Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАНЯТИЕ 1

Моделирование случайных событий с заданным законом распределения

Разыгрывание дискретной случайной величины

Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину, т.е. получить последовательность ее возможных значений x_i (i = 1,2,3,...n), зная закон распределения X:

Обозначим через R непрерывную случайную величину. Величина R распределена равномерно в интервале (0,1). Через r_j (j = 1,2,...) обозначим возможные значения случайной величины R. Разобьем интервал 0 < R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов .

Тогда получим:

Длина

Длина

Длина

Видно, что длина частичного интервала с индексом i равна вероятности Р с тем же индексом. Длина

Таким образом, при попадании случайного числа r_i в интервал случайная величина Х принимает значение x_i с вероятностью P_i.

Существует следующая теорема:

Если каждому случайному числу , которое попало в интервал , поставить в соответствие возможное значение x_i, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения

Алгоритм разыгрывания дискретной случайной величины заданной законом распределения

1. Нужно разбить интервал (0,1) оси 0r на n частичных интервалов:

2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел, или в компьютере) случайное число r_j.

Если r_j попало в интервал , то разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение x_i.

Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х, т.е. получить последовательность ее возможных значений x_i (i = 1,2,...). При этом функция распределения F(X) известна.

Существует следующая теорема.

Если r_i - случайное число, то возможное значение x_i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с известной функцией распределения F(X) соответствующее r_i , является корнем уравнения

Алгоритм разыгрывания непрерывной случайной величины:

1. Необходимо выбрать случайное число r_i.

2. Приравнять выбранное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнение .

3. Решить данное уравнение относительно x_i. Полученное значение x_i будет соответствовать одновременно и случайному числу r_i. и заданному закону распределения F(X).

Пример. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2; 10).

Решение

Функция распределения величины Х имеет следующий вид:

По условию, a = 2, b = 10, следовательно,

В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины приравняем F(X) выбранному случайному числу r_i.. Получим отсюда:

(5.3)

Далее в соответствии с алгоритмом выберем три случайных числа, распределенных равномерно в интервале (0; 1). Например r₁ = 0,11; r₂ = 0,17; r₃ = 0,66.

Подставим эти числа в уравнение (5.3).Получим соответствующие возможные значения х :

Задачи на моделирование случайных событий с заданным законом распределения

1. Требуется разыграть 10 значений дискретной случайной величины, т.е. получить последовательность ее возможных значений x_i (i=1,2,3,…n), зная закон распределения Х

Х	Х1=2	Х2=9	Х3=18	Х4=25
Р	Р1=0,11	Р2=0,25	Р3=0,35	Р4=0,29

Выберем из таблицы случайных чисел случайное число r_j : 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Периодичность поступления заявок на обслуживание подчинена показательному закону распределения ( ) , x, параметр л известен (в дальнейшем л =1/t - интенсивность поступления заявок)

л=0,5 заявок/час. Определить последовательность значений продолжительности интервалов между поступлениями заявок. Число реализаций равно 5. Число r_j : 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

ЗАНЯТИЕ 2

Система массового обслуживания

Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы на выполнение каких либо видов услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания. Любая СМО служит для выполнения потока заявок.

СМО включают в себя: источник требований, входящий поток, очередь, обслуживающее устройство, выходящий поток заявок.

СМО подразделяются:

- СМО с потерями (отказами)

-СМО с ожиданием (неограниченная длина очереди)

- СМО с ограниченной длиной очереди

-СМО с ограниченным временем ожидания.

По числу каналов или приборов обслуживания СМО бывают одноканальными и многоканальными.

По месту нахождения источника требований: разомкнутые и замкнутые.

По количеству обслуживающих элементов на одно требование: однофазные и многофазные.

Одной из форм классификации - классификация Д. Кендалла- А/В/X/Y/Z

А - определяет распределение времени между прибытиями;

B - определяет распределение времени обслуживания;

X - определяет количество служебных каналов;

Y - определяет пропускную способность системы ( длину очереди);

Z - определяет очередность обслуживания.

Когда пропускная способность системы бесконечна и очередность обслуживания подчиняется принципу «первый пришел -первый обслужился», части Y/Z опускают. В первом разряде (А) используются следующие символы:

М-распределение имеет показательный закон,

G-отсутствие каких-либо предположений о процессе обслуживания, либо он отождествляется с символом GI, означающий рекуррентный процесс обслуживания,

D- детерминированный (время обслуживания фиксированное),

Еⁿ- эрланговское n-ого порядка,

НМⁿ- гиперэрланговское n-ого порядка.

Во втором разряде (В) используются те же символы.

В четвертом разряде (Y) показывается емкость буфера, т.е. максимальное количество мест в очереди.

В пятом разряде (Z) указывается способ выбора из очереди в системе с ожиданием: SP-равновероятный, FF- первый пришел-первый ушел, LF- последний пришел -первый ушел, PR- приоритетный.

Для задач :

л- среднее количество заявок, поступающих в единицу времени

µ- среднее количество заявок, обслуженных в единицу времени

- коэффициент загрузки 1 канала, или доля времени, когда канал занят.

Основные характеристики:

1) Р_отк- вероятность отказа - вероятность того, что система откажет в обслуживании и требование теряется. Это бывает, когда канал или все каналы заняты ( ТФоП).

Для многоканальной СМО Р_отк=Р_n , где n- число каналов обслуживания.

Для СМО с ограниченной длиной очереди Р_отк=Р_{n+l ,} где l- допустимая длина очереди.

2) Относительная q и абсолютная А пропускная способность системы

q= 1-Р_отк А=qл

3) Общее количество требований , находящихся в системе

L_сис= n - для СМО с отказами, n- число каналов, занятых обслуживанием.

Для СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди

L_сис= n+L_ож

где L_ож- среднее количество требований, ожидающих начало обслуживания и т.д.

Остальные характеристики рассмотрим по ходу решения задач.

Одноканальная и многоканальная системы массового обслуживания. Системы с отказами.

Простейшей одноканальной моделью с вероятностным входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

Плотность распределения длительностей обслуживания:

Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Пусть система работает с отказами. Этот тип СМО может быть использован при моделировании каналов передачи в локальных сетях. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы. Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рисунок 2), у которого имеются два состояния:

S₀ - канал свободен (ожидание);

S₁ - канал занят (идет обслуживание заявки).

Рисунок 2. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний: P₀(t) - вероятность состояния «канал свободен»; P₁(t) - вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу состояний составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Система линейных дифференциальных уравнений имеет решение с учетом нормировочного условия P₀(t) + P₁(t) = 1 . Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

P₁(t) = 1 - P₀(t) (3.4.3)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q. Действительно, P₀ - вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а, следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P₀(t), т. е. q = P₀(t).

По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

Данная величина P_отк может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n>1) представляют несомненный интерес. Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока л, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/м. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов. Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рисунке 4.

Рисунок 4. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ - все каналы свободны;

S₁ - занят один канал, остальные свободны;

S_k - заняты ровно k каналов, остальные свободны;

S_n - заняты все n каналов, остальные свободны.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы P₀ , ... ,P_k, ... P_n будут иметь следующий вид:



Начальные условия решения системы таковы:

P₀(0) = 1, P₁(0) = P₂(0) = ... = P_k(0) = ... = P₁(0) = 0 .

Стационарное решение системы имеет вид:

где

Формулы для вычисления вероятностей P_k (3.5.1) называются формулами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

1) вероятность отказа:

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина P_отк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

2) вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы q) дополняет P_отк до единицы:

3) абсолютная пропускная способность

4) среднее число каналов, занятых обслуживанием () следующее:

Величина характеризует степень загрузки СМО.

Задачи к занятию 2

1.Ветвь связи, имеющая один канал, принимает простейший поток сообщений с интенсивностью л=0,08 сообщений в секунду. Время передачи распределено по exp закону. Обслуживание одного сообщения происходит с интенсивностью µ=0,1. Сообщения, поступающие в моменты времени, когда обслуживающий канал занят передачей ранее поступившего сообщения, получают отказ передачи.

Определить следующие показатели эффективности:

- коэфф. Относительной загрузки канала ( вероятность занятости канала)

- Р_отк вероятность отказа приема сообщения

- Q относительная пропускная способность межузловой ветви

- А абсолютная пропускная способность ветви связи.

2. Ветвь связи имеет один канал и принимает сообщения через каждые 10 секунд. Время обслуживания одного сообщения 5 секунд. Время передачи сообщения распределено по экспоненциальному закону. Сообщения, поступающие в моменты времени, когда канал занят, получают отказ в обслуживании.

Определить

Р_отк- вероятность отказа приема сообщения

Р_зан- вероятность занятости канала связи (коэфф. относительной загрузки)

Q- относительная пропускная способность

А- абсолютная пропускная способность ветви связи

4. Межузловая ветвь вторичной сети связи имеет n = 4 канала. Поток сообщений, поступающих для передачи по каналам ветви связи, имеет интенсивность = 8 сообщений в секунду. Среднее время передачи одного сообщения равно t = 0,1 cекунд Сообщение прибывшее в момент, когда все n каналов заняты, получает отказ передачи по ветви связи. Найти характеристики СМО:

Р_отк - вероятность отказа передачи сообщений;

Q - относительную пропускную способность межузловой ветви;

А - абсолютную пропускную способность межузловой ветви;

Z - среднее число занятых каналов;

ЗАНЯТИЕ 3

Одноканальная система с ожиданием

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием. Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью . Интенсивность потока обслуживания равна (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Данная СМО является наиболее распространенной при моделировании. С той или иной долей приближения с ее помощью можно моделировать практически любой узел локальной вычислительной сети (ЛВС).

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Система М/М/1/N. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рисунке 3

Рисунок 3. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ - «канал свободен»;

S₁ - «канал занят» (очереди нет);

S₂ - «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

S_n - «канал занят» (n -1 заявок стоит в очереди);

S_N - «канал занят» (N - 1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

где p=коэффициент загрузки

n - номер состояния.

(3.4.4)

Решение приведенной выше системы уравнений для нашей модели СМО имеет вид:

Начальное значение вероятности для СМО с ограниченной длиной очереди

тогда



Для СМО с бесконечной очередью Н =? :

Р₀ =1- с (3.4.7)

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди, которая не может превышать (N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением с= л/м.

В отличие от одноканальной системы, которую рассматривали выше и при неограниченной очереди, в этом случае стационарное распределение числа запросов существует при любых конечных значениях коэффициента загрузки с.

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N - 1) (М/М/1/N), а также для одноканальной СМО с буфером неограниченной емкости (М/М/1/?). Для СМО с бесконечной очередью должно выполняться условие с<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) вероятность отказа в обслуживании заявки:



Одной из важнейших характеристик систем, в которых возможна потеря запросов, является вероятность Р_loss того, что произвольный запрос будет потерян. При этом вероятность потери произвольного запроса совпадает с вероятностью того, что в произвольный момент времени все места для ожидания заняты, т.е. справедлива формула Р_{от к}= Р_Н

2) относительная пропускная способность системы:

Для СМО с неограниченной очередью q =1, т.к. все заявки будут обслужены

3) абсолютная пропускная способность:

4) среднее число находящихся в системе заявок:

L_S с неограниченной очередью



5) среднее время пребывания заявки в системе:

Для неограниченной очереди

6) средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

При неограниченной очереди

7) среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

при неограниченной очереди

Сравнивая выражения для среднего времени ожидания в очереди Т_оч и формулу для средней длины очереди L_оч, а также среднего времени пребывания запросов в системе Т_S и среднего числа запросов в системе L_S , видим, что

L_оч =л*Т_оч L_s=л* Т_s

Отметим, что эти формулы справедливы и для многих более общих , чем рассматриваемая система М/М/1, систем массового обслуживания и называются формулами Литтла. Практическая значимость этих формул состоит в том, что они избавляют от необходимости непосредственного вычисления величин Т_оч и Т_s при известном значении величин L_оч и L_s и наоборот.

Задачи по одноканальной СМО с ожиданием, с ожиданием и ограниченной длиной очереди

1. Дана однолинейная СМО с неограниченным накопителем очереди. Заявки поступают через каждые t =14 секунд. Среднее время передачи одного сообщения t=10 секунд. Сообщения , поступающие в моменты времени , когда обслуживающий канал занят, принимаются в очередь, не покидая ее до начала обслуживания.

Определить следующие показатели эффективности:

L_оч- среднее число сообщений в очереди

L_сист- среднее суммарное число сообщений в очереди и передающихся по ветви связи

Т_оч- среднее время пребывания сообщения в очереди до начала передачи

Т_сист- среднее суммарное время пребывания сообщения в системе, складывающееся из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени передачи

Р_зан-вероятность занятости (коэффициент относительной загрузки канала с)

Q- относительную пропускную способность

А- абсолютную пропускную способность

2. Межузловая ветвь связи, имеющая один канал и накопитель очереди для m=3 ожидающих сообщений (N-1=m), принимает простейший поток сообщений с интенсивностью л=5 сооб. в сек.. Время передачи сообщений распределено по экспоненциальному закону. Среднее время передачи одного сообщения равно 0,1 секунды. Сообщения, поступающие в моменты времени, когда обслуживающий канал занят передачей ранее поступившего сообщения и в накопителе отсутствует свободное место, получают отказ.

Определить следующие показатели эффективности ветви связи:

Р_отк- вероятность отказа приема сообщения

L_оч- среднее число сообщений в очереди к ветви связи

L_сист- среднее суммарное число сообщений в очереди и передающихся по ветви связи

Т_оч- среднее время пребывания сообщения в очереди до начала передачи

Т_сист- среднее суммарное время пребывания сообщения в системе, складывающееся из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени передачи

Р_зан- вероятность занятости канала связи ( коэфф. относительной загрузки канала с)

Q- относительную пропускную способность

А- абсолютную пропускную способность

3. Межузловая ветвь вторичной сети связи, имеющая один канал и накопитель очереди для m = 4 (N-1=4) ожидающих сообщений, принимает простейший поток сообщений с интенсивностью = 8 сообщений в секунду. Время передачи сообщений распределено по экспоненциальному закону. Среднее время передачи одного сообщения составляет t = 0,1 секунду. Сообщения, поступающие в моменты времени, когда обслуживающий канал занят передачей ранее поступившего сообщения и в накопителе отсутствует свободное место, получают очереди отказ.

Определить следующие показатели эффективности ветви связи вторичной сети:

Р_отк - вероятность отказа приёма сообщения для передачи по каналу связи межузловой ветви;

L_оч - среднее число сообщений в очереди к ветви связи вторичной сети очереди;

L_сист - среднее суммарное число сообщений в очереди и передающихся по ветви связи вторичной сети;

Т_оч - среднее время пребывания сообщения в очереди до начала передачи;

Т_сист - среднее суммарное время пребывания сообщения в системе, складывающееся из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени передачи;

Р_зан - вероятность занятости канала связи (коэфф. относительной загрузки канала);

Q - относительную пропускную способность межузловой ветви;

А - абсолютную пропускную способность межузловой ветви;

4. Межузловая ветвь связи, имеющая один канал и накопитель очереди для m=2 ожидающих сообщений, принимает простейший поток сообщений с интенсивностью л=4 сооб. в сек.. Время передачи сообщений распределено по экспоненциальному закону. Среднее время передачи одного сообщения равно 0,1 секунды. Сообщения, поступающие в моменты времени, когда обслуживающий канал занят передачей ранее поступившего сообщения и в накопителе отсутствует свободное место, получают отказ.

Определить следующие показатели эффективности ветви связи:

Р_отк- вероятность отказа приема сообщения

L_оч- среднее число сообщений в очереди к ветви связи

L_сист- среднее суммарное число сообщений в очереди и передающихся по ветви связи

Т_оч- среднее время пребывания сообщения в очереди до начала передачи

Т_сист- среднее суммарное время пребывания сообщения в системе, складывающееся из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени передачи

Р_зан- вероятность занятости канала связи ( коэфф. относительной загрузки канала с)

Q- относительную пропускную способность

А- абсолютную пропускную способность

5. Межузловая ветвь вторичной сети связи, имеющая один канал и неограниченный по объему накопитель очереди ожидающих сообщений, принимает простейший поток сообщений с интенсивностью л= 0,06 сообщений в секунду. Среднее время передачи одного сообщения t =10 секунд. Сообщения , поступающие в моменты времени, когда канал связи занят, принимаются в очередь и не покидают ее до момента начала обслуживания.

Определить следующие показатели эффективности ветви связи вторичной сети:

L_оч- среднее число сообщений в очереди к ветви связи;

L_сист- среднее суммарное число сообщений в очереди и передающихся по ветви связи;

Т_оч- среднее время пребывания сообщения в очереди;

Т_сист- среднее суммарное время пребывания сообщения в системе, складывающееся из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени передачи;

Р_зан- вероятность занятости канала связи (коэффициент относительной загрузки канала);

Q- относительную пропускную способность межузловой ветви;

А- абсолютную пропускную способность межузловой ветви

6. Дана однолинейная СМО с неограниченным накопителем очереди. Заявки поступают через каждые t =13 секунд. Среднее время передачи одного сообщения

t=10 секунд. Сообщения , поступающие в моменты времени , когда обслуживающий канал занят, принимаются в очередь, не покидая ее до начала обслуживания.

Определить следующие показатели эффективности:

L_оч- среднее число сообщений в очереди

L_сист- среднее суммарное число сообщений в очереди и передающихся по ветви связи

Т_оч- среднее время пребывания сообщения в очереди до начала передачи

Т_сист- среднее суммарное время пребывания сообщения в системе, складывающееся из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени передачи

Р_зан-вероятность занятости (коэффициент относительной загрузки канала с)

Q- относительную пропускную способность

А- абсолютную пропускную способность

7. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме: P₀, P₁, P₂, P₃, P₄, P_отк, q,A, L_оч, L_сис, T_оч, T_сис

ЗАНЯТИЕ 4

Многоканальные СМО с ожиданием, с ожиданием и ограниченной длиной очереди

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Данный тип СМО часто используется при моделировании групп абонентских терминалов ЛВС, работающих в диалоговом режиме. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями и соответственно; параллельно обслуживаться могут не более n клиентов. Система имеет n каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/м для каждого канала. Эта система также относится к процессу гибели и размножения.

с=л/nм - отношение интенсивности входящего потока к суммарной интенсивности обслуживания, является коэффициентом загрузки системы

(с<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р_к определяются:

где Р₀- вероятность свободного состояния всех каналов при неограниченной очереди, k-количество заявок .



если принять с=л / м, то Р₀ можно определить для неограниченной очереди:

Для ограниченной очереди:

где m-длина очереди

При неограниченной очереди:

-относительная пропускная способность q=1,

-абсолютная пропускная способность А=л,

-среднее число занятых каналов Z=А/м

Р_отк=0

При ограниченной очереди

q=1-Р_отк,

А=qл, ,

Задачи

1 Межузловая ветвь вторичной сети связи имеет n = 4 каналов. Поток сообщений, поступающих для передачи по каналам ветви связи, имеет интенсивность = 8 сообщений в секунду. Среднее время t = 0,1 передачи одного сообщения каждым каналом связи равно t/n = 0,025 секунд. Время ожидания сообщений в очереди неограниченно. Найти характеристики СМО:

Р_отк - вероятность отказа передачи сообщений;

Q - относительную пропускную способность ветви связи;

А - абсолютную пропускную способность ветви связи;

Z - среднее число занятых каналов;

L_оч - среднее число сообщений в очереди;

Т_ож - среднее время ожидания;

Т_сист - среднее суммарное время пребывания сообщений в очереди и передачи по ветви связи.

2. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательном у закону и равно = 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно. Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

- вероятности состояний системы;

-среднее число заявок в очереди на обслуживание;

-среднее число находящихся в системе заявок;

-среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

-среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

3. Межузловая ветвь вторичной сети связи имеет n=3 канала. Поток сообщений, поступающих для передачи по каналам ветви связи, имеет интенсивность л=5 сообщений в секунду. Среднее время передачи одного сообщения t=0,1 , t/n=0,033 сек.. В накопителе очереди ожидающих передачи сообщений может находиться до m= 2 сообщений. Сообщение, прибывшее в момент, когда все места в очереди заняты, получает отказ передачи по ветви связи. Найти характеристики СМО: Р_отк-вероятность отказа передачи сообщений, Q-относительную пропускную способность, А- абсолютную пропускную способность, Z- среднее число занятых каналов, L_оч- среднее число сообщений в очереди, Т_ож- среднее время ожидания, Т_сист- среднее суммарное время пребывания сообщения в очереди и его передачи по ветви связи.

ЗАНЯТИЕ 5

Замкнутая СМО

Рассмотрим модель обслуживания машинного парка, которая представляет собой модель замкнутой системы массового обслуживания. До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность входящего потока заявок не зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок является внешним по отношению к СМО и генерирует неограниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых зависит от состояния системы, при чем источник требований является внутренним и генерирует ограниченный поток заявок. Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина может обслуживаться только одним механиком. Здесь машины являются источниками требований (заявок на обслуживание), а механики - обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и становится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N - k) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания (k). В рассматриваемой модели емкость источника требований следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - k), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N - k) находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсивностью X независимо от других объектов, общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность . Требование, поступившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из каналов не станет свободным. Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего. Состояние S_k системы характеризуется общим числом требований, находящихся на обслуживании и в очереди, равным k. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, k = 0, 1, 2, ... , N. При этом если система находится в состоянии S_k , то число объектов, находящихся в эксплуатации, равно (N - k). Если - интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то:

;

Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим образом:

(1.1)

Решая данную систему, находим вероятность k-гo состояния:

(1.2)

Величина P₀ определяется из условия нормирования полученных результатов по формулам для P_k , k = 0, 1, 2, ... , N. Определим следующие вероятностные характеристики системы:

- среднее число требований в очереди на обслуживание:

; (1.3)

- среднее число требований, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди)

(1.4)-

среднее число механиков (каналов), «простаивающих» из-за отсутствия работы

; (1.5)

- коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди

; (1.6)

- коэффициент использования объектов (машин)

; (1.7)

- коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)

; (1.8)

 - среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания в очереди)

.(1.9)

Задача по замкнутой СМО

1. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производительности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера - пуассоновский с интенсивностью = 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: =1,25 час. Возможны следующие варианты организации обслуживания:

- оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 2, N = 10;

- каждый из двух инженеров обслуживает по пять закрепленных за ним ПК. В этом случае R = 1, N = 5.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.

Надо опр-ть все вероятности состояний Р_к : Р₁- Р₁₀, учитывая, что и используя результаты расчета Р_к, вычислим Р₀

ЗАНЯТИЕ 6

Вычисление трафика.

Теория телетрафика - раздел теории массового обслуживания. Основы теории телетрафика заложил датский ученый А.К. Эрланг. Его работы были опубликованы в 1909-1928 гг. Дадим важные определения, используемые в теории телетрафика (ТТ). Термин «трафик» (англ.,traffic) соответствует термину «телефонная нагрузка». Подразумевается нагрузка, создаваемая потоком вызовов, требований, сообщений, поступающих на входы СМО. Объемом трафика называют пропущенную тем или иным ресурсом величину суммарного, интегрального интервала времени, в течение которого данный ресурс был занят за анализируемый период времени. Единицей работы можно считать секундозанятие ресурса. Иногда можно прочитать о часозанятии, а порой и просто - секундах или часах. Однако рекомендации ITU дают размерность объема трафика в эрлангочасах. Чтобы понять смысл такой единицы измерения, надо рассмотреть еще один параметр трафика - интенсивность трафика. При этом чаще говорят о средней интенсивности трафика (нагрузки) на некотором заданном пуле (наборе) ресурсов. Если в каждый момент времени t из заданного интервала (t₁,t₂) число занятых обслуживанием трафика ресурсов из данного набора равно А(t), то средняя интенсивность трафика будет

Величина интенсивности трафика характеризуется как среднее число ресурсов, занятых обслуживанием трафика на заданном интервале времени. Единицей измерения интенсивности нагрузки является один Эрланг (1 Эрл, 1 Е)., т.е. 1 эрланг- это такая интенсивность трафика, которая требует полной занятости одного ресурса, или, иначе говоря, при которой ресурсом выполняется работа величиной в одно секундо-занятие за время в одну секунду. В американской литературе иногда можно встретить другую единицу измерения, называемую CCS- Centrum (or hundred) Calls Second (гектосекундозанятия). Число CCS отражает время занятия серверов в 100 секундных интервалов за 1 час. Интенсивность, измеренную в CCS, можно пересчитать в Эрланги по формуле 36CCS=1 Эрл.

Трафик, создаваемый одним источником и выраженный в часо-занятиях, равен произведению числа попыток вызовов с за определенный интервал времени Т на среднюю длительность одной попытки t: у = с t (ч-з). Трафик можно вычислить тремя разными способами:

1) пусть число вызовов с в течение часа равно 1800, а средняя длительность занятия t = 3 мин, тогда Y = 1800 выз. /ч. 0,05 ч = 90 Эрл;

2) пусть в течение времени Т фиксируются длительности t_i всех n занятий выходов некоторого пучка, тогда трафик определяют так:

3) пусть в течение времени Т выполняется наблюдение через равные промежутки времени за количеством одновременно занятых выходов некоторого пучка, по результатам наблюдений строят (рисунок 8) ступенчатую функцию времени x(t).

Рисунок 8. Отсчеты одновременно занятых выходов пучка

Трафик в течение времени Т может быть оценен как среднее значение х(t) за это время:

где n - число отсчетов одновременно занятых выходов. Величина Y есть среднее количество одновременно занятых выходов пучка в течение времени Т.

Колебания трафика. Трафик вторичных телефонных сетей существенно колеблется во времени. В течение рабочего дня кривая трафика имеет два или даже три пика (рисунок 9).

Рисунок 9. Колебания трафика в течение суток

Час суток, в течение которого трафик, наблюдаемый длительное время, имеет наибольшее значение, называют часом наибольшей нагрузки (ЧНН). Знание трафика в ЧНН принципиально важно, так как им определяется количество каналов (линий), объем оборудования станций и узлов. Трафик одного и того же дня недели имеет сезонные колебания. Если день недели является предпраздничным, то ЧНН этого дня выше, чем и день после праздника. Если количество служб, поддерживаемых сетью, растет, то и трафик растет. Поэтому проблематично предсказывать с достаточной уверенностью возникновение пиков трафика. Трафик внимательно отслеживается администрацией сетей и проектными организациями. Правила измерения трафика разработаны МСЭ-Т и используются администрациями национальных сетей для того, чтобы удовлетворить требованиям качества предоставляемых услуг, как для абонентов своей сети, так и для абонентов других сетей, связанных с ней. Теорию телетрафика можно использовать для практических расчетов потерь или объема оборудования станции (узла) только в том случае, если трафик стационарный (статистически установившийся). Этому условию приближенно удовлетворяет трафик в ЧНН. Величина нагрузки, поступающая за сутки на АТС, влияет на профилактику и ремонт оборудования. Неравномерность поступления нагрузки на станцию в течение суток определяется коэффициентом концентрации

где - нагрузка в ЧНН,

- нагрузка за сутки.

Более строго определение ЧНН производится следующим образом. Рекомендация ITU Е.500 предписывает проанализировать данные об интенсивности за 12 месяцев, выбрать из них 30 наиболее загруженных дней, найти в эти дни наиболее загруженные часы и усреднить результаты измерения интенсивности на этих интервалах. Такой расчет интенсивности трафика (нагрузки) называют нормальной оценкой интенсивности трафика в ЧНН или уровнем А. более жесткой оценки можно проводить усреднение за 5 самых загруженных дней выбранного 30-дневного периода. Такая оценка носит название повышенной или оценкой по уровню В.

Процесс создания трафика. Как известно каждому пользователю телефонной сети, не все попытки установления соединения с вызываемым абонентом заканчиваются успешно. Иногда приходится делать несколько неудачных попыток, прежде чем будет установлено желаемое соединение.

Рисунок 10. Диаграмма событий при установлении соединения между абонентами

Рассмотрим возможные события при моделировании установления соединения между абонентами А и Б (рисунок 10). Статистические данные о вызовах в телефонных сетях таковы: доля состоявшихся разговоров составляет 70-50 %, доля несостоявшихся - 30-50 %. Любая попытка абонента занимает вход СМО. При удачных попытках (когда разговор состоялся) время занятия коммутационных приборов, устанавливающих соединения входов с выходами, больше, чем при неудачных попытках. Абонент может в любой момент времени прервать попытки установления соединения. Повторные попытки могут быть вызваны следующими причинами:

- номер набран неправильно;

- предположение об ошибке в работе сети;

- степень срочности разговора;

- неудачные предыдущие попытки;

- знание привычек абонента Б;

- сомнение в правильности набора номера.

Повторная попытка может быть предпринята в зависимости от следующих обстоятельств:

- степени срочности;

- оценки причины неуспеха;

- оценки целесообразности повторения попыток,

- оценки приемлемого интервала между попытками.

Отказ от повторной попытки может быть связан с низкой степенью срочности. Различают несколько видов трафика, создаваемого вызовами: поступающий (предложенный) Y_п и пропущенный Y_пр. Трафик Y_п включает все успешные и неуспешные попытки, трафик У_пр, являющийся частью Y_п, включает успешные и часть неуспешных попыток:

Y_пр = Y_р + Y_нп,

где Y_р - разговорный (полезный) трафик, а Y_нп - трафик, созданный неудачными попытками. Равенство Y_п = Y_р возможно лишь в том идеальном случае, если нет потерь, ошибок вызывающих абонентов и не ответов вызываемых абонентов.

Разность между поступающей и пропущенной нагрузками за определенный промежуток времени будет являться потерянной нагрузкой.

Прогнозирование трафика. Ограниченность ресурсов приводит к необходимости поэтапного расширения станции и сети. Администрация сети делает прогноз увеличения трафика в течение этапа развития, учитывая, что:

- доход определяется частью пропущенного трафика Y_р, - затраты определяются качеством обслуживания при наибольшем трафике;

- большая доля потерь (низкое качество) бывает в редких случаях и характерна для конца периода развития;

- наибольший объем пропущенного трафика приходится на периоды, когда потери практически отсутствуют, - если потери меньше 10 %, то абоненты на них не реагируют. При планировании развития станций и сети проектировщик должен ответить на вопрос, каковы требования к качеству предоставления услуг (к потерям). Для этого нужно проводить измерения трафика потерь по принятым в стране правилам.

Пример измерения трафика.

Сначала рассмотрим, как можно отображать работу СМО, имеющую несколько ресурсов, которые одновременно обслуживают некоторый трафик. Будем далее говорить о таких ресурсах, как о серверах, которые обслуживают поток заявок или требований. Одним из наиболее наглядных и часто употребляемых способов изображения процесса обслуживания заявок пулом серверов является диаграмма Ганта (Gantt). Эта диаграмма представляет собой прямоугольную систему координат, ось абсцисс которой изображает время, а на оси ординат помечаются дискретные точки, соответствующие серверам пула. На рисунке 11 изображена диаграмма Ганта для системы с тремя серверами.

В первые три интервала времени (считаем их секундой) заняты первый и третий серверы, следующие две секунды - только третий, затем одну секунду работает второй, потом, две секунды второй и первый, и последние две секунды- только первый.

Построенная диаграмма позволяет произвести расчеты объема трафика и его интенсивности. Диаграмма отражает только обслуженный или пропущенный трафик, поскольку ничего не говорит о том, поступали ли в систему заявки, которые не смогли быть обслужены серверами.

Объем пропущенного трафика вычисляется как суммарная длина всех отрезков диаграммы Ганта. Объем за время 10 секунд:

Свяжем с каждым временным интервалом отложенным по оси абсцисс, целое число, равное количеству серверов, занятых на этом единичном интервале. Эта величина А(t) - мгновенная интенсивность. Для нашего примера

А(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Найдем теперь среднюю за период 10 секунд интенсивность трафика

Таким образом, средняя интенсивность трафика, пропущенного рассматриваемой системой из трех серверов, равна 1,5 Эрл.

Основные параметры нагрузки

Телефонной связью пользуются различные категории абонентов, которые характеризуются:

числом источников нагрузки- N,

средним числом вызовов от одного источника за определенное время (ЧНН обычно)- c,

средней длительностью одного занятия коммутационной системы при обслуживании одного вызова- t.

Величина интенсивности нагрузки будет

Определим различные источники вызовов. Например,

- среднее число вызовов в ЧНН от одного учрежденческого аппарата;

- среднее число вызовов от одного квартирного индивидуального аппарата; случайное событие массовое обслуживание телетрафик

с_кол- то же от аппарата коллективного пользования;

с_ма- то же от одного монетного аппарата;

с_сл- то же от одной соединительной линии.

Тогда среднее число вызовов от одного источника:

Существуют приблизительные данные для среднего числа вызовов от одного источника соответствующей категории:

=3,5 - 5, =0,5 - 1, с_кол = 1,5 - 2, с_ма=15 - 30, с_сл=10 - 30.

Различают следующие виды соединений, которые в зависимости от исхода соединения создают на станции различную по величине телефонную нагрузку:

k_р- коэффициент, показывающий долю соединений, окончившихся разговором;

k_з- соединения, не окончившиеся разговором из-за занятости вызываемого абонента;

k_но- коэффициент, выражающий долю соединений, не окончившихся разговором по причине неответа вызываемого абонента;

k_ош- соединения, не окончившиеся разговором из-за ошибок вызывающего абонента;

k_тех- вызовы, не окончившиеся разговором по техническим причинам.

При нормальной работе сети значения этих коэффициентов равны:

k_р=0,60-0,75; k_з=0,12-0,15; k_но=0,08-0,12; k_ош=0,02-0,05; k_тех=0,005-0,01.

Средняя длительность занятия зависит от видов соединений. Например, если соединение закончилось разговором, средняя длительность занятия приборов t_сост будет равна

где - длительность установления соединения;

t_сост. - состоявшийся разговор;

t_в- длительность посылки вызова в телефонный аппарат вызываемого абонента;

t_р- длительность разговора

где t_со- сигнал ответа станции;

1,5n- время набора номера вызываемого абонента (n-количество знаков в номере);

t_с- время, необходимое для установления соединения коммутационными механизмами и разъединения соединения после окончания разговора. Примерные значения рассмотренных величин:

t_со=3сек., t_c= 1-2,5сек., t_в= 8-10сек., t_р=90-130сек.

Вызовы, не окончившиеся разговором тоже создают телефонную нагрузку.

Среднее время занятия приборов при занятости вызываемого абонента равна

где t_{уст.соед.} определяется по (4.2.3)

t_зз- время слушания зуммера занятости, t_зз=6сек.

Средняя длительность занятия приборов при не ответе вызываемого абонента равна

где t_пв- время слушания сигнала контроля посылки вызова, t_пв=20сек.

Если разговора не было из-за ошибок абонента, то в среднем t_ош=30 сек.

Длительность занятий, не окончившихся разговором по техническим причинам, не определена, так как процент таких занятий мал.

Из всего выше сказанного следует, что полная нагрузка, создаваемая группой источников за ЧНН, равна сумме нагрузок отдельных видов занятий.

где - коэффициент, учитывающий слагаемые как доли

; =1,05-1,15.

Пример

На телефонной сети с семизначной нумерацией запроектирована АТС, структурный состав абонентов которой следующий:

N_учр=4000, Nинд=1000, N_кол=2000, N_ма=400, N_сл=400.

Определить нагрузку, поступающую на станцию - Y, среднюю длительность занятия t, если известно, что

с_учр=4, с_инд=1, с_кол=2, с_ма=10, с_сл=12, t_р=120 сек., t_в=10 сек., k_р=0,6, t_с=1 сек., =1,1.

Решение

Среднее число вызовов, поступающее от одного источника в ЧНН, равно

По формулам (4.2.3) и (4.2.6) находим нагрузку

=1.10.62826767 сек.зан.=785,2чз.

Средняя длительность занятия t из формулы Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3.8=95.4 сек.

Задача на нагрузку

1.На телефонной сети с семизначной нумерацией запроектирована АТС, структурный состав абонентов которой следующий:

N_учр=5000, Nинд=1500, N_кол=3000, N_ма=500, N_сл=500.

Определить нагрузку, поступающую на станцию - Y, среднюю длительность занятия t, если известно, что

с_учр=4, с_инд=1, с_кол=2, с_ма=10, с_сл=12, t_р=120 сек., t_в=10 сек., k_р=0,6, t_с=1 сек., =1,1.

Размещено на Allbest.ru