Линейное и оценочное уравнение регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1

По семи территориям Уральского района. За 199Х г. известны значения двух признаков. Данные приведены в Таблице 1.1

Таблица 1.1

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., Х
Удмуртская репс.	70,3	42,6
Свердловская обл.	62,7	57,5
Башкортостан	65,1	55,7
Челябинская обл.	58,2	59,3
Пермская обл.	57,5	57,3
Курганская обл.	55,8	44,7
Оренбургская обл.	51,8	53,7

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель)

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение:

а) Для расчета параметров линейной регрессии решаем сист му нормальных уравнений.По исходным данным расчитываем необходимые значения и вносим в Таблицу1.2.



Таблица 1.2

x	y	x 2	y 2	x * y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
70.3	42.6	4942.09	1814.76	2994.78	49.76	107.57	51.33	102.01	0.1682
62.7	57.5	3931.29	3306.25	3605.25	52.18	20.51	28.33	6.25	0.0926
65.1	55.7	4238.01	3102.49	3626.07	51.42	7.45	18.36	24.01	0.0769
58.2	59.3	3387.24	3516.49	3451.26	53.61	40.05	32.42	4	0.096
57.5	57.3	3306.25	3283.29	3294.75	53.83	18.74	12.05	7.29	0.0606
55.8	44.7	3113.64	1998.09	2494.26	54.37	68.42	93.48	19.36	0.2163
51.8	53.7	2683.24	2883.69	2781.66	55.64	0.5308	3.76	70.56	0.0361
421.4	370.8	25601.76	19905.06	22248.03	370.8	263.25	239.72	233.48	0.7467

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + е

Здесь е - случайная ошибка (отклонение, возмущение). Для оценки параметров б и b - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений:

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение, получаем b = -0.32, a = 72.08

Уравнение регрессии имеет вид:

y = 72.08 -0.32 x

С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,32 %-ных пункта.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение:

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:



Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и обратная.

Определим коэффициент детерминации:

R2= -0.32 = 0.0894

Т.е. в 8,94% случаев изменения x приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 91.06% изменения y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения у.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 10.67%.Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Рассчитаем F-критерий



Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5,

Fтабл. = 6.61

Поскольку фактическое значение F < Fтабл., то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна)

б) Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения. Для расчетов используем данные Таблицу 1.3.

Таблица 1.3

ln(x)	ln(y)	x 2	y 2	x * y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
4.25	3.75	18.09	14.08	15.96	3.9	0.0444	0.0231	0.0255	0.0405
4.14	4.05	17.13	16.42	16.77	3.95	0.008	0.0112	0.002	0.0261
4.18	4.02	17.44	16.16	16.79	3.93	0.0033	0.0077	0.0069	0.0219
4.06	4.08	16.52	16.67	16.59	3.97	0.0144	0.0119	0.0009	0.0268
4.05	4.05	16.42	16.39	16.4	3.98	0.0074	0.005	0.0017	0.0174
4.02	3.8	16.17	14.44	15.28	3.99	0.0264	0.0357	0.0051	0.0497
3.95	3.98	15.58	15.87	15.72	4.02	0.0004	0.0011	0.0212	0.0083
28.65	27.74	117.34	110.02	113.51	27.74	0.1043	0.0957	0.0633	0.1906



огда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид

y = a xb (ln y = ln a + b ln x + е),

где ei - наблюдаемые значения (оценки) ошибок еi, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти. Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов). Система нормальных уравненийимеет вид:

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение получаем b = -0.37, a = 5.47

Уравнение регрессии: y = 237.99x-0.37

Выборочные средние.



Выборочные дисперси

Среднеквадратическое отклонение

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и обратная.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Коэффициент детерминации: R2= -0.292 = 0.0826

Рассчитаем F-критерий

(где m=1 для парной регрессии).

Характеристики степенной модели указьюают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5,

Fтабл. = 6.61

Поскольку фактическое значение F < Fтабл., то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна)

в) Построению уравнения показательной кривой у = аЬ" предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения.Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a bx + е, где ei - наблюдаемые значения (оценки) ошибок еi, а и b:

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение, получаем b = -0.0067, a = 4.36

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии.



Среднеквадратическое отклонение

Показательное уравнение регрессии имеет вид:

y = 78.5331 * -0.0067x

Запишем данные в Таблицу 1.4

Таблица 1.4

x	log(y)	x 2	y 2	x * y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
70.3	3.75	4942.09	14.08	263.76	3.9	0.0444	0.0206	102.01	0.0382
62.7	4.05	3931.29	16.42	254.05	3.95	0.008	0.0112	6.25	0.0261
65.1	4.02	4238.01	16.16	261.7	3.93	0.0033	0.0081	24.01	0.0224
58.2	4.08	3387.24	16.67	237.61	3.98	0.0144	0.0114	4	0.0261
57.5	4.05	3306.25	16.39	232.78	3.98	0.0074	0.0046	7.29	0.0167
55.8	3.8	3113.64	14.44	212.04	3.99	0.0264	0.0368	19.36	0.0505
51.8	3.98	2683.24	15.87	206.34	4.02	0.0004	0.0012	70.56	0.0088
421.4	27.74	25601.76	110.02	1668.27	27.74	0.1043	0.0939	233.48	0.189

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.В нашем примере связь между признаком Y фактором X умеренная и обратная.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Коэффициент детерминации

R2= -0.322 = 0.0993

Значение F-критерия:

Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5,

Fтабл. = 6.61

Поскольку фактическое значение F < Fтабл., то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна)

г) Уравнение равносторонней гиперболы:

y = b/x + a + е, где ei

- наблюдаемые значения (оценки) ошибок еi, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение, получаем b = 943.44, a = 37.16

Уравнение регрессии:

y = 943.44 / x + 37.16.

Расчитаем необходимые данные и занесем их Таблицу 1.5

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.Связь между признаком Y фактором В нашем примере X слабая и прямая.

Таблица 1.5

1/x	y	x 2	y 2	x * y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
0.0142	42.6	0.0002	1814.76	0.606	50.58	107.57	63.64	0	0.1873
0.0159	57.5	0.0003	3306.25	0.9171	52.2	20.51	28.04	0	0.0921
0.0154	55.7	0.0002	3102.49	0.8556	51.65	7.45	16.41	0	0.0727
0.0172	59.3	0.0003	3516.49	1.02	53.37	40.05	35.19	0	0.1
0.0174	57.3	0.0003	3283.29	0.9965	53.57	18.74	13.95	0	0.0652
0.0179	44.7	0.0003	1998.09	0.8011	54.06	68.42	87.7	0	0.2095
0.0193	53.7	0.0004	2883.69	1.04	55.37	0.5308	2.79	0	0.0311
0.1173	370.8	0.002	19905.06	6.23	370.8	263.25	247.73	0	0.7579

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи(по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями). А остается на допустимом уровне.

R2= 0.242 = 0.059

Значение F-критерия:

Следовательно, принимается гипотеза о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5,

Fтабл. = 6.61

Поскольку фактическое значение F < Fтабл., то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна)

Ответ: а) Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 72.08-0.32 x

; F-критерий=0.4909

б) степенное уравнение регрессии y = 237.99x-0.37

; F-критерий=0.4499

в) показательное уравнение регрессии y = 78.5331 * -0.0067x



; F-критерий=0.5513

г) уравнение равносторонней гиперболы

y = 943.44 / x + 37.16

; ; F-критерий=0.3134;

Fтабл. = 6.61

Задача №2.

По территориям региона приводятся данные за 199Х г.Данные приведены в таблице 1.6.

Таблица 1.6

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	81	136
2	79	151
3	90	129
4	76	149
5	94	165
6	101	198
7	70	134
8	85	153
9	76	155
10	84	165
11	81	156
12	110	170

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение:

1) Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную Таблицу 1.7

Таблица 1.7

x	y	x 2	y 2	x * y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
81	136	6561	18496	11016	150.38	364.17	206.71	21.01	0.1057
79	151	6241	22801	11929	148.32	16.67	7.16	43.34	0.0177
90	129	8100	16641	11610	159.62	680.34	937.47	19.51	0.2374
76	149	5776	22201	11324	145.24	37.01	14.11	91.84	0.0252
94	165	8836	27225	15510	163.73	98.34	1.63	70.84	0.0077
101	198	10201	39204	19998	170.91	1841.84	733.73	237.67	0.1368
70	134	4900	17956	9380	139.08	444.51	25.84	242.84	0.0379
85	153	7225	23409	13005	154.48	4.34	2.2	0.3403	0.0097
76	155	5776	24025	11780	145.24	0.0069	95.19	91.84	0.0629
84	165	7056	27225	13860	153.46	98.34	133.23	2.51	0.07
81	156	6561	24336	12636	150.38	0.8403	31.61	21.01	0.036
110	170	12100	28900	18700	180.15	222.51	103.09	596.17	0.0597
1027	1861	89333	292419	160748	1861	3808.92	2291.97	1438.92	0.8068

регрессия аппроксимация фишер корреляция

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид



y = bx + a + е, где ei

- наблюдаемые значения (оценки) ошибок еi, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти. Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений примет вид:

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение, получаем b = 1.03, a = 67.21

Уравнение регрессии:

y = 1.03 x + 67.21

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 1.03 руб.

2)Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:



Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.В нашем примере связь между признаком Y фактором X заметна и прямая.Это означает, что 63% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией факторах - среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью г-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Вьдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля

tкрит (n-m-1;б/2) = (10;0.025) = 2.228

Поскольку 2.5727 > 2.228, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 1.9518 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)

(1.0268 - 2.228 * 0.4; 1.0268 + 2.228 * 0.4)

(0.1376;1.916)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)

(67.2101 - 2.228 * 34.44; 67.2101 + 2.228 * 34.44)

(-9.5114;143.9316)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a статистически незначима.

2) F-критерий



Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости б.

2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fтабл. = 4.96

4) Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: Хр =91,6 тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ур = 67 + 1.03 * 91,6 = 161 тыс. руб.

5) Ошибка прогноза составит: 13,2 тыс. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:= 29,4.

Доверительный интервал прогноза:91,6-29,4 = 62,2 руб.;

Ур =91,6 + 29,4 = 121 руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным , но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала Dy составляет 1,95 раза.

Задача №3

По 30 территориям России имеются данные, представленные в Таблице 1.8

Таблица 1.8

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейный коэффициент парной корреляции
Среднедневной душевой доход, руб., z	91,8	8,44	rZX = 0,8905
Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., x	51,9	10,86	rZY = -0,2401
Средний возраст безработного, лет,y	36,5	2,42	rXY = -0,0860

Требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с и , пояснить различия между ними.

2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

3. Рассчитать общий и частные F-критерии Фишера.

Решение:

Линейное уравнение множественной регрессии z от x и y имеет вид:

Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет в - коэффициентов выполним по формулам:

Получим уравнение множественной регрессии в стандартизованной форме:

Или

Для построения уравнения естественной форме рассчитаем и , используя формулы для перехода от к :



Значение а определим из соотношения:

Следовательно, уравнение множественной регрессии в естественной форме примет вид:

Или

Для характеристики относительной силы влияния x и y на z рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

С увеличением средней заработной платы x на 1% от ее среднего уровня средний душевой доход z возрастает на 0,38% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного y на 1% среднедушевой доход z снижается на 0,23% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней заработной платы x на средний душевой доход z оказалась большей, чем сила влияния среднего возраста безработного y. К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений 1 и в2:

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении , и , объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних, а в - коэффициент - из соотношения средних квадратичных отклонений.

2. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитаем по рекуррентной формуле:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи () коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают:

; ; ;

; ; .

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним по формуле:

Зависимость z от x и y характеризуется как тесная, в которой 82% () вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 18% (т.к. 100%-82%) от общей вариации z.

3. Общий F-критерий Фишера проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты статистической связи ():

По таблице значений F-критерий Фишера при уровне значимости

, и

степенях свободы .



Сравнивая и , приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу , так как

<

С вероятностью

делаем заключение о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов x .

Частные критерии Fx1 и Fx2 оценивают статистическую значимость включения факторов x1 и x2 в уравнение множественной регрессии и целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого, т.е. Fx1 оценивает целесообразность включения в уравнение x1 после включения в него фактора x2.

Соответственно Fx2 указывает на целесообразность включения в модель фактора x2 после включения фактора x1.

, ,

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент Fx1 статистически значим, т.е. целесообразно включать в уравнение x1 после включения в него фактора x2.

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент Fx2 статистически значим, т.е. целесообразно включать в уравнение x2 после включения в него фактора x1.



Список использованных источников

1. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой.-2-е изд.,перераб. И доп.-М: Финансы и статистика,2005.

2. Практикум по эконометрике:Учебное пособие/ Под ред. И.И. Елисеевой.-2-е изд.,перераб. И доп.-М: Финансы и статистика,2005.

Размещено на Allbest.ru