Основы моделирования и первичная обработка данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

14

1. Моделирование непрерывной случайной величины. Моделирование равномерного распределения

Цель лекции: Рассмотреть моделирование непрерывной случайной величины; моделирование равномерного распределения.

Вопросы лекции:

1. Моделирование непрерывной случайной величины.

2. Моделирование равномерного распределения.

Содержание лекции:

Моделирование непрерывных случайных величин.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Для моделирования непрерывных случайных величин используется метод обратной функции. Пусть есть некоторая функция распределения случайной величины (рис.12.1). Разыграем на оси ординат точку r, используя функцию F(х). Тогда можем получить значение величины Х такое, что F(x)=r.

Рис. 12.1

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X. По определению она равна вероятности P(X<x). Из рис. 12.1 очевидно, что

Рис. 12.2

2. Моделирование равномерного распределения

Равномерным называется распределение таких случайных величин, все значения которых лежат на некотором отрезке и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке.

Для моделирования равномерного распределения в интервале (a, b) случайной величины воспользуемся методом обратной функции. На рис. 12.2 показана функция плотности равномерного распределения.



Рис. 12.2

Находим функцию распределения и приравниваем ее к случайному числу

Отсюда Х = (b - a)R + а.

Вопросы для активизации и создания проблемной ситуации:

1. Какую случайную величину называют непрерывной?

2. Как проводится моделирование непрерывных случайных величин?

3. Какое распределение называется равномерным?

4. Как записывается функция плотности вероятности равномерного распределения?

5. Как проводится моделирование равномерного распределения?

2. Моделирование экспоненциального распределения

Цель лекции: Рассмотреть моделирование экспоненциального распределения случайной величины.

Вопросы лекции:

1. Моделирование экспоненциального распределения.

2. Пример моделирования случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону.

Содержание лекции:

1. Моделирование экспоненциального распределения.

Функция плотности экспоненциального распределения случайной величины f(x) = и функция распределения показаны на рис. 13.1

Рис. 13.1

Воспользуемся методом обратной функции:

Отсюда .

Можно показать, что случайная величина (1-R) распределена так же, как и величина R. Тогда, сделав замену (1-R) на R, получаем .

2. Пример моделирования случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону.

Покажем, как, используя метод обратной функции, можно моделировать случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону. Подобный подход принят в языке GPSS.

Пусть л = 1. Выполним аппроксимацию функции экспоненциального распределения линейными участками, чтобы можно было использовать ее для моделирования методом обратной функции. Для аппроксимации достаточно 24 точек. В табл. 9.1 занесены соответствующие значения аргумента Х и функции F(x), значения которой генерируют c помощью генератора случайных чисел.

Таблица 13.1

X	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,75	0,8	0,84	0,88
F(X)	0	0,1	0,222	0,355	0,509	0,69	0,915	1,2	1,38	1,6	1,83	2,12

X	0,9	0,92	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99	0,995	0,998	0,999	0,9998
F(X)	2,3	2,52	2,81	2,99	3,2	3,5	3,9	4,6	5,3	6,2	7	8

На рис. 13.2 и 13.3 показаны графики двух функций. На рис. 13.2 изображена аппроксимация экспоненциальной функции c параметром л = 1, а на рис. 13.3 - функция, обратная к аппроксимированной. Первая функция воспроизводит значения заданные в табл. 13.1. Вторая функция используется для розыгрыша экспоненциального распределения, поскольку удобнее задавать значение x, а получать значение функции.

Рис. 13.2



Рис. 13.3

Если необходимо моделировать случайные величины X, распределенные по экспоненциальному закону c параметром ? 1, которые используется как задержка во времени c параметром , например, для моделирования пуассоновского потока поступления требований, то поступают таким образом:

- генерируют значения случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону c л = 1 (рис. 9.3);

- находят произведение полученного значения и математического ожидания случайной величины .

В результате получают искомую последовательность значений реализации случайной величины X.

Вопросы для активизации и создания проблемной ситуации:

1. Какое распределение называется экспоненциальным?

2. Как записывается функция плотности для экспоненциального распределения?

3. Как проводится моделирование случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону?

3. Моделирование нормального распределения

Цель лекции: Рассмотреть моделирование нормального распределения случайной величины.

Вопросы лекции: 1. Моделирование нормального распределения. 2. Пример моделирования случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Содержание лекции:

Моделирование нормального распределения.

Для моделирования нормального закона распределения случайной величины нельзя непосредственно воспользоваться методом обратной функции, поэтому используем центральную предельную теорему.

Пусть случайная величина Х имеет математическое ожидание m_x и среднеквадратичное отклонение , a случайная величина Z имеет математическое ожидание m_z = 0 и среднеквадратичное отклонение у_z = 1. Легко показать, что

Сформулируем центральную предельную теорему.

Если X₁ ..., Х_п - независимые случайные величины со средним значением E[X_i] = a, и дисперсией D[X_i] = у² , , то при неограниченном увеличении n функция распределения случайной величины

приближается к функции распределения стандартного нормального закона Ф(z) при всех значениях аргумента, то есть

где

Для получения нормального закона распределения случайной величины достаточно суммировать шесть случайных величин, полученных c помощью генератора случайных чисел R, и, пронормировать полученные значения так, чтобы определить Z, по формуле найти значение X.

Обычно суммируют 12 случайных величин R_i, , тогда дисперсия D(Z) будет равняться единице.

Пример моделирования случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Рассмотрим, как моделируются нормально распределенные случайные величины в системе моделирования GPSS.

Выполним аппроксимацию функции нормального распределения случайной величины Z c параметрами т_z =0 и =1. Для этого достаточно 25 точек. В табл. 11.1 занесены соответствующие значения аргумента Х и функции F (x).

Для того, чтобы получить функцию нормального распределения c математическим ожиданием m_x ? 0 и среднеквадратичным отклонением ? 1, необходимо сделать вычисления по формуле.

На рис. 14.1 изображен график функции, полученной в результате аппроксимации функции нормального распределения Ф(z), а на рис. 11.2 - более удобный для моделирования график функции (как аргумент используют генератор случайных чисел и получают значение функции).

Таблица 14.1

X	-5	-4	-3	-2,5	-2	-1,5
F(x)	0	0,00003	0,00135	0,00621	0,02275	6,06681

X	-1,2	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2
F(x)	0,11507	0,15866	0,21186	0,2742	0,34458	0,42074

X	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
F(x)_	0,5	0,57964	0,65542	0,72575	0,78814	0,84134

X	1,2	1,5	2	2,5	3	4	5
F(x)	0,88493	0,93319	0,97725	0,99379	0,99865	0,99997	1

Рис. 14.1

Рис. 14.2

В рассмотренных приближенных методах «хвосты» нормального распределения оказываются неточными. Существуют и более точные методы моделирования нормального распределения случайной величины.

Вопросы для активизации и создания проблемной ситуации:

1. Какое распределение случайной величины называется нормальным?

2. Как проводится моделирование нормального распределения случайной величины?

4. Сбор статистических данных для получения оценок характеристик случайных величин

Цель лекции: Вспомнить, как вычисляются оценки характеристик случайных величин; показать, как определять количество реализаций при моделировании случайных величин.

Вопросы лекции:

1. Оценки характеристик случайных величин.

2. Определение количества реализаций при моделировании случайных величин.

Содержание лекции:

1. Оценки характеристик случайных величин.

Основными элементами, из совокупности которых складывается вероятностная модель метода статистических испытаний, являются случайные реализации. Очевидно, что при решении некоторой задачи определения характеристик или параметров исходного случайного процесса должен быть определен этот случайный процесс.

Искомыми величинами при использовании метода статистических испытаний являются оценки:

Ш вероятности наступления некоторого события;

Ш математического ожидания случайной величины;

Ш дисперсии случайной величины;

Ш коэффициентов ковариации или корреляции случайной величины.

Для оценки вероятности p наступления некоторого события А используется частота наступления этого события

где т - частота наступления события, a n - число опытов.

Для оценки математического ожидания случайной величины используется среднее значение

Для оценки дисперсии случайной величины используют формулу

Все статистические оценки должны иметь определенные качественные показатели, к которым относятся несмещенность, эффективность и состоятельность оценки.

2. Определение количества реализаций при моделировании случайных величин.

Число испытаний N определяет точность получаемых результатов моделирования. Если необходимо оценить величину параметра А по результатам моделирования .x_i, то за оценку следует брать величину , которая выступает в функции от x_i.

Из-за случайности будет отличаться от а, то есть

где е - точность оценки. Вероятность того, что данное неравенство выполняется, обозначим через б :

Для определения точности результатов статистических испытаний необходимо воспользоваться выражением (3.17).

Определение количества реализаций для оценки вероятности наступления события. Пусть целью моделирования будет определение вероятности наступления некоторого события А, определяющего состояние моделированной системы. В любой из N реализаций процесс наступления события А является случайной величиной, которая может приобретать значение x₁ = 1 c вероятностью p и x₂ = 0 c вероятностью 1 - р. Тогда можно найти математическое ожидание

и дисперсию

В качестве оценки p используют частоту наступления события А. Эта оценка несмещенная, состоятельная и эффективная.

При условии, что N заведомо задано, достаточно накапливать т:

где о_i - наступление события А в реализации, о_i-={l ,0}.

По формулам (3.18-3.20) находим

В соответствии c центральной предельной теоремой (в данном случае можно взять теорему Лапласа) случайная величина будет иметь распределение, близкое к нормальному (рис.3.13). Поэтому для каждой достоверности б из таблиц нормального распределения можно найти такую величину t_а, что точность е будет равняться величине

Рис. 3.13

При б = 0,95t_б = 1,96.

При б = 0,997t_б = 3.

Подставим в уравнение (3.21 ) выражение дисперсии

Отсюда находим



Поскольку вероятность p заранее неизвестна, прибегают к пробным испытаниям (N = 50...100), получают частоту и подставляют ее значения в выражение (3.23) вместо p, после чего определяют конечное количество испытаний. моделирование случайная величина экспоненциальный

Определение количества реализаций для оценки среднего значения случайной величины. Пусть случайная величина имеет математическое ожидание А и дисперсию у². В реализации c номером i она принимает значение x_i. Для оценки математического ожидания А используем среднее

В соответствии c центральной предельной теоремой при больших значениях N среднее арифметическое будет нормально распределено c математическим ожиданием А и дисперсией тогда

Отсюда

Поскольку дисперсия оцениваемой случайной величины неизвестна, необходимо провести 50-100 испытаний и оценить у², а потом полученное значение оценки подставить в формулу (3.26), чтобы определить необходимое количество реализаций N.

Вопросы для активизации и создания проблемной ситуации:

1. Дайте определение понятиям система, модель системы и состояние системы.

2. Дайте определения понятиям объект, атрибут и список.

3. Дайте определения понятию события и терминам уведомление о событии и список событий.

4. Дайте определения понятиям действия и задержки.

5. Что представляет собой модельное время и часы?

6. Какое моделирование называют дискретно - событийным?

7. Что называют коэффициентом использования СМО? В каких случаях для одноканальной СМО установившегося режима существовать не будет, т. е. очередь будет расти неограниченно?

Список литературы

1. Томашевский B.H., Жданова Е.Г. Имитационное моделирование средствами системы GPSS/PC: Учеб. пособие. - K.: I3MH, НТТУ КПИ, 1998.-123c.

2. Томашевский B.H., Жданова Е.Г., Жолдаков А.А. Решение практических задач методами компьютерного моделирования: Учеб. Пособие - K.: Изд-во "НАУ", 2001. - 268 c.

3. Методы построения имитационных систем / B.B. Литвинов, Т.П. Марянович - K.: Наук, думка, 1991. - 120 c.

4. Новиков O.A., Петухов С.И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. - M.: Сов. радио, 1969. - 400 c.

5. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - M.: Машиностроение, 1979.-432c.

6. Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS. - M.: Машиностроение, 1980.-593c.

7. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. Г.А. Айвазян, И.С. Енкжов, Л.Д. Мешалкин. - M.: Финансы и статистика, 1983. - 471 c.

8. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - наука и искусство. - М.: Мир, 1978. - 418 c.

9. Советов Б.Я. Яковлев C.A. Моделирование систем. Курсовое проектирование. - M.: Высш. шк., 1988. - 135 c.

10. Томашевский B.H. Имитационное моделирование систем и процессов: Учеб. пособие. - К.: 1СДО, "ВIПОЛ", 1994. - 124 c.

11. Лузина Л.И. Компьютерное моделирование. Учебное пособие. Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2001.

12. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997.

13. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М.: Знание, 1991.

14. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 1985.

Размещено на Allbest.ru