Экономико-математические методы и прикладные модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Кафедра экономико-математических методов и моделей

Контрольная работа

Экономико-математические методы и прикладные модели

Москва 2010

ЗАДАЧА 1

На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои - 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей - 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои - 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров. Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение

1.Создадим таблицу на основе условий задачи.

Обозначим через x_j . j=1,2 - оптимальное количество гектаров культуры j-го вида. Запишем математическую модель задачи по критерию «максимум выручки».

max (90x₁+360x₂)

при ограничениях

200x₁+100x₂ ? 60000 -ограничения по расходам на сев и уборку

30x₁+60x₂ ? 21000 -ограничения по вместимости зерна на складе

x₁+x₂ ? 400 -ограничения по площади засевов

x_1,2 ? 0 - прямое ограничение

Эта ЗЛП с двумя переменными, а значит, мы можем ее решить графическим методом.

1. Построим ОДР задачи. Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в I четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения - неравенства определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей (в данном случае нижних) с граничными прямыми.

Проведем прямые функциональных ограничений:

I. 200x₁+100x₂ = 60000

II. 30x₁+60x₂ = 21000

III. x₁+x₂ = 400

2x₁+x₂ = 600

x₁=0 x₂=0

x₂=600 x₁=300

x₁+2x₂ = 700

x₁=0 x₂=0

x₂=350 x₁=700

x₁+x₂= 400

x₁=0 x₂=0

x₂=400 x₁=400

2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (3,6) с началом координат О (0,0).

3. Построим некоторую линию уровня 3x₁+6x₂ = а. Пусть, например, а=0. Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору - градиенту. 4.

4. При максимизации предельной точкой движения линии ОХ являются точка А. Определим координаты точки А: (0; 350)

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает значение при x₁=0, x₂=350. Максимальное значение равно f(x₁,x₂)=90*0+360*350=126 000 ден.ед.

При минимизации предельной точкой движения линии ОХ является точка О(0,0), т.е. чтобы получить минимальную прибыль, фермеру ничего не нужно делать (0 га кукурузы и 0 га сои). Таким образом, задача теряет экономический смысл.

Задача 2

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III вида на 4 единиц каждого;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Г" ценой 13 ед., на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2ед. каждого вида сырья и изделия "Д" ценой 12ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение

Обозначим через x_j . j=1,3 - объем производства j-го вида и запишем математическую модель задачи по критерию «максимум выручки».

max(10x₁ + 14x₂ + 12x₃)

4x₁ + 2x₂ + x₃ ? 180 - ограничение по запасам сырья I типа

3x₁ + x₂ + 2x₃ ?210 - ограничение по запасам сырья II типа

x₁+ 2x₂ + 3x₃ ?244 - ограничение по запасам сырья III типа

x_j? 0, j=1,2,3 - прямое ограничение

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемого в производстве сырья.

Средствами Excel найден оптимальный план по критерию «максимум выручки», предусматривающий выпуск 74 единиц продукции первого вида и 32 единиц третьего вида.

Проверим, как удовлетворяется система функциональны ограничений оптимальным планом Х^* (x₁=0, x₂=74, x₃=32)

4*0+ 2*74+ 32= 180

0+ 74+ 2*32=138<210 *

3*0+ 2*74+ 3*32=244

Значение целевой функции на этом этапе равно f(x)=10*0+14*74+12*32=1420

Для проведения экономико-математического анализа оптимального плана с помощью теорем двойственности определим двойственные оценки, т.е. найдем решение двойственной задачи. Построим задачу, двойственную к исходной.:

min(180y₁+210y₂+244y₃)

4y₁+3y₂+y₃?10 оценка затрат производственных ресурсов на единицу выпуска продукции I вида

2y₁+y₂+2y₃?14 оценка затрат производственны ресурсов на единицу выпуска продукцииII вида

y₁+2y₂+3y₃?12 оценка затрат производственны ресурсов на единицу выпуска продукции III вида

y_j?0, j=1,2,3 - прямое ограничение

Для нахождения оценок y₁, y₂, y₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y₂ = 0. Так как x₂>0 и x₃>0, то:

y₂ = 0

2y₁+y₂+2y₃?14

y₁+2y₂+3y₃?12 , т.е. y₃ = 2,5, y₁ = 4,5

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

, т.е.

По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных:

3. Один из трех видов выпускаемой продукции в оптимальном плане равен нулю. Это означает, что производство этого вида продукции невыгодно и в данных условия не принесет максимальной выручки. В оптимальном плане двойственной задачи y₂ также равен 0. Это означает, что данный ресурс избыточен.

Так как показатель второго типа сырья равен 0, этот ресурс избыточен на 72 единицы (210-138); дефицитным является третий тип сырье, так как показатель равен 2,5, но наиболее дефицитным является первый тип сырья, показатель которого равен 4,5.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:

4x₁ + 2x₂ + x₃ ? 184

3x₁ + x₂ + 2x₃ ?210

x₁+ 2x₂ + 3x₃ ?248

x_j? 0, j=1,2,3

Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях

X=(x₁=0, x₂=76,x₃=32)

Прибыль, соответственно, составит 1448 у.е., то есть увеличится на 28 у.е. Правильность этих даны подтверждают результаты оптимизации в Excel:

С учетом того, что на производство предполагаемого нового вида продукции Г требуется одна единица I типа сырья, 3 единицы II типа сырья, 2 единицы III типа сырья, а его предположительная стоимость равно 13 у.е., имеем:

1*4,5+3*0+2*2,5-13= -3,5 < 1, то есть прибыль на 3,5 у.е. больше затрат, следовательно включение в план данного изделия выгодно.

С учетом того, что на производство предполагаемого нового вида продукции требуется по 2 единицы каждого типа сырья, а его предположительная стоимость равно 12 у.е., имеем:

2*4,5+2*0+2*2,5-12= 2 > 1, то есть прибыль на 1 у.е. меньше затрат, следовательно включение в план данного изделия невыгодно.

Задача 3

модель оптимальный прибыль баланс производство

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

Таблица 1

Таблица 2

Решение

Для определения общего (валового) выпуска продукции первого, второго и третьего видов воспользуемся моделью Леонтьева в виде

Определяем матрицу-разность :

С помощью функции МОБР Мастера функций Excel найдем обратную матрицу:

Делаем вывод о продуктивности матрицы А, поскольку матрица (Е-А) неотрицательно обратима. Значит, мы можем найти матрицу-столбец объёмов валовой продукции Х в соответствии с моделью Леонтьева.

С помощью функции МУМНОЖ Мастера функций Excel найдем матрицу Х как произведение матриц В и У:

Таким образом, общие объёмы производства продукции цехов: х₁= 135,8885; х₂ = 358,1882; x₃=222,9965

Распределение продукции между предприятиями холдинга на внутреннее потребление определяем из соотношения:

,т.е.

Х₁₁=0,1*135,8885=13,58885;

X₁₂=0,0*358,1882=0;

X₁₃=0,1*222,9965=22,2997;

X₂₁=0,1*135,8885=13,5889;

X₂₂=0,0*358,1882=0;

X₂₃=0,2*222,9965=44,5993;

X₃₁=0,2*135,8885=27,1777;

X₃₂=0,1*358,1882=35,8188;

X₃₃=0,0*222,9965=0

В итоге плановая модель - баланс производства и распределения продукции холдинга будет иметь следующий вид:

Размещено на Allbest