Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей - Х и У. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. В неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-час, а для производства одной детали типа У - 2 чел.-час. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа У в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профессиональное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден.ед., а от производства одной детали типа У - 40 ден.ед.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум и почему?

Решение:

Пусть:

х₁ - количествопроизводимых деталей Х

х₂ - количество производимых деталей У

Целевая функция:

max z = 30 • x + 40 • у Необходимо максимизировать общий доход завода

Ограничения:

х + 2• у ? 4000 Фонд рабочего времени в неделю ограничен 4000 часами

х ? 2250

у ? 1750 Ограничение по производственной мощности завода (может производить максимум 2250 ед. деталей Х и 1750 деталей У в неделю)

2 • х + 5 • у ? 10 000 Уровень запасов стержней ограничен 10 000 ед.

5 • х + с • у ? 10 000 Уровень запасов листов ограничен10 000 ед.

х ? 600 Ограничение по количеству деталей Х (необходимо минимум 600 ед. в неделю)

x + y ? 1500 Ограничение по количеству деталей, производимых на заводе (необходимо минимум 1500 ед. в неделю)

x; у ? 0 Количество потребляемых кормов не может быть отрицательным

Решим задачу графически.

Рисунок 1. Графическое решение задачи

Область решения задачи ограничена кривыми ограничений целевой функции и представлена на графике штриховкой.

Направление роста целевой функции показывает градиент этой функции.

Исходя из графика, максимальное значение функции z будет при пересечении графиков х + 2у = 4000 и 5х + 2у = 10000. Решив систему уравнений получим х = 1500 у = 1250

Таким образом, максимально возможная прибыль составляет

z = 30 • 1500 + 40 • 1250 = 95000 ден.ед.

Минимальная выручка будет в точке х = 1500 у = 0 и составит

z_min = 30 • 1500 = 45000 ден.ед

Задача № 2

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

· определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

· оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единицы соответственно.

Решение:

Пусть x₁ - количество производимой продукции А;

x₂ - количество производимой продукции Б;

x₃ - количество производимой продукции В;

x₄ - количество производимой продукции Г.

Max f(x) = 8 • x₁ + 3 • x₂ + 2 • x₃ + 1 • x₄- целевая функция

2 • x₁ +x₂ +x₃ + 3 • x₄? 300

x₁ + 2 • x₃ + x₄? 70

x₁ + 2 • x₂ + x₃? 340

xi ?0

Решим задачу, используя пакет анали за «Поиск решения» Таким образом, функция достигает максимального значения при

x₁ =70

x₂ = 135

x₃ = 0

x₄ = 0

max f(x) = 965

Двойственная задача имеет вид:

Min f(y) = 30 • y₁ + 70 • y₂ + 340 • y₃

2 • y₁ + y₂ + y₃ ? 8

y₁ + 2 • y₃ ? 3

y₁ + 2 • y₂ + y₃ ? 2

3 • y₁ + y₂ ? 1

y_i ?0 , i = {1, .. 3}

Найдем значения двойственных переменных, используя теоремы двойственности.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:

Так как первое ограничение выполняется как строгое неравенство, то

у₁ = 0.

Учитывая, что x₁ ? 0 ;x₂ ? 0, то значения остальных двойственных переменных найдем из 1 и 2-го уравнений системы неравенств. То есть

2 • y₁ + y₂ + y₃ = 8 (1)

y₁ + 2 • y₃ = 3 (2)

Решая систему из уравнений (1) и (2) получим:

у₁ = 0;

у₃ = 1,5;

у₂ = 8 - 0 - 1,5 = 6,5.

Рассчитаем значение целевой функции двойственной задачи

Min f(y) = 30 • 0 + 70 • 6,5 + 340 • 1,5

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашей задаче это изделие В и Г. Подтвердим этот факт, подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y.

2 • 0 + 6,5 + 1,5 = 8

0 + 2 • 1,5 = 3

0 + 2 • 6,5 + 1,5 = 14,5 ? 2

3 • 0 + 6,5= 6,5 ? 1

На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

а) Поясним использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

В оптимальном плане не полностью используется сырье 1, т.к. у₁ = 0

Сырье 2 и 3 - дефицитное, т.к. их двойственные оценки отличны от нуля.

б) При увеличении фонда рабочего времени шлифовального оборудования на 24 часа будет возможность получить дополнительную выручку в размере24 • у₃ = 24 • 1,5 = 36 ден. ед.

в) оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2, 2 единицы.

8 • y₁ + 2 • y₂ + 2 • y₃ - ц < 0 - неравенство целесообразностивключения в план нового изделия 8 • 0 + 2 • 6,5 + 2 • 1,5 - 11 = 5 > 0 нецелесообразно.

Задача 3