Моделирование систем массового обслуживания
Определение числа контролеров-кассиров в магазине самообслуживания, при котором суммарные потери будут минимальными. Разработка плана заказа на товары для обеспечения оптимального соотношения между их продажей. Построение сетевой модели комплекса работ.
Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 22.12.2011 |
Размер файла | 125,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача 27
В магазин самообслуживания поступает Пуассоновский поток покупателей с интенсивностью л = 2 человек в минуту. Средняя продолжительность обслуживания на расчетном узле составляет tобс = 1,4 минуты. Уровень суммарных потерь связан с простоем среднего числа свободных контролеров-кассиров nсв и пребыванием среднего числа покупателей в очереди lоч. Построить график зависимости суммы среднего числа свободных контролеров-кассиров и среднего числа покупателей в очереди от числа контролеров-кассиров n, f(n) = (lоч + nсв). Определить по нему оптимальное число контролеров-кассиров n0, при котором суммарные потери будут минимальными.
Решение:
По условию задачи:
л = 2 (человек/минуту) - интенсивность входящего потока;
м = 1/tобс = 1/1,4 = 0,714 (человек/минуту) - интенсивность потока обслуживания.
Рассчитаем среднюю длину очереди и среднее число свободных контролеров-кассиров, в зависимости от числа контролеров-кассиров основные показатели СМО как многоканальной СМО с ожиданием.
Показатель нагрузки СМО:
с = л / м = 2 / 0,714 = 2,8 > 1
Показатель нагрузки, приходящийся на одного кассира-контролера:
Ш = с / n = 2,8 / n < 1 , значит n > 3.
Вероятность простоя узлов обслуживания СМО, когда нет заявок:
=
Вероятность наличия очереди в системе:
Средняя длина очереди:
==
Среднее число свободных контролеров-кассиров:
nсв = n - с ,
тогда искомая функция зависимости суммы среднего числа свободных контролеров-кассиров и среднего числа покупателей в очереди от числа контролеров-кассиров n имеет вид:
Рассчитаем значение функции:
n |
Ро |
lоч |
nсв |
f(n) |
|
3 |
0,0160 |
12,2735 |
0,2 |
12,47 |
|
4 |
0,0502 |
1,0002 |
1,2 |
2,20 |
|
5 |
0,0581 |
0,2412 |
2,2 |
2,44 |
|
6 |
0,0601 |
0,0660 |
3,2 |
3,27 |
|
7 |
0,0606 |
0,0180 |
4,2 |
4,22 |
|
8 |
0,0608 |
0,0047 |
5,2 |
5,20 |
|
9 |
0,0608 |
0,0012 |
6,2 |
6,20 |
|
10 |
0,0608 |
0,0003 |
7,2 |
7,20 |
Построим график полученной функции:
Видим, что оптимальное число кассиров-контролеров равно 4, при данном числе контролеров-кассиров в очереди всего один покупатель и простаивающий кассир также один, потери будут минимальными.
Задача 37
Розничное предприятие торговли формирует заявку на новые товары Н1, Н2, Н3, заменяющие старые товары хорошо известные покупателям. Методы изучения спроса позволили составить матрицу условных вероятностей продажи старых товаров С1, С2, С3, при наличии конкурирующих новых товаров в торговой сети. Составить план заказ на товары, чтобы обеспечить оптимальное соотношение между их продажей.
Старые товары |
Новые товары |
|||
Н1 |
Н2 |
Н3 |
||
С1 |
0,7 / 6 |
0,1 / 7 |
0,2 / 5 |
|
С2 |
0,6 / 7 |
0,2 / 5 |
0,2 / 8 |
|
С3 |
0,6 / 5 |
0,3 / 3 |
0,1 / 6 |
Решение:
Задачи такого типа относятся к играм с природой (или статистическим играм). Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. Под "природой" понимается совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений. Но иногда мы располагаем некоторыми вероятностными характеристиками состояний природы.
Игра с природой отличается от матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока, безразличием природы к выигрышу. Природа может даже помогать игроку. Такие игры в основном бывают двух типов: когда вероятности состояний природы неизвестны и когда они известны. От этого зависит метод решения игры.
Для решения игры с природой был предложен ряд критериев, ни один из которых не является универсальным, поскольку каждый из них основывается на своих специфических допущениях. Поэтому следует применять по очереди все эти критерии, причем каждый критерий дает свою рекомендацию относительно того, какое решение игрока является наилучшим. Если одна из стратегий (решений) игрока фигурирует в качестве лучшей чаще других, она в результате признается оптимальной.
Рассчитаем эти критерии.
Максиминный критерии Вальда
С точки зрения этого критерия, игра с природой ведётся как игра с разумным, агрессивным противником, который всегда реализует самое невыгодное для игрока состояние. Это крайне пессимистический критерий. Здесь нужно рассчитывать на самый наихудший вариант, и поэтому при любой стратегии игрока ожидается, что выигрыш будет наименьшим. Поэтому из этих наименьших выигрышей по каждой стратегии выбирается наибольшее значение, которое гарантирует игроку хотя бы наименьший возможный выигрыш.
Применяя стратегию С1, можно рассчитывать только на спрос, равный наименьшему из чисел 1-й строки платежной матрицы б1 = min (6, 7, 5) = 5, в случае применения стратегии С2 можно рассчитывать на спрос б2 = min (7, 5, 8) = 5, в случае применения стратегии С3 можно рассчитывать на спрос б3 = min (5, 3, 6) = 3. Следовательно, оптимальными по Вальду являются стратегии С1 и С2, предоставляющие максимальный спрос б = mах (5, 5, 3) = 5.
Критерий минимального риска Сэвиджа
Рассмотрим критерий Сэвиджа. Для этого построим матрицу рисков:
Старые товары |
Новые товары |
|||
Н1 |
Н2 |
Н3 |
||
С1 |
1 |
0 |
3 |
|
С2 |
0 |
2 |
0 |
|
С3 |
2 |
4 |
2 |
Критерий Сэвиджа есть критерий крайнего пессимизма только по отношению к матрице рисков. Применяя стратегию С1, можно ожидать, что потери равны наибольшему из чисел 1-й строки матрицы рисков r1 = mах (1, 0, 3) = 3. Для стратегий С2 и С3 можно ожидать, что потери составят соответственно r2 = mах (0, 2, 0) = 2 и r3 = mах (2, 4, 2) = 2. Отсюда следует, что оптимальной по Сэвиджу являются стратегии С2 и С3, приносящая минимальный риск, равный r = min (3, 2, 2) = 2.
Критерий Гурвица (б = 0,5)
Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле:
, где б - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].
Таким образом, при б = 0,5 имеем:
- С1
- С2
- С3
Далее находим , т.е. по критерию Гурвица оптимальной является стратегия С2.
Критерий максимума математического ожидания выигрыша.
М1 = 0,7*6 + 0,1*7 + 0,2*5 = 5,9
М2 = 0,6*7 + 0,2*5 + 0,2*8 = 6,8
М3 = 0,6*5 + 0,3*3 + 0,1*6 = 4,5
Анализируя полученные результаты можем сделать вывод, что оптимальной является стратегия С2, гарантирующая максимальный спрос.
Для средних рисков имеем:
R1 = 0,7*1 + 0,1*0 + 0,2*3 = 1,3
R2 = 0,6*0 + 0,2*2 + 0,2*0 = 0,4
R3 = 0,6*2 + 0,3*4 + 0,1*2 = 2,6
Анализируя полученные результаты можем сделать вывод, что оптимальной является также стратегия С2, гарантирующая минимальный риск.
По совокупности критериев в данном случае оптимальной следует принять стратегию С2, т.е. необходимо заказать старые товары С2.
Задача 48
Дан упорядоченный структурно-временной перечень работ по организации выставки продажи товаров. Требуется построить сетевой график, определить критический путь, критические работы, резервы времени, провести графический анализ комплекса работ и оптимизацию сетевой модели по критерию минимума времени Т.
Содержание работы |
Обозначение |
Опорные работы |
Длительность работы, ч |
|
Заказ на оборудование и товары |
а1 |
- |
10 |
|
Разработка системы учета спроса |
а2 |
- |
11 |
|
Отбор товаров и выписка счетов |
а3 |
а1 |
5 |
|
Завоз товара |
а4 |
а3 |
6 |
|
Завоз оборудования |
а5 |
а1 |
5 |
|
Установка оборудования |
а6 |
а5 |
7 |
|
Выкладка товара |
а7 |
а4 |
1 |
|
Учет наличия товара |
а8 |
а4 |
6 |
|
Оформление зала и витрины |
а9 |
а6 а7 |
4 |
|
Изучение документов учета |
а10 |
а2 а8 |
5 |
|
Репетиция выставки продажи |
а11 |
а9 а10 |
2 |
Решение:
Построим сетевую модель комплекса работ по исходной структурной таблице. Вычислим значения временных параметров событий и проставим их в соответствующих секторах сетевого графика (верхний сектор - номер события; нижний сектор - номер помеченного события; левый сектор - ранний срок свершения события; правый сектор - поздний срок свершения события).
Вычисленные значения временных параметров событий проставлены в соответствующих секторах сетевого графика. Критическое время выполнения комплекса работ равно tкр = tр(9) = 34 часов.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Мы получили критический путь, который проходит через события с номерами: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, т.е. 1 - 2 - 3 - 4 - 7 - 8 - 9.
На критическом пути лежат работы а1, а3, а4, а8, а10, а11.
Основными характеристиками работ сетевого графика являются моменты их начала и окончания, а также резервы времени.
Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения ее начального события.
Ранний срок окончания работы равен раннему сроку начала работы сложенному с ее продолжительностью.
Поздний срок окончания работы равен позднему сроку свершения ее конечно события.
Поздний срок начала работы равен позднему сроку ее окончания за вычетом продолжительности работы.
Полный резерв времени работы - это максимальное количество времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения, не изменяя срока завершения всего комплекса работ.
Свободный резерв времени работы - это максимальное количество времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения при условии, что она начинается в свой ранний срок, не изменяя при этом ранних сроков начала последующих работ.
Рассчитаем полный и свободный резерв времени для некритических работ по формулам:
Rij = tпозд j - tран i - tij - полный резерв времени работы (i;j);
Fij = tран j - tпозд i - tij - свободный резерв времени работы (i;j).
Характеристику работ для сетевого графика сведем в таблицу:
Обозначение работы |
Продолжительность работы tij |
Срок начала работы |
Срок окончания работы |
Резерв времени работы |
||||
ранний tр.н.(i,j) |
поздний tп.н.(i,j) |
ранний tр.о.(i,j) |
поздний tп.о.(i,j) |
Полный Rп(i,j) |
Свободный Rсв.(i,j) |
|||
а1 |
10 |
0 |
10 |
0 |
10 |
0 |
0 |
|
а2 |
11 |
0 |
11 |
16 |
27 |
16 |
16 |
|
а3 |
5 |
10 |
15 |
10 |
15 |
0 |
0 |
|
а4 |
6 |
15 |
21 |
15 |
21 |
0 |
0 |
|
а5 |
5 |
10 |
15 |
16 |
21 |
6 |
0 |
|
а6 |
7 |
15 |
22 |
21 |
28 |
6 |
0 |
|
а7 |
1 |
21 |
22 |
27 |
28 |
6 |
0 |
|
а8 |
6 |
21 |
27 |
21 |
27 |
0 |
0 |
|
а9 |
4 |
22 |
26 |
28 |
32 |
6 |
6 |
|
а10 |
5 |
27 |
32 |
27 |
32 |
0 |
0 |
|
а11 |
2 |
32 |
34 |
32 |
34 |
0 |
0 |
Видим, что полный резерв времени у критических работ равен нулю. Некритические работы обладают ненулевым полным резервом времени.
Список использованной литературы
сетевая модель обслуживание продажа
1) Воронов М.В., Мещеряков Г.П., «Высшая математика для экономистов и менеджеров», - М.: Феникс, 2005;
2) Григулецкий А.В., «Высшая математика для экономистов», - М.: Феникс, 2004;
3) Замков О.О., «Математические методы в экономике. Учебник», - М.: ДиС, 2004;
4) Красс М.С., «Математика для экономистов», - С.-Пб.: Питер, 2004;
5) Кремер Н.Ш., «Практикум по высшей математике для экономистов», - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003;
6) Шапкин А.С., Мазаева Н.П., «Математические методы и модели исследования операций. Учебник», - М.: Дашков и К, 2004.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение оптимального числа контролеров-кассиров в магазине, при котором суммарные потери фирмы будут минимальными. Составление плана заказов на товары для обеспечения оптимального соотношения между их продажей. Построение сетевого графика продаж.
контрольная работа [126,2 K], добавлен 16.01.2012Моделирование процесса массового обслуживания. Разнотипные каналы массового обслуживания. Решение одноканальной модели массового обслуживания с отказами. Плотность распределения длительностей обслуживания. Определение абсолютной пропускной способности.
контрольная работа [256,0 K], добавлен 15.03.2016Общие понятия теории массового обслуживания. Особенности моделирования систем массового обслуживания. Графы состояний СМО, уравнения, их описывающие. Общая характеристика разновидностей моделей. Анализ системы массового обслуживания супермаркета.
курсовая работа [217,6 K], добавлен 17.11.2009Разработка теории динамического программирования, сетевого планирования и управления изготовлением продукта. Составляющие части теории игр в задачах моделирования экономических процессов. Элементы практического применения теории массового обслуживания.
практическая работа [102,3 K], добавлен 08.01.2011Количественные и качественные методы экономического прогнозирования. Построение модели поиска оптимального уровня заказа, издержек, уровня повторного заказа, числа циклов за год, расстояния между циклами. Определение координат снабженческого центра.
контрольная работа [44,4 K], добавлен 15.09.2010Элементы теории массового обслуживания. Математическое моделирование систем массового обслуживания, их классификация. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Практическое применение теории, решение задачи математическими методами.
курсовая работа [395,5 K], добавлен 04.05.2011Сущность понятия термина "имитация". Сущность этапов имитационного эксперимента. Основные принципы и методы построения имитационных моделей. Типы систем массового обслуживания. Логико-математическое описание, выбор средств и анализ работы модели.
реферат [7,5 M], добавлен 25.11.2008Расчет оптимального числа поездов, при которых перевозится максимальное число пассажиров, плана перевозки с минимальными расходами. Выбор стратегии выпуска новой продукции. Построение регрессионной модели зависимости расходов на питание от дохода семьи.
контрольная работа [3,3 M], добавлен 28.03.2010Системы массового обслуживания и параметры, характеризующие эффективность их функционирования. Классификация СМО и их основные элементы. Построение модели плана поставок и нахождение опорного решения. Оптимизация задачи методом отрицательных циклов.
курсовая работа [53,8 K], добавлен 01.09.2011Сферы применения имитационного моделирования для выбора оптимальных стратегий. Оптимизация уровня запасов и построение модели управления. Построение имитационной модели и анализ при стратегии оптимального размера заказа и периодической проверки.
контрольная работа [57,5 K], добавлен 23.11.2012