Основные вопросы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.Определение эконометрики как науки

Эконометрика - это наука, изучающая количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов.

Можно сказать, что эконометрика является симбиозом следующих наук:

- экономической теории;

- высшей математики;

- экономической статистики.

Выделяют три основных направления эконометрической деятельности:

1) разработка и исследование эконометрических моделей с учетом специфики экономических данных;

2) разработка и исследование эконометрических моделей в соответствии с требованиями экономической науки;

3) применение эконометрических методов и моделей для анализа конкретных экономических данных.

Перечисленные направления различаются по широте и области применения.

Понятие эконометрика включает в себя экономические измерения. Признаками измерения называют получение, сравнение и упорядочение информации, т.е. измерение предполагает выделение свойств, по которым сравниваются объекты исследования. Также измерение связано с получением числовых значений изучаемых показателей с обязательным наличием единиц измерения (эталонов измерения).

Существуют следующие этапы эконометрического исследования:

1) постановка проблемы;

2) получение данных и анализ их качества;

3) спецификация моделей;

4) оценка параметров модели;

5) интерпретация результатов исследования.

Направление исследований, которые получили название эконометрика, берут свое начало от английского экономиста В.Петти («Политическая арифметика»).

В 1912г. была создана специальная группа ученых для стимулирования развития экономической теории посредством связи с математикой и статистикой.

Основоположником эконометрики считается норвежский ученый Рагнар Фриш. Новое учение было признано в 1930 г. на заседании «Американской ассоциации развития науки». В этом же году было создано «Всемирное эконометрическое общество». В 1933 г. был издан первый выпуск журнала6 «Эконометрика».

В 30 - 40-е годы ХХ в. развитию эконометрики способствовала деятельность департамента прикладной экономики под руководством английского экономиста Стоуна.

В эти годы эконометрика понималась как эмпирическая оценка моделей, созданных экономической теорией. В 1941 г. вышел первый учебник по эконометрике (Тинберген).

Р.Фриш определил соотношение между данными наблюдений. По его мнению, теория должна быть проверена множеством наблюдений. Эконометрические модели того времени в основном были кейнсианскими. Изменения произошли в 70-е годы ХХ в. В макроэкономике возникли противоречия между сторонниками Кейнса, монитористами и марксистами. Формальные методы стали использоваться для доказательства причинности при выборе теоретических концепций. Экономическая теория потеряла свое решающее значение.

Другим важным событием стало появление ЭВМ.

Закономерным итогом развития эконометрики стало присуждение нобелевской премии в 2000 г. американским ученым Хекману и Макфаддену за создание микроэконометрической теории, которая характеризовала поведение личности в обществе в зависимости от уровня дохода.

Значительный вклад в развитие эконометрики внесли отечественные ученые Чебышев, Слуцкий, Смирнов, Марков и Ляпунов.

До начала 90-х гг эконометрика не признавалась в СССР, т.к. экономическая теория и экономическая статистика находились в неудовлетворительном состоянии, а также не было необходимого информационного обеспечения.

В течение 10 лет проводились исследования по эконометрике в ведущих ВУЗах страны. С переходом в 2000 г. на новые образовательные стандарты,этот курс является обязательным для экономических специальностей.

В настоящее время эконометрика располагает огромным разнообразием типов моделей, включающих от нескольких тысяч уравнений до малых уравнений для решения специфических проблем.

Для решения задач в эконометрике существенным является использование математических моделей. Они широко применяются в бизнесе, экономике, общественных науках и исследованиях уровня экономической и политической активности. Математические модели позволяют понять сущность происходящих процессов и их проанализировать. Математические модели также используются для прогноза. Выделяют три основных класса моделей.

Модель временных рядов:

а) модель тренда Y(t) = T(t) + E(t)

T(t) - временной тренд заданного параметром вида;

E(t) - случайная компонента;

Под трендом понимают такое изменение экономического показателя, которое имеет длительную тенденцию развития во времени.

б) модель сезонности Y(t) = S(t) + E(t)

S(t) - сезонная компонента;

в) модель тренда и сезонности:

- аддитивная Y(t) = T(t) + S(t) + E(t)

- мультипликативная Y(t) = T(t)*S(t)* E(t)

К моделям временных рядов относят множество более сложных моделей, таких как модель адаптивного прогноза, модель авторегрессии, модель скользящей средней и т.д. Их общей чертой является то, что они объясняют поведение временного ряда исходя из его предыдущих значений.

Регрессионные модели с одним (единственным) уравнением

В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная у представлена в виде функции

- независимые (объясняющие) переменные;

- параметры уравнения (коэффициенты регрессии).

В зависимости от видов функций модели делятся на линейные и нелинейные.

Системы одновременных уравнений

Данные системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых кроме объясняющих переменных может включать и объясняемые переменные из других уравнений системы. Данные модели используются для характеристики экономики страны.

- предложение товара в момент времени t;

- спрос на товар в момент времени t;

- цена на товар в момент времени t;

- доход в момент времени t,

тогда система «спрос-предложение» будет иметь следующий вид:



Существуют следующие типы эконометрических данных:

1) временные - набор сведений по одному и тому же показателю за различные промежутки времени;

2) пространственные - набор сведений по различным показателям за один и тот же промежуток времени.

2.Корреляционно-регрессионный анализ

эконометрический исследование множественный регрессия

Одной из существенных задач эконометрики является изучение взаимосвязей социально-экономических явлений. Социально-экономические явления представляют собой результат одновременных воздействий как внешних, так и внутренних факторов.

В основе первого этапа исследования находится качественный анализ взаимосвязей на основе изучения материальной природы объекта исследования.

Второй этап включает в себя построение моделей связи. Он базируется на основных методах статистики (сводка и группировка, относительные величины, средние величины, ряды динамики и т.д.).

Взаимосвязи классифицируются по следующим направлениям:

1) по степени тесноты связи:

а) функциональная связь - определенному значению факторного признака (оказывающий воздействий) соответствует только одно значение результативного признака (испытывающий на себе воздействие факторного признака);

б) стохастическая связь - зависимость, которая проявляется в большом числе наблюдений;

в) корреляционная зависимость - частный случай стохастической связи, при котором изменение среднего уровня результативного признака обусловлено изменением факторного признака;

2) по направлению связи:

а) прямая - когда с увеличением или уменьшением факторного признака результативный признак также увеличивается или уменьшается;

б) обратная - когда факторный и результативный признаки изменяются в разных направлениях;

3) по аналитическому выражению:

а) линейные - когда зависимость приблизительно выражена уравнением прямой;

В зависимости от факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать:

1) парная (простая) регрессия - представляет собой регрессию между двумя переменными х и у, т.е. модель вида:

y = f(x)

где у - зависимая (объясняемая) переменная/ результативный признак

х - независимая (объясняющая) переменная/ факторный признак

2) множественная регрессия - представляет собой регрессию результативного признака с двумя или более числом факторов, т.е. модель вида:

Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, т.е. с формулировки вида модели, исходя из соответствующей теории связи между признаками. Прежде всего, выделяются те факторы, которые оказывают наибольшее воздействие на результативный признак.

Парная регрессия является достаточной, если имеется доминирующий фактор, который используется в качестве объясняющей переменной. Корреляционная связь в уравнении регрессии представлена в виде функциональной зависимости, выраженной математической функцией. В каждом отдельном случае величина результативного признака состоит из следующих элементов:

- фактическое значение результативного признака;

- теоретическое значение результативного признака, полученное по уравнению регрессии;

- случайная величина, характеризующая отклонение фактического значения результативного признака от теоретического.

Данная величина называется возмущением. Она отражает влияние неучтенных факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.

В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен с помощью следующих методов:

1. Графический. Он основывается на изучении расположения точек на поле корреляции.



Рис.

а) линейная регрессия , где - параметры уравнения;

б) гипербола

в) парабола

г) степенная и т.д.

2. Аналитический. Он основан на изучении материальной природы взаимосвязи исследуемых признаков.

3. Экспериментальный. Используется при обработке информации на компьютере путем сравнения величины остаточной дисперсии. Она рассчитывается при разных моделях следующим образом:

где n - число ед. наблюдений

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем в меньшей мере наблюдается влияние неучтенных факторов. Если остаточная дисперсия примерно одинакова для нескольких функций, то предпочтение отдается более простым моделям.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его параметра. Классическим подходом определения параметров уравнения является метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров модели, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна, т.е. , т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была минимальной.

Чтобы найти минимум функции необходимо вычислить частные производные по каждому из параметров и приравнять их к нулю. Для линейных и криволинейных моделей, приводимых к минимальному виду, используется система нормальных уравнений по уравнению прямой

.

Система имеет следующий вид:

Данная система может быть решена методом подстановки или преобразована в следующие формулы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции:

,

где - среднее квадратическое отклонение факторного признака

- среднее квадратическое отклонение результативного признака

Если данный показатель отрицательный, то связь обратная, если положительный, то связь прямая.

Для нелинейной зависимости используется индекс корреляции:

Данный показатель изменяется в следующих пределах . Характеристика степени тесноты связи проводится в соответствии со шкалой Чеддока.

Таблица

значение показателя тесноты связи	характеристика связи
0	отсутствует
0 - 0,3]	слабая
(0,3 - 0,5]	умеренная
(0,5 - 0,7]	заметная
(0,7 - 0,9]	высокая
(0,9 - 0,99]	тесная
1	функциональная

Влияние факторного признака на результативный оценивают также следующие показатели:

1)коэффициент детерминации

Данный показатель отражает долю вариации результативного признака под влиянием вариации факторного признака;

2)коэффициент эластичности

Показывает на сколько процентов изменился у при изменении х на 1%.

Качество построенной модели оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации:

Данный показатель не должен превышать 10%.

После определения параметров уравнения проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его частей. Оценка значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. фактор х не оказывает влияния на фактор у. Расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Суть данного анализа состоит в разложении общей суммы квадратов отклонений у от своей средней на две части.

1 - общая сумма квадратов отклонений у от своей средней величины

2 - сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией

3 - сумма квадратов отклонений, не объясненная регрессией (остаточная)

Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии будет параллельна оси Ох, тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма равна остаточной. Если прочие факторы не влияют на результат, то х и у связаны между собой функционально.

Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации. Расчетное значение F-критерия определяется следующим образом:

Полученное значение сравнивается с табличным. Табличное значение выбирается в соответствии с уровнем значимости ? - это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

? может быть равной 0,01 (1%), 0,05 (5%)

Также учитываются степени свободы df, зависящие от количества наблюдений.

Если Fрасч > Fтабл, то уравнение регрессии признается статистически значимым и надежным.

Для оценки параметров уравнения и коэффициента корреляции использу0ется t-критерий Стьюдента. Сначала определяются расчетные значения t-критерия Стьюдента:

- случайные ошибки, которые в свою очередь рассчитываются следующим образом:

Если tрасч > tтабл, то параметры уравнения и коэффициент корреляции признаются статистически значимыми и надежными.

Далее рассчитываются доверительные интервалы. Для этого определяются предельные ошибки.

Доверительные интервалы строятся следующим образом:

Если в границу доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. он не может быть одновременно и отрицательным и положительным.

Множественная регрессия широко используется в макроэкономических расчетах. В настоящее время это один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии - это построение модели с большим числом факторов, при этом определяется влияние каждого из них, а также совокупное воздействие на результативный признак.

Построение модели множественной регрессии включает в себя следующие этапы:

1) выбор формы связи (подбор уравнения регрессии);

2) отбор факторных признаков;

3) обеспечение достаточного объема информации для получения достоверных оценок.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1) они должны быть количественно измеряемыми, при оценке качественного показателя ему необходимо придать количественную форму;

2) не должно быть тесной зависимости между факторными признаками.

Проблема отбора факторных признаков может быть решена на основе интуитивно-логических или многомерных методов анализа.

Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия. Сущность данного метода заключается в последовательном включении в модель факторных признаков и последующей проверке на значимость.

При построении модели множественной регрессии можно столкнуться с проблемой мультиколлинеарности, под которой понимается тесная зависимость между факторными признаками. Эта проблема существенно искажает результаты исследования. Мультиколлинеиарность устраняется путем исключения из модели одного или нескольких линейно-связанных факторных признаков. Выбор типа уравнения затрудняется тем, что для любой формы зависимости можно выбрать несколько уравнений, описывающих существующие взаимосвязи.

Исследования показали, что все реально существующие зависимости можно описать с помощью пяти типов моделей:

1) линейная

2) парабола

3) гипербола

4) степенная

5) показательная

Основное значение имеют линейные модели в силу их простоты и логичности экономической интерпретации.

Для определения параметров уравнения множественной регрессии также используется метод наименьших квадратов. В соответствии с ним для линейного уравнения и нелинейных уравнений, приводимых к линейному виду, система нормальных уравнений имеет следующий вид.

, тогда

Данная система решается с помощью метода определителей матрицы.

где - частные определители матрицы

- общий определитель матрицы

Тесноту совместного влияния фактора на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Оценка значимости проводится также с помощью F-критерия Фишера.

Fрасч.

где n - число наблюдений; m - число факторных признаков.

3.Временные ряды и прогнозирование

Временной ряд - это совокупность значений изучаемого показателя за несколько последующих моментов или периодов времени.

Отдельное наблюдение называется уровнем ряда, который обозначается уt (t = 1, 2,… n), где n - число уровней.

Пример 1. Имеются следующие условные данные, отражающие средние расходы на конечное потребление за 8 лет ( в условных единицах).

Таблица

Год, t	1	2	3	4	5	6	7	8
уt	7	8	8	10	11	12	14	16

Графически представленный ряд выглядит следующим образом.

Рис.

В общем виде при исследовании временного ряда выделяется несколько составляющих.

y(t) = T(t) + S(t) + C(t) + E(t)

T(t) - тренд, т.е. плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т.е. длительную тенденцию изменения признака;

S(t) - сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение непродолжительного периода времени;

C(t) - это циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительного промежутка времени;

E(t) - случайная компонента, отражающая влияние неучтенных факторов.

Основной целью исследования временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития и отклонения от нее.

Существуют следующие этапы анализа временных рядов:

1) графическое представление и описание поведения временного ряда;

2) выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда (тренда сезонной и циклической составляющей);

3) сглаживание и фильтрация данных временного ряда;

4) изучение случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели;

5) прогнозирование развития изучаемого процесса временного ряда;

6) исследование взаимосвязи между временными рядами.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды. Свойства стационарных временных рядов не изменяются во времени. Временной ряд называется строго стационарным, если совместное наблюдение вероятностей равно их количеству, т.е. свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени. В таких рядах значение каждого следующего уровня ряда зависит от предыдущих.

Корреляционная зависимость между последующими уровнями ряда называется автокорреляцией. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента автокорреляции. Он оценивает зависимость между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Пример 2. По данным примера 1 рассчитаем коэффициент автокорреляции первого порядка. Предположим, что расходы в текущем году зависят от расходов предыдущих лет.

Таблица

1	7	-	-	-	-	-	-
2	8	7	-3,29	-3	9,87	10,82	9
3	8	8	-3,29	-2	6,58	10,82	4
4	10	8	-1,29	-2	2,58	1,66	4
5	11	10	-0,29	0	0	0,08	0
6	12	11	0,71	1	0,71	0,5	1
7	14	12	2,71	2	5,42	7,34	4
8	16	14	4,71	4	18,84	22,18	16
Итого	86	70	-	-	44	55,43	38

Полученное значение свидетельствует о тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущих и предшествующих годов. Таким же образом можно рассчитать коэффициент автокорреляции второго и более высоких порядков. Число периодов, по которым рассчитывается данный показатель, называется лагом. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называется автокорреляционной функцией. Ее анализ позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высока, а, следовательно, связь между временными рядами наиболее тесная.

Одни из наиболее распространенных способов моделирования текущего временного ряда является построение аналитической функции, которая характеризует зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называют аналитическим выравниваем временного ряда. Для построения трендов чаще всего используется следующие виды функций:

1) линейная

2) гипербола

3) парабола

4) степенная

5) экспонента

Параметры каждой из функций можно определить обычным методом наименьших квадратов, при этом в качестве независимых переменных выступают показатели времени t = 1, 2, … n, а в качестве зависимых переменных уровни ряда yt .

Для нелинейных трендов проводится процедура приведения к линейному виду. Для упрощения технологии определения параметров уравнения показателям времени присваиваются такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. ?t = 0.

Пример 3. По данным объема производства за 11 лет определить уравнение тренда, полагая, что он является линейным.

Таблица

год	y	t	t2	ty	y(t)
1994	35	-5	25	-175	30,9
1995	31	-4	16	-124	31,5
1996	40	-3	9	-120	32,1
1997	34	-2	4	-68	32,7
1998	18	-1	1	-18	33,3
1999	30	0	0	0	33,9
2000	34	1	1	34	34,5
2001	40	2	4	80	35,1
2002	29	3	9	87	35,7
2003	40	4	16	160	36,3
2004	42	5	25	210	36,9
Итого	373	0	110	66	373

Система нормальных уравнений для линейного тренда имеет вид:

Т.к. ?t=0, получаем следующие формулы:

Тогда уравнение регрессии имеет вид:

y(t) = 33,9 + 0,6t

По выровненным данным прослеживается тенденция увеличения объема производства за изучаемый период. Параметр а0 фиксирует значение объема продаж за 1999 год, когда ti = 0. Прогноз по данному уравнению производится путем подстановки следующего символа ввода, т.е. ti = 6, тогда у(6) = 33,9 + 0,6*6 = 37,5 и т.д.

В рассмотренном примере временной ряд включает нечетное число наблюдений. При четном числе уровней центром являются два уровня и за ноль принимается середина между ними.

Помимо аналитического выравнивания для выявлении тенденции изучаемых явлений используются методы сглаживания.

1. Метод скользящей средней. Чтобы заменить фактические уровни временного ряда скользящей средней выбирается период сглаживания. Рекомендуется брать нечетный период: 3, 5, 7, 9. Скользящие средние представляют собой средние уровни за определенные периоды времени путем последовательного передвижения начала времени на единицу времени. Рассчитанные по средней арифметической значения скользящей средней условно относятся к середине периода сглаживания.

Пример 4. По данным примера 3 проведем сглаживание временного ряда методом скользящей средней.

год	факт. уровень	простая скользящая средняя	взвешенная средняя
	у	3-х членная	5-и членная	3-х членная	5-и членная
1994	35	-	-	-	-
1995	31	35,3	-	34,3	-
1996	40	35	31,6	36,3	34,6
1997	34	30,7	30,6	31,5	31,1
1998	18	27,3	31,2	25	27,4
1999	30	27,3	31,2	28	28,9
2000	34	34,7	30,2	34,5	29,4
2001	40	34,3	34,6	35,8	35,1
2002	29	36,3	37	34,5	35,6
2003	40	37	-	37,8	-
2004	42	-	-	-	-

По трехчленной скользящей средней прослеживается тенденция первоначального снижения объема производства до 1999 года, а затем увеличение с некоторым нарушением в 2000 году. Для устранения данного нарушения рассчитывается пятичленная скользящая средняя.

 и т.д.

Пятичленная скользящая средняя имеет худший результат, чем трехчленная скользящая средняя.

Простые скользящие средние позволяют выявить тенденцию только в общих чертах. Более совершенным приемом считается взвешенная средняя. При ее использовании каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, который зависит от расстояния данного уровня до середины периода сглаживания.

Таблица

период сглаживания	вес, f	? fi
3	1, 2, 1	4
5	1, 4, 6, 4, 1	16
7	1, 6, 15, 20, 15, 6, 1	64

и т.д.

Взвешенные скользящие средние подходят ближе к фактическим данным. Пятичленная показывает, что тенденция развития изучаемого явления может быть описана параболой второго порядка, т.е. .

Еще одним методом сглаживания является экспоненциальная средняя. Ее смысл состоит в том, чтобы найти такие средние, в которых влияние прошлых наблюдений ослабевает по мере удаления от момента, для которого рассчитываются средние. Веса в экспоненциальных средних устанавливаются в виде коэффициентов >1.

Экспоненциальная средняя рассчитывается следующим образом:

- вес текущего наблюдения;

- фактический уровень временного ряда в момент времени t;

- экспоненциальная средняя предыдущего периода.

Одной из проблем является выбор оптимального значения коэффициента . Если >0, то учитываются все прошлые наблюдения. Если >1, то в большей степени учитываются уровни временного ряда.

Одним из подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания, является расчет сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели.

Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, то строится аддитивная модель: Y = T + S + E.

В данной модели значение сезонной компоненты предполагается постоянным для различных циклов. Если амплитуда колебаний увеличивается или уменьшается, то строится мультипликативная модель:

Y = T*S*E.

В данной модели уровни ряда находятся в зависимости от значений сезонной компоненты

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет сезонной компоненты;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение данных T+E по аддитивной модели и T*E по мультипликативной;

4) аналитическое выравнивание данных третьего шага и получение значений тренда с использованием уравнения регрессии;

5) расчет полученных по модели данных T+S и T*S;

6) расчет абсолютных и относительных ошибок.

Если ошибки не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать полученный временной ряд для анализа взаимосвязи временных рядов.

Прогнозирование имеет важное значение для анализа хозяйственной деятельности субъектов рынка. Эконометрические расчеты позволяют провести следующие вычисления:

1) установить прогнозные уровни результативных показателей и факторов, которые их формируют;

2) определить прогнозные уровни факторов при прогнозном значении результативного признака.

Пример 5. Сделаем прогнозирование уровня рентабельности на основе исходных данных.

Для этого используются следующие уравнения:

b - параметр тренда;

d - знак отклонений коэффициентов сравнения;

ti - символ ввода.

Таблица

год	уровень рентабельности %, у	t	, dt	,dy	bdt	Теоретическое значение уровня рентабельности, % yt
2000	3,03	1	0	0	0	3,03
2001	3,21	2	1	0,0594	0,06072	3,21
2002	3,37	3	2	0,1122	0,12144	3,4
2003	3,61	4	3	0,1914	0,18126	3,58
2004	3,77	5	4	0,2442	0,24288	3,77
Итого	16,99	-	10	0,6072	-	16,99

Рассчитаем параметр тренда:

Таблица. Рассчитаем коэффициент устойчивости тренда:

t
1	0
2	0,00132
3	0,00924
4	0,00924
5	0,00132
Итого	0,02112

Данное значение свидетельствует о высокой степени устойчивости уравнении регрессии, поэтому его можно использовать для прогнозирования.

Таблица

t	, dt	bdt	Прогнозное .значение уровня рентабельности,% yt
6	5	0,3036	3,95
7	6	0,3643	4,13

Для изучения временного ряда не всегда удается подобрать адекватную модель. В этом случае широкое применение получили регрессионные модели, в которых коэффициентами регрессии выступают лаговые переменные, т.е. переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием данных моделей является то, что в них объясняющими переменными являются случайные величины.

Авторегрессионная модель имеет вид:

- некоторые константы

Данная модель описывает зависимость величины уровней ряда от предыдущих моментов времени. Наряду с авторегрессионными моделями используются также модели скользящей средней. В данной модели изучаемая величина задается линейной функцией, которая описывает зависимость от ошибок в предыдущие моменты времени.

Также рассматривается комбинированная модель: авторегрессионная модель скользящей средней.

+

Использование авторегрессионных моделей эффективно в краткосрочной перспективе.

4.Системы эконометрических уравнений

При использовании отдельных уравнений регрессии предполагается, что факторы могут изменяться независимо друг от друга. Однако на практике изменение одной переменной приводит к изменению другой переменной во всей системе. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может в полной мере характеризовать истинное влияние факторных признаков на результативные. По этой причине в эконометрике для описания структуры связи используется системы одновременных уравнений.

При оценке эффективности производства, например, необходимо помимо модели рентабельности учитывать модель производительности труда и себестоимости единицы продукции. Наиболее широкое распространение системы уравнений получили в макроэкономических расчетах. Например, расходы на конечное потребление зависят от валового национального дохода, вместе с тем, валовой национальный доход зависит от объема инвестиций.

Системы уравнений могут быть построены следующим образом.

Система независимых уравнений - это когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция от одного и того же набора независимых переменных х.



Набор факторов может изменяться в каждом уравнении. Отсутствие того или иного фактора может быть следствием экономической нецелесообразности его включения в модель или несущественности воздействия на у.

Например, модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства, где в качестве зависимых переменных выступают показатели эффективности производства, а в качестве независимых переменных - показатели специализации производства.

Каждое уравнение системы можно рассматривать самостоятельно. Для определения параметров используется обычный метод наименьших квадратов.

Система рекурсивных уравнений - это когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении.

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором факторов х. Например, такой системой можно считать модель производительности труда и фонда отдачи. Как и в предыдущей модели, каждое уравнение можно рассматривать самостоятельно и оценивать с помощью метода наименьших квадратов.

Система одновременных уравнений обычно содержит следующие виды переменных:

1) эндогенные - это зависимые переменные у, число которых зависит от числа уравнений системы;

2) экзогенные - это предопределенные переменные х, влияющие на эндогенные переменные, но независящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретических положений изучаемой модели. Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменения у от х.

Коэффициент bi называется структурным коэффициентом модели. Все переменные модели показывают отклонения от их среднего уровня. Использование метода наименьших квадратов в данном случае неэффективно. По этой причине структурная форма модели преобразуется в приведенную. Приведенная система представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных.

где ?i - коэффициенты приведенной формы модели

В данной системе для оценки параметров применяется обычный метод наименьших квадратов.

5. Свойства оценок метода наименьших квадратов

Случайная переменная - это переменная, значение которой не может быть точно предсказано.

Математическое ожидание случайной переменной - это взвешенная средняя всех ее возможных значений, при этом в качестве весового коэффициента берется вероятность соответственного исхода.

Пусть случайная величина может принимать некоторые значения (Е1 , Е2 ,…, Еn) и вероятность их получения составляет (р1 , р2 ,…, рn), тогда математическое ожидание случайной переменной рассчитывается:

Существуют следующие правила расчета математических ожиданий:

1. Математическое ожидание нескольких переменных равно сумме их математических ожиданий, т.е.:

E(x,y,z) = E(x) + E(y) +E(z)

2. Если случайную переменную умножить на к.л. число, то ее математическое ожидание увеличится во столько же раз.

E(a*E) = a*E(E)

3. Математическое ожидание константы есть она сама.

Е(а) = а

Оценки параметров полученных моделей должны соответствовать следующим требованиям:

1) они должны быть несмещенными - это означает, что математическое ожидание остатков должно быть равно нулю, т.е. при большом количестве выборочных наблюдений остатки не будут накапливаться, а оцениваемый параметр будет рассматриваться как среднее значение из возможно большего числа несмещенных оценок:

Е(е) = 0

еi = yi - yxi остаток

2) они должны быть эффективными - эффективность оценок характеризуется наименьшей дисперсией;

3) они должны быть состоятельными - состоятельность оценок характеризуется повышением их точности с увеличения объема наблюдений.

Практический интерес представляет тот результат регрессии, для которого доверительный интервал ожидаемого значения параметра регрессии имеет вероятность равную единице (100%).

Свойства коэффициентов регрессии существенным образом зависят от случайной переменной. Для того, чтобы анализ, основанный на методе наименьших квадратов, давал наилучшие результаты, случайная переменная должна соответствовать четырем условиям Гаусс-Маркова.

1. Математическое ожидание случайной переменной в любом наблюдении должно быть равно нулю, т.е. Е(Еi) = 0. В некоторых ситуациях случайная переменная будет положительной, в некоторых - отрицательной, но она не должна иметь систематического смещения ни в одном из направлений. Если уравнение регрессии включает постоянную переменную, то условие выполняется автоматически, т.к. роль константы состоит в определении любой тенденции У, которую не учитывают объясняющие переменные.

2. Дисперсия случайной переменной должна быть постоянной в любых наблюдениях.

одинакова для всех i

Если это условие не выполняется, то коэффициенты регрессии будут неэффективны.

3. Это условие предполагает отсутствие систематической связи между случайными переменными в любых двух наблюдениях, т.е.:

, т.е. если случайная переменная положительна в одном наблюдении, то она необязательно будет положительной в другом наблюдении.

4. Случайные переменные должны быть независимо распределены от объясняющих переменных. Значение любой случайной переменной и независимой переменной должно быть полностью определенным внешними причинами. Если это условие выполняется, то теоретическая вариация между независимой переменной и случайной переменной равна нулю:

Первые два условия Гаусс-Маркова доказывают, что случайные переменные появляются на основе вероятностных распределений, имеющих нулевое математическое ожидание и нулевую дисперсию. Их фактические значения иногда бывает положительным или отрицательным, но они не будут иметь сильных отклонений в любом наблюдении.

Т.о. вероятность получения к.л. величин будет одинаковой для всех наблюдений, т.е. имеет место наличие условия гомоскедастичности: одинакова для всех i.

Вместе с тем возможно, что теоретическое распределение случайной переменной является разным для различных наблюдений. Т.о. появляется вероятность получения сильно отклоненных величин, т.е. имеет место условие гетероскедастичности:

неодинакова для всех i.

Наличие гетероскедастичности наглядно можно увидеть на графике:



Рис.

Отличие гомоскедастичности от гетероскедастичности графически выглядит следующим образом.

Гомоскедастичность гетероскедастичность набл.1

При отутствии гетероскедастичности обычные коэффициенты регрессии имеют наиболее низкую дисперсию среди несмещенных оценок. Если имеет место гетероскедастичность, то оценки метода наименьших квадратов будут неэффективными. Гетероскедастичность становится проблемой, когда значения переменных, входящих в уравнение регрессии значительно отличаются в разных наблюдениях.

В настоящее время существуют следующие виды тестов определения гетероскедастичности.

I Тест Голдфелда-Квандта.

1. Упорядочение наблюдения по мере возрастания.

2. Исключение из рассмотрения С-центральных наблюдений.

3. Разделение совокупности (n-c) наблюдений на две группы соответственно с наибольшими и наименьшими значениями фактора х.

4. Определение остаточной суммы квадратов для первой и второй групп (S1, S2).

5. Определение соотношения R = S2/S1

6. Сравнение с табличным значением F-критерия Фишера, если R > Fтабл., то имеет место наличие гетероскедастичности.

II Тест ранговой корреляции Спирмена.

1. Упорядочение наблюдений по мере возрастания х.

2. Упорядочение остатков по мере возрастания и присвоения им рангов.

3. Определение коэффициента ранговой корреляции:

Di = ранг х - ранг е

4. Определение расчетного значения t-критерия Стьюдента:

5. Если tрасч > tтабл, то имеет место наличие гетероскедастичности.

III Тест Уайта

Первые два теста позволяют обнаружить только наличие гетероскедастичности, но они не дают возможности проследить количественную зависимость дисперсии ошибок от значения коэффициентов регрессии, следовательно они не представляют способов устранения гетероскедастичности. При использовании теста Уайта предполагается, сто дисперсия ошибок представляет собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений коэффициентов регрессии. Чаще всего функция выбирается квадратичной для того, чтобы средняя квадратическая ошибка линейно зависела от коэффициентов регрессии. Тест Уайта заключается в оценке функции с помощью уравнения регрессии для квадратов остатков, т.е. Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается в случае незначимости изучаемой функции.

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе временных рядов. Упорядоченность наблюдений оказывается существенной в том случае, если прослеживается влияние предыдущих наблюдений на результаты последующих наблюдений. Математически это выражается в том, что случайные величины в регрессионной модели не являются независимыми (нарушаются три условия Гаусс-Маркова). Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции. На практике ими оказываются временные ряды.

Пример 1. Пусть имеется ряд последовательных значений курса акций, которые были получены в моменты 1, 2, …,100.

Рис.

Из графика видно, что курс ценных бумаг возрастает в течение изучаемого периода. Т.о. можно предположить, что результаты предыдущих торгов оказывают влияние на результаты последующих торгов, т.е. имеет место положительная автокорреляция. Графически положительная автокорреляция выражается чередованием зон, где наблюдаемые значения оказываются выше теоретических, и зон, где наблюдаемые значения ниже теоретических.

Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда наблюдения действуют друг на друга по принципу маятника, что означает завышенные значения в предыдущих наблюдениях и приводят к их завышению в последующих наблюдениях. Графически это выражается в том, что результативный признак у слишком часто переходит через линию регрессии теоретических значений.

Рис.

6.Фиктивные переменные

В большинстве случаев независимые переменные в моделях регрессии имеют непрерывные области изменения. Однако теория не накладывает никаких ограничений на характер коэффициентов регрессии. В частности некоторые переменные могут принимать всего два значения. Такие переменные используются, когда требуется принять во внимание к.л. фактор, т.е. когда факторы, вводимые в уравнение регрессии, не измеряются по числовой шкале. Например, при исследовании зависимости уровня заработной платы от различных факторов может возникнуть вопрос, влияет ли на ее размер наличие у работников высшего образования, существует ли дискриминация в оплате труда мужчин и женщин.

Одним из возможных решений данного примера является оценка отдельных регрессий, а затем изучение различий между ними.

Другой подход состоит в оценке единой регрессии с использованием всей совокупности наблюдений с измерением степени влияния качественного фактора посредством введения фиктивной переменной. Фиктивная переменная является равноправной переменной наряду с другими коэффициентами регрессии.

Второй подход обладает следующими преимуществами:

1) этот простой способ проверки является ли воздействие качественного фактора значимым;

2) при условии выполнения отдельных предпосылок регрессионной оценки оказываются более эффективными.

Фиктивные переменные вводятся в модель регрессии следующим образом.

Пусть имеется набор объясняющих переменных (х1, х2,… х n ) тогда первоначальная модель зависимости заработной платы от различных факторов будет иметь вид:

у(х) =а1 х1 + а2 х 2 +…+ аn хn + Е = х?а + Е (6.1)

Необходимо определить влияние такого фактора как наличие или отсутствие высшего образования. Для этого в уравнение регрессии вводится фиктивная переменная d. Если d=1, то работник имеет высшее образование и d=0, если работник не имеет высшего образования.

Новое уравнение имеет вид:

у(х) =а1 х1 + а2 х 2 +…+ аn хn + ?d + Е = х?а + ?d + Е (6.2)

, где ? - коэффициент регрессии при фиктивной переменной.

Т.е. при изучении модели 6.2 считается, что заработная плата - это величина х?а при отсутствии высшего образования и (х?а + ?) - при его наличии.

Т.о. ? интерпретируется как среднее изменение заработной платы при переходе из одной категории в другую. Графически отличие модели 6.1 и 6.2 выглядит следующим образом.

Рис.

В модели 6.2 можно применить метод наименьших квадратов для получения значений параметров уравнения. Стандартные ошибки при фиктивных переменных используются для оценки существенности параметров уравнения. Для этого используется t-критерий Стьюдента. Качественные переменные могут влиять не только на сдвиг линии регрессии, но и на изменение ее наклона. В данном случае используются фиктивные переменные взаимодействия. По данным предыдущего примера помимо зависимости от наличия высшего образования можно учесть влияние опыта работы по данной специальности.

Фиктивная переменная взаимодействия имеет вид: zdx, где z - коэффициент регрессии при произведении фиктивной переменной и независимой переменной.

Новое уравнение имеет вид: y(x) = х?а + ?d + zdx + E

Величина z рассматривается как разность между коэффициентом при показателе наличия высшего образования для работников, которые имеют опыт работы и коэффициентом при показателе наличия высшего образования для работников, которые не имеют опыта работы.

Качественные факторы можно обозначить также другими переменными, которые принимают два значения, но, однако, система ноль-один более эффективна, т.к. результаты исследования лучше интерпретируются.

Если включаемый в рассмотрение качественный признак имеет несколько значений, то можно ввести дискретную переменную, принимающую такое же количество значений. Однако этот метод затрудняет интерпретацию результатов исследования. По этой причине целесообразней использовать несколько фиктивных переменных. Примером подобных ситуаций является исследование сезонных колебаний.

Пусть уt - это объем потребления некоторого продукта в момент времени t. Существует предположение, что потребление зависит от времени года.

dt1 = 1, если месяц t является зимним и dt1 = 0 в остальных случаях;

dt2 = 1, если месяц t является весенним и dt2 = 0 в остальных случаях;

dt3 = 1, если месяц t является летним и dt3 = 0 в остальных случаях;

Тогда новая модель будет иметь следующий вид:

Четвертая фиктивная переменная для осени не вводится, т.к. тогда бы для любого месяца t выполнялось бы тождество: , что означало бы линейную зависимость коэффициентов в регрессии и как следствие невозможность определения параметров уравнения с помощью метода наименьших квадратов. Т.о. среднемесячный объем потребления - это величина а0 для осенних месяцев, а0 + а1 для зимних месяцев, а0 + а2 для весенних месяцев, а0 +а3 для летних.

Оценки коэффициентов а1 , а2 , а3 показывают средние сезонные отклонения в объеме потребления по отношению к осени. Например, тестируя гипотезу а3 = 0, проверяют предположение о несуществующем различии в объеме потребления между летом и осенью. Если а1 = а2 , то выдвигается предположение об отсутствии различий между потреблением зимой и весной. Фиктивная переменная, несмотря на свою простоту, является гибким инструментом в экономическом исследовании.

В предыдущей модели были отражены сезонные различия только в среднемесячном объеме потребления. Для модификации представленной модели вводится новая переменная I - это доход, используемый на потребление. Коэффициент регрессии при данной переменной имеет название «склонность к потреблению».

Новая модель будет описывать зависимость влияния сезона на склонность к потреблению.

Согласно данной модели склонность потребления - это величина для зимы а4 + а7 , для весны а5 + а7 , для лета а6 + а7 и для осени а7.

Как и в предыдущей модели можно тестировать гипотезы об отсутствии влияния сезона на склонность к потреблению.

Фиктивные переменные позволяют строить и оценивать кусочно-линейные модели. Они применяются для изучения структурных изменений.

Пусть имеются данные по х и у за некоторые моменты времени ( [xt ; yt] t = 1, 2,…n). Пусть в момент времени t0 произошла структурная перестройка, и линия регрессии отклонилась от первоначального направления.

Рис.

Для изучения данной ситуации вводится фиктивная переменная Rt . При этом Rt = 0, если t ? t0 и Rt = 1, если t > t0 уравнение регрессии будет иметь вид:

Регрессионная модель 6.6 имеет коэффициент наклона а2 для t ? t0 и

а2 + а3 для t > t0 . Т.о. тест а3 = 0 проверяет предположение о том, что фактически структурного изменения не произошло.

Приложение

Методические указания по самостоятельной работе студентов

Общие положения

Сегодня деятельность в любой области экономики требует от специалиста применения современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях и приемах. Без глубоких знаний эконометрики научиться их использовать невозможно. Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Целью эконометрики являются построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания, анализа и прогнозирования экономических процессов. Для достижения поставленной цели необходимой предпосылкой выступает организация самостоятельной работы студентов.

Самостоятельная работа - это работа, выполняемая вне аудиторных часов учебного плана. Она должна способствовать:

расширению, закреплению и углублению знаний, полученных в аудитории;

активному приобретению новых знаний;

развитию творческого подхода к решению поставленных задач;

проявлению индивидуальности студента;

формированию практических навыков в решении ситуационных задач.

Данное методическое пособие включает:

Подготовка к практическим и семинарским занятиям - традиционная форма самостоятельной работы, включающая обработку лекционного материала в рамках общего содержания дисциплины, представленного в графе 1 плана самостоятельной работы (раздел 2), а также изучение части теоретического материала, не вошедшего в аудиторное изучение дисциплины и вынесенное на самостоятельное изучение.

Самостоятельное рассмотрение теоретических вопросов, отраженных в столбце 2 плана самостоятельной работы предусматривает обработку рекомендованной литературы (раздел 6), конспектирование учебников, статей.

Для подготовки к эачету - по дисциплине «Эконометрика» методические указания содержат перечень контрольных вопросов и типовых задач по всему курсу. Контрольные вопросы (раздел 5) обобщают весь изученный теоретический материал, а типовые задачи (раздел 4) закрепляют полученные в ходе аудиторных практических занятий расчетно-аналитические навыки и умения.

План самостоятельной работы по дисциплине «Эконометрика» содержит информацию о предусмотренном учебным планом и рабочей программой общем количестве часов, выделенных на самостоятельную работу студентов, и количестве часов, необходимых для изучения отдельных тем и разделов. Общее количество часов самостоятельной работы по дисциплине составляет 32 (56) часов. Выполнение самостоятельной работы студентами контролируется преподавателем, для чего предусмотрено 4 (4) часа учебной нагрузки в течение семестра. Итоговой формой контроля является: зачет - в 5 семестре.

Размещено на Allbest.ru