink.ru/tnm/count.htm

Размещено на Allbest.ru