Размещено на http://www.allbest.ru/

ГОУ ВПО "ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РЕСПУБЛИКИ ДАГЕСТАН"

РЕФЕРАТ

на тему: Практический анализ временных рядов

Выполнила: Шайихова П.М.

3курс, 3гр.

Махачкала 2011



Содержание

Введение

Глава 1. Анализ временных рядов

1.1 Временной ряд и его основные элементы

1.2 Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

1.3 Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

1.4 Моделирование тенденции временного ряда

1.5 Метод наименьших квадратов

1.6 Два общих типа компонент временных рядов

1.7 Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация. Одномерные временные ряды



Введение

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. д. Все они изменяются во времени. С течением времени изменяются деловая активность, режим протекания того или иного производственного процесса, глубина сна человека, восприятие телевизионной программы. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение некоторого периода времени представляют собой временной ряд.

Совокупность существующих методов анализа таких рядов наблюдений называется анализом временных рядов.

Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности. Природа ряда и структура порождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования последовательности.

Цель работы состоит в получении модели для дискретного временного ряда во временной области, обладающей максимальной простотой и минимальным числом параметров и при этом адекватно описывающей наблюдения.

Получение такой модели важно по следующим причинам:

1) она может помочь понять природу системы, генерирующей временные ряды;

2) управлять процессом, порождающим ряд;

3) ее можно использовать для оптимального прогнозирования будущих значений временных рядов.

Временные ряды лучше всего описываются нестационарными моделями, в которых тренды и другие псевдоустойчивые характеристики, возможно меняющиеся во времени, рассматриваются скорее как статистические, а не детерминированные явления. Кроме того, временные ряды, связанные с экономикой, часто обладают заметными сезонными, или периодическими, компонентами; эти компоненты могут меняться во времени и должны описываться циклическими статистическими моделями.

В данной работе рассмотрена модель временного ряда, в которой на тренд накладывается случайная составляющая, образующая случайный стационарный процесс.



Глава 1. Анализ временных рядов

1.1 Временной ряд и его основные элементы

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

· факторы, формирующие тенденцию ряда;

· факторы, формирующие циклические колебания ряда;

· случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом процессе или явлении этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую долговременное совокупное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное влияние на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку деятельность ряда отраслей экономики и сельского хозяйства зависит от времени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой временного ряда.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Существуют две основные цели анализа временных рядов: определение природы ряда и прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям). Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача статистического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда.

Анамлиз временнымх рядомв -- совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования.

Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.



Пример временного ряда

Временные ряды состоят из двух элементов:

· периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;

· числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.

Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

· по форме представления уровней:

o ряды абсолютных показателей;

o относительных показателей;

o средних величин.

· по количеству показателей, для которых определяются уровни в каждый момент времени: одномерные и многомерные временные ряды;

· по характеру временного параметра: моментные и интервальные временные ряды. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени. Важная особенность интервальных временных рядов абсолютных величин заключается в возможности суммирования их уровней. Отдельные же уровни моментного ряда абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов;

· по расстоянию между датами и интервалами времени выделяют равноотстоящие - когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами и неполные (неравноотстоящие) - когда принцип равных интервалов не соблюдается;

· по наличию пропущенных значений: полные и неполные временные ряды;

· временные ряды бывают детерминированными и случайными: первые получают на основе значений некоторой неслучайной функции (ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах); вторые есть результат реализации некоторой случайной величины.

· в зависимости от наличия основной тенденции выделяют стационарные ряды - в которых среднее значение и дисперсия постоянны и нестационарные - содержащие основную тенденцию развития.

1.2 Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.

Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Y= T + S + E.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

Y = T*S*E.



Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений трендовой, циклической и случайной компонент для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2. Расчет значений сезонной компоненты;

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или мультипликативной модели;

4. Аналитическое выравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения тренда;

5. Расчет полученных по модели значений;

6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.



1.3 Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Авторегрессионная модель первого порядка во многих случаях является хорошим средством представления данных временного ряда; следовательно, форма автокорреляционной функции этой модели должна быть сравнима с формой расчетной автокорреляционной функции. Известно, что авторегрессионная модель первого порядка связана с автокорреляциями, которые быстро затухают при лагах более высокого порядка. Если в авторегрессионной модели первого порядка известна автокорреляция с лагом, равным 1, автокорреляция с лагом 2 равна квадрату автокорреляции с лагом 1, а автокорреляция с любым большим лагом равна автокорреляции с единичным лагом в k-й степени, где k -- величина лага.

Для представления некоторых данных лучше подходит другая полезная модель -- авторегрессионная модель второго порядка. Если эта модель лучше соответствует данным, чем авторегрессионная модель первого порядка, поведение во время t можно предсказать с меньшей погрешностью, используя информацию с запаздыванием на два шага в добавление к информации о среднем и замере с запаздыванием на один шаг.

Коэффициент автокорреляции отражает, в сущности, обычную корреляцию, вычисляемую между образующими временной ряд текущими и запаздывающими значениями зависимой переменной. Этот коэффициент является мерой линейной зависимости между наблюдениями, разделенными определенными временными интервалами, -- т. е. мерой линейной связи между смежными наблюдениями.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости её значений от величины лага (порядка коэффициента корреляции) называется коррелограммой, который имеет следующий вид:

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка f, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в f моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой, циклической, сезонной компонент.

1.4 Моделирование тенденции временного ряда

Модель временного ряда представляет собой уравнение, которое связывает наблюдение, полученное в некоторый конкретный момент времени, с наблюдениями, полученными ранее по той же или другим характеристикам изучаемой переменной.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Пусть имеются следующие фактические уровни ряда:

у₁, у₂, . . ., у_n.

Характер изменения этих уровней, то есть движения динамического ряда, может быть различным. Основное требование, предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней, должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

· линейный тренд: y_t = a₀ + a₁t;

· гипербола: y_t =a₀ + a₁/t;

· экспоненциальный тренд: y_t = e ^{a + bt} ;

· тренд в форме степенной функции: y_t = at^b;

· парабола второго и более порядков:

y_t = a₀ + a₁t + a₂ t ² + . . . +a_k t ^k .

Аналитическое выравнивание есть не что иное, как удобный способ описания эмпирических данных.

Общие соображения при выборе типа линии, по которой производится аналитическое выравнивание, могут быть сведены к следующим:

1) Если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу аналитического выравнивания, следует считать прямую линию:

y_t = a₀ + a₁ t,

где y_t считается как у, выровненный по t.

2) Если приросты приростов уровней, то есть ускорения, колеблются около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания, следует принять параболу второго порядка:



y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ² .

Показатели а₀, а₁ и а₂ представляют собой в каждом отдельном случае выравнивания постоянные величины, называемые параметрами: а₀ -начальный уровень; а₁ - начальная скорость ряда и а₂ - ускорение или вторая скорость.

3) Если уровни изменяются с приблизительно постоянным относительным приростом, то выравнивание производится по показательной (экспонентной функции):

y_t = a₀ a₁^t.

В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путём сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанным по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y _{t -1} тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов. При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения тенденции обычно осуществляется экспериментальным методом, то есть путём сравнения величины остаточной дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше данное уравнение подходит к исходным данным.



1.5 Метод наименьших квадратов

Для нахождения аналитического уравнения, по которому производится выравнивание уровней временного ряда, применяют различные способы. Один из таких способов - метод наименьших квадратов - основан на требовании о том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выровненных была наименьшей:

(у₁ - у₁)² + (у₂ - у₂)² + . . . + (у_n - y_n)² = S.

S должно быть наименьшим (минимальным)

Принцип, положенный в основу метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом математическом виде следующим образом:

(y - y_t)² = min.

Косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов.

Одна из проблем связана с наличием априорных ограничений на оцениваемые параметры. Например, доход домохозяйства может быть потрачен либо на потребление, либо на сбережение. Значит, сумма долей этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать независимо. Возникает мысль оценить их методом наименьших квадратов, не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Такой подход называют косвенным методом наименьших квадратов.

Двухшаговый метод наименьших квадратов состоит в том, что оценивают параметры отдельного уравнения системы, а не рассматривают систему в целом. В то же время трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а затем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей. После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

1.6 Два общих типа компонент временных рядов

Большинство регулярных составляющих временных рядов принадлежит к двум классам: они являются либо трендом, либо сезонной составляющей. Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться во времени. Сезонная составляющая - это периодически повторяющаяся компонента. Оба эти вида регулярных компонент часто присутствуют в ряде одновременно. Например, продажи компании могут возрастать из года в год, но они также содержат сезонную составляющую (как правило, 25% годовых продаж приходится на декабрь и только 4% на август).

временной ряд аддитивный автокорреляция

Эту общую модель можно понять на "классическом" ряде - Ряд G, представляющем месячные международные авиаперевозки (в тысячах) в течение 12 лет с 1949 по 1960. График месячных перевозок ясно показывает почти линейный тренд, т.е. имеется устойчивый рост перевозок из года в год (примерно в 4 раза больше пассажиров перевезено в 1960 году, чем в 1949). В то же время характер месячных перевозок повторяется, они имеют почти один и тот же характер в каждом годовом периоде (например, перевозок больше в отпускные периоды, чем в другие месяцы). Этот пример показывает довольно определенный тип модели временного ряда, в которой амплитуда сезонных изменений увеличивается вместе с трендом. Такого рода модели называются моделями с мультипликативной сезонностью.

Анализ тренда

Тренд (от англ. Trend -- тенденция) -- долговременная тенденция изменения исследуемого временного ряда. Тренды могут быть описаны различными уравнениями -- линейными, логарифмическими, степенными и т. д. Фактический тип тренда устанавливают на основе подбора его функциональной модели статистическими методами либо сглаживанием исходного временного ряда. Под трендом понимают зависимость от времени линейного, квадратичного или иного типа, которую выявляют тем или иным способом сглаживания либо расчетным путем, в частности, с помощью метода наименьших квадратов. Не существует "автоматического" способа обнаружения тренда во временном ряде. Однако если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то анализировать такой ряд обычно нетрудно. Если временные ряды содержат значительную ошибку, то первым шагом выделения тренда является сглаживание.

Сглаживание. Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания - скользящее среднее, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним n соседних членов, где n - ширина "окна". Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в окно. Основное преимущество медианного сглаживания, в сравнении со сглаживанием скользящим средним, состоит в том, что результаты становятся более устойчивыми к выбросам (имеющимся внутри окна). Таким образом, если в данных имеются выбросы (связанные, например, с ошибками измерений), то сглаживание медианой обычно приводит к более гладким или, по крайней мере, более "надежным" кривым, по сравнению со скользящим средним с тем же самым окном. Основной недостаток медианного сглаживания в том, что при отсутствии явных выбросов, он приводит к более "зубчатым" кривым и не позволяет использовать веса. Относительно реже, когда ошибка измерения очень большая, используется метод сглаживания методом наименьших квадратов, взвешенных относительно расстояния или метод отрицательного экспоненциально взвешенного сглаживания. Все эти методы отфильтровывают шум и преобразуют данные в относительно гладкую кривую. Ряды с относительно небольшим количеством наблюдений и систематическим расположением точек могут быть сглажены с помощью бикубических сплайнов. Подгонка функции. Многие монотонные временные ряды можно хорошо приблизить линейной функцией. Если же имеется явная монотонная нелинейная компонента, то данные вначале следует преобразовать, чтобы устранить нелинейность. Обычно для этого используют логарифмическое, экспоненциальное или полиномиальное преобразование данных.

Анализ сезонности

Периодическая и сезонная зависимость (сезонность) представляет собой другой общий тип компонент временного ряда. Это понятие было проиллюстрировано ранее на примере авиаперевозок пассажиров. Можно легко видеть, что каждое наблюдение очень похоже на соседнее; дополнительно, имеется повторяющаяся сезонная составляющая, это означает, что каждое наблюдение также похоже на наблюдение, имевшееся в том же самом месяце год назад. В общем, периодическая зависимость может быть формально определена как корреляционная зависимость порядка k между каждым i-м элементом ряда и (i-k)-м элементом. Ее можно измерить с помощью автокорреляции, k обычно называют лагом (иногда используют эквивалентные термины: сдвиг, запаздывание). Если ошибка измерения не слишком большая, то сезонность можно определить визуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые k временных единиц.

Автокорреляционная коррелограмма. Сезонные составляющие временного ряда могут быть найдены с помощью коррелограммы. Коррелограмма (автокоррелограмма) показывает численно и графически автокорреляционную функцию (AКФ), иными словами коэффициенты автокорреляции (и их стандартные ошибки) для последовательности лагов из определенного диапазона (например, от 1 до 30). На коррелограмме обычно отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, однако обычно величина автокорреляции более интересна, чем ее надежность, потому что интерес в основном представляют очень сильные автокорреляции. Исследование коррелограмм. При изучении коррелограмм следует помнить, что автокорреляции последовательных лагов формально зависимы между собой. Рассмотрим следующий пример. Если первый член ряда тесно связан со вторым, а второй с третьим, то первый элемент должен также каким-то образом зависеть от третьего и т.д. Это приводит к тому, что периодическая зависимость может существенно измениться после удаления автокорреляций первого порядка, т.е. после взятия разности с лагом 1.



Частные автокорреляции. Другой полезный метод исследования периодичности состоит в исследовании частной автокорреляционной функции (ЧАКФ), представляющей собой углубление понятия обычной автокорреляционной функции. В ЧАКФ устраняется зависимость между промежуточными наблюдениями (наблюдениями внутри лага). Другими словами, частная автокорреляция на данном лаге аналогична обычной автокорреляции, за исключением того, что при вычислении из нее удаляется влияние автокорреляций с меньшими лагами. На лаге 1 (когда нет промежуточных элементов внутри лага), частная автокорреляция равна, очевидно, обычной автокорреляции. На самом деле, частная автокорреляция дает более "чистую" картину периодических зависимостей.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило - максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Удаление периодической зависимости. Как отмечалось выше, периодическая составляющая для данного лага k может быть удалена взятием разности соответствующего порядка. Это означает, что из каждого i-го элемента ряда вычитается (i-k)-й элемент. Имеются два довода в пользу таких преобразований. Во-первых, таким образом можно определить скрытые периодические составляющие ряда. Напомним, что автокорреляции на последовательных лагах зависимы. Поэтому удаление некоторых автокорреляций изменит другие автокорреляции, которые, возможно, подавляли их, и сделает некоторые другие сезонные составляющие более заметными. Во-вторых, удаление сезонных составляющих делает ряд стационарным, что необходимо для применения АРПСС и других методов, например, спектрального анализа.



1.7 Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация. Одномерные временные ряды

Характеристики временных рядов. Для более подробного изучения временных рядов используются вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд X(t) рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем) основными характеристиками являются математическое ожидание X(t), т.е.

,

дисперсия X(t), т.е.

и автокорреляционная функция временного ряда X(t)

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда X(t) и X(s).

В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. Выделим сначала стационарные модели. В них совместные функции распределения для любого числа моментов времени k, а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем. В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t-s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными.

Под временным рядом понимают упорядоченную во времени последовательность значений одной или конечного множества случайных величин. В первом случае говорят об одномерном временном ряде, во втором - о многомерном временном ряде. Здесь будут рассматриваться только одномерные временные ряды. Одномерный временной ряд называется стационарным, если его вероятностные характеристики постоянны. Временной ряд называется нестационарным, если хотя бы одна из вероятностных характеристик непостоянна. Последовательность случайных величин у₁, у₂, . . . или у_-1, у₀, у₁, . . называется случайным процессом с дискретным параметром времени.

Поскольку важна последовательность во времени появления следующего значения временного ряда, а не конкретное значение времени появления, то во временных рядах в качестве аргумента используют номер отсчета значения временного ряда. Например:

x(1), x(2), ... ,x(k), ...

где x(k) - значение временного ряда в k-том по порядку наблюдении; k - номер наблюдения.

В большинстве практических приложений рассматривают стационарные и нестационарные по математическому ожиданию временные ряды с нормальным законом распределения значений ряда. Это означает, что:

стационарный ряд: x(k) є ( µ, у² ) , µ = const, у² = const;

нестационарный ряд: x(k) є ( µ, у² ) , µ = var, у² = const.

Ниже приведена реализация стационарного временного ряда:



Прогнозируемость временного ряда.

Для прогнозирования временного ряда необходимо построить его модель. Прогнозируемость ряда возможна лишь тогда, когда существует вероятностная (аналитическая) связь последующих значений ряда от предыдущих. Прогнозируемость стационарного временного ряда определяется с помощью автокорреляционной функции (АКФ):

с(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/у²

где: с(m) - значение автокорреляционной функции на сдвиге m временного ряда x(k)

Оценки АКФ ряда имеют вид:

Очевидно, что с(0) = 1, поскольку это корреляция временного ряда на самого себя.

Стационарный временной ряд прогнозируем, если m>0 существует с(m) ? 0.

Стационарный временной ряд непрогнозируем, если для любого m>0 с(m) = 0. Такой ряд называют "белым шумом".

Поскольку, АКФ это значения коэффициентов корреляции, то она является функцией неслучайных значений.

Оценивание АКФ осуществляется по реализации временного ряда. Если реализация содержит n значений, то оценка автокорреляционной функции имеет вид:

где: r(m) - оценка АКФ; x - среднее значение реализации временного ряда; S² - оценка дисперсии реализации временного ряда.

При проверке прогнозируемости временного ряда длина реализации должна быть не менее 20 - 30 наблюдений.

Следует обратить внимание, что прогнозирование временных рядов рассмотренным методом предполагает выполнение двух условий:

1. Случайная величина е(k) "белого шума", как составляющая моделей, должна подчиняться нормальному закону распределению с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией у_е² .

2. Дисперсия "белого шума" у_е² должна быть величиной постоянной.

Формула вычисления прогноза имеет вид:

x(k) = 27,2661 - 0,900766*[x(k-1) - x(k-1)]

где x(k) - прогноз по модели k-го значения временного ряда.

Идентификация модели стационарного временного ряда

Идентификация модели. Для прогнозирования будущих показателей на основе имеющихся временных рядов необходимо идентифицировать модель, которая наилучшим образом описывает процесс порождения выборочного временного ряда. Для идентификации такой модели можно воспользоваться расчетной автокорреляционной функцией. Из множества моделей для описания динамики временных рядов чаще всего используются три: модель белого шума, авторегрессионная модель первого порядка и авторегрессионная модель второго порядка. Если расчетная автокорреляционная функция представляет собой совокупность незначимых автокорреляций, это явное указание на то, что изменчивость данного времени n-ого ряда лучше всего охарактеризовать как "белый шум", или случайные флуктуации.

Основная идея, лежащая в основе идентификации модели временного ряда, остается одной и той же и для простых, и для сложных моделей: соответствие структуры наблюдаемых данных известной структуре, связываемой с определенным классом моделей. После того как модель предварительно идентифицирована, производится оценка ее параметров.

Диагностическая проверка. Так как в основе идентификации модели временного ряда лежит до некоторой степени субъективная процедура, иногда рекомендуется оценить адекватность идентифицированной модели путем проверки значимости автокорреляционной функции остатков данной модели. Это целесообразно, поскольку остатки модели временного ряда не являются автокоррелированными.

Однако автокорреляционная функция стационарного временного ряда не позволяет однозначно идентифицировать модель ряда. Это возможно с использованием второй дополнительной функции - частной автокорреляционной функции (ЧАКФ). Значения ЧАКФ - это значение m-го коэффициента в представлении временного ряда процессом авторегрессии порядка m. Пусть имеется стационарный временной ряд x(k). Рассмотрим следующие представления временного ряда через процесс авторегрессии:



x(k) - м = a₁₁*[x(k-1) - м]

x(k) - м = a₁₂*[x(k-1) - м] + a₂₂*[x(k-2) - м]

x(k) - м = a₁₃*[x(k-1) - м] + a₂₃*[x(k-2) - м] + a₃₃*[x(k-3) - м]

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x(k) - м = a₁*[x(k-1) - м] + a₂*[x(k-2) - м] + a₃₃*[x(k-3) - м] + ... + a_mm*[x(k-m) - м]

Значениями ЧАКФ для сдвигов 1, 2, 3, ..., m являются значения коэффициентов: a₁₁, a₂₂, a₃₃, ..., a_mm. График ЧАКФ может иметь вид:

После оценивания ЧАКФ необходимо для каждого m проверить гипотезу о равенстве нулю соответствующего коэффициента частной автокорреляции. В программах статистической обработки данных для каждого из коэффициентов вычисляются критические значения, которые на графике оценки ЧАКФ приобретают вид контрольных границ.

При идентификации модели как правило пользуются следующими правилами:

1. Если h первых значений АКФ отличны от нуля, а ЧАКФ по модулю асимптотически стремится к нулю, то имеет место процесс АРСС(0,h) - скользящего среднего порядка h.

2. Если h первых значений ЧАКФ отличны от нуля, а АКФ по модулю асимптотически стремится к нулю, то имеет место процесс АРСС(h,0) - авторегрессии порядка h.

3. Если значения АКФ и ЧАКФ по модулю асимптотически стремятся к нулю, то имеет место смешанный процесс АРСС(p,q).



Заключение

Для временных рядов главный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию можно получить и непосредственно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономических законов и проверяя различные гипотезы. Построенная модель может использоваться для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.



Список литературы

· Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. -- М.: Юнити-Дана, 2001. -- 432 с.

· Бородич С.А. Эконометрика/Учебное пособие для ВУЗов.-Мн.: Новое знание ,2004.

· Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования: Учеб. пособие. -- 2-е, исправленное. -- М.: КомКнига, 2006. -- 432 с. Берндт Э. Практика эконометрики: классика и современность. -- М.: Юнити-Дана, 2005. -- 848 с.

· Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ.. -- М.: ИНФРА-М, 1999. -- 402 с.

· Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. -- М.: Юнити-Дана, 2003-2004. -- 311 с.

· Леонтьев В.В. Экономические эссе. Теория, исследования, факты и политика: Пер. с англ.. -- М.: Политиздат, 1990. -- 324 с.

· Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. -- М.: Дело, 2007. -- 504 с.

· Моргенштерн О. О точности экономико-статистических наблюдений. -- М.: Статистика, 1968. -- 324 с.

· Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия. -- Новосибирск: СО РАН, 2005. -- 744 с.

Размещено на Allbest.ru