Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КАМЧАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Динамическое программирование

Выполнил:

студент группы 3 ПИ

Чермошенцева А.А.

г. Петропавловск - Камчатский

2005 год

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

I. Основные понятия и обозначения

II. Идеи метода динамического программирования

III. Разновидности задач, решаемых методом динамического программирования

· Задача об оптимальном управлении поставками

· Задача о планировании производственной программы

IV. Особенности задач динамического программирования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приложение

Список использованной литературы

Введение

Повышение эффективности вычислений при решении определенного класса задач математического программирования может быть достигнуто путем использования методов динамического программирования. Особенностями методов динамического программирования являются использование для их реализации принципов инвариантного погружения и оптимальности. Принцип инвариантного погружения предполагает замену общей задачи на эквивалентную совокупность более простых (пошаговых) задач. Принцип оптимальности определяет возможность получения глобально-оптимальных стратегий (решений) на основе решений пошаговых задач оптимизации. Методы динамического программирования позволяют существенно сократить (по сравнению с полным перебором) число анализируемых вариантов решений в процессе определения глобально-оптимального решения за счет учета априорной информации о решениях, не являющихся допустимыми, и использования информации, полученной на предыдущих шагах оптимизации. Кроме того, достоинством методов динамического программирования является их инвариантность к классу целевой и ограничительных функций.

I. Основные понятия и обозначения

Динамическое программирование - это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Это все процессы планирования и управления, развиваемые во времени. Естественным шагом в них может быть год, квартал, месяц, декада, неделя, день и т.д. Однако метод динамического программирования может использоваться при решении задач, где время вообще не фигурирует. Поэтому «динамика» задач динамического программирования заключается в методе решения.

Рассмотрим пример такого процесса. Пусть планируется деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются средства, которые должны быть как-то распределены между этими предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями: каждому из них выделяется какая-то доля средств.

Ставится вопрос: как в начале каждого года распределять имеющиеся средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий за N лет был максимальным?

Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой рассматривается управляемый процесс - функционирование группы предприятий. Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств. Управляющим воздействием (УВ) является выделение каких-то средств каждому из предприятий в начале года.

УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее УВ, если в дальнейшем это помешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге надо выбирать “c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные ошибки.

Действительно, предположим, что в рассмотренной группе предприятий одни заняты выпуском предметов потребления, а другие производят для этого машины. Причем целью является получение за N лет максимального объема выпуска предметов потребления. Пусть планируются капиталовложения на первый год. Исходя их узких интересов данного шага (года), мы должны были бы все средства вложить в производство предметов потребления, пустить имеющиеся машины на полную мощность и добиться к концу года максимального объема продукции. Но правильным ли будет такое решение в целом? Очевидно, нет. Имея в виду будущее, необходимо выделить какую-то долю средств и на производство машин. При этом объем продукции за первый год, естественно, снизится, зато будут созданы условия, позволяющие увеличивать ее производство в последующие годы.

В формализме решения задач методом динамического программирования будут использоваться следующие обозначения:

N - число шагов.

- вектор, описывающий состояние системы на k-м шаге.

- начальное состояние, т. е. состояние на 1-м шаге.

- конечное состояние, т. е. состояние на последнем шаге.

- область допустимых состояний на k-ом шаге.

- вектор УВ на k-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния x k-1 в состояние x k.

Uk - область допустимых УВ на k-ом шаге.

Wk - величина выигрыша, полученного в результате реализации k-го шага.

S - общий выигрыш за N шагов.

- вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за N шагов.

S k+1() - максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояние при оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.

S1() - максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечное при реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S1(), если - фиксировано.

Метод динамического программирования опирается на:

1. Условие отсутствия последействия. Состояние , в которое перешла система за один k-й шаг, зависит от состояния и выбранного УВ и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние, то есть

Аналогично, величина выигрыша Wk зависит от состояния и выбранного УВ, то есть

2. Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов вычисляется по формуле



Определение: Оптимальной стратегией управления называется совокупность УВ , то есть , в результате реализации которых система за N шагов переходит из начального состояния в конечное и при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение.

Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип оптимальности Белмана. Каково бы ни было допустимое состояние системы перед очередным i-м шагом, надо выбрать допустимое УВ на этом шаге так, чтобы выигрыш Wi на i-м шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в начале i-го года группе предприятий выделяются соответственно средства: совокупность этих значений можно считать управлением на i-м шаге, то есть . Управление процессом в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений, то есть .

Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным. Эффективность управления оценивается показателем S. Возникает вопрос: как выбрать шаговые управления , чтобы величина S обратилась в максимум?

Поставленная задача является задачей оптимального управления, а управление, при котором показатель S достигает максимума, называется оптимальным. Оптимальное управление многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:

Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление на каждом шаге (i=1,2,...N) и, значит, оптимальное управление всем процессом .

II. Идеи метода динамического программирования

Мы отметили, что, планируя многошаговый процесс, необходимо выбирать УВ на каждом шаге с учетом его будущих последствий на еще предстоящих шагах. Однако из этого правила есть исключение. Среди всех шагов существует один, который может планироваться без "заглядывания в будущее". Какой это шаг? Очевидно, последний -- после него других шагов нет. Этот шаг, единственный из всех, можно планировать так, чтобы он как таковой принес наибольшую выгоду. Спланировав оптимально этот последний шаг, можно к нему пристраивать предпоследний и т.д.

Поэтому процесс динамического программирования на 1-м этапе разворачивается от конца к началу, то есть раньше всех планируется последний, N-й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем, чем кончился предпоследний? Очевидно, нужно сделать все возможные предположения о том, чем кончился предпоследний, (N -- 1)-й шаг, и для каждого из них найти такое управление, при котором выигрыш (доход) на последнем шаге был бы максимален. Решив эту задачу, мы найдем условно оптимальное управление (УОУ) на N-м шаге, т.е. управление, которое надо применить, если (N -- 1)-й шаг закончился определенным образом.

Предположим, что эта процедура выполнена, то есть для каждого исхода

(N -- 1)-го шага мы знаем УОУ на N-м шаге и соответствующий ему условно оптимальный выигрыш (УОВ). Теперь мы можем оптимизировать управление на предпоследнем, (N -- 1)-м шаге. Сделаем все возможные предположения о том, чем кончился предпредпоследний, то есть (N -- 2)-й шаг, и для каждого из этих предположений найдем такое управление на (N -- 1)-м шаге, чтобы выигрыш за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был максимален. Далее оптимизируется управление на (N -- 2)-м шаге, и т.д.

Одним словом, на каждом шаге ищется такое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение процесса относительно достигнутого в данный момент состояния. Этот принцип выбора управления, называется принципом оптимальности. Само управление, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно заданного состояния, называется УОУ на данном шаге. Теперь предположим, что УОУ на каждом шаге нам известно: мы знаем, что делать дальше, в каком бы состоянии ни был процесс к началу каждого шага. Тогда мы можем найти уже не "условное", а действительное оптимальное управление на каждом шаге.

Действительно, пусть нам известно начальное состояние процесса. Теперь мы уже знаем, что делать на первом шаге: надо применить УОУ, найденное для первого шага и начального состояния. В результате управления после первого шага система перейдет в другое состояние; но для этого состояния мы знаем УОУ и т. д. Таким образом, мы найдем оптимальное управление процессом, приводящее к максимальному выигрышу.

Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс "проходится" дважды:

- первый раз -- от конца к началу, в результате чего находятся УОУ| на каждом шаге и оптимальный выигрыш (тоже условный) на всех шагах, начиная с данного и до конца процесса;

- второй раз -- от начала к концу, в результате чего находятся оптимальные управления на всех шагах процесса.

Можно сказать, что процедура построения оптимального управления методом динамического программирования распадается на две стадии:

предварительную и окончательную. На предварительной стадии для каждого шага определяется УОУ, зависящее от состояния системы (достигнутого в результате предыдущих шагов), и условно оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии определяется (безусловное) оптимальное управление для каждого шага. Предварительная (условная) оптимизация производится по шагам в обратном порядке: от последнего шага к первому; окончательная (безусловная) оптимизация - также по шагам, но в естественном порядке: от первого шага к последнему. Из двух стадий оптимизации несравненно более важной и трудоемкой является первая. После окончания первой стадии выполнение второй трудности не представляет: остается только "прочесть" рекомендации, уже заготовленные на первой стадии.

III. Разновидности задач, решаемых методом динамического программирования.

Задача об оптимальном управлении поставками

В различных областях народного хозяйства возникает задача определения момента подачи партии поставки и её объёма. С размещением заказов связаны некоторые фиксированные затраты К, не зависящие от величины заказываемой партии, а зависящие только от факта заказывания. С содержанием материальных ресурсов связаны затраты, пропорциональные остатку нереализованной продукции на конец интервала. Пусть T промежуток планирования. Обозначим через vt интенсивность потребления ресурса в t-м интервале. Состояние системы будем описывать величиной остатка нереализованной продукции на конец интервала x t. Начальное х 0 и конечное x t состояние системы можно считать заданным. Для бесперебойности потребления поставками нужно управлять. Обозначим через вектор управления, координаты которого суть величины поставок в начале соответствующих интервалов. Очевидно, что вектор управления есть функция состояния на начало интервала. Из множества возможных управлений требуется выбрать такое, при котором достигается минимум издержек на заказывание и содержание материальных ресурсов. Если S t - издержки содержания единицы продукции в t - м интервале, то функция цели примет вид.

,

где:

Состояние системы опишется соотношением x t = x t-1 + u t - v t (t = 1, T). На состояние системы может наложено ограничение, связанное с надёжностью снабжения: , где - величина некоторого страхового запаса, гарантирующего с заданной надёжностью от сбоев в системе. Объединение ограничений, налагаемых на состояние системы и вектор управления, обозначим через . Получим задачу:

Задача о планировании производственной программы

Предприятие изготавливание машины, спрос на которые в каждом из месяцев равен Dt (t = 1, T) единиц. Запас машин на складе предприятия на начало планируемого периода i 0 единиц. Пусть общие затраты c t (x t, i t) состоят из затрат c(x t) на производство машин и затрат hi t на их содержание до отправки потребителю, т.е.

C t(x t, i t) = c (x t) + h i t

В свою очередь затраты c(x t) на производство машин складываются из условно - постоянных к и пропорциональных L x t (L единиц на каждую единицу продукции). Таким образом, для любого месяца:

C (x t) = k + L x t

Затраты на хранение единицы продукции равны h, поэтому затраты на содержание запасов численно равны уровню запасов на конец месяца, умноженному на h. Складские площади предприятия ограничены, и хранить можно не более М единиц продукции. Производственные мощности также ограничены, и в каждом месяце можно изготовить не более В единиц продукции. Требуется определить производственную программу изготовления машин x t, удовлетворяющую спрос в каждом из месяцев планируемого периода D t (t = 1, T) и обеспечивающую минимальные затраты на производство продукции и содержание запасов. Запас продукции на складе в конце планируемого периода должен быть равен нулю.

Для решения задачи методом динамического программирования и записи рекуррентного соотношения будем использовать следующие обозначения:

· n (n = 1, N) - номер планируемого отрезка времени (соответствует обратной нумерации месяцев);

· j - уровень запаса на конец отрезка;

· dn - спрос на продукцию на n - м отрезке (d1 = DT, d2 = DT-1, ….., dn = D1);

· cn (x, j) - затраты, связанные с выпуском х единиц продукции на n - м отрезке и с содержанием запасов, объём которых на конец n - го отрезка равен j единиц;

· fn(i) - значение функции, равное затратам на производство и хранение продукции за n последних месяцев при условии, что уровень запасов на начало n - го месяца составляет i единиц;

· xn(i) - производство продукции на n - м отрезке, если уровень запасов на начало отрезка равен i единиц.

t = 1 t = 2 …. T = T - 1 t = T

D1 D2 …. DT - 1 DT

i0 t

n = N n = N - 1 …. n = 2 n = 1

dN dN-1 …. d2 d1

xN = ? xN - 1 = ? …. x2 = ? x1 = ?

рис. 3.1. на рисунке изображён плановый период и для наглядности

на него нанесены некоторые параметры условия задачи.

В данном примере число шагов решения задачи совпадает с числом месяцев (количеством плановых отрезков времени n). Так как уровень запасов на конец планового периода должен быть равен нулю, то для n = 0

f 0 (0) = 0

Перейдём к рассмотрению первого отрезка (n = 1). Запас i1 на начало месяца отрезка неизвестен. Однако ясно, что он может быть равен любому неотрицательному целому числу, превышающему вместимость склада и спроса в рассматриваемом отрезке, т.е. не должен превышать min (d1, M). Для полного удовлетворения спроса на поставленном отрезке объем должен быть равен

d 1- i1. Следовательно, f1(i) = c1 (x1, j1) = c1 (d1 - i, j1) = c1 (d1 - i, 0)

где i = 0,1,…, min (d1, M).

Перейдём ко второму шагу (n = 2). Уровень запасов на начало второго отрезка равен i. При этом величина i может принимать любые неотрицательные целочисленные значения, не превышающие min (d1 + d2, M). Целочисленные значения х (объём выпуска) во втором отрезке при заданном i должны быть не меньше, чем d2 - i (спрос на данном отрезке должен быть удовлетворён), но не больше min (d1 + d2 - i, B), так как запас на конец планового периода равен нулю и производство продукции в любом отрезке не превышает В. Минимальные суммарные затраты на производство и хранение продукции за два последних месяца.

где: i= 0,1, …, min (d1 + d2 , M); d2 - i x min (d1 + d2 -i, B).

Аналогично можно записать рекуррентное соотношение для n = 3. общее рекуррентное соотношение имеет вид:

(n = 1,N)

где:= 0,1, …, min (d1 + d2 + … + dn , M); dn - x min (d1 + d2 , … + dn - , B).

В выражении величина

i+ х - dn = jn характеризует уровень запасов на конец отрезка n. Заметим, что, поскольку уровень на начало каждого месяца (за исключением первого) неизвестен, необходимо учесть все возможные его значения и произвести поочерёдно вычисления: , i= 0,1…, min (d1, M),

(i), i= 0,1,… , min (d1 + d2, M), … , (i), i = 0,1, … , (d1 + d2 , … + dn-1,M), (), - известная величина.

На основании полученных расчётов находится объём выпуска продукции в каждом месяце, соответствующий оптимальному решению задачи. Для первого месяца планового периода он равен и позволяет достичь . Уровень запасов на начало второго месяца , а объём выпуска во втором месяце . Рассматривая, таким образом, плановые отрезки до конца планового периода, находим объём выпуска в каждом из месяцев.

IV. Особенности задач динамического программирования

На основании приведённых примеров можно выделить типичные особенности многошаговых задач.

1. Рассматривается система, состояние которой на каждом шаге определяется вектором x t. Дальнейшее изменение её состояния зависит только от данного состояния x t и не зависит от того, каким путём система пришла в него. Такие процессы называются процессами без последствий.

2. На каждом шаге выбирается одно решение ut, под действием которого система переходит из предыдущего состояния x t-1 в новое x t. Это новое состояние является функцией состояния на начало интервала x t-1 и принятого в начале интервала решения u t, т.е.



3. Действие на каждом шаге связано с определённым выигрышем (доходом, прибылью) или потерей (издержками), которые зависят от состояния на начало шага (этапа) и принятого решения.

4. На векторы состояния и управления могут быть наложены ограничения, объединение которых составляет область допустимых решений

5. Требуется найти такое допустимое управление ut для каждого шага t, чтобы получить экстремальное значение функции цели за все T шагов.

Любую допустимую последовательность действий для каждого шага, переводящую систему из начального состояния в конечное, называют стратегией управления. Допустимая стратегия управления, доставляющая функции цели экстремальное значение, называется оптимальной.

Геометрическая интерпретация задачи динамического программирования состоит в следующем. Пусть n - размерность пространства состояний. В каждый момент времени координаты системы имеют вполне определённое значение. С изменением времени t могут изменяться значения координат вектора состояния. Назовём переход системы из одного состояния в другое траекторией её движения в пространстве состояний. Такой переход осуществляется воздействием на координаты состояния. Пространство, в котором координатами служат состояния системы, называется фазовым. Особенно наглядно задачу динамического программирования можно интерпретировать в случае, если пространство состояний двухмерно. Область возможных состояний в этом случае изобразится некоторой фигурой , начальное и конечное состояние системы - точками x 0, (рис. 1.1.)

X2

0 X1

рис 4.1.

динамический программирование вычисление

Управление - это воздействие, переводящее систему из начального состояния в конечное. Для многих экономических задач не известно начальное либо конечное состояние, а известна область X0 или XT, которой эти точки принадлежат. Тогда допустимые управления переводят точки из области X0 в XT. Задача динамического программирования геометрически может сформулирована следующим образом: найти фазовую траекторию, начинающуюся в области X0 и оканчивающуюся в области XT , для которой функция цели достигает экстремального значения. Если в задаче динамического программирования известны начальное и конечное состояния, то говорят о задаче с закреплёнными концами. Если известны начальные и конечные области, то говорят о задаче со свободными концами.

Заключение

Метод динамического программирования предназначен для повышения эффективности вычислений при решении задач математического программирования путем их декомпозиции на относительно простые, а следовательно легче решаемые задачи. Принцип оптимальности является основой поэтапного решения задачи, при этом последовательность и число этапов определяются числом оптимизируемых переменных в общей задаче, возможные варианты решений допустимыми областями их определения, а состояние системы количеством ресурсов, распределяемых на текущем и предыдущих (последующих) шагах оптимизации. Возможность учета в процессе оптимизации решений случайного характера состояний ресурса и оптимизируемых переменных приводит к необходимости использования специальных методов вероятностного динамического программирования.

Приложение

Пример задачи динамического программирования

Выбор состава оборудования технологической линии.

Постановка задачи. Рассматривается технологическая линия, то есть последовательность операций по производству продукции.

На каждую операцию можно назначить оборудование только какого-то одного вида, а оборудования, способного работать на данной операции - несколько видов. Исходные данные представлены в таблице, где:

i - число операций

j - виды оборудования, которое можно использовать для каждой операции

xij - производительность j - го оборудования на выходе при выполнении i -ой операции

yij - производительность j - го оборудования на входе при выполнении i -ой операции

Rij - расходы, связанные с производством единицы оборудования

Стоимость сырья

Таблица 1.

i	1	2	3
j	1	2	1	2	1	2
	10	8	4	5	8	9
	12	8	4	6	9	9
	20	18	6	8	10	12

Решение

Для того чтобы решить данную задачу методом динамического программирования введем следующие обозначения:

N = 3 - число шагов.

- технологическая линия.

= (0,0,0) начальное состояние системы

= ( u 1 , u 2, u 3 ) конечное состояние системы

- выбор оборудования для i-ой операции.

Ui - область допустимых УВ на i-м шаге.

т.е.

Wi - оценка минимальной себестоимости, полученная в результате реализации i-го шага.

S - функция общего выигрыша т. е. минимальная себестоимость .

- вектор - функция, описывающая переход системы из состояния в состояние под действием УВ.

- вектор УВ на i-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния xi-1 в состояние xi , т.е. оптимальный выбор оборудования за N шагов.

S i+1() - максимальный выигрыш (в нашем случае минимальная себестоимость), получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояние при оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.

S1() - максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечное при реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S1(), если = 0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишем вектора допустимых значений

Запишем вектора допустимых управляющих воздействий

Запишем вектор - функцию, описывающую переход системы из состояния в состояние под действием УВ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишем основное функциональное уравнение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) Обратный проход

Для i=3

Учитывая то, что этот шаг у нас последний и следующей операции

уже не будет, а также то, что мы на обратном проходе, вместо функции

S4 возьмем за стоимость сырья

при =

при = =

т. е.

Для i=2

при =

при = =

при = =

при = =

т. е.

Для i=1

при = =

при = =

при =

при =

при =

при =

при =

при =

т. е.

Прямой проход

Учитывая то, что и = (0,0,0) имеем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

i=1

так как минимум был достигнут при УВ (2,1,2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(0,0,0)+(2,0,0)=(2,0,0)

i=2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

так как минимум был достигнут при УВ (0,1,2)

(2,0,0)+(0,1,0)=(2,1,0)

i=3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

так как минимум был достигнут при УВ (0,0,2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(2,1,0)+(0,0,2)=(2,1,2)= 105,5

Таким образом, оптимальный выбор состава оборудования технологической линии предполагает следующее:

На 1-ую операцию назначим оборудование 2-го вида

На 2-ую операцию назначим оборудование 1-го вида

На 3-ью операцию назначим оборудование 2-го вида

Оценка минимальной себестоимости составит 105,5.

Схема, представленная на рисунке, показывает все рассмотренные при решении варианты и оптимальный путь решения задачи.

Список используемой литературы

1. Беллман Р. Динамическое программирование. М.:, [1960. 400 с.]

2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, [1965. 458 с.]

3. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, [1969. 118 с.]

4. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления: Численные методы. М.: Наука, [1973. 238 с.]

5. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, [1975. 526 с.]

6. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, [1978. 270 с.]

Размещено на Allbest.ru