Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

СМОЛЕНСКИЙ ФИЛИАЛ ГОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

(СМОЛЕНСКИЙ ФИЛИАЛ МИИТ)

Кафедра «Экономическая теория»

Курсовая работа

по дисциплине

«Эконометрика»

на тему:

«Ковариационная матрица и ее оценка. Система одновременных уравнений»

Группа: СМНЭ- 3д

Студентка: Зайцева Т.А.

Смоленск 2011

Содержание

• Глава 1.
• 1.1 Ковариационная матрица и ее оценка
• 1.2 Система одновременных уравнений
• Глава 2.1
• Задача 1
• Задача 2
• Список литературы

Глава 1.

1.1 Ковариационная матрица и ее оценка

Вариации оценок параметров будут, в конечном счете, определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу вектора оценок параметров E_n, являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной:

В общем виде многомерная линейная регрессионная модель зависимости y от объясняющих переменных , ,…, имеет вид:

.

Для оценки неизвестных параметров взята случайная выборка объема n из (k+1)-мерной случайной величины (y, , ,…, ).

В матричной форме модель имеет вид:

,

где , , , е=

- вектор-столбец фактических значений зависимой переменной размерности n;

- матрица значений объясняющих переменных размерности n*(k+1);

- вектор-столбец неизвестных параметров, подлежащих оценке, размерности (k+1);

- вектор-столбец случайных ошибок размерности n с математическим ожиданием ME=0 и ковариационной матрицей соответственно, при этом

-единичная матрица размерности (nxn).

Оценки неизвестных параметров находятся методом наименьших квадратов, минимизируя скалярную сумму квадратов по компонентам вектора в.

Далее подставив выражение

в ,

получаем скалярную сумму квадратов

Условием обращения полученной суммы в минимум является система нормальных уравнений:

, (j=0,1,2,…,k).

В результате дифференцирования получается:

.

При замене вектора неизвестных параметров в на оценки, полученные методом наименьших квадратов, получаем следующее выражение [7, c.64]:

.

Далее умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим

Так как

, тогда .

Полученные оценки вектора b являются не смещенными и эффективными.

Ковариационная матрица вектора b имеет вид:

,

где - остаточная дисперсия.

Ковариационная матрица может быть любого размера. Пусть - числа, ошибками которых являются . Вычислим дисперсии и ковариации

............

Из них также можно построить ковариационную матрицу

.

Эта матрица обладает свойством симметрии где “Т” - знак транспонирования - замена строк матрицы столбцами или наоборот.

Элементы главной диагонали этой матрицы представляют собой дисперсии вектора оценок b. Остальные элементы являются значениями коэффициентов ковариации:

, где , .

Таким образом, оценка - это линейная функция от зависимой переменной. Она имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .

Несмещенная оценка остаточной дисперсии определяется по формуле:

,

где n - объем выборочной совокупности;

k - число объясняющих переменных.

Для проверки значимости уравнения регрессии используют F-критерий дисперсионного анализа, основанного на разложении общей суммы квадратов отклонений на составляющие части:

,

где - сумма квадратов отклонений (от нуля), обусловленная регрессией;

- сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от расчетных, т.е. сумма квадратов отклонений относительно плоскости регрессии, обусловленное воздействием случайных и неучтенных в модели факторов.

Для проверки гипотезы используется величина

,

которая имеет F-распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы и . Если, то уравнение регрессии значимо, т.е. в уравнении есть хотя бы один коэффициент регрессии, отличный от нуля.

В случае значимости уравнения регрессии проверяется значимость отдельных коэффициентов регрессии. Для проверки нулевой гипотезы используется величина

,

которая имеет F-распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы и ; - соответствующий элемент главной диагонали ковариационной матрицы.

Коэффициент регрессии считается значимым, если . Для значимых коэффициентов регрессии можно построить доверительные интервалы, используя формулу

,

где находится по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы .

В многошаговом регрессионном анализе наиболее известны три подхода:

1. Метод случайного поиска с адаптацией. Осуществляется путем построения нескольких уравнений регрессии на основе формально разработанного принципа включения факторов и последующего выбора лучшего уравнения с точки зрения определенного критерия.

2. Метод включения переменных, основанный на построении уравнения регрессии по одному значимому фактору и последовательном добавлении всех остальных статистически значимых переменных путем расчета частных коэффициентов корреляции и F-критерия при проверке значимости вводимого в модель фактора [8, c.89]

3. Метод отсева факторов по t-критерию. Данный метод заключается в построении уравнений регрессии по максимально возможному количеству объясняющих переменных и последующем исключении статистически не существенных факторов.

1.2 Система одновременных уравнений

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы:

y₁ = b_12* y₂ + b_13* y₃ +… + b_{1n *} y_n + a_{11 *} x₁ + a_{12 *} x₂ +…+ a_1m x_m + e_1,

y₂ = b_21* y₁ + b_23* y₃ +… + b_{2n *} y_n + a_{21 *} x₁ + a_{22 *} x₂ +…+ a_2m x_m + e_2,

_{…………………………………………………………………………………………}

y_n = b_n1* y₁ + b_n2* y₂ +… + b_{nn-1 *} y_n-1 + a_{n1 *} x₁ + a_{n2 *} x₂ +…+ a_nm x_m + e_n,

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания [4, c.92].

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные - это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе и которые обозначаются через y.

Экзогенные переменные - это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Обозначаются через x.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия, социальное положение, пол, возрастная категория) входят в систему только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной.

Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных переменных коэффициенты ik b и экзогенных переменных - коэффициенты ija, которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. под x подразумевается x ? , а под y - соответственно y ? . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели [2, c.74].

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

y₁ = д₁₁ x₁ + д₁₂x₂ +… + д_{1n *} x_n +u_1,

y₂ = д₂₁ x₁ + д₂₂x₂ +… + д_{2n *} x_n +u_2,

_{……………………………………………………………………}

y_n = д_m1 x₁ + д_m2x₂ +… + д_mn x_n +u_m,

где ij д - коэффициенты приведенной формы модели, i u - остаточная величина для приведенной формы.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить ij д, а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели.

Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.

Для структурной модели вида:

y₁ = b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + e_1,

y₂ = b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + e_2,

приведенная форма модели имеет вид:

y₁ = д₁₂y₂ + д₁₁x₁ + u_1,

y₂ = д₂₁y₁ + д₂₂x₂ + u_2,

Из первого уравнения можно выразить 2 y следующим образом (ради упрощения опускаем случайную величину):

Подставляя во второе уравнение (3.5), имеем:

Откуда:

Поступая аналогично со вторым уравнением системы, получим:

т. е. система принимает вид:

Таким образом, можно сделать вывод о том, что коэффициенты приведенной формы модели будут выражаться через коэффициенты структурной формы следующим образом:

,,

,.

Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

При переходе от приведенной формы модели к структурной эконометрист сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Структурная модель в полном виде содержит m(m +n ?1) параметров, а приведенная форма модели в полном виде содержит m?n параметров. Т. е. в полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Соответственно m(m +n?1) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из m?n параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т. е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково. На структурные коэффициенты могут накладываться, например ограничения вида bik + aij = 0.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

1) идентифицируемые;

2) неидентифицируемые;

3) сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема [5, c.69].

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны ±1. В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Глава 2.

Задача 1

По данным табл.1.1 требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры

следующих функций:

а)линейной;

б)степенной;

в)показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

В данной задаче использовались следующие формулы:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Решение:

Таблица 1.1 - Исходные данные к задаче

Номер региона	Расходы на покупку продовольственных товаров в, расходах, %, Y	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., X
29	49.0	60,1
30	52.1	59,2
31	53,2	58.6
32	56,6	55,4
33	59,5	53.1
34	66,6	52,0
35	67.8	49,9

а) Для характеристики зависимости у от х рассчитаны параметры для линейной функции Y=b₁x +b₀, для чего используются формулы (2) и (3). Расчеты приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2 - Расчеты

Номер региона	Х * У	Х^2
29	2944,9	3612,01
30	3084,32	3504,64
31	3117,52	3433,96
32	3135,64	3069,16
33	3159,45	2819,61
34	3463,2	2704
35	3383,22	2490,01
итого	22288,25	21633,39
ср. значение	3184,035714	3090,484

b₀ = 156,3072

b₁ = -1,775302966

Y^ = 156,31 - 1,78x

б) Для характеристики зависимости у от х рассчитаны параметры для степенной функции Y=10^b0*x^b1, используя формулы:

У(*) = log У

Х(*) = log Х

Расчеты приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3 - Расчёты

Номер региона	У(*)	Х(*)	Х(*) У(*)	Х(*)2
29	1,69019608	1,778874472	3,006646659	3,164394
30	1,716837723	1,772321707	3,042788764	3,141124
31	1,725911632	1,767897616	3,05123506	3,125462
32	1,752816431	1,743509765	3,056052564	3,039826
33	1,774516966	1,725094521	3,061209495	2,975951
34	1,823474229	1,716003344	3,129087874	2,944667
35	1,831229694	1,698100546	3,109612142	2,883545
итого	12,31498276	12,20180197	21,45663256	21,27497
ср. значение	1,759283251	1,743114567	3,065233223	3,039282

b₁ = -1,679177577

b₀ = 4,686282

10 ^b0 = 48560,39

Y^= 48560,39 * X - ^1,68

в) Для характеристики зависимости у от х рассчитаны параметры для показательной функции Y= 10^b0 *(10^b1)^x.

У(*) и Х(*) из пункта б)

Расчеты приведены в таблице 1.4.

Таблица 1.4 - Расчеты

Номер региона	У(*)	Х(*)	Х У(*)	Х(*)2
29	1,69019608	1,778874472	101,5807844	3,164394
30	1,716837723	1,772321707	101,6367932	3,141124
31	1,725911632	1,767897616	101,1384217	3,125462
32	1,752816431	1,743509765	97,10603029	3,039826
33	1,774516966	1,725094521	94,22685088	2,975951
34	1,823474229	1,716003344	94,82065992	2,944667
35	1,831229694	1,698100546	91,37836172	2,883545
итого	12,31498276	12,20180197	681,8879021	21,27497
ср. значение	1,759283251	1,743114567	97,41255744	3,039282

b ₀= 2,493381056

b ₁= -0,01323

10^b0 = 311,44478

10^b1 = 0,969987639

Y^= 311,4 * (0,97)^x

г) Для характеристики зависимости у от х рассчитаны параметры для гиперболической функции Y= b₀ - b₁/x

Х(*) = 1/Х

Расчеты приведены в таблице 1.5.

Таблица 1.5 - Расчеты

Номер региона	Y	Х(*)	Х(*)У	Х(*)2
29	49,0	0,0166389	0,81530782	0,00027685
30	52,1	0,0168919	0,880067568	0,00028534
31	53,2	0,0170648	0,907849829	0,00029121
32	56,6	0,0180505	1,02166065	0,00032582
33	59,5	0,0188324	1,120527307	0,00035466
34	66,6	0,0192308	1,280769231	0,00036982
35	67,8	0,0200401	1,358717435	0,0004016
итого	404,8	0,1267495	7,38489984	0,00230531
ср. значение	57,8	0,0181071	1,054985691	0,00032933

b ₀= -39,64

b ₁=5383,12

Y^= 5383,12/x - 39,64

Далее, оценена каждая модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера, используя формулы (4), (5), (6) и (7):

а) Оценка линейной функции

Таблица 1.6 - Расчеты параметров

Номер региона	Y^	y^-y	А
29	49,61	0,61	1,24
30	51,21	-0,89	1,71
31	52,27	-0,92	1,74
32	57,95	1,35	2,39
33	62,04	2,53	4,26
34	63,99	-2,60	3,91
35	67,72	-0,08	0,11
итого	404,8	-2,84	15,39
ср. значение	57,82	-4,06	2,19

R²= 0,945289

F= 103,6663

б) Оценка степенной функции

Таблица 1.7 - Расчеты параметров

Номер региона	У^	y^-y	А
29	50,03	1,03	2,10
30	51,31	-0,78	1,51
31	52,19	-1	1,88
32	57,36	0,76	1,34
33	61,59	2,09	3,52
34	63,79	-2,80	4,21
35	68,371	0,57	0,84
итого	404,66	-0,13	15,41
ср. значение	57,81	-0,018	2,20

R²= 0,949424

F= 112,6332

в) Оценка показательной функции

Таблица 1.8 - Расчеты параметров

Номер региона	У^	y^-y	А
29	49,89	0,89	1,82
30	51,27	-0,82	1,57
31	52,22	-0,97	1,83
32	57,57	0,97	1,72
33	61,75	2,25	3,78
34	63,85	-2,74	4,11
35	68,08	0,27	0,412
итого	404,66	-0,13	15,26
ср. значение	57,81	-0,019	2,18

R²= 0,94873

F= 111,028

г) Оценка функции равносторонней гиперболы.

Расчеты параметров представлены в таблице 1.9

Таблица 1.9 - Расчеты параметров

Номер региона	У^	y^-y	А
29	49,92	0,92	1,88
30	51,28	-0,81	1,56
31	52,21	-0,98	1,84
32	57,52	0,92	1,63
33	61,73	2,23	3,75
34	63,87	-2,72	4,08
35	68,23	0,43	0,64
итого	404,8	-1,42	15,408
ср. значение	57,82	-2,03	2,201

R²= 0,949107

F= 111,8939

Таким образом, при использовании линейной модели около 94 % вариации расходов на покупку продуктов объясняется вариацией средней заработной платы одного работающего, что говорит об умеренной точности подгонки с помощью линейной модели и неплохом ее качестве. При аппроксимации с помощью гиперболической регрессионной функции качество подгонки немного выше (объясняется 95% вариации). Еще более качественная степенная модель (95,5%).

Согласно найденной средней ошибки аппроксимации, получено, что все три модели обладают допустимой ошибкой аппроксимации. Наименьшей ошибкой обладает показательная модель: в среднем расчетные данные отклоняются от фактических на 2,18%, что говорит о хорошем качестве аппроксимации. По F-критерию Фишера все четыре модели признаются значимыми.

Задача 2

По данным табл.2.1 требуется:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии у от х1 и х2.

2. Рассчитать коэффициенты множественной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х1, составляющем 107% от среднего уровня, и расход на покупку продовольственных товаров в общих расходах х2, составляющий 60%.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение:

Таблица 2.1 - Исходные данные к задаче 2

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x1	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, x2	Среднедневная заработанная плата, руб., y
41	79	57,3	139
42	83	64,1	146
43	78	66,6	147
44	84	49,9	150
45	89	54,8	154
46	79	56,9	153
47	90	57,1	162
48	88	62,3	160
49	92	66,1	169
50	90	67,3	171

Нашли параметры уравнения y = b₀+b₁x₁+b₂x_2:

Таблица 2.2 - Расчеты параметров

Номер региона	x12	x22	Y2	x1 x2	x1 y	x2 y
41	6241	3283,29	19321	4526,7	10981	7964,7
42	6889	4108,81	21316	5320,3	12118	9358,6
43	6084	4435,56	21609	5194,8	11466	9790,2
44	7056	2490,01	22500	4191,6	12600	7485
45	7921	3003,04	23716	4877,2	13706	8439,2
46	6241	3237,61	23409	4495,1	12087	8705,7
47	8100	3260,41	26244	5139	14580	9250,2
48	7744	3881,29	25600	5482,4	14080	9968
49	8464	4369,21	28561	6081,2	15548	11170,9
50	8100	4529,29	29241	6057	15390	11508,3
Итого	72840	36598,52	241517	51365,3	132556	93640,8
Ср.значение	7284	3659,852	24151,7	5136,53	13255,6	9364,08
10	852	602,4
852	72840	51365,3
602,4	51365,3	36598,5

X^ТX =

36,25	-0,31	-0,152
-0,31	0,004	-0,0005
-0,152	-0,0005	0,003

(X^T X)^-1=

1551
132556
93640,8
-6,712
1,569
0,466

XTY =B =

b ₀= -6,7119

b ₁= 1,569

b₂= 0,466

y^ = -6,71 + 1,56х₁ + 0,46х₂

Полученное уравнение показывает, что при увеличении только среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на руб. увеличится среднедневная заработанная плата в среднем на 1,56 руб. А при увеличении только уровня расходов на покупку продовольственных товаров - в среднем на 0, 46 руб.

Далее, рассчитаны коэффициенты множественной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации, используя формулы (4) и (7) из задачи 1:

Таблица 2.3 - Расчеты параметров

Номер региона	Y^	Y^ - Y	(Y^-Y)2	A
41	143,99	4,99	24,97	3,59
42	153,44	7,44	55,44	5,10
43	146,76	-0,23	0,05	0,16
44	148,39	-1,60	2,57	1,06
45	158,52	4,52	20,51	2,94
46	143,81	-9,18	84,42	6,005
47	161,17	-0,82	0,68	0,51
48	160,45	0,45	0,21	0,28
49	168,505	-0,49	0,24	0,29
50	165,92	-5,074	25,75	2,96
Итого	1551	1,45	214,88	22,92
Ср.значение	155,1	1,45	21,48	2,29

R_y|X₁,X₂,…,X_n = 0,14676047

А = 2,29291

Далее, оценена статистическая значимость параметров регрессии и корреляции:

Таблица 2.4 - Расчеты параметров

Номер региона	(x1- Xc.)2	(x2- Xc.)2	(Y-Ycp.)2
41	38,44	8,6436	259,21
42	6889	4108,81	21316
43	6084	4435,56	21609
44	5476	643364,41	204665,76
45	582169	5297685339	2622597248
46	273947,56	2632551911	1328275928
47	8100	3260,41	26244
48	2677,728429	3920,8104	25648,88435
49	8522,313067	4368,66871	28561,18227
50	8127,507647	4529,362585	29239,8723
Итого	902031,5491	7930905246	3951230720
Ср.значение	90203,15491	793090524,6	395123072

Чем ближе коэффициент R² ближе к 1, тем лучше регрессия аппроксимирует исходные данные.

R²= 0,775436586

F= 22,17159591

Далее, составлен прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х1, составляющем 107% от среднего уровня, и расход на покупку продовольственных товаров в общих расходах х2, составляющий 60%, используя следующие формулы:

(8)

(9)

(10)

X₁₀= 1,07 / Х_1ср.X₁₀= 0,012558685

X₂₀= 0,6 / Х_2ср.X₂₀= 0,009960159

Y₀= -6,687616075

S_y=9,782126558

t=2,31

y^ = 1,68+ 0,276 - 6,71 = - 4,754

- 6,68 - 2,31*9,78 ? M_x (y) ? - 6,68 + 2,31*9,78

- 6,68 - 22,59 ? M_x (y) ? - 6,68 + 22,59

- 29,27? M_x (y) ?15,91

Заработная плата при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня, и расход на покупку продовольственных товаров в общих расходах, составляющий 60%, лежит в пределах от -29,27 до 15,91

ковариационная матрица уравнение идентификация

Список литературы

1. Балдин К.В., Быстров О.Ф., Соколов М.М. Эконометрика: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИДАНА, 2004

2. Гладилин А. В., Герасимов А. Н., Громов Е.И. Эконометрика - «КноРус», 2008

3. Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003

4. Дрейпер Н, Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Эконометрика. Начальный курс: Учеб. - 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Дело, 2004

7. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие; Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003

8. Просветов Г. Эконометрика. Задачи и решения - Альфа-пресс, 2008

9. Салманов О. Эконометрика: Учебное пособие - Экономистъ, 2006

10. Уткин В.Б. Эконометрика - Дашков и К, 2008

11. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003

12. Яновский Л.П., Буховец А.Г. Введение в эконометрику - КноРус,2009

Размещено на Allbest.ru