Вынужденные движения в системе управления

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЫНУЖДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

В разделе рассматриваются вынужденные движения в СУ, которые проявляются после затухания свободной составляющей, то есть после окончания переходного процесса. Рассматривается ряд типовых тестовых воздействий. Анализируется возможность отработки разных сигналов в зависимости от степени астатизма СУ. Определяются установившиеся ошибки, характеризующие точность работы СУ в установившемся режиме.

Типовые входные воздействия для систем управления. Установившиеся движения с СУ

Как уже говорилось, реакция любой СУ на входное воздействие определяется двумя составляющими: характеристиками входного воздействия и свойствами собственно самой СУ. Например представлена реакция некоторой устойчивой СУ на постоянный сигнал (ступенчатое воздействие).

Можно выделить две составляющие реакции СУ на входной сигнал: переходный режим (переходный процесс) и установившийся режим. Решение линейного ДУ как раз содержит две составляющих - свободную и вынужденную. Считаем, что рассматриваемые здесь СУ устойчивые и будем анализировать вынужденную составляющую.

Используем модель СУ типовой структуры. В данном случае будем оперировать с ПФ Фe(s) замкнутой систем по ошибке, то есть фактически перейдем к модели.

Будем считать, что ПФ прямого канала (то есть разомкнутой системы) задана следующим оператором:

.(6.1)

В этом операторе младшие коэффициенты BР(s)и AР(s) равны единице; это означает, что коэффициент усиления контура сосредоточен в одном параметре K.

Параметр степень астатизма; определяется числом интеграторов в прямом канале СУ.

Рассмотрим три варианта СУ:

= 0 - статическая система;

= 1 - система с астатизмом 1-го порядка;

= 2 - система с астатизмом 2-го порядка.

Получена связь ПФ замкнутой системы по ошибке через полином числителя и знаменателя ПФ разомкнутой системы. С учетом (6.1), получим

. (6.2)

Установившиеся режимы будем анализировать при так называемых типовых воздействиях. К таким сигналам предъявляются следующие требования:

воздействия должны быть адекватны реальным сигналам, подаваемым на СУ в процессе их функционирования;

воздействия должны иметь простое математическое описание.

Используем следующие типовые сигналы.

Единичная -функция f(t)= (t), F(s)=1.

Единичное ступенчатое воздействие f(t)= 1(t), F(s)=1/s.

Линейно нарастающий сигнал, или - воздействие с постоянной скоростью f(t)= at, F(s)=a/s2.

Воздействие с постоянным ускорением f(t)= at2/2, F(s)=a/s3.

В соответствии с определением ПФ по ошибке

E(s)=F(s) Фe(s).(6.3)

Нас будет интересовать вынужденное (установившееся) значение ошибки

,(6.4)

которое можно получить, используя теорему о конечном значении оригинала (2.13):

.(6.5)

Используя (6.2), (6.5) и изображения воздействий, для СУ можно определить, будет ли установившаяся ошибка нулевой, конечной либо будет стремиться к бесконечности, что будет означать, что СУ “не справляется” с входным воздействием.

Расчет установившихся ошибок

Статическая СУ

В прямом канале системы отсутствуют интегрирующие звенья, то есть = 0. В этом случае (6.2) приводится к виду:

. (6.6)

С использованием (6.6) будем находить вынужденные ошибки при разных входных воздействиях

-функция f(t)= (t).

.(6.7)

Результат получен с учетом (6.1), где раскрыта запись полиномов BР(s)и AР(s).

Ступенчатое воздействие f(t)= 1(t).

.(6.8)

Линейное воздействие f(t)= at.

.(6.9)

Из (6.9) видно, что аналогичный результат будет получен и при параболическом воздействии, изображение которого F(s)=a/s3.

затухание астатизм линейный ступенчатый

Система с астатизмом первого порядка

В прямом канале системы присутствует одно интегрирующее звено, то есть = 1. В этом случае (6.2) приводится к виду:

. (6.10)

С использованием (6.10) также определим вынужденные ошибки при разных входных воздействиях.

-функция f(t)= (t).

.(6.11)

Ступенчатое воздействие f(t)= 1(t).

.(6.12)

Линейное воздействие f(t)= at.

.(6.13)

Система с астатизмом второго порядка

В прямом канале системы присутствуют два интегрирующих звена, то есть = 2. В этом случае (6.2) приводится к виду:

. (6.14)

С использованием (6.15) также определим вынужденные ошибки при разных входных воздействиях.

-функция f(t)= (t).

.(6.15)

Ступенчатое воздействие f(t)= 1(t).

.(6.16)

Линейное воздействие f(t)= at.

.(6.17)

Воздействие с постоянным ускорением f(t)= at2/2.

.(6.18)

Анализ соответствия астатизма СУ и ее функционального назначения

Обобщим полученные выше результаты. Сведем вычисленные ошибки в табл. 6.1.

Табл. 6.1.

Для наглядности аналогичная таблица с изображениями процессов приведена на рис.6.1.

Рис. 6.1

Рассмотрим верхнюю строку таблиц. Статическая и, тем более, астатические системы “отрабатывают” -функцию с нулевой установившейся ошибкой (при t, f(t)=y(t)=0).

Вторая строка таблиц соответствует подаче на вход ступенчатого воздействия, то есть постоянного сигнала. Статическая система отрабатывает его с конечной ошибкой, определяемой усилением в контуре. Астатические системы справляются с этим сигналом с нулевой установившейся ошибкой.

Третья строка показывает реакции систем уже на меняющийся сигнал, в данном случае с постоянной скоростью. Статическая система с таким сигналом не справляется - выходная координата не может “следить” за таким сигналом, рассогласование будет накапливаться. Система с астатизмом 1-го порядка имеет конечную установившуюся ошибку, прямопропорциональную скорости изменения входного сигнала и обратно пропорциональную контурному усилению. Система с астатизмом 2-го порядка справляются с таким сигналом с нулевой установившейся ошибкой.

Последняя строка таблиц показывает реакции систем на наиболее “сложный” из приведенных входных сигналов - с изменяющейся скоростью (но с постоянным ускорением). С таким сигналом справляется только система с астатизмом 2-го порядка, с конечной ошибкой, прямопропорциональной ускорению изменения входного сигнала и обратно пропорциональной усилению в контуре.

Размещено на Allbest.ru