Иммитационное моделирование инвестиционных проектов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Имитационное моделирование (simulation) является одним из мощнейших методов анализа экономических систем.

В общем случае, под имитацией понимают процесс проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями сложных систем реального мира.

Цели проведения подобных экспериментов могут быть самыми различными - от выявления свойств и закономерностей исследуемой системы, до решения конкретных практических задач. С развитием средств вычислительной техники и программного обеспечения, спектр применения имитации в сфере экономики существенно расширился. В настоящее время ее используют как для решения задач внутрифирменного управления, так и для моделирования управления на макроэкономическом уровне. Рассмотрим основные преимущества применения имитационного моделирования в процессе решения задач финансового анализа.

Как следует из определения, имитация - это компьютерный эксперимент. Единственное отличие подобного эксперимента от реального состоит в том, что он проводится с моделью системы, а не с самой системой. Однако проведение реальных экспериментов с экономическими системами, по крайней мере, неразумно, требует значительных затрат и вряд ли осуществимо на практике. Таким образом, имитация является единственным способом исследования систем без осуществления реальных экспериментов.

Часто практически невыполним или требует значительных затрат сбор необходимой информации для принятия решений. Например, при оценке риска инвестиционных проектов, как правило, используют прогнозные данные об объемах продаж, затратах, ценах и т.д.

Однако чтобы адекватно оценить риск необходимо иметь достаточное количество информации для формулировки правдоподобных гипотез о вероятностных распределениях ключевых параметров проекта. В подобных случаях отсутствующие фактические данные заменяются величинами, полученными в процессе имитационного эксперимента (т. е. сгенерированными компьютером).

При решении многих задач финансового анализа используются модели, содержащие случайные величины, поведение которых не поддается управлению со стороны лиц, принимающих решения. Такие модели называют стохастическими. Применение имитации позволяет сделать выводы о возможных результатах, основанные на вероятностных распределениях случайных факторов (величин). Стохастическую имитацию часто называют методом Монте-Карло. Существуют и другие преимущества имитации.

Мы же рассмотрим технологию применения имитационного моделирования для анализа рисков инвестиционных проектов в среде ППП EXCEL.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ РИСКОВ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

Имитационное моделирование представляет собой серию численных экспериментов призванных получить эмпирические оценки степени влияния различных факторов (исходных величин) на некоторые зависящие от них результаты (показатели).

В общем случае, проведение имитационного эксперимента можно разбить на следующие этапы:

Установить взаимосвязи между исходными и выходными показателями в виде математического уравнения или неравенства.

Задать законы распределения вероятностей для ключевых параметров модели.

Провести компьютерную имитацию значений ключевых параметров модели.

Рассчитать основные характеристики распределений исходных и выходных показателей.

Провести анализ полученных результатов и принять решение.

Результаты имитационного эксперимента могут быть дополнены статистическим анализом, а также использоваться для построения прогнозных моделей и сценариев.

Осуществим имитационное моделирование анализа рисков инвестиционного проекта на основании данных примера.

Пример 1.

Фирма рассматривает инвестиционный проект по производству продукта «А». В процессе предварительного анализа экспертами были выявлены три ключевых параметра проекта и определены возможные границы их изменений (табл. 1.). Прочие параметры проекта считаются постоянными величинами (табл. 2.).

Таблица 1 - Ключевые параметры проекта по производству продукта «А»

Сценарий	Показатели
	Наихудший	Наилучший	Вероятный
Объем выпуска - Q	150	300	200
Цена за штуку - P	40	55	50
Переменные затраты - V	35	25	30

Таблица 2 - Неизменяемые параметры проекта по производству продукта «А»

Показатели	Наиболее вероятное значение
Постоянные затраты - F	500
Амортизация - A	100
Налог на прибыль - T	60%
Норма дисконта - r	10%
Срок проекта - n	5
Начальные инвестиции - I0	2000

Первым этапом анализа согласно сформулированному выше алгоритму является определение зависимости результирующего показателя от исходных. При этом в качестве результирующего показателя обычно выступает один из критериев эффективности: NPV, IRR, PI.

Предположим, что используемым критерием является чистая современная стоимость проекта NPV:

(1.)

где NCFt - величина чистого потока платежей в периоде t.

По условиям примера, значения нормы дисконта r и первоначального объема инвестиций I0 известны и считаются постоянными в течении срока реализации проекта (табл. 2.).

По условиям примера ключевыми варьируемыми параметрами являются: переменные расходы V, объем выпуска Q и цена P. Диапазоны возможных изменений варьируемых показателей приведены в табл. 1. При этом будем исходить из предположения, что все ключевые переменные имеют равномерное распределение вероятностей.

Реализация третьего этапа может быть осуществлена только с применением ЭВМ, оснащенной специальными программными средствами. Поэтому прежде чем приступить к третьему этапу - имитационному эксперименту, познакомимся с соответствующими средствами ППП EXCEL, автоматизирующими его проведение.

ТЕХНОЛОГИЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В СРЕДЕ ППП EXCEL

Проведение имитационных экспериментов в среде ППП EXCEL можно осуществить двумя способами - с помощью встроенных функций и путем использования инструмента «Генератор случайных чисел» дополнения «Анализ данных» (Analysis ToolPack). Для сравнения ниже рассматриваются оба способа. При этом основное внимание уделено технологии проведения имитационных экспериментов и последующего анализа результатов с использованием инструмента «Генератор случайных чисел».

2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ФУНКЦИЙ ППП EXCEL

Следует отметить, что применение встроенных функций целесообразно лишь в том случае, когда вероятности реализации всех значений случайной величины считаются одинаковыми. Тогда для имитации значений требуемой переменной можно воспользоваться математическими функциями СЛЧИС () или СЛУЧМЕЖДУ (). Форматы функций приведены в табл. 3.

Таблица 3 - Математические функции для генерации случайных чисел

Наименование функции	Формат функции
Оригинальная версия	Локализованная версия
RAND	СЛЧИС	СЛЧИС () - не имеет аргументов
RANDBETWEEN	СЛУЧМЕЖДУ	СЛУЧМЕЖДУ (нижн_граница; верхн_граница)

Функция СЛЧИС () возвращает равномерно распределенное случайное число E, большее, либо равное 0 и меньшее 1, т. е.: 0 ? E < 1. Вместе с тем, путем несложных преобразований, с ее помощью можно получить любое случайное вещественное число. Например, чтобы получить случайное число между a и b, достаточно задать в любой ячейке ЭТ следующую формулу:

=СЛЧИС () * (b-a) +a

Эта функция не имеет аргументов. Если в ЭТ установлен режим автоматических вычислений, принятый по умолчанию, то возвращаемый функцией результат будет изменяться всякий раз, когда происходит ввод или корректировка данных. В режиме ручных вычислений пересчет всей ЭТ осуществляется только после нажатия клавиши [F9].

Настройка режима управления вычислениями производится установкой соответствующего флажка в подпункте «Вычисления» пункта «Параметры» темы «Сервис» главного меню.

В целом применение данной функции при решении задач финансового анализа ограничено рядом специфических приложений. Однако ее удобно использовать в некоторых случаях для генерации значений вероятности событий, а также вещественных чисел.

ФУНКЦИЯ СЛУЧМЕЖДУ (НИЖН_ГРАНИЦА; ВЕРХН_ГРАНИЦА)

Как следует из названия этой функции, она позволяет получить случайное число из заданного интервала. При этом тип возвращаемого числа (т. е. вещественное или целое) зависит от типа заданных аргументов.

В качестве примера, сгенерируем случайное значение для переменной Q (объем выпуска продукта). Согласно табл. 1., эта переменная принимает значения из диапазона 150 - 300.

Введем в любую ячейку ЭТ формулу:

=СЛУЧМЕЖДУ (150; 300) (Результат: 210).

Если задать аналогичные формулы для переменных P и V, а также формулу для вычисления NPV и скопировать их требуемое число раз, можно получить генеральную совокупность, содержащую различные значения исходных показателей и полученных результатов. После чего, используя рассмотренные в предыдущих главах статистические функции, нетрудно рассчитать соответствующие параметры распределения и провести вероятностный анализ. Продемонстрируем изложенный подход на решении примера 1. Перед тем, как приступить к разработке шаблона, целесообразно установить в ЭТ режим ручных вычислений. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

Выбрать в главном меню тему «Сервис».

Выбрать пункт «Параметры» подпункт «Вычисления».

Установить флажок «Вручную» и нажать кнопку «ОК».

Приступаем к разработке шаблона. С целью упрощения и повышения наглядности анализа выделим для его проведения в рабочей книге ППП EXCEL два листа.

Первый лист - «Имитация», предназначен для построения генеральной совокупности (рис. 1.). Определенные в данном листе формулы и собственные имена ячеек приведены в табл. 4. и 5.



Рис. 1 - Лист «Имитация»

Таблица 4 - Формулы листа «Имитация»

Ячейка	Формула
Е7	=B7+10-2
A10	=СЛУЧМЕЖДУ ($B$3; $C$3)
A11	=СЛУЧМЕЖДУ ($B$3; $C$3)
B10	=СЛУЧМЕЖДУ ($B$4; $C$4)
B11	=СЛУЧМЕЖДУ ($B$4; $C$4)
C10	=СЛУЧМЕЖДУ ($B$5; $C$5)
C11	=СЛУЧМЕЖДУ ($B$5; $C$5)
D10	= (B10* (C10-A10) -Пост_расх-Аморт) * (1-Налог) +Аморт
D11	= (B11* (C11-A11) -Пост_расх-Аморт) * (1-Налог) +Аморт
E10	=ПЗ (Норма; Срок; -D10) -Нач_инвест
E11	=ПЗ (Норма; Срок; -D11) -Нач_инвест

Таблица 5 - Имена ячеек листа «Имитация»

Адрес ячейки	Имя	Комментарии
Блок A10: A11	Перем_расх	Переменные расходы
Блок B10: B11	Количество	Объем выпуска
Блок C10: C11	Цена	Цена изделия
Блок D10: D11	Поступления	Поступления от проекта NCFt
Блок E10: E11	ЧСС	Чистая современная стоимость NPV

Первая часть листа (блок ячеек А1. Е7) предназначена для ввода диапазонов изменений ключевых переменных, значения которых будут генерироваться в процессе проведения эксперимента. В ячейке В7 задается общее число имитаций (экспериментов). Формула, заданная в ячейке Е7, вычисляет номер последней строки выходного блока, в который будут помещены полученные значения. Смысл этой формулы будет раскрыт позже.

Вторая часть листа (блок ячеек А9. Е11) предназначена для проведения имитации. Формулы в ячейках А10. С11 генерируют значения для соответствующих переменных с учетом заданных в ячейках В3. С5 диапазонов их изменений. Обратим внимание на то, что при указании нижней и верхней границы изменений используется абсолютная адресация ячеек.

Формулы в ячейках D10. E11 вычисляют величину потока платежей и его чистую современную стоимость соответственно. При этом значения постоянных переменных берутся из следующего листа шаблона - «Результаты анализа».

Лист «Результаты анализа» кроме значений постоянных переменных содержит также функции, вычисляющие параметры распределения изменяемых (Q, V, P) и результатных (NCF, NPV) переменных и вероятности различных событий. Определенные для данного листа формулы и собственные имена ячеек приведены в табл. 6. и 7. Общий вид листа показан на рис. 2.

Таблица 6 - Формулы листа «Результаты анализа»

Ячейка	Формула
B8	=СРЗНАЧ (Перем_расх)
B9	=СТАНДОТКЛОНП (Перем_расх)
B10	=B9/B8
B11	=МИН (Перем_расх)
B12	=МАКС (Перем_расх)
C8	=СРЗНАЧ (Количество)
C9	=СТАНДОТКЛОНП (Количество)
C10	=C9/C8
C11	=МИН (Количество)
C12	=МАКС (Количество)
D8	=СРЗНАЧ (Цена)
D9	=СТАНДОТКЛОНП (Цена)
D10	=D9/D8
D11	=МИН (Цена)
D12	=МАКС (Цена)
E8	=СРЗНАЧ (Поступления)
E9	=СТАНДОТКЛОНП (Поступления)
E10	=E9/E8
E11	=МИН (Поступления)
E12	=МАКС (Поступления)
F8	=СРЗНАЧ (ЧСС)
F9	=СТАНДОТКЛОНП (ЧСС)
F10	=F9/F8
F11	=МИН (ЧСС)
F12	=МАКС (ЧСС)
F13	=СЧЁТЕСЛИ (ЧСС; «<0»)
F14	=СУММЕСЛИ (ЧСС; «<0»)
F15	=СУММЕСЛИ (ЧСС; «>0»)
Е18	=НОРМАЛИЗАЦИЯ (D18; $F$8; $F$9)
F18	=НОРМСТРАСП (E18)

Таблица 7 - Имена ячеек листа «Результаты анализа»

Адрес ячейки	Имя	Комментарии
B2	Нач_инвест	Начальные инвестиции
B3	Пост_расх	Постоянные расходы
B4	Аморт	Амортизация
D2	Норма	Норма дисконта
D3	Налог	Ставка налога на прибыль
D4	Срок	Срок реализации прока

Рис. 2 - Лист «Результаты анализа»

Поскольку формулы листа содержат ряд новых функций, приведем необходимые пояснения.

Функции МИН () и МАКС () вычисляют минимальное и максимальное значение для массива данных из блока ячеек, указанного в качестве их аргумента. Имена и диапазоны этих блоков приведены в табл. 7.

Функция СЧЕТЕСЛИ () осуществляет подсчет количества ячеек в указанном блоке, значения которых удовлетворяют заданному условию. Функция имеет следующий формат:

=СЧЕТЕСЛИ (блок; «условие»).

В данном случае, заданная в ячейке F13, эта функция осуществляет подсчет количества отрицательных значений NPV, содержащихся в блоке ячеек ЧСС (см. табл. 7).

Механизм действия функции СУММЕСЛИ () аналогичен функции СЧЕТЕСЛИ (). Отличие заключается лишь в том, что эта функция суммирует значения ячеек в указанном блоке, если они удовлетворяют заданному условию. Функция имеет следующий формат:

=СУММЕСЛИ (блок; «условие»).

В данном случае, заданные в ячейках F14. F15, функции осуществляет подсчет суммы отрицательных (ячейка F14) и положительных (ячейка F14) значений NPV, содержащихся в блоке ЧСС. Смысл этих расчетов будет объяснен позже.

Две последние формулы (ячейки Е18 и F18) предназначены для проведения вероятностного анализа распределения NPV и требуют небольшого теоретического отступления.

В рассматриваемом примере мы исходим из предположения о независимости и равномерном распределении ключевых переменных Q, V, P. Однако какое распределение при этом будет иметь результатная величина - показатель NPV, заранее определить нельзя.

Одно из возможных решений этой проблемы - попытаться аппроксимировать неизвестное распределение каким-либо известным. При этом в качестве приближения удобнее всего использовать нормальное распределение. Это связано с тем, что в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при выполнении определенных условий сумма большого числа случайных величин имеет распределение, приблизительно соответствующее нормальному.

В прикладном анализе для целей аппроксимации широко применяется частный случай нормального распределения - т. н. стандартное нормальное распределение. Математическое ожидание стандартно распределенной случайной величины Е равно 0: M (E) = 0. График этого распределения симметричен относительно оси ординат и оно характеризуется всего одним параметром - стандартным отклонением s, равным 1.

Приведение случайной переменной E к стандартно распределенной величине Z осуществляется с помощью т. н. нормализации - вычитания средней и последующего деления на стандартное отклонение:

(2.).

Как следует из (2.), величина Z выражается в количестве стандартных отклонений. Для вычисления вероятностей по значению нормализованной величины Z используются специальные статистические таблицы.

В ППП EXCEL подобные вычисления осуществляются с помощью статистических функций НОРМАЛИЗАЦИЯ () и НОРМСТРАСП ().

ФУНКЦИЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ (X; СРЕДНЕЕ; СТАНД_ОТКЛ)

Эта функция возвращает нормализованное значение Z величины x, на основании которого затем вычисляется искомая вероятность p (E ? x). Она реализует соотношение (2.). Функция требует задания трех аргументов:

х - нормализуемое значение;

среднее - математическое ожидание случайной величины Е;

станд_откл - стандартное отклонение.

Полученное значение Z является аргументом для следующей функции - НОРМСТРАСП ().

ФУНКЦИЯ НОРМСТРАСП (Z)

Эта функция возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. вероятность того, что случайная нормализованная величина Е будет меньше или равна х. Она имеет всего один аргумент - Z, вычисляемый функцией НОРМАЛИЗАЦИЯ ().

Нетрудно заметить, что эти функции следует использовать в тандеме. При этом наиболее эффективным и компактным способом их задания является указание функции НОРМАЛИЗАЦИЯ () в качестве аргумента функции - НОРМСТРАСП (), т. е.:

=НОРМСТРАСП (НОРМАЛИЗАЦИЯ (x; среднее; станд_откл)).

С целью повышения наглядности, в проектируемом шаблоне функции заданы раздельно (ячейки Е18 и F18).

Сформируем данный шаблон и сохраним его на магнитном диске под именем SIMUL_1. XLT. Приступаем к имитационному эксперименту. Для его проведения необходимо выполнить следующие шаги:

Ввести значения постоянных переменных (табл. 2.) в ячейки В2. В4 и D2. D4 листа «Результаты анализа».

Ввести значения диапазонов изменений ключевых переменных (табл. 1.) в ячейки В3. С5 листа «Имитация».

Задать в ячейке В7 требуемое число экспериментов.

Установить курсор в ячейку А11 и вставить необходимое число строк в шаблон (номер последней строки будет вычислен в Е7).

Скопировать формулы блока А10. Е10 требуемое количество раз.

Перейти к листу «Результаты анализа» и проанализировать полученные результаты.

Рассмотрим реализацию выделенных шагов более подробно. Выполнение первых трех пунктов не должно вызвать особых затруднений. Введем значения постоянных переменных в ячейки В2. В4 листа «Результаты анализа». Введем значения диапазонов изменений ключевых переменных в ячейки В3. С5 листа «Имитация». Укажем в ячейке В7 число проводимых экспериментов, например - 500. Установим табличный курсор в ячейку А11.

На следующем шаге необходимо вставить в шаблон нужное количество строк (498). Однако выделение такого количества строк при помощи указателя мыши - достаточно трудоемкая операция. К счастью ППП EXCEL предоставляет более эффективные процедуры для выполнения подобных операций. В частности, в данном случае можно воспользоваться операцией перехода, которую также удобно применять и для выделения больших диапазонов ячеек.

Нажмем функциональную клавишу [F5]. На экране появится окно диалога «Переход» (рис. 3.).

Рис. 3 - Окно диалога «Переход»

Для перехода к нужному участку электронной таблицы достаточно указать в поле «Ссылка» адрес или имя соответствующей ячейки (блока). В данном случае, таким адресом будет любая ячейка последней вставляемой строки, номер которой вычислен в ячейке Е7 (508). Например, в качестве адреса перехода может быть указана ячейка А508.

Введем в поле «Ссылка» адрес: А508 и нажмем комбинацию клавиш [SHIFT] + [ENTER]. Результатом выполнения этих действий будет выделение блока А11. А508. После чего осуществим вставку строк любым из известных способов.

Теперь необходимо заполнить вставленные строки формулами блока ячеек А10. Е10. Для этого выполняем следующие действия:

Выделим и скопируем в буфер блок ячеек А10. Е10.

Нажмем комбинацию клавиш [CTRL] + [SHIFT] + [? ].

Нажмем клавишу [ENTER].

Нажмем клавишу [F9]?.

Результатом выполнения этих действий будет заполнение блока А10. Е509 случайными значениями ключевых переменных V, Q, P и результатами вычислений величин NCF и NPV. Фрагмент результатов имитации, полученных автором, приведен на рис. 4. Соответствующие проведенному эксперименту результаты анализа приведены на рис. 5.

Рис. 4 - Результаты имитации

Рис. 5 - Результаты анализа

Сумма всех отрицательных значений NPV в полученной генеральной совокупности (ячейка F14) может быть интерпретирована как чистая стоимость неопределенности для инвестора в случае принятия проекта. Аналогично сумма всех положительных значений NPV (ячейка F15) может трактоваться как чистая стоимость неопределенности для инвестора в случае отклонения проекта. Несмотря на всю условность этих показателей, в целом они представляют собой индикаторы целесообразности проведения дальнейшего анализа.

В данном случае они наглядно демонстрируют несоизмеримость суммы возможных убытков по отношению к общей сумме доходов (-11691, 92 и 1692669, 76 соответственно).

На практике одним из важнейших этапов анализа результатов имитационного эксперимента является исследование зависимостей между ключевыми параметрами. Количественная оценка вариации напрямую зависит от степени корреляции между случайными величинами. Методы оценки степени зависимости, а также технология ее автоматизации путем применения специальных инструментов ППП EXCEL, будут продемонстрированы ниже. Здесь же мы ограничимся визуальным (графическим) исследованием. На рис. 6. приведен график распределения значений ключевых параметров V, P и Q, построенный на основании 75 имитаций.

Нетрудно заметить, что в целом, вариация значений всех трех параметров носит случайный характер, что подтверждает принятую ранее гипотезу о их независимости. Для сравнения ниже приведен график распределений потока платежей NCF и величины NPV (рис. 7). 

Рис. 6 - Распределение значений параметров V, P и Q

Рис. 7 - Зависимость между NCF и NPV

Как и следовало ожидать, направления колебаний здесь в точности совпадают и между этими величинами существует сильная корреляционная связь, близкая к функциональной. Дальнейшие расчеты показали, что величина коэффициента корреляции между полученными распределениями NCF и NPV оказалась равной 1.

Гораздо более удобным и эффективным способом решения таких задач в среде ППП EXCEL является использование специального инструмента анализа - «Генератор случайных чисел».

3. ИМИТАЦИЯ С ИНСТРУМЕНТОМ «ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ»

Этот инструмент предназначен для автоматической генерации множества данных (генеральной совокупности) заданного объема, элементы которого характеризуются определенным распределением вероятностей. При этом могут быть использованы 7 типов распределений: равномерное, нормальное, Бернулли, Пуассона, биномиальное, модельное и дискретное. Применение инструмента «Генератор случайных чисел», как и большинства используемых в этой работе функций, требует установки специального дополнения «Пакет анализа».

Для демонстрации техники применения этого инструмента изменим условия примера 1, определив вероятности для каждого сценария развития событий следующим образом (табл. 8). Мы также будем исходить из предположения о нормальном распределении ключевых переменных. Количество имитаций оставим прежним - 500.

Таблица 8 - Вероятностные сценарии реализации проекта

Сценарий Показатели	Наихудший P = 0. 25	Наилучший P = 0. 25	Вероятный P = 0. 5
Объем выпуска - Q	150	300	200
Цена за штуку - P	40	55	50
Переменные затраты - V	35	25	30

Приступим к формированию шаблона. Как и в предыдущем случае, выделим в рабочей книге два листа: «Имитация» и «Результаты анализа».

Формирование шаблона целесообразно начать с листа «Результаты анализа» (рис. 8).



Рис. 8 - Лист «Результаты анализа» (шаблон II)

Как следует из рис. 8 этот лист практически соответствует ранее разработанному для решения предыдущей задачи (см. рис. 2). Отличие составляют лишь формулы для расчета вероятностей, которые приведены в табл. 9.

Таблица 9 - Формулы листа «Результаты анализа» (шаблон II)

Ячейка	Формула
В17	=НОРМРАСП (0; B8; B9; 1)
В18	=НОРМРАСП (B11; B8; B9; 1)
В19	=НОРМРАСП (B12; B8; B9; 1) -НОРМРАСП (B8+B9; B8; B9; 1)
В20	=НОРМРАСП (B8; B8; B9; 1) -НОРМРАСП (B8-B9; B8; B9; 1)
С17	=НОРМРАСП (0; C8; C9; 1)
С18	=НОРМРАСП (C11; C8; C9; 1)
С19	=НОРМРАСП (C12; C8; C9; 1) -НОРМРАСП (C8+C9; C8; C9; 1)
С20	=НОРМРАСП (C8; C8; C9; 1) -НОРМРАСП (C8-C9; C8; C9; 1)
D17	=НОРМРАСП (0; D8; D9; 1)
D18	=НОРМРАСП (D11; D8; D9; 1)
D19	=НОРМРАСП (D12; D8; D9; 1) -НОРМРАСП (D8+D9; D8; D9; 1)
D20	=НОРМРАСП (D8; D8; D9; 1) -НОРМРАСП (D8-D9; D8; D9; 1)
E17	=НОРМРАСП (0; E8; E9; 1)
E18	=НОРМРАСП (E11; E8; E9; 1)
E19	=НОРМРАСП (E12; E8; E9; 1) -НОРМРАСП (E8+E9; E8; E9; 1)
E20	=НОРМРАСП (E8; E8; E9; 1) -НОРМРАСП (E8-E9; E8; E9; 1)
F17	=НОРМРАСП (0; F8; F9; 1)
F18	=НОРМРАСП (F11; F8; F9; 1)
F19	=НОРМРАСП (F12; F8; F9; 1) -НОРМРАСП (F8+F9; F8; F9; 1)
F20	=НОРМРАСП (F8; F8; F9; 1) -НОРМРАСП (F8-F9; F8; F9; 1)

Используемые в нем собственные имена ячеек также взяты из аналогичного листа предыдущего шаблона (см. табл. 7).

Для быстрого формирования нового листа «Результаты анализа» выполним следующие действия.

Загрузим предыдущий шаблон SIMUL_1. XLT и сохраним его под другим именем, например - SIMUL_2. XLT

Удалим лист «Имитация».

Перейдем в лист «Результаты анализа». Удалим строки 17-18. Откорректируем заголовок ЭТ.

Добавим формулы из табл. 9. Для этого введем соответствующие формулы в ячейки блока В17. В20 и скопируем их в блок С17. F20. Введем соответствующие комментарии.

Перейдите к следующему листу и присвоим ему имя - «Имитация». Приступаем к его формированию (рис. 9).



Рис. 9 - Лист «Имитация» (шаблон II)

Первая часть этого листа (блок ячеек А1. Е10) предназначена для ввода исходных данных и расчета необходимых параметров их распределений. Напомним, что нормальное распределение случайной величины характеризуется двумя параметрами - математическим ожиданием (средним) и стандартным отклонением. Формулы расчета указанных параметров для ключевых переменных модели заданы в блоках ячеек В7. D7 и B8. D8 соответственно (см. табл. 11). Для удобства определения формул и повышения их наглядности блоку ячеек Е3. Е5 присвоено имя «Вероятности» (см. табл. 10).

Таблица 10 - Имена ячеек листа «Имитация» (шаблон II)

Адрес ячейки	Имя	Комментарии
Блок Е3: Е5	Вероятности	Вероятность значения параметра
Блок A13: A512	Перем_расх	Переменные расходы
Блок B13: B512	Количество	Объем выпуска
Блок C13: C512	Цена	Цена изделия
Блок D13: D512	Поступления	Поступления от проекта NCF
Блок E13: E512	ЧСС	Чистая современная стоимость NPV

Таблица 11 - Формулы листа «Имитация» (шаблон II)

Ячейка	Формула
В7	=СУММПРОИЗВ (B3: B5; Вероятности)
В8	{=КОРЕНЬ (СУММПРОИЗВ ((B3: B5 - B7) ^2; Вероятности)) }
С7	=СУММПРОИЗВ (C3: C5; Вероятности)
С8	{=КОРЕНЬ (СУММПРОИЗВ ((C3: C5 - C7) ^2; Вероятности)) }
D7	=СУММПРОИЗВ (D3: D5; Вероятности)
D8	{=КОРЕНЬ (СУММПРОИЗВ ((D3: D5 - D7) ^2; Вероятности)) }
E10	=B10+13 -1
D13	= (B13* (C13-A13) -Пост_расх-Аморт) * (1-Налог) +Аморт
E13	=ПЗ (Норма; Срок; -D13) - Нач_инвест

Обратим внимание на то, что для расчета стандартных отклонений используются формулы-массивы. Для формирования блока формул достаточно определить их для ячеек В7. В8 и затем скопировать в блок С7. D8.

Формула в ячейке Е10 по заданному числу имитаций (ячейка В10) вычисляет номер последней строки для блоков, в которых будут храниться сгенерированные значения ключевых переменных.

Ячейки D13. E13 содержат уже знакомые нам формулы для расчета величины потока платежей NCF и его чистой современной стоимости NPV.

Сформируем элементы оформления листа «Имитация», определим необходимые имена для блоков ячеек (табл. 10) и зададим требуемые формулы (табл. 11). Сохраним полученный шаблон под именем SIMUL_2. XLT.

Введем исходные значения постоянных переменных (табл. 2) в ячейки В2. В4 и D2. D4 листа «Результаты анализа». Перейдем к листу «Имитация». Введем значения ключевых переменных и соответствующие вероятности (табл. 8). Полученная в результате ЭТ должна иметь вид рис. 10.



Рис. 10 - Лист «Имитация» после ввода исходных данных

Установим курсор в ячейку А13. Приступаем к проведению имитационного эксперимента.

Выберем в главном меню тему «Сервис» пункт «Анализ данных». Результатом выполнения этих действий будет появление диалогового окна «Анализ данных», содержащего список инструментов анализа.

Выберем из списка «Инструменты анализа» пункт «Генерация случайных чисел» и нажмем кнопку «ОК» (рис. 11).

На экране появится диалоговое окно «Генерация случайных чисел». Укажем в списке «Распределения» требуемый тип - «Нормальное». Заполним остальные поля изменившегося окна согласно рис. 12 и нажмем кнопку «ОК». Результатом будет заполнение блока ячеек А13. А512 (переменные расходы) сгенерированными случайными значениями.



Рис. 11 - Выбор инструмента «Генерация случайных чисел»

Рис. 12 - Заполнение полей окна «Генерация случайных чисел»

Приведем необходимые пояснения. Первым заполняемым аргументом диалогового окна «Генерация случайных чисел» является поле «Число переменных». Оно задает количество колонок ЭТ, в которых будут размещаться сгенерированные в соответствии с заданным законом распределения случайные величины. В нашем примере оно должно содержать 1, так как ранее мы отвели под значения переменной V (переменные расходы) в ЭТ одну колонку - «А». В случае, если указывается число больше 1, случайные величины будут размещены в соответствующем количестве соседних колонок, начиная с активной ячейки. Если это число не введено, то все колонки в выходном диапазоне будут заполнены.

Следующим обязательным аргументом для заполнения является содержимое поля «Число случайных чисел» (т. е. - количество имитаций). Согласно условиям примера оно должно быть равно 500 (см. рис. 12). При этом ППП EXCEL автоматически подсчитывает необходимое количество ячеек для хранения генеральной совокупности.

Необходимый вид распределения задается путем соответствующего выбора из списка «Распределения». Как уже отмечалось ранее, могут быть получены 7 наиболее распространенных в практическом анализе типов распределений, каждое из которых характеризуется собственными параметрами. Выбранный тип распределения определяет внешний вид диалогового окна. В рассматриваемом примере выбор типа распределения «Нормальное» повлек за собой появление дополнительных аргументов - его параметров «Среднее» и «Стандартное отклонение», рассчитанных ранее для исследуемой переменной V в ячейках В7 и В8 листа «Имитация». К сожалению эти аргументы могут быть заданы только в виде констант. Использование адресов ячеек и собственных имен здесь не допускается!

Указание аргумента «Случайное рассеивание» позволяет при повторных запусках генератора получать те же значения случайных величин, что и при первом. Таким образом одну и ту же генеральную совокупность случайных чисел можно получить несколько раз, что значительно повышает эффективность анализа. В случае если этот аргумент не задан (равен 0), при каждом последующем запуске генератора будет формироваться новая генеральная совокупность. В нашем примере этот аргумент задан равным 1, что позволит нам оперировать с одной и той же генеральной совокупностью и избежать постоянных перерасчетов ЭТ.

Последний аргумент диалогового окна «Генерация случайных чисел» - «Параметры вывода» определяет место расположения полученных результатов. Место вывода задается путем установления соответствующего флажка. При этом можно выбрать три варианта размещения:

выходной блок ячеек на текущем листе - введем ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона, при этом его размер будет определен автоматически и в случае возможного наложения генерируемых значений на уже имеющиеся данные на экран будет выведено предупреждающее сообщение;

новый рабочий лист - в рабочей книге будет открыт новый лист, содержащий результаты генерации случайных величин, начиная с ячейки A1;

новая рабочая книга - будет открыта новая книга с результатами имитации на первом листе.

В рассматриваемом примере для проведения дальнейшего анализа необходимо, чтобы случайные величины размещались в специально отведенные для них блоки ячеек (см. табл. 10). В частности для хранения 500 значений первой переменной ранее был отведен блок ячеек А13. А512. Поскольку для этого блока определено собственной имя - «Перем_расх», оно указано в качестве выходного диапазона. Отметим, что при увеличении либо уменьшении количества имитаций необходимо также переопределить и выходные блоки, предназначенные для хранения значений переменных.

Генерация значений остальных переменных Q и Р осуществляется аналогичным образом, путем выполнения шагов 1-3. Пример заполнения окна «Генерация случайных чисел» для переменной Q (количество) приведен на рис. 13.

Рис. 13 - Заполнение полей окна для переменной Q

Для получения генеральной совокупности значений потока платежей и их чистой современной стоимости необходимо скопировать формулы базовой строки (ячейки D13. E13) требуемое число раз (499).

Ее решение осуществляется выполнением следующих действий.

Выделим и скопируем в буфер ячейку D13.

Нажмем клавишу [F5]. На экране появится диалоговое окно «Переход».

Укажем в поле «Ссылка» имя блока «Поступления» и нажмем кнопку «ОК». Результатом этих действий будет выделение заданного блока.

Нажмем клавишу [ENTER].

Аналогичным образом копируется формула из ячейки Е13. При этом в поле «Ссылка» диалогового окна «Переход» необходимо указать имя блока - «ЧСС». Также можем выбрать необходимое имя из списка «Перейти к».

Полученные результаты решения примера приведены на рис. 14. - 15.

Результаты проведенного имитационного эксперимента ненамного отличаются от предыдущих. Величина ожидаемой NPV равна 3412, 14 при стандартном отклонении 2556, 83. Коэффициент вариации (0, 75) несколько выше, но меньше 1, таким образом риск данного проекта в целом ниже среднего риска инвестиционного портфеля фирмы. Результаты вероятностного анализа показывают, что шанс получить отрицательную величину NPV не превышает 9%. Общее число отрицательных значений NPV в выборке составляет 32 из 500. Таким образом с вероятностью около 91% можно утверждать, что чистая современная стоимость проекта будет больше 0. При этом вероятность того, что величина NPV окажется больше чем М (NPV) + s, равна 16% (ячейка F19). Вероятность попадания значения NPV в интервал [М (NPV) - s; М (NPV)] равна 34%.



Рис. 14 - Результаты имитационного эксперимента (шаблон II)

Рис. 15 - Результаты анализа (шаблон II)

4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИМИТАЦИИ

Как уже отмечалось, в анализе стохастических процессов важное значение имеют статистические взаимосвязи между случайными величинами. В предыдущем примере для установления степени взаимосвязи ключевых и расчетных показателей мы использовали графический анализ. В качестве количественных характеристик подобных взаимосвязей в статистике используют два показателя: ковариацию и корреляцию.

КОВАРИАЦИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Ковариация выражает степень статистической зависимости между двумя множествами данных и определяется из следующего соотношения:

(3)

где X, Y - множества значений случайных величин размерности m; M (X) - математическое ожидание случайной величины Х; M (Y) - математическое ожидание случайной величины Y.

Как следует из (3), положительная ковариация наблюдается в том случае, когда большим значениям случайной величины Х соответствуют большие значения случайной величины Y, т. е. между ними существует тесная прямая взаимосвязь. Соответственно отрицательная ковариация будет иметь место при соответствии малым значениям случайной величины Х больших значений случайной величины Y. При слабо выраженной зависимости значение показателя ковариации близко к 0.

Ковариация зависит от единиц измерения исследуемых величин, что ограничивает ее применение на практике. Более удобным для использования в анализе является производный от нее показатель - коэффициент корреляции R, вычисляемый по формуле:

(4).

Коэффициент корреляции обладает теми же свойствами, что и ковариация, однако является безразмерной величиной и принимает значения от -1 (характеризует линейную обратную взаимосвязь) до +1 (характеризует линейную прямую взаимосвязь). Для независимых случайных величин значение коэффициента корреляции близко к 0.

Определение количественных характеристик для оценки тесноты взаимосвязи между случайными величинами в ППП EXCEL может быть осуществлено двумя способами:

с помощью статистических функций КОВАР () и КОРРЕЛ ();

с помощью специальных инструментов статистического анализа.

Если число исследуемых переменных больше 2, более удобным является использование инструментов анализа.

ИНСТРУМЕНТ АНАЛИЗА ДАННЫХ «КОРРЕЛЯЦИЯ»

Определим степень тесноты взаимосвязей между переменными V, Q, P, NCF и NPV. При этом в качестве меры будем использовать показатель корреляции R.

Выберем в главном меню тему «Сервис» пункт «Анализ данных». Результатом выполнения этих действий будет появление диалогового окна «Анализ данных», содержащего список инструментов анализа.

Выберем из списка «Инструменты анализа» пункт «Корреляция» и нажмем кнопку «ОК» (рис. 16.). Результатом будет появление окна диалога инструмента «Корреляция».

Заполним поля диалогового окна, как показано на рис. 17. и нажмите кнопку «ОК».

Вид полученной ЭТ после выполнения элементарных операций форматирования приведен на рис. 18.



Рис. 16 - Список инструментов анализа (выбор пункта «Корреляция»)

имитационный моделирование случайный число

Рис. 17 - Заполнение окна диалога инструмента «Корреляция»

РЕЗУЛЬТАТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

Результаты корреляционного анализа представлены в ЭТ в виде квадратной матрицы, заполненной только наполовину, поскольку значение коэффициента корреляции между двумя случайными величинами не зависит от порядка их обработки. Нетрудно заметить, что эта матрица симметрична относительно главной диагонали, элементы которой равны 1, так как каждая переменная коррелирует сама с собой.

Как следует из результатов корреляционного анализа, выдвинутая в процессе решения предыдущего примера гипотеза о независимости распределений ключевых переменных V, Q, P в целом подтвердилась. Значения коэффициентов корреляции между переменными расходами V, количеством Q и ценой Р (ячейки В3. В4, С4) достаточно близки к 0.

В свою очередь величина показателя NPV напрямую зависит от величины потока платежей (R = 1). Кроме того, существует корреляционная зависимость средней степени между Q и NPV (R = 0, 548), P и NPV (R = 0, 67). Как и следовало ожидать, между величинами V и NPV существует умеренная обратная корреляционная зависимость (R = -0, 39).

Полезность проведения последующего статистического анализа результатов имитационного эксперимента заключается также в том, что во многих случаях он позволяет выявить некорректности в исходных данных, либо даже ошибки в постановке задачи. В частности в рассматриваемом примере, отсутствие взаимосвязи между переменными затратами V и объемами выпуска продукта Q требует дополнительных объяснений, так как с увеличением последнего, величина V также должна расти. Таким образом, установленный диапазон изменений переменных затрат V нуждается в дополнительной проверке и, возможно, корректировке.

Следует отметить, что близкие к нулевым значения коэффициента корреляции R указывают на отсутствие линейной связи между исследуемыми переменными, но не исключают возможности нелинейной зависимости. Кроме того, высокая корреляция не обязательно всегда означает наличие причинной связи, так как две исследуемые переменные могут зависеть от значений третьей.

При проведении имитационного эксперимента и последующего вероятностного анализа полученных результатов мы исходили из предположения о нормальном распределении исходных и выходных показателей. Вместе с тем, справедливость сделанных допущений, по крайней мере для выходного показателя NPV, нуждается в проверке.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины применяются специальные статистические критерии: Колмогорова-Смирнова, w 2, c 2. В целом ППП EXCEL позволяет быстро и эффективно осуществить расчет требуемого критерия и провести статистическую оценку гипотез.

Однако в простейшем случае для этих целей можно использовать такие характеристики распределения, как асимметрия (скос) и эксцесс. Напомним, что для нормального распределения эти характеристики должны быть равны 0. На практике близкими к нулевым значениями можно пренебречь. Для вычисления коэффициента асимметрии и эксцесса в ППП EXCEL реализованы специальные статистические функции - СКОС () и ЭКСЦЕСС ().

ИНСТРУМЕНТ АНАЛИЗА ДАННЫХ «ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА»

Чем больше характеристик распределения случайной величины нам известно, тем точнее мы можем судить об описываемых ею процессов. Инструмент «Описательная статистика» автоматически вычисляет наиболее широко используемые в практическом анализе характеристики распределений. При этом значения могут быть определены сразу для нескольких исследуемых переменных.

Определим параметры описательной статистики для переменных V, Q, P, NCF, NPV. Для этого необходимо выполнить следующие шаги.

Выберем в главном меню тему «Сервис» пункт «Анализ данных». Результатом выполнения этих действий будет появление диалогового окна «Анализ данных», содержащего список инструментов анализа.

Выберем из списка «Инструменты анализа» пункт «Описательная статистика» и нажмем кнопку «ОК». Результатом будет появление окна диалога инструмента «Описательная статистика».

Заполним поля диалогового окна, как показано на рис. 19. и нажмем кнопку «ОК».

Результатом выполнения указанных действий будет формирование отдельного листа, содержащего вычисленные характеристики описательной статистики для исследуемых переменных. Выполнив операции форматирования, можно привести полученную ЭТ к более наглядному виду (рис. 20).



Рис. 18 - Заполнение полей диалогового окна «Описательная статистика»

Рис. 19 - Описательная статистика для исследуемых переменных

Многие из приведенных в данной ЭТ характеристик нам уже хорошо знакомы, а их значения уже определены с помощью соответствующих функций на листе «Результаты анализа». Поэтому рассмотрим лишь те из них, которые не упоминались ранее.

Вторая строка ЭТ содержит значения стандартных ошибок e для средних величин распределений. Другими словами среднее или ожидаемое значение случайной величины М (Е) определено с погрешностью ± e.

Медиана - это значение случайной величины, которое делит площадь, ограниченную кривой распределения, пополам (т. е. середина численного ряда или интервала). Как и математическое ожидание, медиана является одной из характеристик центра распределения случайной величины. В симметричных распределениях значение медианы должно быть равным или достаточно близким к математическому ожиданию.

Как следует из полученных результатов, данное условие соблюдается для исходных переменных V, Q, P (значения медиан лежат в диапазоне М (Е) ± e, т. е. - практически совпадают со средними). Однако для результатных переменных NCF, NPV значения медиан лежат ниже средних, что наводит на мысль о правосторонней асимметричности их распределений.

Мода - наиболее вероятное значение случайной величины (наиболее часто встречающееся значение в интервале данных). Для симметричных распределений мода равна математическому ожиданию. Иногда мода может отсутствовать. В данном случае ППП EXCEL вернул сообщение об ошибке. Таким образом, вычисление моды не представляется возможным.

Эксцесс характеризует остроконечность (положительное значение) или пологость (отрицательное значение) распределения по сравнению с нормальной кривой. Теоретически, эксцесс нормального распределения должен быть равен 0. Однако на практике для генеральных совокупностей больших объемов его малыми значениями можно пренебречь.

В рассматриваемом примере примерно одинаковый положительный эксцесс наблюдается у распределений переменных Q, NCF, NPV. Таким образом графики этих распределений будут чуть остроконечнее, по сравнению с нормальной кривой. Соответственно графики распределений для переменных V и Р будут чуть более пологими, по отношению к нормальному.

Асимметричность (коэффициент асимметрии или скоса - s) характеризует смещение распределения относительно математического ожидания. При положительном значении коэффициента распределение скошено вправо, т. е. его более длинная часть лежит правее центра (математического ожидания) и обратно. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0. На практике, его малыми значениями можно пренебречь.

В частности асимметрию распределений переменных V, Q, P в данном случае можно считать несущественной, чего нельзя однако сказать о распределении величины NPV.

Осуществим оценку значимости коэффициента асимметрии для распределения NPV. Наиболее простым способом получения такой оценки является определение стандартной (средней квадратической) ошибки асимметрии, рассчитываемой по формуле:

(5.)

где n - число значений случайной величины (в данном случае - 500).

Если отношение коэффициента асимметрии s к величине ошибки s as меньше трех (т. е.: s /s as < 3), то асимметрия считается несущественной, а ее наличие объясняется воздействием случайных факторов. В противном случае асимметрия статистически значима и факт ее наличия требует дополнительной интерпретации. Осуществим оценку значимости коэффициента асимметрии для рассматриваемого примера.

Введем в любую ячейку ЭТ формулу:

= 0, 763 / КОРЕНЬ (6*499 / 501*503) (Результат: 7, 06).

Поскольку отношение s /s as > 3, асимметрию следует считать существенной. Таким образом наше первоначальное предположение о правосторонней скошенности распределения NPV подтвердилась.

Для рассматриваемого примера наличие правосторонней асимметрии может считаться положительным моментом, так как это означает, что большая часть распределения лежит выше математического ожидания, т. е. большие значения NPV являются более вероятными.

Аналогичным способом можно осуществить проверку значимости величины эксцесса - е. Формула для расчета стандартной ошибки эксцесса имеет следующий вид:

(6.)

где n - число значений случайной величины.

Если отношение e /s ex < 3, эксцесс считается незначительным и его величиной можно пренебречь.

Для вычисления коэффициента асимметрии в этой формуле использована статистическая функция СКОС (). Формула для проверки значимости показателя эксцесса задается аналогичным образом. Числителем этой формулы будет функция ЭКСЦЕСС (), а знаменателем соотношение (6.), реализованное в средствами ППП EXCEL.

Оставшиеся показатели описательной статистики (рис. 20) представляют меньший интерес. Величина «Интервал» определяется как разность между максимальным и минимальным значением случайной величины (численного ряда). Параметры «Счет» и «Сумма» представляют собой число значений в заданном интервале и их сумму соответственно.

Последняя характеристика «Уровень надежности» показывает величину доверительного интервала для математического ожидания согласно заданному уровню надежности или доверия. По умолчанию уровень надежности принят равным 95%.

Для рассматриваемого примера это означает, что с вероятностью 0, 95 (95%) величина математического ожидания NPV попадет в интервал 3412, 14 ± 224, 88.

Расчет доверительного интервала для среднего значения можно также осуществить с помощью специальной статистической функции ДОВЕРИТ ().

Дополнение «Анализ данных» содержит целый ряд других полезных инструментов, позволяющих быстро и эффективно осуществить требуемый вид обработки данных. Вместе с тем, большинство из них требует осмысленного применения и соответствующей подготовки пользователя в области математической статистики.

Заключение

В заключении отметим, что имитационное моделирование позволяет учесть максимально возможное число факторов внешней среды для поддержки принятия управленческих решений и является наиболее мощным средством анализа инвестиционных рисков. Необходимость его применения в отечественной финансовой практике обусловлена особенностями российского рынка, характеризующегося субъективизмом, зависимостью от внеэкономических факторов и высокой степенью неопределенности.

Результаты имитации могут быть дополнены вероятностным и статистическим анализом и в целом обеспечивают менеджера наиболее полной информацией о степени влияния ключевых факторов на ожидаемые результаты и возможных сценариях развития событий.

К недостаткам рассмотренного подхода следует отнести:

трудность понимания и восприятия менеджерами имитационных моделей, учитывающих большое число внешних и внутренних факторов, вследствие их математической сложности и объемности;

при разработке реальных моделей может возникнуть необходимость привлечения специалистов или научных консультантов со стороны;

относительную неточность полученных результатов, по сравнению с другими методами численного анализа и др.

Несмотря на отмеченные недостатки, в настоящее время имитационное моделирование является основой для создания новых перспективных технологий управления и принятия решений в сфере бизнеса, а развитие вычислительной техники и программного обеспечения делает этот метод все более доступным для широкого круга специалистов-практиков.

Список используемой литературы

1. Емельянов А.А. Структурный анализ и динамические имитационные модели в экономике. - М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Емельянов А.А., Власова Е.А. Структурный анализ и имитационное моделирование в системе PILGRIM/ Учебное пособие. - М.: МЭСИ, 2000.

3. Кобелев Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических задач. - М.: Дело, 2003.

4. Калянов Г.Н. CASE структурный системный анализ (автоматизация и применение). - М.: Лори, 1996.

5. Круглински Д., Уингоу С. ,Шеферд Дж. Microsoft Excel- справочник пользователя. Спб.: Питер.2001.

6. Емельянов А.А. Власова Е.А. Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов процессов. М. Финансы и статистика, 2002

7. Карпов Ю. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

8. Горшков А.Ф. и др. Компьютерное моделирование менеджмента: Учебное пособие. М.: 2004.

9. И.В. Войнов и др. Моделирование экономических систем и процессов. Челябинск, 2002.

10. Бережная Е.В., Бережной В.И.Математические методы моделирования экономических систем. М.: 2005.

11. Емельянов А.А. Имитационное моделирование экономических процессов. М.: 2005.

12. Охорзин В.А Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде Mathcad. М.: 2005.

13. Чураков Е.П. Математические методы экспериментальных данных в экономике. М.: 2005.

Размещено на Allbest.ru