Модель Курно

Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном предположении о функции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных результатов при отказе от итого предположения.

1.2.1 Существование равновесия

Прежде обсудим условия на функции издержек и функции спроса, при которых равновесие Курно существует.

Теорема 3

Предположим, что в модели Курно выполнены следующие условия:

1) функции издержек дифференцируемы при всех возможных объемах выпуска (неотрицательных у),

2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает при всех неотрицательных у,

3) функция вогнута по у при любом ,

4) функции издержек выпуклы (функции предельных издержек не убывают),

5) существуют j=1,…,n такие, что при

Тогда равновесие Курно существует, причем (Условия данной теоремы гарантируют нам существование равновесия Нэша-Курно в чистых стратегиях.)

Доказательство.

Предположим, что при любых (разумных) ожиданиях относительно выпуска конкурентов ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем . Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным множеством. При доказательстве удобно учитывать, что для каждой фирмы j суммарный выпуск других фирм есть константа, поэтому задача максимизации прибыли по сводится к максимизации прибыли по Y при ограничении .

Сам факт существования равновесия, хоть и повышает доверие к модели Курно, но мало полезен для анализа олигополистического рынка. Без информации, характеризующей равновесие, модель Курно, как и любая модель, оказывалась бы мало пригодной. Следующие далее утверждения позволяют сравнить равновесие Курно с монопольным равновесием и равновесием в ситуации совершенной конкуренции.

1.2.2 Сравнение c равновесием при совершенной конкуренции

Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства в отрасли при разных типах ее организации.

Теорема 4

(i) Предположим, что равновесие Курно, , и равновесие при совершенной конкуренции, , существуют, и обратная функция спроса р(у) убывает.

Тогда суммарный выпуск в равновесии Курно, не превышает суммарный выпуск в условиях совершенной конкуренции,

(ii) Если, кроме того, выполнены следующие условия:

- ,

- обратная функция спроса, p(y), и функции издержек, дифференцируемы при всех неотрицательных y, причем

- функции издержек, , выпуклы, то меньше .

Доказательство.

(i) Поскольку выпуск максимизирует прибыль j-ого производителя в предположении что суммарный объем производства остальных равен , то должно выполняться неравенство:

С другой стороны, дает j-му производителю максимум прибыли в предположении, что цена неизменна и равна , поэтому:

Если сложить эти два неравенства, то получается

(*)

Предположим, что существует такая фирма j, которая в равновесии Курно производила бы больше, чем в конкурентном равновесии: .

При убывающей функции спроса из этого неравенства следует что

Поскольку , то из этого следует, что

Сложив это неравенство с неравенством (*), получим:

или

Поскольку мы предположили, что , то .

В силу убывания функции спроса это означает, что

С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено Суммируя по j, получаем, что .

(ii) Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Предположим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т.е. .

Может быть только два случая: либо для всех j=1,…,n, либо для некоторого j. И в том и в другом случае существует производитель j, для которого и

Для этого производителя дифференциальная характеристика равновесия Курно имеет вид:

Из выпуклости функции издержек следует, что

Таким образом

С учетом того, что , имеем , откуда

,

что противоречит убыванию функции спроса. Таким образом .

1.2.3 Симметричность равновесия, положительность выпусков и единственность

В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т.е. , можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие будет симметричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости издержек несложно доказать единственность равновесия.

Теорема 5

Предположим, что равновесие Курно существует и выполнены следующие условия:

1) издержки у всех производителей одинаковы, , причем с(у) -- выпуклая функция;

2) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, с(у), дифференцируемы;

3)

4) р(у) убывает.

Тогда верно следующее:

(i) Равновесие симметрично:

и каждая фирма выпускает в равновесии положительное количество продукции, т.е.

.

(ii) Если, кроме того, функция р(у)у вогнута, то равновесие единственно.

Доказательство.

(i) Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производитель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим, что существуют производители j и k, такие что . Тогда из условий первого порядка следует, что

Но левая часть данного соотношения положительна, а правая -- неположительная. Таким образом, выпуски всех производителей совпадают:

Суммарный выпуск отрасли, не может быть равным нулю. В противном случае из условия первого порядка любого из участников следует, что , а это противоречит условию теоремы. Таким образом, .

(ii) Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде

Или

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с(у) следует неубывание предельных издержек. Учитывая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что выражение в левой части дифференциальной характеристики убывает. Отсюда следует единственность объема , удовлетворяющего данному уравнению.

1.2.4 Поведение равновесия при росте количества фирм

Можно встретить неформальное утверждение о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (принимающего цены как данные), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совершенной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной.

Докажем вариант этого утверждения и частном случае, когда в модели Курно издержки у всех производителей одинаковы, т.е. .

Теорема 6

Предположим, что равновесие Курно, и равновесие при совершенной конкуренции, , существуют при любом , и выполнены следующие условия:

1) , причем с(у) -- выпуклая функция;

2) обратная функция спроса р(у) строго убывает, а функция р{у)у вогнута (Эта величина равна суммарной выручке предприятий отрасли от продажи продукции в объеме у);

3) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, с(у), непрерывно дифференцируемы при всех неотрицательных у,

4) и существует величина такая, что .

Тогда

(i) суммарный выпуск в равновесии Курно с п участниками, , растет с ростом п и меньше величины ;

(ii) выпуск отдельного участника, , падает с ростом п, причем

(iii) прибыль отдельного участника, дает с ростом п;

(iv) , где -- суммарный выпуск тех же предприятий в условиях совершенной конкуренции.

Доказательство.

Как доказано выше, при сделанных предположениях каждый из участников в равновесии Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции:

и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде:

Решение этого уравнение будет единственным (как доказано в теореме выше) равновесием Курно.

(i) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий Курно в ситуации с п+1 и п олигополистами:

и

Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополистической отрасли возрастает с ростом числа олигополистов.

Предположим, обратное: существует такое n, что . При этом из убывания обратной функции спроса следует, что

и

Из вогнутости функции p{у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е.

Сложив три последние неравенства, получим

ИЛИ

Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого порядка для и соответственно, поэтому

Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть выполнено только если

но это противоречит исходному предположению о том, что . Таким образом, мы доказали, что последовательность объемов производства возрастает по n (Величина представляет собой монопольный выпуск, т.е. . Из доказанного следует, что при всех .).

Чтобы доказать, что достаточно доказать, что , поскольку, согласно одной из доказанных выше теорем .

Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, возрастанием предельных издержек и определением величины Y , запишем

Поскольку, по предположению, обратно л функция спроса убывает, это означает, что .

(ii) Мы хотим доказать, что является убывающей последовательностью. Поскольку р(у)у -- вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому

или

Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде

(*)

Пусть доказываемое неверно и для какого-то n выполнено

т.е.

Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что , что

поскольку .

Так как то из убывания обратной функции спроса при следует, что

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е. при , выполнено

Складывая три последние неравенства, получим, что

Приводя подобные и разделив на п+1, получим

Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что

Из выпуклости функции издержек получаем требуемое

Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т.е.

следует из того, что суммарный выпуск ограничен сверху величиной .

(iii) Так как спрос убывает, то при

Это неравенство можно переписать в виде

С другой стороны, функция издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей касательной, поэтому

Комбинируя два неравенства, получим, что

где мы обозначили через прибыль отдельного участника в отрасли с n фирмами в точке равновесия Курно

Из условий первого порядка

Поскольку , то

(iv) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:

Здесь лежит в интервале [0, Y°]. Так как производная обратной функции спроса непрерывна, то первый сомножитель во втором слагаемом -- величина ограниченная, на этом интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представляет собой величину, которая убывает до нуля при . Поэтому

Так как стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции издержек

Таким образом, . Вспоминая, что , получим из непрерывности и убывания обратной функции спроса, что .

Поскольку конкурентный объем производства, , лежит между и , то он стремится к тому же пределу:

Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурентов -- что довольно реалистическая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда производителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой может продаваться продукция, и поэтому сама модель Курно как модель, описывающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.

2. Равновесие и благосостояние

Рассмотрим олигопольную отрасль, характеристики которой удовлетворяют условиям Теоремы 5, в том числе, все фирмы имеют одинаковую функцию издержек . Как было доказано в Теореме 5, в такой отрасли существует симметричное равновесие Курно, причем объем производства положителен:

Проанализируем это равновесие с точки зрения благосостояния общества.

Предположим, что спрос на продукцию олигополистов в модели Курно получается как результат выбора репрезентативного потребителя с квазилинейной функцией полезности: u(x,z) = v(x) + z.

Напомню, что в этом случае для положительных x выполнено соотношение (при отсутствии ограничений на знак z или достаточно больших доходах потребителя)

Индикатор благосостояния имеет вид

,

а ее производная равна

В равновесии Курно

,

откуда видна его неоптимальность с точки зрения благосостояния:

.

Отсюда следует, что если немного увеличить суммарный выпуск по сравнению с , то благосостояние общества возрастет. Рассмотрим функцию

Ее можно проинтерпретировать, как взвешенное среднее совокупной прибыли и индикатора благосостояния. Покажем, что равновесный объем продаж олигополистического рынка в модели Курно максимизирует данную функцию. Производная этой функции равна

Как мы видели, в равновесии Курно данная величина равна нулю. Если предположить, как и ранее, вогнутость функции , убывание функции спроса и выпуклость издержек, то производная функции убывает по Y, поэтому строго вогнута по Y, откуда следует, что в точке Y* достигается ее (единственный) максимум.

При доля первого слагаемого в функции стремиться к нулю, а доля второго слагаемого -- к единице, так что функция все больше сближается с индикатором благосостояния. Этим определяется тот факт, что при большом количестве фирм равновесие Курно становится похожим на конкурентное равновесие, в котором, как мы знаем, при некоторых условиях индикатор благосостояния достигает максимума.

3. Модель и количество фирм в отрасли

Выше, рассматривая поведение выпуска как олигополистического рынка в целом, так и отдельных олигополистов, я касался вопроса положительности прибыли, и по этой причине анализ поведения этих характеристик нельзя считать вполне удовлетворительным. Возможно, он приемлем для краткосрочной перспективы, но в долгосрочной перспективе анализ должен быть пересмотрен. Любой олигополист сталкивающийся с отрицательной прибылью на некотором рынке при оптимальном поведении вероятнее всего будет рассматривать вопрос об уходе с этого рынка. Аналогично, любой потенциальный производитель решающий вопрос о входе в олигополистическую отрасль, оценивает возможность получения им положительной (неотрицательной) прибыли в случае его входа в отрасль. Эти вопросы имеют одну и ту же природу и в простейшей модели, рассматриваемой мной далее, тесно связаны с величиной постоянных (фиксированных) издержек и количеством фирм уже вошедших и действующих в отрасли.

Рассмотрим олигопольную отрасль, в которой у всех олигополистов одинаковые функции издержек. Будем предполагать, что выполнены все условия Теоремы 6. Удобно представить издержки каждой фирмы как сумму постоянных издержек, , и переменных издержек, , где :

Пусть максимизирует прибыль монополиста. Мы должны предположить, что постоянные издержки таковы, что монополист действуя на этом рынке, получит неотрицательную прибыль

Другими словами, постоянные издержки должны быть не слишком высоки: они не должны превышать прибыль монополиста без учета постоянных издержек:

где . (Если это условие не выполнено, то рынок не может существовать, то есть не найдется производителей, желающих производить продукцию на этом рынке.)

Через будем, как и ранее, обозначать прибыль, получаемую отдельной фирмой в отрасли, состоящей из n фирм, а через -- прибыль без учета постоянных издержек. При этом -- прибыль монополии без учета постоянных издержек.

Как мы доказали ранее, (а, следовательно, и ) представляет собой убывающую последовательность. При сделанных ранее предположениях прибыль положительна (в том числе, ) и при увеличении п стремится к .

Из убывания и стремления к нулю очевидно, что при , существует единственное целое количество фирм в отрасли такое, что

модель курно издержка равновесие

Или

Отмечу, что это число единственно в силу строгого убывания прибыли при росте числа олигополистов. Таким образом, для каждого f из промежутка определена функция n(f). Эта функция сопоставляет каждому значению постоянных издержек максимально возможное число фирм, при котором каждая из них получает неотрицательную прибыль.

Докажем, что эта функция не возрастает по f и не ограничена сверху. Пусть . Тогда по определению функции n(f) мы имеем, что

,

т.е.

из убывания прибыли по n мы имеем, что ) или . Heограниченность сверху следует из того факта, что . Сопоставляя эти два свойства функции , получим, что

Таким образом, чем меньше постоянные издержки, тем больше фирм может войти в отрасль, и в пределе функционирование отрасли все более приближается к ситуации совершенной конкуренции (в силу Теоремы 6).

Я представил количество олигополистов на рынке как функцию от постоянных издержек. Естественно также рассмотреть вопрос об оптимальном с точки зрения общества числе олигополистрв. Это число должно максимизировать совокупный излишек!

Пусть п -- оптимальное с точки зрения благосостояния количество фирм в олигополистической отрасли.

Следующие рассуждения показывают, что . По определению мы имеем, что , или

или

Прибавив к обеим частям , получим

Так как обратная функция спроса убывает, то

Таким образом, имеем

В силу выпуклости функции издержек имеем, что

Воспользовавшись этим неравенством, получим

Из условий первого порядка

Таким образом мы получили, что .

Пусть, как и выше, n(f) -- количество фирм в отрасли при постоянных издержках /. По определению .

Таким образом, . В силу строгого убывания прибыли по числу фирм, имеем или

Это означает, что число фирм в отрасли, n(f), не может быть меньше оптимального числа фирм, п, более чем на 1 фирму.

4. Заключение

В модели Курно равновесие достигается за счет того, что каждый из конкурентов меняет свой объем выпуска в ответ на изменение выпуска другого до тех пор, пока такие изменения увеличивают их прибыль.

Также в модели не отражено одно существенное обстоятельство. Предполагается, что конкуренты отреагируют на изменение фирмой цены определенным образом. Когда фирма «1» выходит на рынок и отнимает у фирмы «2» часть потребительского спроса, последняя “сдается”, т.е. вступает в ценовую игру, снижая цены и объем производства. Однако фирма «2» может занять активную позицию и, значительно снизив цену, не допустить фирму «1» на рынок. Такие действия фирмы «2» не охватываются предложенной моделью.

Какая бы не использовалась модель на предприятии, каждая из них пытается увеличить прибыль в данной организации и привести её к лидерству. Основное решение принимается руководством фирмы. От данного решения и выбранной стратегии будет зависеть дальнейшее существование и развитие предприятия.

5. Список использованной литературы

1. В. Бусыгин, Е. Желободько, С. Коковин, А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков - I. 264 с.

2. Микроэкономика. Теория и российская практика/Под ред. А.Г. Грязновой и А.Ю. Юданова.- М.: ИТД «Кио Рус», 2000.- 544 с.

3. Мэнкью Н.Г. Принципы экономики. - СПб.: ПитерКом, 1999.- 784 с.

4. Сайт: http://www.allmath.ru/

5. Сайт: http://www.allbest.ru/

Приложение 1

Предположительные вариации равны нулю. Каждый из дуаполистов считает, что изменения в его собственном выпуске продукции не повлияет на конкурента, то есть объем выпуска конкурента постоянен.

Пара объемов выпуска у1 и у2 - решение системы (равновесие Курно).

;

- кривая реализации первой фирмы

Определим оптимальный объем выпуска фирмы №1 в зависимости от объема выпуска конкурента.

- кривая реализации второй фирмы

Графически такое равновесие определяется кривыми реакции. Основной предпосылкой модели Курно является постоянство объема выпуска конкурента.

Это разумно в следующих случаях:

· Фирмы выбирают объем выпуска один раз и впоследствии его не меняют

· Объем выпуска соответствует равновесию Курно - у конкурентов нет резона их менять.

Теперь, используя для рассмотрения примера вышеприведенные модели определим объемы выпуска и прибыли фирм по следующим данным:

P=320-2y

d=0; c=80; y = y1+y2

Решение:

Размещено на Allbest.ru