Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Исходные данные, необходимые для выполнения задания, представлены в таблице 1.

Таблица 1

Показатели, характеризующие деятельность банков

№ п/п банка	Капитал, млн. руб.	Прибыль, млн. руб.
	4 квартал отчетного года	4 квартал предыдущего года	Отчетный год
			1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
1	2	3	4	5	6	7
1	924	15,1	14,8	17,3	16,5	19,4
2	921	16,8	15,6	18,3	17,4	20,6
3	880	17,4	18,3	15,6	19	21,3
4	873	15,5	16,5	16	17,3	18,1
5	864	18,8	19,6	17,3	18,4	21,2
6	859	13,6	15,8	17,1	14,2	18,4
7	804	13,8	14,7	18,3	17,1	16,5
8	801	13,3	15,4	16,2	17,3	19,4
9	800	12,7	14,6	13,4	17,1	15,3
10	785	13,6	13,2	14,1	13,7	14,4
11	794	12,6	11,8	13,1	13	12,5
12	795	15,8	13,6	12,1	17,3	16,2
13	778	10,2	13,1	14,3	11,6	13,8
14	753	10,2	11,1	9,6	12,4	13,1
15	717	7,6	8,4	9,6	9,8	11,2
16	712	5,8	5,9	6,4	7,1	8,6
17	684	7,1	6,5	6,3	7,8	7,5
18	673	4,6	5,1	6,4	3,7	5,2
19	649	4,6	3,8	3,9	4,3	4,7
20	627	3,4	3,7	4,2	3	4,8
21	609	7,6	8,4	7,1	8	8,9
22	574	4,3	3,6	4,2	4,8	5,1
23	543	3,1	3,3	3,4	3,7	3,6
24	538	4,4	4,7	4,1	4,9	5,3
25	526	5,1	4,3	5,2	5,7	5

2. На основе логического анализа определяем, что капитал является факторным признаком (Х), поскольку его величина в значительной степени определяет прибыль банка, которая будет результативным показателем (Y).

3. В соответствии с заданием № 3 с целью изучения концентрации банковского капитала необходимо выполнить группировку по величине капитала, выделив мелкие, средние и крупные банки. Для определения величины интервала воспользуемся следующей формулой:

i = (Xmax-Xmin)/ n, где Xmax - максимальное значение признака;

Xmin - минимальное значение признака;

n - число групп.

По данным графы 2 таблицы 1 рассчитаем

i = (924 - 526)/3 = 132,7.

Для дальнейших операций примем i = 133. Тогда получим следующие границы групп:

Группа I (мелкие банки): нижняя граница - 526; верхняя граница - 659.

Группа II (средние банки): нижняя граница - 659; верхняя граница - 792.

Группа III (крупные банки): нижняя граница - 792; верхняя граница - 925. Данные о банках по каждой группе сведем в таблицу 2.

Таблица 2

Показатели, характеризующие деятельность банков, по группам банков

№ п/п	Группы по величине капитала, млн. руб.	Капитал, млн. руб. (4 квартал отчетного года)	Прибыль, млн. руб. (4 квартал отчетного года)
1	2	3	4
I	526-659	649; 627; 609; 574; 543; 538; 526	4,7; 4,8; 8,9; 5,1; 3,6; 5,3; 5
II	659-792	785; 778; 753; 717; 712; 684; 673	14,4; 13,8; 13,1; 11,2; 8,6; 7,5; 5,2
III	792-925	924; 921; 880; 873; 864; 859; 804; 801; 800; 794; 795	19,4; 20,6; 21,3; 18,1; 21,2; 18,4; 16,5; 19,4; 15,3; 12,5; 16,2

Результаты группировки приведем в следующей групповой таблице № 3.

Таблица 3

Показатели, характеризующие деятельность групп банков

№ п/п	Группы по величине капитала, млн. руб.	Число банков	Капитал, млн.руб.	Прибыль, млн.руб.	Удельный вес, %
			Всего	В среднем на один банк	Всего	В среднем на один банк	По числу банков	По величине капитала	По величине прибыли
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I	526-659	7	4066	580,9	37,4	5,3	28,0%	22,0%	12,1%
II	659-792	7	5102	728,9	73,8	10,5	28,0%	27,6%	23,8%
III	792-925	11	9315	846,8	198,9	18,1	44,0%	50,4%	64,1%
Итого		25	18483	739,3	310,1	12,4	100,0	100,0	100,0

По результатам группировки, приведенной в таблице 3, можно сделать следующие выводы.

Основная часть банков принадлежит к группе крупных банков, их доля составляет 44%. В этой группе сосредоточена основная часть капитала (50,4%) и этими банками получено 64,1% прибыли.

По числу банков первая и вторая группы совпадают (28%).

По величине капитала мелкие банки составляют 22,0%, а по величине прибыли 12,1%. Средние же банки по величине капитала составляют 27,6%, а по величине прибыли 23,8%, что говорит о большей эффективности их деятельности по сравнению с мелкими банками.

Величина капитала и прибыли в среднем на один банк различаются по группам. Так если в первой группе капитал составляет 580,9 млн.руб на один банк, во второй - 728,9 млн.руб., то в третьей группе - 846,8 млн.руб., что превосходит капитал банков первой группы в 1,46 раза, а капитал второй группы - в 1,16 раза.

Показатели прибыли также сильно различаются по группам. Так, если в первой группе прибыль в среднем на один банк составляет 5,3 млн.руб, то во второй - 10,5 млн.руб. (что в 1,98 раза больше), а в третьей - 18,1 млн.руб. (т.е. больше в 1,72 раза прибыли по второй группе и в 3,42 раза больше прибыли по первой группе). Сопоставление роста прибыли по группам и роста величины капитала свидетельствует о наибольшей эффективности банков третьей группы.

4. Необходимыми предпосылками корректного использования статистических методов анализа является однородность совокупности. Неоднородность совокупности возникает вследствие значительной вариации значений признака или попадания в совокупность резко выделяющихся, так называемых «аномальных» наблюдений. Для выявления «аномальных» наблюдений используют правило трех сигм, которое состоит в том, что «аномальными» будут те единицы (банки), у которых значения анализируемого признака будут выходить за пределы интервала х ±3х или

х -3х < xi < х +3х, где

х - среднее значение факторного показателя;

х - среднее квадратическое отклонение по факторному показателю.

Выделив и исключив «аномальные» единицы, оценку однородности производят по коэффициенту вариации (V):

V = x100/х

Этот коэффициент должен быть не более 33,3%.

Для выявления «аномальных наблюдений по первичным данным о величине капитала рассчитаем его среднюю величину (х) и среднее квадратическое отклонение х (см. таблицу 4).



Таблица 4

Расчетная таблица для определения среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации

№ банка п/п	Капитал, млн. руб.Xi	(Xi - X)	(Xi - X)І	Прибыль, млн. руб.	(Yi - Y)	(Yi - Y)І	(Xi-X)(Yi - Y)
1	924	185	34225	19,4	7	49	1295
2	921	182	33124	20,6	8,2	67,24	1492,4
3	880	141	19881	21,3	8,9	79,21	1254,9
4	873	134	17956	18,1	5,7	32,49	763,8
5	864	125	15625	21,2	8,8	77,44	1100
6	859	120	14400	18,4	6	36	720
7	804	65	4225	16,5	4,1	16,81	266,5
8	801	62	3844	19,4	7	49	434
9	800	61	3721	15,3	2,9	8,41	176,9
10	785	46	2116	14,4	2	4	92
11	794	55	3025	12,5	0,1	0,01	5,5
12	795	56	3136	16,2	3,8	14,44	212,8
13	778	39	1521	13,8	1,4	1,96	54,6
14	753	14	196	13,1	0,7	0,49	9,8
15	717	-22	484	11,2	-1,2	1,44	26,4
16	712	-27	729	8,6	-3,8	14,44	102,6
17	684	-55	3025	7,5	-4,9	24,01	269,5
18	673	-66	4356	5,2	-7,2	51,84	475,2
19	649	-90	8100	4,7	-7,7	59,29	693
20	627	-112	12544	4,8	-7,6	57,76	851,2
21	609	-130	16900	8,9	-3,5	12,25	455
22	574	-165	27225	5,1	-7,3	53,29	1204,5
23	543	-196	38416	3,6	-8,8	77,44	1724,8
24	538	-201	40401	5,3	-7,1	50,41	1427,1
25	526	-213	45369	5	-7,4	54,76	1576,2
ИТОГО	18483		354544	310,1		893,43	16683,7

Х = 18483 / 25 = 739 млн.руб., Y=310,1/25 = 12,4

х = v(354544 / 25) = v14181,76 ? 119 млн.руб. Тогда

х -3х < xi < х +3х

739 -3 x 119 < xi < 739+3 x 119

382 < xi < 1096.

Поскольку минимальное значение капитала (526 млн. руб.) больше нижней границы интервала (382 млн. руб.), а максимальное значение (924 млн. руб.) меньше верхней его границы (1096 млн. руб.), то можно считать, что в данной совокупности “аномальных” наблюдений нет.

Проверка однородности совокупности осуществляется по коэффициенту вариации:

V= (119 х 100)/ 739 = 16,1 % < 33,3%

Следовательно, совокупность однородна.

5.Приступим к построению ряда распределения, для чего необходимо определить число групп и величину интервала.

Используя формулу Стерджесса, определим величину интервала:

i = (Xmax - Xmin) / (1 + 3,322 lg N), где:

Xmax - максимальное значение признака;

Xmin - минимальное значение признака;

N - число единиц в совокупности.

i = (924 - 526)/5 = 398 / 5 = 79,6.

Размер интервала примем в 80 млн.руб.

По каждой группе подсчитаем число банков. Результаты заносим в таблицу 5.

капитал прибыль банк



Таблица 5

Характеристики ряда распределения

№ п/п	Капитал млн. руб.	Число банков	Xi	Xi x f i	S	Xi - X	Xi - X x f i	(Xi - X)2	(Xi -X)2 x f i
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I	526-606	4	566	2264	4	-179	716	32041	128164
II	606-686	5	646	3230	9	-99	495	9801	49005
III	686-766	3	726	2178	12	-19	57	361	1083
IV	766-846	7	806	5642	19	61	427	3721	26047
V	846-926	6	886	5316	25	141	846	19881	119286
Итого		25		18630			2541		323585

Средняя по ряду распределения рассчитывается по средней арифметической взвешенной. За Xi принимаем середину интервала, условно считая, что она будет равна средней по интервалу.

X = ( Xi x fi) / fi X = 18630/25 = 745 млн.руб.

Мода (Мо) - это наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда мода определяется по формуле:

(f_Mo - f _Mo-1)

Мо = Хо + i x ------------------------------------

(f_Mo - f _Mo-1) + (f_Mo - f _Mo+1)

где Xo - нижняя граница модального интервала;

i - величина модального интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_{Mo-1 -} частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 - частота послемодального интервала.

Модальный интервал определяем по наибольшей частоте. Для данного ряда это будет интервал 766-846 .



Мо = 766 + 80 х ((7-3) / ((7-3) + (7-6)) = 766 + 80 х 4/5 = 830 млн.руб.

Медиана (Ме) - значение признака, лежащее в середине ранжированного (упорядоченного) ряда.

По номеру медианы определяем медианный интервал:

N_ме = (n + 1) / 2; N_ме = (25+1) / 2 = 13;

По накопленной частоте S определяем, что медиана будет находиться в интервале 766 - 846. Значение медианы определяем по формуле:

N_Me - S_Me-1

Ме = Xo + i x----------------

f_Me

где Х0 - нижняя граница медианного интервала;

i - величина медианного интервала;

N_me - номер медианы;

S_me-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Me - частота медианного интервала.

Ме = 766 + 80 х (13-12)/7 = 777 млн.руб.

Рассчитаем показатели вариации.

Размах вариации (R) R = Xmax - Xmin, где

Xmax - максимальное значение признака;

Xmin - минимальное значение признака.

Находим по первичным данным.

R = 924 - 526 = 398 млн. руб.



Размах вариации характеризует разброс только крайних значений, поэтому он не может быть достоверной характеристикой вариации признака.

Среднее линейное отклонение ( d ):

?¦Xi - X¦x f_i

d = ---------------------;

? f _i

2541

d = ---------- = 101,64 млн. руб.

25

Дисперсия ( у І ):

?¦Xi - X¦І x f_i

у І = -----------------------;

? f _i

323585

І = ---------- 12943

25

у = vу І - среднее квадратическое отклонение; у 113,8 млн. руб.

По рассчитанным показателям достаточно трудно судить о степени вариации признака в совокупности, т.к. их величина зависит и от размера значений признака, поэтому более объективной характеристикой будет коэффициент вариации.

V = (у x 100) /X = (113,8 х 100) / 745 = 15,28%.

Коэффициент вариации свидетельствует об однородности совокупности (т.к. он меньше 33,3 %) и надежности средней.

Для характеристики дифференциации банков по величине капитала, рассчитаем коэффициент фондовой дифференциации ( К_ф ).

К_ф = Хmax (10 %) /Xmin (10 %), где

Хmax (10 %) - средняя из 10 % максимальных значений признака;

Xmin (10 %) - средняя из 10 % минимальных значений признака.

10% от 25 будет 2,5, т.е. можно взять значения 3-х банков, имеющих самые большие и самые маленькие значения капитала.

Xmin: 526, 538, 543. Xmin = 1607/3 = 535,67 млн.руб.

Xmax: 924,921, 880. Хmax = 2725/3 = 908,33 млн.руб.

К_ф = 908,33 / 535,67 = 1,7.

Следовательно, средняя из 10 % максимальных значений в 1,7 раза превышает среднюю из 10 % минимальных значений.

6. Предполагается, что данные по 25 банкам являются 5 % выборкой из некоторой генеральной совокупности. В этой связи возникают следующие задачи:

Определение характеристик выборочной совокупности: средней величины (Х ), дисперсии ( І); доли единиц, обладающих значением изучаемого признака (W), дисперсии доли W(1 - W);

Расчет ошибок выборки ( _x; x; _w; w);

Распространение результатов выборки на генеральную совокупность путем определения доверительных интервалов, в которых с определенной вероятностью можно гарантировать нахождение характеристик генеральной совокупности;

Для определения характеристик выборочной совокупности воспользуемся результатами из п.5 задания. Так, по ряду распределения определили, что средняя величина капитала составляет Х = 745 млн.руб., а дисперсия равна 12943.

Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для бесповоротного отбора, т.к. по условию можно определить численность генеральной совокупности (N).

Средняя ошибка выборки для средней величины ( _x ):

І n

_x = ----------- x 1, где

n-1 N

І - дисперсия выборочной совокупности;

n - число единиц выборочной совокупности;

N - численность генеральной выборки.

Т.к. n = 25, что составляет 5 % от численности генеральной совокупности, то N = 500. Отсюда:

12943 25

_x = ----------- x 1 = v 539,29 х 0,95 = 25 - 1 50022,63.

Предельная ошибка средней

Дх = t х _x , где

t - коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня доверительной вероятности 0,95 и числа степеней свободы К = n - 1 для малой выборки определяется по таблице Стьюдента.

При вероятности Р = 0,95 и К = 24 значение t = 2,0639. Отсюда

ДХ = 2,0639 х 22,63 = 46,7 .



Доверительный интервал

Х_выб - ДХ < Х_ген <Х_выб + ДХ;

745 - 46,7< Х_ген < 745 + 46,7

698,3< Х_ген < 791,7.

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что средняя величина капитала в расчете на один банк по генеральной совокупности будет находиться в пределах от 698,3 млн.руб. до 791,7 млн.руб.

Долю банков, у которых капитал превышает среднюю величину (W), для выборочной совокупности определим по первичным данным (табл. 1). Число таких банков 14, их доля в выборочной совокупности

W = 14 / 25 = 0,56.

Средняя ошибка доли для бесповоротного выбора находится по формуле:

W(1 - W) n

_w = ---------------- x 1

n - 1 N

0,56 х 0,44 25

_w = -------------------- x 1 = v 0,00975 = 0,0987.

25 - 1 500

Предельная ошибка Дw = t х _w. При вероятности 0,95: t = 2,0639. Тогда

Дw = 2,0639 х 0,0987 0,2

Доверительный интервал

W - w < P < W + w,

где Р - доля единиц по генеральной совокупности. Получим:

0,56 - 0,2 < P < 0,56 + 0,2

0,36 < P < 0,76.

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что доля банков, у которых величина капитала больше среднего значения, будет находиться в пределах от 36% до 76%.

7. Корреляционной называется взаимосвязь между факторным и результативным показателем, которая проявляется только в “общем и среднем” при массовом наблюдении фактических данных.

Условиями корректного использования корреляционного метода является однородность совокупности, отсутствие “аномальных” наблюдений, достаточно большое число единиц совокупности.

Проверка исходных данных на однородность и аномальность наблюдений выполнена ранее.

Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что капитал - факторный признак (Х), прибыль - результативный (Y).

Установление факта наличия связи осуществляется на основе групповой таблицы (таблица 5) и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии.



Таблица 5

Групповая таблица для определения наличия связи между капиталом банка и его прибылью.

№ п/п	Капитал млн.руб.	Число банков	Середина интервала (Xi)	Прибыль в среднем на один банк (Y)
I	526-606	4	566	4,8
II	606-686	5	646	6,2
III	686-766	3	726	11,0
IV	766-846	7	806	15,4
V	846-926	6	886	19,8
всего		25

Анализ таблицы 5 свидетельствует о прямой связи между капиталом и прибылью.

Эмпирическую линию регрессии (рис.1) строим по данным таблицы 5, принимая за Х середину интервала, а за Y - прибыль в среднем на один банк по каждой группе.

Поле корреляции, имеющее форму вытянутого эллипса, и направление эмпирической линии регрессии свидетельствует также о наличии прямой зависимости между прибылью и капиталом банка. Предполагая, что зависимость имеет линейную форму, определим тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции. Для этого воспользуемся расчетами, выполненными в таблице 4.

8. Определим тесноту корреляционной связи, используя линейный коэффициент корреляции. Дадим оценку его существенности.

Значение r = 0,94 о тесной связи между величиной капитала и прибыли.

Однако, чтобы это утверждать, необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить на основе расчета t-критерия Стьюдента.

t _табл находим по таблицам Стьюдента. Для числа степеней свободы К = n - 2 = 25 - 2 = 23 и уровня значимости 1 % t _табл = 2,8073.

t _рас > t _табл => с вероятностью 99 % можно утверждать, что в генеральной совокупности существует тесная зависимость между величиной капитала и прибылью банка.

9. Рассчитаем параметры и найдем уравнение парной регрессии.

В случае линейной связи параметры уравнения регрессии Y = a + bx могут быть найдены решением системы нормальных уравнений:

Y = na + b X, или b = r x (_y / _x ),

XY = a X + b X; a =y - bx .

Отсюда имеем:

b = 0,94 х (5,98 / 119) = 0,05

a = 12,4 - 0,05 х 739 = - 24,55.

Y = - 24,55 + 0,05 Х.

Коэффициент регрессии b = 0,05 свидетельствует о том, что при увеличении капитала на 1 млн.руб. прибыль возрастет 0,05 млн.руб. или на 50 тыс.руб.

По коэффициенту регрессии можно рассчитать коэффициент эластичности (Эi) и -коэффициент.

Эх = b x (X /Y); _х = b х (_х / _y ).

Коэффициент эластичности показывает, на сколько % увеличится результативный показатель при увеличении факторного признака на 1 %.

- коэффициент говорит о том, на сколько своих среднеквадратических отклонений изменится результативный показатель при изменении факторного признака на одно свое среднеквадратическое отклонение.

Эх = 0,05 х (739 / 12,4) = 2,97.

Следовательно, при увеличении капитала на 1 %, прибыль увеличится на 2,97 %.

_х = 0,05 х (119 / 5,98) = 0,99.

При увеличении капитала на одно свое среднеквадратическое отклонение прибыль увеличивается на 0,99 своих среднеквадратических отклонений.

10. Проанализируем динамику величины прибыли по одному из банков.

Анализ динамики выполняется путем расчета показателей:

характеризующих изменение анализируемого показателя по периодам (абсолютный прирост (А), темп (коэффициент) роста (Тр), темп прироста (Тпр), абсолютное значение одного процента прироста), которые рассчитаны цепным методом и базисным. Цепные показатели динамики характеризуют изменение каждого последующего показателя с предыдущим, а базисные по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения.

^ц = y_i - y_i-1; ^б = y_i - y₀

где y_i - уровень сравниваемого периода;

y_i-1 - уровень предыдущего периода;

y₀ - уровень базисного периода.

y_i

Т^ц_р = ------ х 100;

y_i-1

y_i

Т^б_р = ----- х 100.

y₀

Если темпы роста выразить в виде коэффициента (Кр), то между цепными и базисными будет следующая взаимосвязь:

y₁ y₂ y₃

К^б_3/0 = --- x ----- x ----- ,

y₀ y₁ y₂

Т.е. произведение цепных коэффициентов роста за последовательные периоды времени равно базисному за весь период

Т^ц_пр = Т^ц_р - 100; Т^б_пр = Т^б_р - 100.

Абсолютное значение одного процента прироста рассчитывается отношением цепного абсолютного прироста к темпу прироста.

Пункты роста (Пр) представляют собой разность базисных темпов роста, выраженную в процентах:

Прi = T^б_pi - T^б_pi-1

Средних показателей динамики:

Средний уровень ряда для периодических рядов с уровнями, выраженными абсолютными величинами. Рассчитывается:

y_i

Y = -------- ;

n

Средний абсолютный прирост ( ):

^ч_i

= ----------, где n - число уровней ряда.

n - 1

Средний коэффициент роста (Кр ):

Кр = ^n-1vК₁ х К₂ х … х К_n-1 = v(y_n/y₀)

Тр = Кр х 100;

Средний темп прироста:

Тпр = Тр - 100.

По данным прибыли банка № 1 за период с 4 квартала предыдущего года по 4 квартал отчетного года рассчитаем приведенные выше показатели динамики.

Период времени	Прибыль, млн. руб.	Абсолютный прирост, млн. руб.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение 1 % прироста	Пункты роста
		Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
4 квартал предыдущего года	15,1	-	-	-	-	-	-	-	-
1 кв.	14,8	-0,3	-0,3	98,0	98,0	-2,0	-2,0	- 0,15
2 кв.	17,3	2,5	2,2	116,9	114,6	16,9	14,6	0,15	16,6
3 кв.	16,5	-0,8	1,4	95,4	109,3	-4,6	9,3	- 0,17	-5,3
4 кв.	19,4	2,9	4,3	117,6	128,5	17,6	28,5	0,16	19,2

Средний уровень ряда в данном случае есть смысл рассчитать по показателям прибыли за отчетный год:

Y = (14,8 + 17,3 + 16,5 + 19,4) / 4 = 68 / 4 = 17 млн.руб.

Средняя квартальная величина прибыли за отчетный год составила 17 млн. руб.

Средний темп роста:

Кр = ⁴v0,98 х 1,169 х 0,954 х 1,176 = 1,065;

Тр = 106,5 %.

Средний квартальный темп роста прибыли составил 106,5 %, а темп прироста 6,5 %.

Анализ показателей динамики свидетельствуют о том, что о ежеквартальном росте прибыли говорить нельзя. Так, в 1 квартале отчетного года было допущено снижение на 0,3 млн. руб., что составило 2 %, а в 3 квартале произошло снижение на 0,8 млн. руб. (4,6 %). Однако в целом за отчетный год прибыль возросла на 4,3 млн. руб. (28,5 %).

11. Найдем прогнозное значение прибыли на следующий период, т.е 1 квартал следующего года.

Для этого используем метод аналитического выравнивания по прямой.

Y = a + bt,



где t - порядковый номер периодов времени.

Параметры уравнения тренда “a” и “b” находят решением системы нормальных уравнений:

?y = na + b?t ,

?ty = a?t + b?t І

Нахождение параметров упрощается при использовании метода отсчета от условного нуля, тогда ?t = 0, а система уравнений примет вид:

?y = na,

?ty = b?t І.

?y

Отсюда: a = --------;

n

?ty

b = --------

?t І

Таблица 7

Расчет параметров уравнения тренда

Период времени	Прибыль, млн. руб., y	Условное обозначение периодов, t	t x y	tІ	Теоретические (расчетные) значения прибыли	y i- y	(y i- y)І
4 кв. предыдущего года	15,1	- 2	-30,2	4	14,56	0,54	0,2916
1 квартал	14,8	- 1	-14,8	1	15,59	-0,79	0,6241
2 квартал	17,3	0	0	0	16,62	0,68	0,4624
3 квартал	16,5	1	16,5	1	17,65	-1,15	1,3225
4 квартал	19,4	2	38,8	4	18,68	0,72	0,5184
ИТОГО	83,1		10,3	10	83,1		3,219



a = 83,1 / 5 = 16,62;b = 10,3 / 10 = 1,03

y = 16,62 + 1,03 t.

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого периода теоретическое значение прибыли.

Для 4 квартала предыдущего года: y₄ = 16,62 + 1,03 (-2) = 14,56.

Для 1 квартала текущего года: y₁ = 16,62 + 1,03 (-1) = 15,59.

Для 2 квартала текущего года: y₂ = 16,62 + 1,03 х 0 = 16,62.

Для 3 квартала текущего года: y₃ =16,62 + 1,03 х 1 = 17,65.

Для 4 квартала текущего года: y₄ = 16,62 + 1,03 х 2 = 18,68.

Сумма расчетных значений (83,1) равна сумме фактических значений прибыли, что подтверждает правильность расчета.

Для нахождения прогнозного значения прибыли на 1 квартал следующего года необходимо в уравнении тренда подставить соответствующее значение t = 3.

Y1 = 16,62 + 1,03 х 3 = 19,71 млн.руб.

Это так называемый точечный прогноз. Однако, фактическое значение всегда будет сколько-нибудь отличаться от этой величины, поэтому находят доверительные интервалы прогноза

S

у_пр ± t --------- , где

v n

S - среднее квадратическое отклонение от тренда;

t _- табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости .



(y _i- y)І

S = -------------, где

n - m

у_i, y - соответственно фактические и расчетные значения уровней динамического ряда;

n - число уровней ряда;

m - число параметров в уравнении тренда (для прямой m = 2);

Отсюда S = v 3,219 / (5-2) = v 1,073 = 1,036.

Относительная ошибка уравнения

(S x 100) / y = 103,6 / 16,62 = 6,23 %.

Следовательно ошибка невелика и составляет 6,23%.

t при уровне значимости 5%, (что соответствует вероятности 0,95) и числе степеней свободы n - m = 3 равно 3,1825 (по таблице Стьюдента).

S

t x --------- = 3,1825

v n

1,036

х ----------- = 1,474

v 5

19,71 - 1,474 < y_пр< 19,71 + 1,474

18,236 < y_пр< 21,184.

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что прибыль банка №1 в 1 квартале следующего года будет находиться в пределах от 18,236 млн. руб. до 21,184 млн. руб.

Размещено на Allbest.ru