Экономико-математические методы и прикладные модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования РФ

Всероссийский Заочный финансово - экономический институт

Контрольная работа

по дисциплине

Экономико-математические методы и прикладные модели

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта - A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов A и B на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски E и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение

Пусть

xE - суточный объем производства краски Е (в тоннах)

xI - суточный объем производства краски I (в тоннах).

Так как стоимость 1 т краски Е равна 3 тыс. долл., суточный доход от ее продажи составит 3 xE тыс. долл., а доход от реализации xI тонн краски I составит 2 xI тыс. долл. в сутки.

Определим (допустимые) значения xЕ и xI, максимизирующие величину общего дохода:

Для этого рассмотрим возможные ограничения

1. Расход исходного продукта для производства обоих видов красок меньше или равен максимально возможному запасу исходного продукта

xE +2xI < 6 (для A)

2xE + xI < 8 (для B)

2. Ограничения на величину спроса:

ь Превышение спроса на краску I относительно спроса на краску E не более 1 тонны в сутки

ь Спрос на краску I меньше чем 2 тонны в сутки

xI - xE < 1 (соотношение величин спроса на краску I и краску E)

xI < 2 (максимальная величина спроса на краску E)

Переменные xI и xE не могут принимать отрицательных значений:

xI > 0

xE > 0

(объем производства краски I), (объем производства краски Е). Итак, математическую модель можно записать следующим образом. Определить суточные объемы производства (xI и xE ) краски I и краски Е (в тоннах), при которых достигается (целевая функция) при

ограничениях: Что определяет линейный характер построенной модели? С формальных позиций данная модель является линейной потому, что все входящие в нее функции (ограничения и целевая функция) линейны. Линейность предполагает наличие двух свойств - пропорциональности и аддитивности.

1. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной хЕ и хI в целевую функцию прямо пропорционален этим переменным.

2. Аддитивность заключается в том, что целевая функция представляет собой сумму вкладов от различных переменных. Однако если фирма производит два конкурирующих вида продукции, увеличение сбыта одного из которых отрицательно сказывается на объеме реализации другого, то такая модель не обладает свойством аддитивности

Графическое решение задачи о производстве красок

Рассмотрим графическое решение задачи о производстве красок. Такая возможность связана с тем, что здесь только две переменные Первый шаг при использовании графического метода заключается в построении области допустимых решений, в которой одновременно выполняются все ограничения модели. Искомая область (пространство) решений показана на рис. 1. Условия неотрицательности переменных и ограничивают область их допустимых значений первым квадрантом. Другие границы пространства решений изображены на плоскости xE,xI прямыми линиями, построенными по уравнениям, которые получаются при замене в ограничениях знаков неравенства на знаки равенства. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных. Полученное таким образом пространство решений - многоугольник ABCDEF(показан на рис. 1.)

Рис. 1. Ограничения:

В каждой точке, принадлежащей внутренней области или границам многоугольника решений ABCDEF, все ограничения выполняются, поэтому решения, соответствующие этим точкам, являются допустимыми. Пространство решений содержит бесконечное число таких точек, но несмотря на это, можно найти оптимальное решение, если выяснить, в каком направлении возрастает целевая функция модели Для этого (рис. 2) на график наносят ряд параллельных линий, соответствующих уравнению целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно возрастающих значениях z z=6 и z=9, что позволяет определить наклон целевой функции и направление, в котором происходит ее увеличение (т. е. возрастание общего дохода)

Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую, характеризующую доход, в направлении возрастания целевой функции до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений.Из рис.2 видно, что оптимальному решению соответствует точка С. Так как точка С является точкой пересечения прямых (1)и (2) (рис.2), то значения хЕ и xI в этой точке определяются решением системы уравнений: Можно показать, что Полученное решение означает, что суточный объем производства краски Е должен быть равен 3.1/3 т, а краски I - 3.1/3 т. Доход, получаемый в этом случае, составит тыс. долл.

Рис.2. Целевая функция: максимизировать Оптимальное решение:

Графическое решение задачи линейного программирования возможно только в частном случае при условии m=n-2. Здесь n - число переменных, m - число уравнений.

Отметим некоторые свойства решений ОЗЛП, которые вытекают из геометрических построений и будут иметь место при n-m=2.

1. Решение ОЗЛП, если оно существует, не может лежать внутри области допустимых решений, а только на ее границе.

2. Решение ОЗЛП может быть и не единственным (см. рис. 3).Действительно, если основная прямая параллельна той стороне многоугольника допустимых решений, где достигается минимум L', то он достигается не в одной точке, а на всей этой стороне. В этом случае ОЗЛП имеет бесчисленное множество оптимальных решений.

3. ОЗЛП может не иметь решения даже в случае, когда существует ОДР (рис. 4)Это бывает тогда, когда в направлении стрелок ОДР неограничена, т. е. в области допустимых решений линейная функция L неограничена снизу. Перемещая основную прямую в направлении стрелок, мы будем получать все меньшие и меньшие значения L', а значит, и L.

4. Решение ОЗЛП, минимизирующее функцию L (оптимальное решение), всегда достигается в одной из вершин многоугольника допустимых решений {если оно достигается на целой стороне, то оно же достигается и в каждой из вершин, через которые проходит эта сторона). Решение, лежащее в одной из вершин ОДР, называется опорным решением, а сама вершина-опорной точкой.

5. Для того, чтобы найти оптимальное решение, в принципе достаточно перебрать все вершины ОДР (опорные точки) и выбрать из них ту, где функция L достигает минимума.

6. Если число свободных переменных в ОЗЛП равно n, а число базисных - т и решение ОЗЛП существует, то оно всегда достигается в точке, где по крайней мере две из переменных x1,x2,...xn обращаются в нуль. Действительно, в любой опорной точке пересекаются, по крайней мере две из ограничивающих прямых; однако в ней могут пересекаться и более двух (см. рис. 5).

Случай, когда в оптимальном решении обращаются в нуль не две, а больше переменных, называется вырожденным. На рис. 5 показан вырожденный случай, когда в точке А, соответствующей оптимальному решению, обращаются в нуль три переменные:

Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизированную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойства двойственных оценок и теорем двойственности:

· Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

· Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Задача 3

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_i,j (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы A (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. проверить продуктивность технологической матрицы A=(a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерно временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t) =a₀ +a₁t, параметры которой оценить МНК (Y(t)) - расчетные, смоделированные значения временного ряда). модель леонтьева баланс временной ряд

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения ( при использовании R/S - критерия взять табулированные границы 2,7-3,7)

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следущие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p=70%)

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Размещено на Allbest.ru