Экономико-математические методы моделирования производственных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Экономико-математические методы

Задание 1

Производственные функции

1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

Пусть для производства некоторого продукта в количестве y единиц используются различные ресурсы: х₁, х₂, …, х_n, выраженные в соответствующих им единицах. Если понята закономерность получения продукта у из ресурсов (х₁, х₂, …, х_n), т.е. если в явном виде выражена зависимость у = f(х₁, х₂, …, х_n), то такая функция f(х₁, х₂, …, х_n) называется производственной.

Пусть зафиксировано некоторое число у₀. Множество в n - мерном пространстве, определяемое равенством = {f(х₁, х₂, …, х_n) = y₀}, называется изоквантой функции f(х₁, х₂, …, х_n) уровня y₀.

Из самого определения изокванты следует, что если , , то ресурсы и обеспечивают производство одного и того же количества продукта y₀, т.е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать увеличением других.

2. Производственная функция для райпо имеет вид f(x₁,x₂)= 10*(х₁)^1/2*(х₂)^1/2 , где f - товарооборот, млн. руб.; x₁ - производственная площадь, тыс.кв.м; x₂ - численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня y₀ = (100+б)^1/2 и найдите на ней точку с координатами С₁ с координатами x₁,x₂, где x₁= (б-100)/100, и точку С₂ с координатами x₁,x₂, где x₁= (б-300)/100. Сделайте вывод о возможности замены ресурсов (x₁,x₂) и (x₁,x₂). Полученные результаты изобразите графически.

Решение:

Число б=591.

Тогда уравнение изокванты

10 (х₁)^1/2*(х₂)^1/2=(691)^1/2 y₀=(100+591)^1/2

Возводя обе части в квадрат и деля их на 100, получим:

x₁*x₂=6,91

Найдем координаты точки С₁. Так как х₁=(591-100)/100=4,91, то из уравнения изокванты находим х₂=6,91/4,91=1,41 Аналогично находим координаты точки С₂. Так как х₂=(591-300)/100=2,91, то х₁=6,91/2,91=2,37.

Итак, 141 работников райпо, используя 6,91 тыс. кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот ? 26,3 (млн. руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 291 работника, используя площадь 2,37 тыс. кв. метров.

Задание 2

Классификация товаров

1. Дайте понятие малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары называются взаимозаменяемыми?

Обозначим = (у₁,у₂,…,у_n) - спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и = (р₁,р₂,…,р_n) - цены на эти товары, т.е. р_i - цена на i-й товар; y_i - спрос на i-й товар.

Величина является математической идеализацией процентного изменения спроса на i-й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.

Эластичность при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены на этот же товар.

Эластичность при i ? j называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.

Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:

1) если | | < 1, то i-й товар называется малоэластичным;

2) если | | = 1, то i-й товар называется среднеэластичным;

3) если | | > 1, то i-й товар называется высокоэластичным;

4) если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми. Типичный пример таких товаров: сливочное масло и маргарин.

2. Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

Товар	1й	2й	3й
1й	(б-610)/100	(550,5-б)/100	(570,5-б)/100
2й	(550,5-б)/120	(б-640)/100	(520,5-б)/100
3й	(570,5-б)/120	(520,5-б)/90	(б-680)/100

Решение

Число б=591. Тогда таблица эластичностей принимает вид:

Товар	1й	2й	3й
1й	-0,190	-0,405	-0,205
2й	-0,338	-0,490	-0,705
3й	-0,171	-0,783	-0,890

Так как | е₁₁ | = 0,190 < 1 то первый товар малоэластичный;

так как | е₂₂ | = 0,490 = 1, то второй товар среднеэластичный;

так как | е₃₃ | = 0,890 = 1, то второй товар среднеэластичный;

Поскольку е₁₂ = -0,405 < 0 и е₂₁ = -0,338 < 0, то 1-й и 2-й товары взаимодополняемые.

Поскольку е₁₃ = 0,205 < 0 и е₃₁ = 0,171 < 0, то 1-й и 3-й товары взаимодополняемые.

Поскольку е₂₃ = -0,705 < 0 и е₃₂ = -0,783 < 0, то 2-й и 3-й товары взаимодополняемые.

Задание 3

Межотраслевой баланс

1. Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?

Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы материального производства. Каждая из отраслей производит один агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями обозначим х₁, х₂, …, х_n. Вся продукция х_i отрасли i, i=1,2,…,n, делится на промежуточную Z_i и конечную y_i. Промежуточную продукцию потребляют в процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы материального производства и предназначается для непроизводственного потребления.

На основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно составить межотраслевой баланс. Обозначим х_ij - объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления

Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.

Используя систему уравнений межотраслевого баланса при известном плановом значении конечной продукции у отраслей, можно вычислить плановое производство валовой продукции х этих отраслей.

2. За отчетный период имел место следующий баланс продукции:

х₁=х₁₁+х₁₂+у₁

х₂=х₂₁+х₂₂+у₂

х₁₁=800-б х₁₂=700-б

х₂₁=750-б х₂₂=850-б

у₁=300 у₂=220

а) Вычислите коэффициенты прямых затрат

б) Вычислите плановый объем валовой продукции отраслей, если план выпуска конечной продукции у^П₁=350; у^П₂=250 при условии неизменности технологии производства.

Решение:

При б=591

х₁₁ = 800-591 = 209 х₁₂ = 700-591 = 109

х₂₁ = 750-591 = 159 х₂₂ = 850-591 = 259

х₁ = 209+109+300 = 754

х₂ = 159+259+220 = 774

а) Вычислим коэффициенты прямых затрат.

а₁₁ =х₁₁/х₁ = 209/754 = 0,277 а₁₂ =х₁₂/х₁ = 109/774 = 0,141

а₁₁ =х₂₁/х₁ = 159/754 = 0,211 а₁₂ =х₂₂/х₁ = 259/774 = 0,335

б) Вычислим плановый объем валовой продукции отраслей.

(1-0,277)*х₁ - 0,141*х₂ = 350

-0,277*х₁ + (1 - 0,335)*х₂ = 250

0,723*х₁ - 0,141*х₂ = 350

-0,277*х₁ + 0,665*х₂ = 250

Выразим из первого уравнения х₁:

0,723*х₁ = 350 + 0,141*х₂

х₁ = 484,094 + 0,195*х₂

и подставим во второе уравнение:

-0,277*(484,094 + 0,195*х₂) + 0,665*х₂ = 250

-134,09 - 0,054*х₂ + 0,665*х₂ = 250

0,611*х₂ = 250 + 134,09

0,611*х₂ = 384,09

х₂ = 628,63

х₁ = 484,094 + 0,195*628,63 = 484,094 + 122,583 = 606,68

Таким образом,

х^П₁ = 606,68 - плановый объем валовой продукции первой отрасли;

х^П₂ = 628,63 - плановый объем валовой продукции второй отрасли

Задание 4

Системы массового обслуживания (СМО)

1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?

К системам массового обслуживания относятся магазины, рестораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно представить в следующем виде:

Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина Х с показательным законом распределения, т.е. интегральная функция F(t) имеет вид:

F(t)=1-l^-лt, t ? 0.

Число л (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в порядке поступления.

Для обслуживания примем предположения, что все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:

F(t)=1-l^-мt, t?0.

Число м (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания, и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.

При сформулированных предположениях можно рассчитать некоторые экономические показатели работы СМО, такие, например, как Р_к - доля времени работы К - каналов, К = 0,1,…,n; L - средняя длина очереди и другие. Формулы для вычисления р₀,…,р_n, L в общем случае довольно громоздки.

2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью м = (б+300)/100 (треб./мин.). Входящий поток требований имеет интенсивность л = (б+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной л = (700-б)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

Решение:

Пусть. б = 591, то м = 8,91 (треб./мин.), а первоначальное значение л равно 9,91 (треб./мин.).

б = 9,91/8,91 = 1,112 р₀ = (2-1,112)/(2+1,112) = 0,285 (р₀ = 28,5%)

L₁ = (1,112)³/4-(1,112) = 1,375/2,888 = 0,476 (треб.)

Если интенсивность л станет равной (700-591)/10 = 10,9 (треб./мин.), то в силу неравенства 10,9 < 2*8,91 условие стационарности СМО выполнено(л < м·n), следовательно среднюю длину очереди:

б = 10,9/8,91 = 1,223

L₁ = (1,223)³/4-(1,223) = 1,829/2,777 = 0,659 (треб.)

L₁/L₂ = 0,659/0,476 = 1,384

Итак, при интенсивности обслуживания м=8,91 (треб./мин.) и интенсивности входа л=9,91 (треб./мин.) доля времени простоя касс составляет 28,5% времени, а средняя длина очереди равна 0,476 (треб.).

Если же интенсивность входа станет равной 10,9 треб./мин., то средняя длина очереди увеличиться в 1,384 раза.

Задание 5

Оптимальное управление запасами

1. Сформулируйте задачу оптимального управления запасами.

Задача оптимального управления запасами будет формулироваться следующим образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него.

2. Дайте экономическую интерпретацию предельной арендной платы.

Экономически л интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата б меньше либо равна предельной л , т.е. б?л, то аренда выгодна и объем заказываемой партии вычисляется по формуле . Если же б > л, то аренда невыгодна и тогда объем заказа надо уменьшать, и он рассчитывается в этом случае по формуле , где

С_x - затраты на хранение единицы товара в единицу времени;

С_з - затраты на заказ партии товара;

r - норма спроса;

k - темп поступления заказанного товара;

Q - емкость склада;

u - количество товара, размещаемого в единице емкости склада.

3. Сделайте вывод о целесообразности аренды дополнительных складских емкостей или о необходимости сокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складских емкостей при сравнении фактической б и предельной л арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

б = (700-б)/4000 л = (б-400)/4000

Решение:

При б=591, б = 0,02725 л = 0,04775

б > л

Вывод: фактическая арендная плата ниже предельной арендной платы. Следовательно, аренда дополнительных складских емкостей выгодна, и тогда объем заказываемой партии надо увеличить до таких пределов, чтобы возникший товарный запас можно было разместить в имеющихся складских емкостях.

Задание 6

Использование метода теории игр в торговле

1. Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегий с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма.

Рассмотрим проблему уценки неходового товара с целью получения возможно большей выручки от реализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости от цены неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок на то или иное снижение цены.

Иными словами, нужно принять решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать методы теории игр. Обозначим А₁,А₂,…,А_m - стратегии снижения цены на товар на б₁%, б₂%,…, б_m% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности е₁, е₂,…, е_n. Если выбрать определенную стратегию А_i и знать эластичность товара е_j, то, используя еще некоторые величины, можно подсчитать выручку от реализации товара a_ij. Проделав это для всех А_i и для всех е_j, получим платежную таблицу:

Стратегия снижения цены	е1	е2	…	еj	…	еn
A1	a11	a12	…	a1j	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2j	…	a2n
...
Ai	ai1	ai2	…	aij	…	ain
...
Am	am1	am2	…	amj	…	amn

В таблице представлен подробный перечень различных ситуаций. Для принятия решения можно использовать следующие способы.

Подход с позиции крайнего пессимизма

Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии A_i эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка б_i будет минимально возможной, т.е.

б_i = min (б_i1, б_i2,…, б_im).

Вычислив все величины б_i (б_i1, б_i2,…, б_im), нужно взять наибольшую из них б:

б = max(б_i).

Та стратегия, которая соответствует числу б, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая стратегия есть наилучший выбор из плохих ситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы не сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем б.

Подход с позиции крайнего оптимизма

Он заключается в том, чтобы считать при выборе любой стратегии A_i эластичность будет наиболее благоприятной и выручка в_i наибольшая, т.е.

в_i= max(в_i1, в_i2,…, в_im).

Вычислив все в_i, нужно взять наибольшую из них:

в=max(в_i).

Та стратегия, которая соответствует величине в, и есть искомая.

Подход с позиции пессимизма- оптимизма

Рассмотрим величину Н:

Н = max[(1-л) б_i+л в_i],

где л - числовой параметр, 0 < л < 1.

Предполагается выбирать стратегию, соответствующую величину Н.

При л = 0: Н = max б_i = б, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма.

При л=1: Н = max в_i = в, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма.

Вообще, величина Н при изменении л от 0 до 1 непрерывно изменяется от б до в, и выбор некоторого промежуточного л соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, л=0,5 и вычислим

г_i=,

а затем выберем наибольшее из них

г=max(г_i).

Стратегию, на которой достигается величина г, будем называть соответствующей подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

2. Выберите стратегии позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма для следующей платежной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.

А е	е1	е2	е3
А1	б-490	б-480	620-б
А2	610-б	620-б	630-б
А3	[550-б]+10	[560-б]+10	640-б

Решение:

Для числа б=591 таблица приобретает вид:

А е	е1	е2	е3
А1	101	111	29
А2	19	29	39
А3	51	41	49

Выберем по каждой строке таблицы минимальное из чисел б_i, максимальное в_i, а затем вычислим их полу сумму ?_i.

А е	е1	е2	е3	б	в	?
А1	101	111	29	29	111	70
А2	19	29	39	19	39	29
А3	51	41	49	41	51	46

Получим:

б = max(б ₁, б ₂, б ₃) = max (29,19,41) = 41;

в = max(в ₁, в ₂, в ₃) = max(111,39,51) = 111;

? = max(? ₁, ? ₂, ? ₃ ) = max(70,29,46) = 70.

Так как б = 41и это число находится в строке, соответствующей А₃, то А₃ - стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 41 единицам. Так как в =111 и это число находится в строке, соответствующей А₁, то А₁ - стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 111 единицам. Так как ? = 70 и это число находится в строке, соответствующей А₁, то А₁ - стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 70 единицам.

Задание 7

Выборочный метод

1. Дайте понятия генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральной совокупностью называется множество однородных объектов, изучаемых относительно некоторого количественного признака или группы признаков. Количество объектов в этой совокупности называют объемом генеральной совокупности, при этом предполагается, что признак Х имеет значение х₁, х₂,…х_m для каждого из N элементов совокупности.

Зачастую изучение всей генеральной совокупности объектов относительно определенного признака по ряду причин обусловлено большими трудностями или вообще невозможно. Тогда изучение осуществляется на основе выборочной совокупности, которая формируется из генеральной отбором объектов случайным образом. Объем n выборочной совокупности существенно меньше объема N генеральной совокупности.

2. Определите соотношения между доверительными интервалами:

а) при фиксированных значениях среднеквадратического отклонения б, надежности Р и различных значениях объема выборки

n₁=610-б, n₂=б-490;

б) при фиксированных значениях среднеквадратического отклонения б, объема выборки n и различных значениях надежности

р₁ = (800-б)/400 р₂ = (б-300)/400

в) при фиксированных значениях надежности Р, объема выборки n и различных значениях среднеквадратического отклонения

б₁ = (700-б)/100 б₂ = (б-400)/100

Решение:

а) при д=591:

n₁=610-591=19, n₂=591-490=101;

Объемы выборок находятся из соотношения n₁ < n₂. Тогда из формулы нахождения погрешности следует, что при уменьшение объема выборки n значение Д уменьшается и Д₁ > Д₂, т.е. доверительный интервал, соответствующий объему выборки n₁=19, будет больше доверительного интервала, соответствующего объему выборки n₂=101.

б) р₁ = (800-591)/400= 0,5225 р₂ = (591-300)/400=0,7275

р₁ < р₂

Из формулы нахождения погрешности следует, что при уменьшении надежности Р значение Д уменьшается, так как уменьшается значение функции Стьюдента t_p(n). Следовательно, Д₁ < Д₂, т.е. доверительный интервал, соответствующий надежности Р₁ = 0,5225, будет меньше доверительного интервала, соответствующего надежности Р₂ = 0,7275.

в) б₁ = (700-591)/100=1,09 б₂ = (591-400)/100=1,91

Из формулы нахождения погрешности следует, что при уменьшении среднеквадратического отклонения значение Д уменьшается. Следовательно, Д₁ < Д₂, т.е. доверительный интервал, соответствующий среднеквадратическому отклонению б₁ = 1,09, будет меньше доверительного интервала, соответствующего среднеквадратическому отклонению б₂ = 1,91.

Задание 8

Корреляционные методы

1. Дайте понятия функциональной и корреляционной зависимостей.

Функциональная зависимость - это такая связь между результативными и факторными признаками, когда значение результативного признака-функции полностью определяется значениями факторных признаков. Если на результативный признак влияет один фактор Х, то его называют функцией одного аргумента у(х), если факторных признаков много, например х₁,х₂,…,х_n, то получаем функцию многих переменных.

Общим для всех функциональных зависимостей является то, что каждому значению факторного признака х соответствует вполне определенное и единственное значение результативного признака у.

Связь между экономическими показателями обычно нельзя считать функциональной, и значения факторных признаков полностью не определяет значения результативного признака. Для таких сложных случаев нефункциональной связи признаков в математике разработаны методы более общих зависимостей - корреляционных, для которых функциональная зависимость является лишь предельным частным случаем.

Корреляционная зависимость - это такая связь между признаками, когда определенным значениям факторных признаков соответствует множество случайных значений результативного признака.

2. Коэффициент корреляции. Его смысл и свойства.

Особое место в анализе взаимосвязей между результативным и факторными признаками занимает выявление тесноты связи между ними, которая характеризуется при линейной корреляционной связи коэффициентом корреляции r. Он рассчитывается по формуле , где у_х, у_у - среднеквадратические отклонения факторного х и результативного у признаков.

Если r = 1, то все точки (х_i,у_i) расположены на прямой и связь между признаками у и х самая сильная - функциональная. Если r > 0, то связь называют прямой, т.е. с возрастанием значения факторного признака возрастает значение результативного. При r < 0 - связь обратная, т.е. с возрастанием значения факторного признака значение результативного убывает. Таким образом, знак определяет направление связи (прямая, обратная). При r = 0 признаки у и х называют некоррелированными. Степень тесноты связи, характеризуемой коэффициентом корреляции, отражена в таблице:

изокванта взаимозаменяемость обслуживание запас торговля

Величина (r)	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Теснота связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Высокая	Весьма высокая

3. Оцените тесноту связи и направление связи между признаками х и у, если известны: b - коэффициент регрессии, б_х, б_у - среднеквадратические отклонения признаков х и у.

Решение:

Направление и теснота связи между признаками х и у оцениваются на основе коэффициента корреляции, который рассчитывается по формуле:

r = b * б_х/б_у

В данном случае при б = 591

b = (-1)⁵⁹¹*(650-591)/300 = -59/300=-0,197

б_х=(700-591)/100=1,09

б_у=(591-400)/100=1,91

r = (-0,197)*1,09/1,91=-0,112

Коэффициент корреляции показывает, что связь между признаками х и у слабая и обратная, то есть с уменьшается значения факторного признака х увеличивает значение результативного признака у.

Размещено на Allbest.ru