Задачи планирования производства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Образования и Науки Республики Казахстан

Академия Оценки и Строительства

Курсовая работа

По дисциплине: «Экономика - математическое моделирование»

По теме: «Задачи планирования производства»

Выполнила: Карякин И.В

Группа: ОЦ-ВЗ-04

Проверила: Алшынбаева Е.К

Алматы 2005г.

Содержание

1. Рациональное использование производственных ресурсов в ходе реализации бизнес-плана проектируемой композиционной структуры

2. Оптимальное распределение заданных финансовых средств между независимыми параллельно создаваемыми композиционными структурами

3. Примеры решений системы уравнений, наиболее часто встречающихся на практике

1. Рациональное использование производственных ресурсов в ходе реализации бизнес- плана проектируемой композиционной структуры

Предлагаемый метод использования производственных ресурсов строится исходя из условий что все ординарные структуры проектируемой композиционной структуры являющейся автономно решаемыми задачами бизнес- плана КС, связаны в единую систему через заданный для каждой из них векторов по условию предшествования Пi(i_1, i₂, …), i=1, M.

Из этого следует, что все ОС проектируемой КС, связаны через соответствующими им ВУП, будут выполнятся в попарно не пересекающихся интервалах времени. И поэтому в ОС выполняемых в более поздние сроки могут применяться не только новые производственные ресурсы (ПрР) но и те которые уже ранее использовались в других ОС

Для реализации бизнес-плана ОС проектируемой КС в общем случае используется производственные системы, состоящие из ряда автономно действующих модулей. Длительность использования АМ каждой i-й ОС проектируемой КС ограничивается интервалом времени

(t_i¹, t_i ¹, + r*)

где t_i ¹- момент времени начало реализации бизнес- плана

r*- оптимальная продолжительность ее выполнения

Пример операции алгоритма модели рационального использования производственных ресурсов

Если для проектируемой КС выявлены все составляющие ее ОС то могут быть определены оптимальные значения продолжительности их выполнения r_i*, i= 1, 10. Примем их равными соответственно:

r₁^* =3, r₂^* =4, r₃^* =6, r₄^* =5, r₅^* =7

r₆ ^*=6, r₇^* =10, r₈^* =8, r₉^* =4, r₁₀^* =6

На основе заданных векторов по условиям предшествования:

П₀ = (0) П = ( i ₀, i ₁, i₂ , i ₃, i ₄, i₅ ,)

П ₁= (i₀) П = (i_0, i_1, i _2, i _3, i_4, i _5, i₆ )

П ₂= (i₀) П = (i_0, i_1, i _2, i_3, i _4, i _5, i_6,)

П ₃= (i₀) П = (i_1, i_2, i _3, i_4, i _5, i_6, i_7, i _8, i₉)

П ₄= П = (i₀ , i₁, i₂, i₃ ) П =( i_1, i_2, i_3, i_4, i _5, i _6, i_7, i _8, i₉)

По формуле определены значения моментов времини начала выполнения ОС проектируемой КС:

t¹ ₁ = 0, t ¹₂ =0, t ¹₃ = 0, t ¹₄ = 6, t ¹₅ = 6

t¹₆ =13, t¹₇ = 19, t¹₈ = 19, t¹₉ = 29, t¹₁₀ = 27.

Значение момента времени (t_i¹) находится по формуле

t¹_i = max{t_jk + r_jk*, k = 1, 2, . . .}

Используя значения r*_i , t_i , i =1, 10 для каждой ОС проектируемой КС находим значение момента времени завершения ее выполнения

T_i² = t_i¹ + r_i*, i= 1,10

Для рассматриваемого примера получаем:

t₁² =3, t₂² = 4, t₃² = 6, t₄² = 11, t₅² = 12

t₆² =19, t₇²= 29, t₈² ₌ 27, t₉² = 33, t₁₀² = 33.

Решаемая в данном примере задача заключается в определение рационального количества производственных ресурсов каждого n-го (n=1,N) вида необходимого для выполнения всех ОС проектируемой КС

Для сведения поставленной задачи к потоковой считается что каждая ОС проектируемой КС является потребителем производственных ресурсов n-го вида в размере m_in и при этом только в период времени (t_i¹, t_i²) . Источниками производственных ресурсов являются пункты j₀, j₁,…,j_M. Источник j₀ имеет производственный ресурс n -го вида в объеме, равном Уm_in единиц и он доступен всем ОС проектируемой КС. Источник имеет единиц производственного ресурса n -го вида и он доступен только тем ОС для которых выполняется условие t_i¹ ? t_k², i, k= 1, M, i ? k.

Обозначим через C_ki стоимость доставки единицы потока производственных ресурсов. Величина C_ki при k?1 определяется как сумма трех составляющих: стоимости d_k единицы ПрР n-го вида поступающего от источника j_k i-й ОС, затрат u_ki на ремонт и профилактику единицы ПрР n-го вида, поступающего от источника j_k i-й ОС, и удельных транспортных затрат г_ki на доставку ПрР от k-й ОС (jk) к i-й ОС

C_ki = d_k + u_ki + г_ki

Следует особо отметить значимость в формуле u_ki. Именно через него учитывается степень физического и морального старения ПрП n-го вида, поступившего от источника j_k в i-й ОС за период времени от t₀ до t_k²

г_0i - удельные транспортные затраты на доставку n-го вида ПрР i -й ОС непосредственного от производителя этого вида При этом предпологается что источник j₀ имеет неограниченное число ПрР всех видов

Обозначим через x_ki количество производственных ресурсов n-го вода, полученных от i источника . В принятых обозначениях задачу по оптимальному использованию производственных ресурсов каждого n - го вида можно сформулировать следующим образом: найти неотрицательные величины x_ki = x_ki* при которых функция

M M

Z = У У Cki xki (1)

i=1 k=0

принимает минимальное значение при ограничениях

M ---------

У xki ?nk, k = 0,M;

i =0

M --------

У xki = mi, i = 1,M (2)

k=0 --------

xki ? 0, k,I = 0,M

Где n_k и m_k - количество производственных ресурсов n-го вида соответственно имеющихся у источника j_k и требующихся для i -й ОС.

Значения m_i задаются в виде исходной информации, а значения n_k находятся следующим образом:

· Моменты времени t_l² , l = 1,M, завершения выполнения ОС располагают в ряд по возрастанию их значений;

· Значение n_k берется равным значению m_i у i -й ОС, у которой в t_l² , l= 1,M, ряду значение t_i² находится на k-й позиции.

Задача (1) - (2), как было отмечено выше, решается с помощью метода дефекта теории сетевого анализа. Для применении этого метода граф проектируемой КС, построенный на основе заданных векторов по условиям предшествования, дополняется общим источником S, общим стоком t и возвратной дугой (t, S). На каждой дуге модифицированного таким образом графа указывается исходная информация (U_ki, L_ki, C_ki), где U_ki и L_ki есть соответственно верхняя и нижняя пропускная способность дуги (k, i), а C_ki - стоимость прохождения единицы потока по ней. Для рассматривания примера имеем:

-----

Usk = nnk; Lsk = Csk= 0 (k = 0,8)

-------

Uki= ?; Lki= 0; Cki = dk= uki = гki (i= 1,10)

-------

Uit = ?; Lit= mi; Cit= 0 (i = 1,10)

10

Uts = Lts = Уmi; Cts = 0,

i=1

где значения C_ki= d_k+ u_ki + г_ki находятся по формулам.

Введем следующие обозначения

Ф_н ⁽ⁿ⁾ - суммарные затраты, связанные с покупкой новых ПрР (у источника J₀) -го вида;

Ф⁽ⁿ⁾_ис - суммарные затраты, связанные с покупкой ранее использованных ПрР (у источников j_k, k = 1,2,…) n-го вида;

Ф⁽ⁿ⁾_{У -} совокупные суммарные затраты, связанные с покупкой новых и ранее использованных ПрР n-го вида.

M

Фн = У x0i*(n) d0i(n) ,

i=1

где d_0i⁽ⁿ⁾ - стоимость единицы новых ПрР n - го вида;

M M

Фис(n) = У У xki(n) Cki(n) ;

k= 1 i=1

Ф_У⁽ⁿ⁾ = Ф_н⁽ⁿ⁾ + Ф_ис ⁽ⁿ⁾ = У У x_ki⁽ⁿ⁾C_ki⁽ⁿ⁾,

Где C_0i⁽ⁿ⁾= d₀⁽ⁿ⁾+ г_0i⁽ⁿ⁾.

Пусть Ф_У^н и П_эф есть соответственно суммарные затраты, связанные с покупкой ПрР при условии, что все покупаемые ПрР новые, и эффективность предлогаемого метода оптимального использования ПрР.

Тогда

M

ФнУ = Уmi (d0+ г0i),

i=1

где m_i - количество ПрР n -го вида, необходимые для выполнения всех ОС проектируемой КС,

П_эф = (Ф_У ^н - Ф_У / Ф^н_У) *100%

Где ФУ = У ФУ(n).

(n)

Изложенная модель оптимального использования заданных ПрР может быть также эффективно применена во многих задачах в которых требуется построить расписание рационального использования имеющихся производственных ресурсов. Например, в задачах по составлению оптимального графика выполнения работ строительными бригадами на объектах, формирования бригадных потоков, рационального использование для кредитования периодически высвобождающих финансовых средств и др.

производственный ресурс финансовый

2. Оптимальное распределение заданных финансовых средств между независимыми параллельно создаваемыми композиционными структурами

Задача оптимального использования заданных финансовых средств для реализации бизнес- планов попарно независимых композиционных структур является одной из важнейших в рыночной экономике. Она позволяет во многом избежать неокупаемых , неэффективных затрат при решении сложных актуальных проблем , зависящих от ряда попарно независимых факторов.

Алгоритм предлагаемого метода оптимизации распределения заданных финансовых средств в размере G между n попарно независимыми проектируемыми КС состоит из трех операции.

1. Создании n + 1 репрезентативных выборочных совокупностей по суммарному доходу от всех n проектируемых КС и по стоимости реализации бизнес - плана каждого проектируемого КС в отдельности.

2. Построение на основании созданных в результате исполнения первой операции выборочных совокупностей функции множественной регрессии

? = F(z₁, z₂, … z_n) (3)

где ? - суммарный доход от всех n проектируемых КС;

z_k - стоимость реализации бизнес - плана k- й (k= 1,n) проектируемого КС

3. Определение оптимальных значении результирующего показателя ?= ?* и факторов z_k = z_k^*, k = 1,n при условии, что У z_k ? G.

В дальнейшем изложении показатель ? будет также называться корреляционной функцией, а z_k, k = 1,n - частью общих финансовых средств G, выделенных - му фактору, воздействующему на результирующий показатель (критериальную функцию) ?.

Помимо указанного будут использоваться следующие обозначение:

y_i - i-е (i = 1,n) наблюдение по результирующему показателю ?

z_ki - i-е наблюдение по k- му (k= 1,n) фактору.

Объем выборки N выбирается таким, чтобы все выборочные совокупности y_1, y₂, … y_N и z_k1, z _k2, … z_kN для каждого k-го (k = 1,n) фактора были репрезентативными, представительными относительно соответствующих им генеральных совокупностей.

Для проверки репрезентативности каждой из выборочных совокупностей

n ------- ------ -----

yi = Уyki , i = 1,N , z1i, i= 1,N, …. , zni , i = 1,N ,

k=1

используют следующее условие:

N ? x²_p S² / е² x² ,

где x_р - параметр нормального распределение вероятностей

xр

Ф(xр) = 1/ vр ? e- x2/2 dx

-?

Используя методы регрессионного анализа, на основе результатов наблюдении строят уравнение множественной регрессии (3).

Основные требования предъявляемые к функции (3)

· она должна удовлетворять критерии автокорреляции остатков

· она и ее частные производные по z_k (k = 1,n) должны быть непрерывными функциями.

В общем случае уравнения множественной регрессии строится с помощью метода Брандона в следующем виде:

n

? = y П fk(zk)

k=1

где y - среднее значение наблюдении по результирующему показателю y_i (i= 1,N)

f_k(z_k) - функция парной регрессии, построенная для выборочных совокупностей y_k-1,i и z_ki, k = 1,n , i = 1,N, причем выборочные совокупности y_ki, k = 0,n , i = 1,N, определяется соотношениями:

y0i = yi / y, y1i = y0i / f1(z1i) , y2i = y1i / f2(z2i) , , yni = yn-1,i / f n (zni) .

Для построения уравнении парной регрессии

?k = fk + 1( zk +1)

могут быть использованы следующие стандартные формы корреляционных зависимостей:

· линейная зависимость ? = a + bz;

· параболическая зависимость ?= a₀ + a₁z + a₂z² + …;

· степенная зависимость ? = az^b .

Оптимальное распределение заданных финансовых средств G между n независимыми параллельно выполняемыми проектами (бизнес - плана проектируемых КС) производятся по критерию достижения максимума результирующего показателя ? (суммарного дохода, суммарной прибыли) при ограничении на суммарную стоимость реализации всех проектов ? z_k ? G. Для решения указанной задачи используется метод множителя Лагранжа. В результате применения этого метода получают максимум функции:

?* = F (z₁*, z₂*, …, z_n*) (4)

Алгоритм используемого метода заключается в следующем:

1. Строится целевая функция Лагранжа

n

S = F (z1, z2, …, zn) + л( ? zk - G) ,

k=1

где л - неопределенный множитель Лагранжа.

2. Находятся частные производные от функции S по z_k (k = 1,n) и л :

dS / dz_k = dF / dz_k + л, k = 1,n ;

n

dS / dл = ? zk - G.

k =1

3. Решая систему нормальных уравнений

dF / dzk + л = 0, k = 1,n;

n

? zk - G = 0

k = 1

Относительно переменных z_k (k = 1,n) и л, находят оптимальное значение переменны, z_k = z_k*, k = 1,n при которых функции достигает максимума.

Полученные таким образом значения z₁*, z₂*, … , z_n* и составляют оптимальное распределение бюджета по критерию между n факторами , коррелированными с результирующим показателем . Ниже рассматриваются решения системы уравнения для ряда типовых примеров , наиболее часто встречающихся на практике.

3. Примеры решений системы уравнений, наиболее часто встречающихся на практике

Пример № 1

Оптимальное распределение заданных финансовых средств G между n независимыми проектами в случае, когда

n

? = П (ak+ bkzk).

k=1

1. Строят функцию Лагранжа и находят частные производные:

n

dS / dzk = bkП (aj + bkzk) +л, k = 1,n;

j = 1

n

dS / dл = ? zk - G.

k = 1

2. Решая первые уравнения системы нормальных уравнений

b1(a2+ b2z2)(a3+b3z3) . . .(an + bnzn) + л = 0,

b2(a1 +b1z1)(a3 +b3z3) . . .(an +bnzn) + л = 0 (1)

bn(a1+ b1z1)(a2 + b2z2) . . .(an-1 + bn-1zn-1) +л = 0,

n

? zk - G =0

k=1

относительно z_k (k = 1,n), по аналогии с рассмотренным выше примером получают

------

zk = z1* + Bk-1, k = 2,n где (2)

Bk-1= Bk-2 + ak-1 / ak-1 - ak / bk (B0 = 0)

3. Используя последнее уравнение системы находят:

z*1 = 1 /n (G - ? Bj - 1) (3)

j=2

Объединяя формулы (2) и (3) получают общую рекуррентную формулу для определения оптимального распределения заданных финансовых средств по независимым проектам:

n ------

zk* = 1 /n (G - ? Bj - 1) + ( 1 -дk1) B k-1, k=1,n,

j=2

где д_ki -- символ Кронера.

Пример №2

Оптимальное распределение заданных финансовых средств G по n проектам в случае, когда

n

? = П (ak + bklnzk).

k=1

1. Находим систему нормальных уравнений

b1 / z1 (a2+ b2lnz2) …(an + bnzn) + л = 0;

(a1 + b1lnz1) b2 / z2 ( a3 + b3lnz3) … ( an+ bnzn) + л = 0; (1)

…. .. . .. . . . . . . . . .. . .. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a1 + b1lnz1) … (a n-1 + bn-1 lnzn-1) bn / zn + л = 0;

n

? zk - G = 0.

k=1

2. Вычитая из первого уравнения системы его второе уравнение, затем из второго -- третье и т.д., получают систему уравнений

b1 / z1 (a2 + b2lnz2) = b2 / z2 (a1 + b1lnz1);

…. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

bn-1 / zn-1 (an + bnlnzn) = bn / zn (an-1 + b n-1 ln zn-1);

n (2)

? zk- G = 0.

k=1

3. Из первых n-1 уравнений системы следует , что при всех значениях k = 1,n справедливо равенство

z_k(a_k+b_klnz_k) / b_k = z_k+1(a_k+1+b_k+1lnz_{k +1}) / b_k+1.

Поэтому, принимая z_k(a_k+ b_klnz_k) / b_k = H, k = 1,n, можно при различных значениях коэффициента H найти с заданной точностью однозначно соответствующих им значении переменных z_k, k = 1,n.

Для выбора конкретного значения коэффициента H используется последнее уравнение системы.

Значение переменных z_k = z_k*, k = 1,n, найденные по соотношению при значении коэффициента H, удовлетворяющем последнему уравнению системы , и составляют оптимальное распределение заданных финансовых средств по независимым проектам.

Размещено на Allbest.ru