Статистика и теория массового обслуживания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задачи по статистике и теории массового обслуживания

Вариант 20.

ЗАДАЧА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ ИНТЕРВАЛОВ ПРИБЫТИЯ ПОЕЗДОВ

Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное (но только одно) заранее неизвестное значение.

Последовательность статистического исследования:

1. Провести обследование (наблюдение).

2. Провести группировку результатов наблюдений.

3. Определить числовые характеристики статистического распределения.

4. Построить статистический ряд, гистограмму и интегральную кривую.

5. Подобрать теоретическое распределение.

РЕШЕНИЕ:

Сгруппируем данные по транспортному процессу. Диапазон значений интервалов от 7 до 43 минут. Количество значений: n = 50.

Весь диапазон значений разбиваем на разряды. Число разрядов:

Принимаем 6 разрядов. Ширина каждого интервала

h= (X max -Xmin)/r = (43 -7)/7 =36/6=6 единиц.

Распределим данные по интервалам:

Расчеты числовых характеристик произведем в таблице:

распределение случайная величина

Проверка :

Найдем математическое ожидание по формуле:

- сумма значений в 6- ой колонке.

Найдем дисперсию по формуле:

мин² - сумма значений в 7- ой колонке.

Стандартное среднее квадратическое отклонение:

мин.

Коэффициент вариации интервалов характеризует неравномерность прибытия поездов в ПП :

Значение коэффициента вариации получено примерно 0,38, что свидетельствует о том, что интервалы прибытия достаточно неоднородные. Необходимо искать резервы снижения его до 0,17 - 0,30, что будет свидетельствовать о большей ритмичности процесса и сократить простои поездов в ожидании обработки и расформирования, уменьшить потребность в персонале обслуживания, в горочных локомотивах и бригадах ПТОВ.

Определим параметр К, который так же характеризует неравномерность исследуемой величины.

Так как К принадлежит интервалу от 2 до 7, то имеем распределение Эрланга.

Построим гистограмму и интегральную кривую.

Строим интегральную кривую распределения.

ЗАДАЧА 2.

Готовые к роспуску составы составляют эрланговский поток с л = 3 сост./ч и параметром 1 = 2. Горочный технологический интервал распределен по эрланговскому закону со средним значением 15 мин и параметром К = 8. Найти среднее число путей в парке приема, занятых готовыми к роспуску составами.

РЕШЕНИЕ:

Среднее время пребывания в системе :

Ш = л/м , где м = 1/t_обс ;

t_обс = 15 мин = 1/ 4 часа = 0,25 часа

м = 1/t_обс = 1/0,25 = 4

Ш = л/м = л·t_обс = 3/ 4 = 0,75 состава.

Среднее число путей будет : 0,6875/0,25 = 2,75

Принимаем число путей: 3

Примечание: использованы материалы сайта

И учебное пособие Саати Томас Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.:Сов.радио,1965.-505с.

ЗАДАЧА 3.

На вокзале имеются две кассы по продаже проездных документов, каждая из которых может обслуживать любого пассажира. Поток пассажиров пуассоновский с интенсивностью л = 12 пассажиров в час. Время оформления проездных документов t_об = 5 мин со стандартным отклонением у_t = 5 мин. Найти стандартное отклонение времени ожидания оформления проездных документов и долю пассажиров, которым приходится ожидать более 30 мин.

РЕШЕНИЕ:

n=2 (два канала обслуживания)

Поток : л = 12 пассажиров в час = 0,2 пассажиров в минуту.

t_об = 5 мин ; у_tоб = 5 мин

Каждый кассир обслуживает 1 пассажира за 5 минут.

Вероятность отсутствия пассажиров в кассовом зале:

м = 1/5 мин^-1

Вероятность образования очереди:

Среднее число пассажиров в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок:

Среднее число посетителей обслуживаемых и в очереди

То есть чуть больше одного человека на каждого кассира, что оптимально

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди найдем по формулам:

Где Q - пропускная способность системы; Q = 1 - p_отк , где p_отк - вероятность отказа.

Q =1 , так как отказов в обслуживании нет.

Получим:

Доля пассажиров, которым придется ожидать более 30 минут практически равна 0.

Стандартное отклонение времени ожидания в очереди:

ЗАДАЧА 4.

На грузовой пункт в среднем в сутки поступает 6 групп вагонов. Среднее время выполнения грузовых операций - 2 часа. Распределение интервалов между поступающими группами, а также времени выполнения грузовых операций - показательное. Максимальное время от прибытия групп до окончания обработки не должно превышать 4 часа. Найти среднее время простоя группы вагонов в ожидании грузовых операций.

РЕШЕНИЕ:

Дана одноканальная СМО с групповым обслуживанием требований.

Число групп: 6 в сутки, распределение интервалов времени - показательное.

t_обсл = 2 часа

ф = 4 часа.

л = 6 групп в сутки = 0,25 групп в час

Имеем ограничение на пребывание в системе: б=ф/t_обсл = 4/2 =2

с =л/м =л·t_обсл = 0,25·2=0,5

-на одну группу вагонов.

Размещено на Allbest.ru