Экономико-математические методы и прикладные модели решения задач

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 10ед., а II - уменьшить на 80ед;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида с ценой 7у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

Решение:

1. Построим ЭММ задачи. Обозначим через хi - объем выпуска готовой продукции j-го вида. С учетом критерия оптимальности «max выручки», будем иметь ЭММ задачи:

max f (х) = 3х1 + 2х2 + 5 х3

Ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья.

1х1 + 2х2 + 1х3 ? 430 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

3х1 + 2х3 ? 460 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

1х1 + 4х2 ? 420 - затраты 3-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

хj ? 0,

Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

Оптимальный план выпуска продукции: Х*= ( 0, 100, 230),

f (Х*) = 1350

2. Для определения двойственных оценок построим двойственную задачу:

min ц (y) = 430y1 + 460y2 + 420y3

1y1 + 3y2 + 1y3 ? 3

2y1 + 4y3 ? 2

1y1 + 2y2 ? 5

y1 ? 0, y2 ? 0, y3 ? 0

Для нахождения двойственных оценок используем вторую теорему двойственности. Определим, как удовлетворяется система функциональных ограничений исходной задачи при подстановке в нее оптимального плана:

Х*= (0, 100, 230), f (Х*) = 1350

1*0 + 2*100 + 1*230 = 430 = 430- выполняется как строгое равенство

3*0 + 2*230 = 460 = 460 - выполняется как строгое равенство

1*0 + 4*100 = 400 < 420 - выполняется как строгое неравенство

Поскольку 3-е ограничение в системе ограничений выполняется как строгое неравенство, то по второй теореме двойственности у3*= 0

С другой стороны, так как х2* > 0, x3* > 0, то имеют место равенства:

2y1* + 4y3* = 2

1y1* + 2y2* = 5

Поскольку у3* = 0, то из этой системы равенства получим: у1*= 1, у2*= 2

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи при полученных значениях двойственных переменных:

ц (y*) = 430*1 + 460*2 + 420*0 = 430 + 920 = 1350, т.е. ц (y*) = f (х*).

Таким образом, по первой теореме двойственности мы делаем вывод, что двойственные оценки найдены правильно.

3. Поскольку для 1-ого вида сырья затраты на единицу сырья превышают выручку от реализации единицы сырья, то ее выпуск экономически не оправдан х1* = 0:

1*1 + 3*2 + 1*0 = 7 > 3 оценка затрат на единицу продукции 1-ого вида.

4. 1) В пределах интервалов устойчивости найденных двойственных оценок имеют место следующие выводы: первый и третий вид сырья, участвующие в производстве являются дефицитными, а второй находится в избытке. При этом с позиции максимизации выручки более дефицитен третий вид сырья. Прирост на единицу первого вида сырья дает приращение выручки 1 у.е., второго - 2 у.е., т.е. сравнительная норма взаимозаменяемости составляет 1:2.

2) 1х1 + 2х2 + 1х3 ? 440 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

3х1 + 2х3 ? 380 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

Структура плана остается той же, то есть х1 = 0. Совмещая эти два вывода будем иметь:

0 + 2х2 + х3 = 440

0 + 2х3 = 380

Решая эту систему уравнений получаем: х2 = 105 х3 = 190

f (Х*) = 1160

Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

Чтобы оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида необходимо произвести оценку затрат на единицу продукции:

2*1 + 4*2 + 3*0 - 7 = 3 > 0

Изделие не выгодно включать в план, т.к. затраты на его изготовление не покрываются ценой продажи.

Задача 3

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Исходные данные приведены в таблице

Решение:

1. Проведем оценку по первому признаку продуктивности: матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица и все ее элементы неотрицательны.

Определим матрицу (Е-А):

С помощью функции МОБР Мастера функций Exсel найдем обратную матрицу:

Поскольку все элементы матрицы В неотрицательны, то матрица А продуктивна.

2. Руководствуясь балансовым методом планирования и экономическим смыслом прямых материальных затрат будем иметь следующую модель межотраслевого баланса:

1,0 х1 - 0,4х2 - 0,1х3 = 160

-0,4х1 + 0,9х2 - 0,0х3 = 180

-0,3х1 + 0,0х2 + 0,9х3 = 150

Для решения воспользуемся пакетом Exсel.

В результате решения будем иметь следующие объемы валового продукта по предприятиям: Х1 =325,35; Х2 =344,60; Х3 =275,12.

Схема межотраслевого баланса будет выглядеть следующим образом:

Задача 4

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель, параметры которой оценить МНК - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1. Введем исходные данные.

Таблица 3.1

Для проверки наличия аномальных наблюдений воспользуемся пакетом Excel. В результате решения будем иметь следующие данные:

Таблица 3.2

Чтобы найти среднее квадратическое отклонение воспользуемся функцией СТАНДОТКЛОН Мастера функций Excel.

Табличное значение Величины Ирвина равно 1,5 , следовательно, в соответствии с методом Ирвина аномальные наблюдения не выявлены.

2. Построим линейную однопараметрическую модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа воспользуемся надстройкой Excel Анализ данных. В результате получим следующее:

Таблица 3.3

Таблица 3.4

Таблица 3.5

Таблица 3.6

Во втором столбце таблицы 3.5 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1,. Уравнение регрессии зависимости Yt (спрос на кредитные ресурсы) от t1 (время) имеет вид:

Y(t) = 4,06 + 3,97t

3. Оценка адекватности модели.

1) С помощью функции СРЗНАЧ Мастера функций Excel по таблице 3.6 найдем среднее значение остатков.

2) С помощью функции КОРРЕЛ Мастера функций Excel по таблице 3.6 найдем коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции r = -0,62 незначим, поскольку

tрасч.=2,09 < tтабл.=2,36

Следовательно, свойство независимости остатков выполняется.

3) С помощью функции СТАНДОТКЛОН Мастера функций Excel по таблице 3.6 найдем среднее квадратическое отклонение.

Sе = 0,92

Расчетное значение попадает между табулированными границами (2,7-3,7) (для п=9 и 5-% уровня значимости), значит, остатки следуют нормальному закону распределения.

Модель в целом адекватна.

4. Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. Для этого рассчитаем в Excel следующую таблицу:

Таблица 3.7

Чтобы рассчитать вторую колонку воспользуемся функцией ABS Мастера функций Excel. Затем рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:.

Еотн = 3,70 %

Отсюда вывод: модель высокой точности и пригодна для целей прогнозирования.

5. Прогноз спроса на кредитные ресурсы на следующие две недели.

1) Рассчитаем среднее значение фактора «время» (tср) и сумму квадратов отклонений t от его средней величины ( ?(t-tср)2 ).

Таблица 3.8

2) Произведем точечный и интервальный прогнозы на 2 шага вперед.

Y(t) = 4,06 + 3,97t

Y(10) = 4,06 + 3,97*10 = 43,76

Y(11) = 4,06 + 3,97*11 = 47,73

В результате расчетов получим следующую таблицу:

Таблица 3.9

Таким образом с вероятностью прогноза 70% можно утверждать, что значение спроса на кредитные ресурсы в течение следующих двух недель будет находиться в интервале 42,51 - 45,01 и 46,47 - 48,99 соответственно.

Размещено на Allbest.ru