Методы линейного программирования в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Построение математических моделей некоторых экономических задач

1.1 Задача об использовании сырья

1.2 Математическая модель транспортной задачи

1.3 Различные формы задачи линейного программирования

2 Методы и виды задач линейного программирования

2.1 Симплекс-метод

2.2 Транспортная задача линейного программирования

3 Решение задач линейного программирования средствами MSExcel

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Линейное программирования - это математическая дисциплина, изучающая методы отыскания наибольшего (или наименьшего) значения линейной функции нескольких переменных при условии, что эти переменные удовлетворяют конечному числу линейных уравнений или неравенств.

Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике. Как правило, задачи, с которыми мы встречаемся в экономике, - это экстремальные задачи на отыскание наиболее выгодного варианта.

Для решения задач линейного программирования существует как общее, так и специальные алгоритмы (методы). Если с помощью общих методов решать любую задачу линейного программирования, то специальные методы пригодны лишь для решения задач определенного класса, они связаны со спецификой задач этого класса.

Одним из наиболее распространенных и эффективных общих методов линейного программирования до настоящего времени остается симплекс-метод, созданный в 1949 году американским математиком Данцигом. Из специальных методов необходимо отметить метод потенциалов, который представляет собой вариант симплекс-метода, специально приспособленный для решения так называемой транспортной задачи.

Табличный процессор MicrosoftExcel (электронные таблицы) - одно из наиболее часто используемых приложений пакета MSOffice. Основное назначение MicrosoftExcel - решение практических любых задач расчетного характера.

Особенность электронных таблиц заключается в возможности применения формул для описания связи между значениями различных ячеек. Расчет по заданным формулам выполняется автоматически. Изменение содержимого какой - либо ячейки приводит к пересчету значений всех ячеек, которые с ней связаны формульными отношениями и, тем самым, к обновлению всей таблицы в соответствии с изменившимися данными.

Актуальность данной работы обоснована тем, что многие экономические, бытовые и технические задачи сводятся к задачам линейного программирования и специалисты этой области должны иметь навыки с этими типами задач.

1 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1.1 Задача об использовании сырья

Некоторое предприятие выпускает продукцию n-видов Р₁,Р₂,…,Р_n, для изготовления которой надо использовать сырье m-видов S₁,S₂,…,S_m. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемое на изготовление единицы продукции, а так же величина прибыли, получаемое от реализации единицы продукции, приведены в следующей таблице.

Таблица 1.1 - Запасы сырья, количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции, а также получаемая прибыль

Виды сырья	Запасы сырья	Количество единиц, идущих на изготовление единицы продукции
		P1	P2	P3	P4	…	Pm
S1	b1	a11	a12	a13	a14	…	a1n
S2	b2	a21	a22	a23	a24	…	a2n
S3	b3	a31	a32	a33	a34	…	a3n
…	...	...	…	…	…	…	…
Sm	bm	am1	am2	am3	am4	…	amn
Прибыль от реализации единиц продукции	c1	c2	c3	c4	…	cn

Здесь а_у, (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) обозначает количество единиц сырья S_iнеобходимое для изготовления единицы продукции P_j.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы от ее реализации получить максимальную прибыль.

Обозначим через х_j, (j=1,2,…,n) количество единиц продукции P_j, которое выпускает данное предприятие. Тогда суммарная прибыль предприятия будет выражаться формулой

f=c₁х₁+c₂х₂+…+c_nх_n.

Общее количество сырья S_i, (i=1,2,…,m), используемое для изготовления продукции всех видов, равно a_i1х₁+a_i2х₂+…+a_inх_n; оно не должно превышать всего запаса этого вида сырья, т.е.

a_i1х₁+a_i2х₂+…+a_inх_n?b₁ (i=1,2,…,m).

Кроме того по смыслу задачи ясно, что все х_j должны быть неотрицательными, т.е. х_i?0(j=1,2,…,n).

Найти такое, при котором линейная функция

f=(х₁,х₂,…,х_n)= c₁х₁+c₂х₂+…+c_nх_n (2)

принимает наибольшее значение (максимизируется).

Сформулированная нами задача (1)-(2) представляет собой математическую модель рассматриваемой экономической задачи об использовании сырья.

1.2 Транспортная задача

В «m» месторождениях M_1,M₂,…,M_m ежемесячно добывают соответственно а₁,а₂,…,а_mтонн угля. Весь этот уголь надо доставить «n» потребителям Р₁,Р₂,…,Р_n, в количестве b₁,b₂,…,b_nтонн соответственно. Стоимость перевозки одного тонны угля из пункта М_i в пункт P_j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) равна c_ij.

Необходимо составить такой план перевозки, при котором общая стоимость их была наименьшей. Обозначим через х_ij- количество тонн угля, перевозимого из пункта М_i в пункт P_j. Занесем теперь все данные этой задачи в следующую таблицу.

Таблица 1.2 - План перевозок

Поставщики угля	Потребители угля	Запасы угля
	P1	P2	…	Pn
M1	c11 x11	c12 x12	… …	c1n x1n	а1
M2	c21 x21	c22 x22	… …	c2n x2n	а2
…	…	…	…	…	…
Mn	cm1 xm1	cm2 xm2	… …	cmn xmn	аm
Потребности	b1	b2	…	bm

Составим математическую модель задачи, т.е. дадим математическую формулировку данной задачи.

Стоимость перевозки х_ijтонны от i - го поставщика М_iк j - му потребителю P_j составляет c_ijх_ij. Тогда суммарная стоимость всех перевозок будет равна:

f=c₁₁x₁₁+_c12x12+…+c_1nx_1n+c₂₁x₂₁+c₂₂x₂₂+…+c_2nx_2n+…+c_m1x_m1+

c_m2x_m2+…+c_mnx_mn. (2)

Общее количество угля, ввозимое во все пункты потребления из месторождения М_iравно х_i1+х_i2+…+х_in. Из условия задачи следует, что х_i1+х_i2+…+х_in=a_i,(i=1,2,…,n). Общее количество угля, ввозимое в пункт потребления P_j из всех месторождений равно х_1j+х_2j+…+х_mj. Из условия задачи следует, что х_1j+х_2j+…+х_mj=b_j,(j=1,2,…,n).

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче.

Среди решений системы линейных уравнений (и неравенств). найти такое, при котором линейная функция

 (4)

принимает наименьшее значение (минимизируется).

1.3 Различные формы задачи линейного программирования

Рассмотренные нами выше задачи являются примерами, так называемых задач линейного программирования. С математической точки зрения в каждой из этих задач ищутся неотрицательные значения неизвестных, которое удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений или линейных неравенств и при которых некоторая линейная функция от этих неизвестных принимает минимальное или максимальное значение.

Основными задачами теории линейного программирования являются стандартная и каноническая задачи. Дадим их формулировки.

Задача С (стандартная задача). Дана система линейных неравенств

a_i1х₁+ a_i2 х₂+…+a_in х_n?b_i(i=1,2,…,m) (1)

и линейная функция

f=c₁ х₁+c₂ х₂+…+c_n х_n. (2)

Надо найти неотрицательное решение системы неравенств (1) при котором функция fмаксимизируется (или минимизируется).

Задача К (каноническая задача). Дана система линейных уравнений

a_i1х₁+ a_i2 х₂+…+a_inх_n=b_i (i=1,2,…,m) (3)

и линейная функция

f=c₁ х₁+c₂ х₂+…+c_n х_n. (4)

Надо найти такое неотрицательное решение системы уравнений (3), при котором функция fмаксимизируется (или минимизируется).

Условие (1) и (3) называются ограничениями задач С и К соответственно. Линейная функция (2) или (4) называется целевой функцией данной задачи. Всякое неотрицательное решение системы ограничений называется допустимым решением задачи линейного программирования. Допустимое решение, которое минимизирует (максимизирует) целевую функцию, называется оптимальным решением.

Рассмотрим вопрос о взаимосвязи между стандартной и канонической задачами линейного программирования. Мы покажем что стандартную задачу можно перевести в каноническую и наоборот.

Действительно, всякое неравенство a_i1х₁+ a_i2 х₂+…+a_in х_n?b равносильно уравнению a_i1х₁+ a_i2 х₂+…+a_in х_n=b, где добавочное неизвестное х_n+1 удовлетворяет условию х_n+1?0. Если в системе ограничений (1) стандартной задачи каждое неравенство заменить равносильным ему уравнением, введя добавочные неизвестные х_n+1, х_n+2,…, х_n+m, то стандартная задача преобразуется в каноническую. Далее, всякое уравнение a_i1х₁+ a_i2 х₂+…+a_in х_n=b равносильно двум неравенствам

a_i1х₁+ a_i2 х₂+…+a_in х_n?b и a_i1х₁+ a_i2 х₂+…+a_in х_n?b.

Поэтому, заменяя в системе ограничений (3) канонической задачи каждое уравнение равносильной ему парой неравенств, каноническую задачу можно преобразовать в стандартную.

Отметим также, что задачу максимизации целевой функции можно заменить задачей минимизации и наоборот. Действительно, так как

maх f= - min(-f) и minf = - maх(-f),

то каждая из этих задач сводится к другой заменой целевой функции f и -f.

2 МЕТОДЫ И ВИДЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1 Симплекс-метод

Для решения задач линейного программирования существуют специальные алгоритмы (методы).

Среди этих алгоритмов есть такие, которые пригодны для решения задач определенного класса, они связаны со спецификой задач этого класса. Однако есть и общие методы, с помощью которых можно решать любую задачу линейного программирования. Одним из таких общих методов является так называемый симплекс-метод, созданный американским математиком Дж. Данцигом в 1949 г. Симплекс-метод до настоящего времени остается наиболее распространенным и эффективным методом решения задач линейного программирования.

Рассмотрим каноническую задачу минимизации. Дана система линейных уравнений

a_i1х₁+ a_i2 х₂+…+a_inх_n=b_i (i=1,2,…,m) (1)

и линейная функция

f=c₁ х₁+c₂ х₂+…+c_n х_n (2)

Надо найти неотрицательное решение системы (1), которое минимизирует функцию (2).

Для начала работы по симплекс-методу требуется, чтобы система (1) была разрешена относительно каких - либо “r” неизвестных (r?m), т.е. чтобы “r” неизвестных х₁,х₂,…,х_r, были выражены через остальные “n-r” неизвестные х _r+1,х _r+2,…,х_n. Следовательно, система (1) должна быть приведена к виду, причем требуется, чтобы все свободные члены b₁ `,b<sub>2</sub> `,…,b_r`, в системе (3), были неотрицательными, т.е.

b₁ `?0, b<sub>2</sub> `?0,…, b_r`?0.

Отметим, что добиться этого всегда можно.

Неизвестные х₁,х₂,…,х_r, находящиеся в левой части системы (3), называются базисными, остальные неизвестные х _r+1,х _r+2,…,х_nназываются небазисными (или свободными).

Множество Б={ х₁,х₂,…,х_r }, базисных неизвестных называется базисом. Если в линейной функции f вместо базисных неизвестных подставить их выражения через небазисные из (3), то получим:

f=c₀+c'_r+1х_r+1+…+c'_nх_n (4).

Итак, требуется найти неотрицательное решение системы (3), которое минимизирует линейную функцию (4).

Положим в системе (3) все небазисные неизвестные равными нулю:

х _r+1=0, х _r+2=0,…, х_n=0.

математический модель линейный программирование

Тогда

х₁ =b₁ `,х<sub>2</sub> =b<sub>2,</sub>…, х<sub>r</sub>=`,…,b_r`,

и мы получаем допустимое решение (b₁ `,b<sub>2</sub> `,…,b_r`, 0,0,…,0), которое называется базисным решением, соответствующим базису Б={ х₁,х₂,…,х_r}.Для полученного базисного решения значение функции fравно: f_Б=c₀.

Симплекс-метод состоит из последовательных однотипных шагов. Каждый из этих шагов состоит в том, что от данного базиса Б мы переходим к другому базису Б₁ с таким расчетом, чтобы значение f уменьшилось (или не увеличилось), т.е. чтобы было f_Б1?f_Б. Новый базис Б₁ получается из старого базиса Б путем удаления из него одного из неизвестных и замены его новым из числа небазисных неизвестных. Ясно, что при этом происходит некоторая перестройка систем (3) и линейной функции(4). После некоторого числа шагов мы приходим к такому базису Б_к, для которого значение f есть искомый минимум, а соответствующее базисное решение является оптимальным, или же выясняется, что задача не имеет решения.

Идея симплекс-метода. Переход от одного базиса к другому и вообще общую идею симплекс-метода лучше всего проиллюстрировать на конкретном примере.

Пример 1. Найти неотрицательное решение системы неравенств

(5)

Минимизирующее линейную функцию

f=х₁-х₂-3х₃ (6)

Решение. От данной стандартной задачи перейдем сначала к канонической задаче, т.е. перейдем от ограничений - неравенств к ограничениям - равенствам путем введения дополнительных неизвестных:

 (5')

В системе ограничений (5') неизвестные х₄,х₅,х₆ являются базисными, а х₁,х₂,х₃ - небазисными, Б={х₄,х₅,х₆ } есть базис. Соответствующее базисное решение есть, (0,0,0,1,2,5), а значение функции f равно: f_Б=0. Является ли найденное базисное решение оптимальным?

Так как в выражение (6) для функции f неизвестное х₂ входит с отрицательным коэффициентом, то можно попытаться уменьшить значение fза счет увеличения х₂ Однако увеличивать значение х₂ нельзя по произволу: надо позаботиться при этом, чтобы значения всех базисных неизвестных оставались неотрицательными. Для базисных неизвестных х₄ и х₆ такой опасности нет, поскольку х₆ вообще не зависит от х₂, а от х₄ лишь увеличивается при увеличении х_2. Рассматривая выражение для базисного неизвестного х₅, мы замечаем, что х₂можно увеличить только до 1. Теперь процедура перехода от базиса Б к новому базису Б₁ состоит в том, что из Б удаляется неизвестное х₅ и заменяют его на х₂. Новый базис Б₁ будет состоять, таким образом, из неизвестных х_4, х₂ и х₆ т.е. Б={х₄,х₅,х₆ }. В соответствии с этим новым базисом надо перестроить систему ограничений (5') и целевую функцию (6). Из уравнения для х_{5 в} системе (5') находим сначала выражение для нового базисного неизвестного х₂: х₂=1+2х₁+Ѕх₃-Ѕх₅, затем находим выражения для х₄, х₆ и f.

Б₁={х₂,х₄,х₆ } - новый базис, (0,1,0,2,0,5) - новое базисное решение f_Б= - 1. Заметим, что f_Б1<f_Б.

На этом заканчивается первый шаг симплекс-метода. Посмотрим нельзя ли дальше уменьшить значение целевой функции f. Так как неизвестное можно попытаться уменьшить fза счет увеличения х₃ (сохраняя нулевые значения за основными небазисными неизвестными х₁ и х₅). Увеличение х₃ ничем ни грозит для базисного неизвестного х₂. Рассматривая же выражения для х₄ и х₆ в системе (7), мы видим, что х₃ можно увеличить до 4 (но не более, иначе х₄ станет отрицательным). Отсюда следует, что из базиса Б₁ надо удалить неизвестное х₄ и заменить его на х₃, в результате чего мы получаем новый базис Б₂={х₂,х₃,х₆ }. Далее, как и выше, в соответствии с этим новым базисом надо перестроить систему ограничений (7) и целевую функцию (8).

Из уравнения для х₃ (новое базисное неизвестное) находим выражение для х₃ (новое базисное неизвестное): х₃=4- х₅-2 х₄, затем находим выражения для х₂, х₆ иf:

Итак, система ограничений и целевая функция принимают следующий вид: Б₂={х₂,х₃,х₆ } - новый базис, (0,3,4,0,0,1) - новое базисное решение, f_Б2= - 15. На этом заканчивается второй шаг симплекс-метода.

Так как целевая функция f содержит неизвестное х₁с отрицательным коэффициентом, то можно попытаться еще уменьшить значение fза счет увеличения х_1.

Первое и второе уравнение системы (9) не препятствуют увеличению х₁, а за третьего уравнения видно, что х₁ можно увеличивать до 1/3. Отсюда следует, что из базиса Б₂ надо удалить х₁ изменить его на х₁, в результате чего мы получим, новый базис Б₃={ х₁,х₂,х₃ }. Как и раньше перестроив (9) и (10) в соответствии с новым базисом Б₃, получим: Б₃={х₁,х₂,х₃ } - новый базис, (1/3,11/3,4,0,0,0) - новое базисное решение f_Б3= - 46/3. На этом заканчивается третий шаг симплекс-метода.

Так как в выражении целевой функции (12) все неизвестные х₄,х₅,х₆ входят с положительными коэффициентами, то минимум функции f достигается при х₄=х₅=х₆=0. Это означает, что последнее базисное решение (1/3,11/3,4,0,0,0) является оптимальным и соответствующее минимальное значение функции fравна - 46/3, т.е. minf = - 46/3. Решение данной задачи завершено.

2.2 Транспортная задача линейного программирования

С транспортной задачей и ее математической моделью мы встречались еще в самом начале нашего изложения. Некоторый однородный груз (например, уголь) сосредоточен в m пунктах отправления (поставщики) А₁,А₂,…,А_mв количествеa₁, a _2, …,a_m единиц соответственно. Весь этот груз необходимо доставить n потребителям B₁,B₂,…,B_nв количествеb₁, b _2, …,b_n единиц соответственно. Мы полагаем, что суммарный запас груза равен суммарной потребности в нем, a₁+ a ₂+ …+a_m= b₁+ b ₂ + …+b_n.

Известно стоимость c_yперевозки одной единицы груза от i - гопоставщика A_ij - му потребителю B_j (i=1,2,..,m; j=1,2,…,n).

Необходимо найти оптимальный план перевозок, т.е. необходимо рассчитать, сколько грузов должно быть отправлено от каждого поставщика к каждому потребителю с тем, чтобы общая стоимость всех перевозок было наименьшей.

Обозначим через x_y(i=1,2,..,m; j=1,2,…,n) количество единиц груза, запланированных к перевозке от i - гопоставщика к j - му потребителю. Составим следующую таблицу, которая называется матрицей перевозок.

Таблица 3.1 - Матрица перевозок

Поставщики	Потребители	Запасы
	B1	B2	…	Bn
A1	x11	x12	…	x1n	a1
A2	x21	x22	…	X2n	a2
…	…	…	…	…	…
Am	xm1	Xm2	…	xmn
Потребности	b1	b2	…	bn

Составим математическую модель задачи. Так как суммарный вес груза, вывозимого из пункта A_i во все пункты потребления, должен равняться а_i, то имеем:

X_i1 + x_i2 + … + x_in =a_i(i=1,2,..,m) (1)

Аналогично, так как суммарный вес груза, ввозимого в пункт B_jот всех поставщиков, должен равняться, b_j то имеем:

X_1j + x_2j + … + x_mj =b_j (j=1,2,..,n) (2).

Заметим, что уравнение обеих полученных сейчас систем (1) и (2) легко запомнить: уравнения системы (1) получаются из строк таблицы 1, а уравнение системы (2) - из столбцов той же таблицы 1. По этой причине уравнение системы (1) называют горизонтальными, а уравнение системы (2) - вертикальными.

Так как из пункта A_i в пункт B_j запланировано перевести x_yединиц груза, а стоимость перевозки одной единицы груза из A_i в B_j равнаc_y, то стоимость перевозки из A_i в B_j составит c_yx_y.

Тогда общая стоимость всех перевозок равна:

(3)

Таким образом математическая модель транспортной задачи имеет вид: найти неотрицательное решение системы уравнений (1) - (2), которая минимизирует линейную функцию (3).

Транспортная задача представляет собой каноническую задачу линейного программирования, и как любая задача такого рода, она может быть решена симплекс-методом. Однако из-за громоздкости симплекс-таблиц, содержащих большое число неизвестных (система ограничений (1) - (2) содержит mn неизвестных) и связанного с этим большим объемом вычислений, для решения транспортной задачи пользуются более простыми методами. Самым распространенным среди них является так называемый метод потенциалов.

Метод потенциалов представляет собой вариант симплекс-метода, специально приспособленный для транспортной задачи.

3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СРЕДСТВАМИ MSEXCEL

Создадим в окне программы MsExcel две матрицы «План перевозок» и «Стоимость перевозок», согласно вышеизложенным правилам (рис. 1). Также нужно указать ячейку содержащую изменяемый параметр k. При этом в клетке A₄B₃ матрицы «Стоимость перевозок» устанавливаем формулу, отображающую зависимость данного тарифа от параметра k: L7=1+L9.

Рисунок 1 - Фрагмент окна программы MsExcel: Матрицы «План перевозок» и «Стоимость перевозок» с изменяемым тарифом C₄₃

В ячейки, которые должны отображать запасы поставщиков и потребности потребителей в матрице «План перевозок» вводим формулы суммирующие значения всех возможных поставок данных поставщиков и потребителей, например: B4=СУММ(C4:E4), C3=СУММ(С4:С7).

В ячейку целевой функции (N7) введем =СУММПРОИЗВ(C4:E7;J4:L7).

Метод решения параметрической транспортной задачи средствами Ms Excel заключается в нахождении оптимального решения при каждом значении параметра k, с сохранением сценария для каждой процедуры «Поиск решения». После этого необходимо из всего диапазона изменения параметра k выделить отдельные промежутки, на которых сохраняется оптимальное решение задачи и минимальная стоимость затрат.

В диалоговом окне «Поиск решения», согласно вышеуказанным правилам установим все необходимые ограничения и ссылки на необходимые ячейки (рис.2). Также необходимо в ограничениях указать пределы изменения параметра k, т.е. 0?k?9.

Рисунок 2 - Диалоговое окно «Поиск решения»

В диалоговом окне «Параметры поиска решения» установить необходимые параметры (рис. 3).

Рисунок 3 - Диалоговое окно «Параметры поиска решения»

После нажатия на кнопку «Выполнить» в диалоговом окне «Результаты поиска решения» (рис. 3) нажать «Сохранить сценарий…» и в появившемся диалоговом окне «Сохранение сценария» задать имя данному сценарию и нажать «ОК» (рис. 4).

Рисунок 4 - Диалоговое окно «Сохранение сценария»

После сохранения сценария в диалоговом окне «Результаты поиска решения» выделить необходимые типы отчетов и нажать «OK» (рис. 5).

Рисунок 5 - Диалоговое окно «Результаты поиска решений

После выполнения всех операций в матрице «План перевозок» получим оптимальный план перевозок при k=0 (рис. 6).

Полученное значение целевой функции F(x₁)_min=830.

Теперь аналогичным способом найдем оптимальный план перевозок при k=1. Проведя повторный расчет, получим новый план перевозок и значение целевой функции (рис 7).

Полученное значение целевой функции F(x₂)_min = 850.



Рисунок 6 - Фрагмент окна программы MsExcel: Результат поиска решения при k=0

Рисунок 7 - Фрагмент окна программы MsExcel: Результат поиска решения при k=1

Как видно из рисунков 6 и 7 планы перевозок в обоих случаях (k=0, k=1) одинаковы. После дальнейших расчетов при всех остальных значениях параметра k обнаружим, что приплан перевозок остается неизменным, изменяется лишь значение целевой функции. При значении параметра «Поиск решения» выдает другой план перевозок, и значение целевой функции на данном промежутке остается неизменным F(x)_min = 910. Полученный план перевозок при значении k=4 изображен на рисунке 8.



Рисунок 8 - Фрагмент окна программы MsExcel: Результат поиска решения при k=4

Значения целевой функции, соответствующие параметру k в каждой итерации представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 - Значения целевой функции в каждой итерации

Номер итерации i	Значение параметра ki	Значение функции F(xi)min
1	0	830
2	1	850
3	2	870
4	3	890
5	4	910
6	5	910
7	6	910
8	7	910
9	8	910
10	9	910

Из представленных в таблице 3.1 данных можно вывести определенную закономерность изменения значения целевой функции на промежутке :

F(x₁)_min = 830, (k=0);

F(x₂)_min = F(x₁)_min +20 = 830+20, (k=1);

F(x₃)_min = F(x₂)_min +20 = 830 + 20*2 = 870, (k=2).

Следуя по той же цепочке, найдем:

F(x₄)_min = 830 + 20*3, (k=3).

F(x₅)_min = 830 + 20*4, (k=4).

Исходя из подобной логики можно представить

F(x₁)_min = 830 + 20*0.

Отсюда можно вывести формулу, отображающую закономерность изменения значения целевой функции при:

.

Для значений значение функции постоянно F(x)=910. Команда «Сервис > Сценарии» открывает диалоговое окно «Диспетчер сценариев», которое отображает сохраненные сценарии каждой итерации нахождения оптимального плана перевозок (рис 8.).

Рисунок 8 - Диалоговое окно «Диспетчер сценариев»

С помощью «Диспетчера сценариев» можно просмотреть план перевозок и значение целевой функции, получаемые при каждом значении параметра k. Также можно просмотреть отчет, отображающий значения изменяемых ячеек в каждой из итераций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современные процессы в обществе реализуется в рамках информационной среды. Базовым компонентом которой являются компьютерные технологии. В связи с этим проблемы и задачи решаемые с использованием этих систем должны быть представлены в понятной для компьютера форме.

В каждой предметной области имеются программные и аппаратные средства для информационной поддержки задач данной научной дисциплины.Практическое решение этих проблем невозможно без использования математических моделей, которые затем реализуются в компьютерные модели.

В математике есть раздел где изучаются математические модели экспериментальных задач, это линейное программирование.К классическим моделям задач линейного программирования относится транспортная задача.

Представленная в данной курсовой работе транспортная задача решена средствами компьютерной программы MsExcel. Оба предложенных метода дают одинаковое решение и определяют оптимальный план перевозок товара и минимальную стоимость всех перевозок для каждого из промежутков диапазона изменения параметра, определяющего тариф одной из перевозок.

Описанная в работе задача об оптимальных перевозках и методы ее решения - только отдельный пример огромного множества задач линейного программирования.

Цель транспортной задачи - разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных, повторных перевозок. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий, фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 1986, 319 с.

2. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа. М. Финансы и статистика, 2003.

3. Гохберг Г.С. и др. Информационные технологии М. 2004.

4. Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов. - М.: Издательство Инфра, 2001, 574 с.

5. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 2005.

6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом анализе: Учебник.- 3-е изд., исп. - М.: Дело, 2002. - 688 с.

7. Павлова Т.Н., Ракова О.А. Линейное программирование. Учебное пособие. - Димитровград, 2002.

8. Павлова Т.Н., Ракова О.А. Решение задач линейного программирования средствами Excel. Учебное пособие. - Димитровград, 2002.

9. Райзберг Б.А. Курс управления экономикой. M.: Питер, 2003.

Размещено на Allbest.ru