Необходимые и достаточные условия минимума функций нескольких переменных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования « Ижевский государственный технический университет»

Кафедра «Экономика и управление»

Контрольная работа

по дисциплине «Экономико-математические методы»

На тему: «Необходимые и достаточные условия минимума функций нескольких переменных»

Выполнила

Студентка гр.4-42-2 пзо И.А. Кутявина

Проверил: В.Д. Суфиянов

Ижевск 2011

Содержание

Введение

1. Экстремумы функций одной переменной

1.1 Необходимое условие

1.2.1 Достаточное условие. Первый признак

1.2.2 Достаточное условие. Второй признак

1.3 Использование высших производных

2. Экстремумы функций трех переменных

2.1 Необходимое условие

2.2 Достаточное условие

3. Экстремумы функций многих переменных

3.1 Необходимое условие

3.2 Достаточное условие

Заключение

Литература

Введение

Цель заключается в рассмотрении экстремумов функции одной и многих переменных и подробном описании методов их нахождения.

Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума функции, выборе метода нахожденя экстремумов и их полном математическом обосновании.

Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше.

Потребности техники, в частности космической, выдвинули серию задач, которые также не поддавались средствам вариационного исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые - шестидесятые годы советскими математиками - Л.С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.

Цель- рассмотрение и описание функций одной и многих переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при этом.

1. Экстремумы функций одной переменной

1.1 Необходимое условие

Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и .

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x ₀ - ,x ₀ + ), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

f(x) f(x ₀ )(или f(x) f(x ₀ ))

Иными словами, точка x ₀ доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x ₀ ) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x ₀ .

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x ₀ ) выполняется строгое неравенство

f(x) f(x ₀ )(или f(x) f(x ₀ )

то говорят, что функция имеет в точке x ₀ собственный максимум (минимум), в противном случае - несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x ₀ и x ₁ , то, применяя к промежутку [x ₀ ,x ₁ ] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x₂ между x ₀ и x ₁ и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике - важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин - экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х ₀ . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х ₁ и х ₃ локальные максимумы, а в точках х ₂ и х ₄ - локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего - в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная. Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х ₀функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х ₀ - ,х ₀ + ), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f (x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю. Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум : указанное только что необходимое условие не является достаточным.

экстремум переменная производный

1.2.1 Достаточное условие. Первый признак

Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными ; а точки, где производная не существует называются критическими.

Итак, если точка х ₀ есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х ₀ представляется, так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас утановим.

Предположим, что в некоторой окрестности (х- ,х+ ) точки х ₀ (по крайней мере, для х=х ₀ ) существует конечная производная и как слева от х ₀ , так и справа от х ₀ (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

I f'(x) 0 при х х ₀ и f'(x) 0 при х х ₀ , т. е. производная f'(x) при переходе через точку х ₀ меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х ₀ - ,х ₀ ] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х ₀ ,х ₀ + ] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х ₀ - ,х ₀ + ] , т. е. в точке х ₀ функция имеет собственный максимум.

II f'(x) 0 при х х ₀ и f'(x) 0 при х х ₀ , т. е. производная f'(x) при переходе через точку х ₀ меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х ₀ функция имеет собственный минимум.

III f'(x) 0 как при х х ₀ так и при х х ₀ либо же f'(x) и слева и справа от х ₀ , т. е. при переходе через х ₀ , не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х ₀ с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x) f(x ₀ ), а с другой - точки х, в которых f(x) f(x ₀ ) так что в точке х ₀ никакого экстремума нет.

Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х ₀ : подставляя в производную f'(x) сначала х х ₀ , а затем х х ₀ , устанавливаем знак производной вблизи от точки х ₀ слева и справа от неё; если при этом производная f'(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то - минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:

a х ₁ х ₂ … х _k х _k+1 … х _n b (3.1)

именно ,тогда прежде всего, в любом промежутке (а,х ₁ ), (х ₁ ,х ₂ ), … ,(х _k ,х _k+1 ), … ,(х _n ,b) существует конечная производная f'(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f'(x) сохраняет постоянный знак.Действинельно, если бы f'(x) меняла знак, например, в промежутке (х _k ,х _k+1 ) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между х _k и х _k+1 , что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1).

Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f'(x) во всем промежутке (х _k ,х _k+1 ) определяется , если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.

1.2.2 Достаточное условие. Второй признак

Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1:Если х ₀ есть стационарная точка функции f(x) и f''(x) 0, то в точке х ₀ функция иммет максимум,а если f''(x) 0 , то функция имеет в точке х ₀ минимум.

(f'(x)-f'(x ₀ )

f''(x ₀ )=lim x-x ₀

По условию теоремы f'(x)=0. Поэтому

f'(x)

f''=lim x-x ₀

Допустим , что f''(x) 0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x ₀ -,x ₀ +), в котором переменная величина f'(x)/(x-x ₀ ) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство

f'(x)

0 (x₀ - x x₀ + )

x-x₀

Отсюда следует,что f'(x) 0 , если х-х ₀ 0, или х х ₀ , и f'(x) 0, если х-х ₀ 0, или х х₀ . На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х ₀ функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f''(x) 0 обеспечивает минимум функции f(x). ч.т.д.

Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):

1.Вычисляем первую производную f'(x) и из уравнения f'(x)=0 находим стационарные точки функции f(x).

2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х ₀ подвергаем испытанию:

· если f''(x) 0, то х ₀ - точка минимума функции;

· если f''(x) 0, то х ₀ - точка максимума функции.

Замечание 1 : если f''(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.

Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f'(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f''(x) в той же точке.

1.3 Использование высших производных

В случае, когда f''(x)=0 (f'(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.

Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x ₀ ) R, определенная в окрестности U(x ₀ ) точки х ₀ , имеем в х ₀ производные до порядка n включительно (n 1).

Если f'(x ₀ )=…=f ^(n-1) (x ₀ )=0 и f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )=0 , то при n нечетном в х ₀ экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) 0 , и строгий локальный максимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ).

Доказательство: Используя локальную формулу Тейлора

f(x)-f(x ₀ )=f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )(x-x ₀ ) ⁿ + (x)(x-x ₀ ) ⁿ (3.2)

где (x) 0 при x x ₀ ,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f(x)-f(x ₀ )=(f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )+ (x))(x-x ₀ ) ⁿ (3.3)

Поскольку f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )=0,а (x) 0 при x x ₀ , сумма имеет знак f ⁿ (x ₀ ),когда х достаточно близок к х ₀ . Если n нечетно, то при переходе через х ₀ скобка (х-х ₀ ) ⁿ меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.

Если n четно, то (x-x ₀ ) ⁿ 0 при x=x ₀ и,следовательно, а малой окрестности точки х ₀ знак разности f(x)-f(x ₀ ), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) : 

· пусть f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ),тогда в окрестности точки х ₀ f(x) f(x ₀ ), т. е. в точке х ₀ - локальный минимум; 

· пусть f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) 0,тогда f(x) f(x ₀ ) ,т. е. в точке х ₀ локальный минимум. ч.т.д.

2. Экстремумы функций трех переменных

2.1 Необходимые условия экстремума

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x ⁰ - ,x ⁰ + , y ⁰ - ,y ⁰ + ,z ⁰ - ,z ⁰ + )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y,z) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) выполнялось строгое неравенство

f(x,y,z) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

то говорят, что в точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин - экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) имеет экстремум Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные



f x '(x 0 ,y 0 ,z 0 ), f y '(x 0 ,y 0 ,z 0 ) ,f z '(x 0 ,y 0 ,z 0 )

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим y= y ⁰ ,z= z ⁰ сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :

v=f(x, y ⁰ ,z ⁰ )

Так как мы предположили, что в точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x ⁰ - ,x ⁰ + ) точки x=x ⁰ , необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y ⁰ ,z ⁰ ) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

f _x '(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )=0

Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

f _x '(x,y,z)=0

f _y '(x,y,z)=0 (4.2)

f _z '(x,y,z)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

2.2 Достаточное условие экстремума

Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума. Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.

Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям

f _x '(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )=0,f _y '(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )=0 ,f _z '(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )=0

Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности

= f(x,y,z)- f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

Разложим ее по формуле Тейлора,

= { f _x '' x ₁ ² +f _x '' x ₂ ² +…+f _x '' x _n ² +2f _x1x2 '' x ₁ x ₂ + +2f _x1x3 '' x ₁ x ₃ +…+2f _xn-1xn '' x _n-1 x _n }= f _xixj '' x _i x _j



где x= x _i -x _i ⁰ ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x ₁ ⁰ +0 x ₁ , x ₂ ⁰ +0 x ₂ ,…, x _n ⁰ +0 x _n ) (0 0 1)

Введём и здесь значения

f _xixj '' (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=a _ik (i,k=1,2,…,n)

так что

f _xixj '' (x ₁ ⁰ +0 x ₁ , x ₂ ⁰ +0 x ₂ ,…, x _n ⁰ +0 x _n )= a _ik + _ik

_ik 0 при x ₁ 0,…, x _n 0

Теперь интересующее нас выражение можно написать в виде:

= { a _ik x _i x _k + _ik x _i x _k }

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x ₁ ,…, x _n . От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

a _ik y _i y _k (a _ik = a _ki )

от переменных y ₁ ,…,y _n называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃

a ₁₁ 0, a ₂₁ a ₂₂ , a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ 0,

a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определению положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отрицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃

a ₁₁ 0, a ₂₁ a ₂₂ a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ 0

a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

Следовательно, чтобы исследовать точку М(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е. f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ ) f(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰ )

3. Экстремумы функций многих переменных

3.1 Необходимые условия экстремума

Пусть функция u=f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) определена в области D и (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция

u=f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) в точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x ₁ ⁰ x ₁ ⁰ x ₂ ⁰ x ₂ ⁰ x _n ⁰ x _n ⁰ )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) f(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) выполнялось строгое неравенство

f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) f(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

то говорят, что в точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин - экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

f _x1 '(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) ,…, f ' _xn (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x ₂ =x ₂ ⁰ ,…,x _n = x _n ⁰ сохраняя x ₁ переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x ₁ :

u=f(x ₁ , x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

Так как мы предположили, что в точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x ₁ ⁰ - , x ₁ ⁰ + ) точки x ₁ = x ₁ ⁰ , необходимо должно выполняться неравенство

f(x ₁ , x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) f(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x ₁ = =x ₁ ⁰ будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

f _x1 '(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=0

Таким образом можно показать, что в точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка.

Все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

f _x1 '(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=0

f ' _xn (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :

d f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n )=0

так как, если f _x1 '= f _x2 '=…= f ' _xn , то каковы бы ни были dx ₁ ,dx ₂ ,…,dx _n всегда

f(x ₁ ,x ₂ d,…,x _n )= f _x1 ' dx ₁ + f _x2 ' dx ₂ +…+ f ' _xn dx _n =0

И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx ₁ ,dx ₂ ,…,dx _nпроизводные f _x1 ', f _x2 ',…, f ' _xn порознь равны нулю.

Обычно, рассматриваемая функция f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к “подозрительным” по экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности - графика функции).

3.2 Достаточные условия экстремума

Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума.

Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.

Пусть функция f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядков окрестности некоторой стационарной точки (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ).Разлагая разность

= f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n )-f(x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )

по формyле Тейлора, получим

= { f _x '' x ₁ ² +f _x '' x ₂ ² +…+f _x '' x _n ² +2f _x1x2 '' x ₁ x ₂ + +2f _x1x3 '' x ₁ x ₃ +…+2f _xn-1xn '' x _n-1 x _n }= f _xixj '' x _i x _j

где x= x _i -x _i ⁰ ; производные все вычислены в некоторой точке

(x ₁ ⁰ +0 x ₁ , x ₂ ⁰ +0 x ₂ ,…, x _n ⁰ +0 x _n ) (0 0 1)

Введём и здесь значения

f _xixj '' (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ )=a _ik (i,k=1,2,…,n)

так что

f _xixj '' (x ₁ ⁰ +0 x ₁ , x ₂ ⁰ +0 x ₂ ,…, x _n ⁰ +0 x _n )= a _ik + _ik

и

_ik 0 при x ₁ 0,…, x _n 0

Теперь интересующее нас выражение можно написать в виде:

= { a _ik x _i x _k + _ik x _i x _k }

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x ₁ ,…, x _n . От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

a _ik y _i y _k (a _ik = a _ki )

от переменных y ₁ ,…,y _n называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма была определенной и положительной принадлежит ,как было уже сказано выше , Сильвестеру (J.J. Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ a ₁₁ a ₁₂ … a _1n

a ₁₁ 0, a ₂₁ a ₂₂ , a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ 0,…, a ₂₁ a ₂₂ … a _2n

a ₃₁ a ₃₂ a 

a _n1 a _n2 … a _nn

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенно положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отрицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

Пользуясь этими понятиями. Сформулируем достаточные для существования экстремума условия :

Если второй дифференциал, т. е. квадратичная форма

a _ik x _i x _k 

со значениями коэффициентов - оказывается определенной положительной (отрицательной) формой, то в используемой точке (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…, x _n ⁰ ) будет собственный минимум (максимум).

Для доказательства введем расстояние

= x ₁ ² +…+ x _n ²

между точками (x ₁ ⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) и (x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ). Вынося в за скобку и полагая



x _i (i=1,2,…,n)

перепишем выражение для в виде

= { a _ik E _i E _k + _ik E _i E _k }

Числа E _i зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма - положительная, первая сумма в скобках в формуле иммет всегда положительный знак. Больше того, так как

E _i =1

то найдется такое постоянное положительное число m, что при всех возможных значениях E _i будет

a _ik E _i E _k m

Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию от аргументов E _i во всем пространстве, в частности же и в множестве М тех точек(E ₁ ,…, E _n ), которые удовлетворяют соотношению (“сферическая поверхность”). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения ; а тогда, по теореме Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение , необходимо положительное (как и все ее значения в М).

С другой стороны,. ввиду вторая сумма в для достаточно малых ,очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке (x ₁⁰ ,x ₂ ⁰ ,…,x _n ⁰ ) разность будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция f(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ) имеет собственный минимум.

Аналогично исчерпывается и случай, когда форма будет определенной, но отрицательной.

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ a ₁₁ a ₁₂ … a _1n

a ₁₁ 0, a ₂₁ a ₂₂ , a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ 0,…,(-1) ⁿ a ₂₁ a ₂₂ … a _2n

a ₃₁ a ₃₂ a _{33 …………………}

a _n1 a _n2 … a _nn

3.3 Экстремумы на множествах

Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые и достаточные условия экстремума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать также точки границы области определения, поскольку максимальное или минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек.

Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченном G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно это возможно (а теоретически возможно это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в стационарных точках. После этого следует сравнивать эти значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого множества G, например, найдя, если это удается сделать, наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и минимум f на G.

В случае, когда G - плоская область и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением x=x(t), y=y(t), t вопрос о нахождении экстремальных значений функции f(x,y) на границе G сводится к исследованию на экстремум функции одного переменного f(x(t),y(t)), что делается уже известными нами методами.

Методы, которые можно применять в многомерном случае для отыскания экстремальных точек на границе области будут рассмотрены позже (см. раздел, посвященный условному экстремуму).

Полезно лишь иметь ввиду, что при отыскании максимумов и минимумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее можно использовать некоторые простые соображения, связанные с природой задачи. Например, если рассматриваемая в R ⁿ дифференцируемая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то при условии, что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке она принимает минимальное значение.

Заключение

Математический анализ это совершенно естественная, простая и элементарная наука, ничуть не более заумная, сложная или “высшая”, чем, скажем, “элементарная” геометрия. Многие теоремы, традиционно входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Привнесение элементов математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к перестройке и других областей математического образования - изменится содержание конкурсных задач, кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь уже невозможно не учитывать, что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики.

При этом следует иметь в виду, что если освоены лишь самые основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться ко многим современным проблемам.

При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоретические сведения подтвердились практическим доказательством и математическим обоснованием.

Литература

1.А.Ф.Бермант, И.Г. Араманович Краткий курс математического анализа.-М.: Наука, 1973.

2.И.Е.Жак Дифференциальное исчисление.-М.:Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960.

3.Г.И.Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу.-М.: Высшая школа,1966.

4.В.А.Зорич Математический анализ.-М.: Наука, 1981.

5.А.П.Картышев, Б.Л.Рождественский Математический анализ.-М.: Наука, 1984.

6.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.

7.Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа.-М.: Высшая школа, 1981.

8.А.Г.Моркович, А.С.Солодовников Математический анализ.-М.: Высшая школа, 1990.

9.Н.С.Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление. т.1.-М.: Наука, 1978.

10.К.А.Рыбников История математики.-М.:Издательство Московского университета, 1994.

11.В.М.Тихомиров Рассказы о максимумах и минимумах.-М.:Наука, 1986.

12.Г.М.Фихтенгольц Основы математического анализа. т.2.-М.: Наука, 1968.

13.Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.1.-М.: Наука, 1969.

Размещено на Allbest.ru