Анализ методов поиска и точности эмпирической формулы, обобщающей опытные данные экспериментального исследования

Размещено на http://www.allbest.ru/

26

Министерство образования и науки Российской Федерации

Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности

Кафедра теплотехники

КУРСОВАЯ РАБОТА

по учебной дисциплине: «Моделирование химико-технологических процессов»

Тема: «Анализ методов поиска и точности эмпирической формулы, обобщающей опытные данные экспериментального исследования».

Вариант № 8

Выполнила: студентка 3 курса ФМАХТ,

специальности 240502

Малофеева Т.В.

шифр 210308

Принял: проф. Светлов Ю.В.

Москва 2011



СОДЕРЖАНИЕ

1. Задание на курсовую работу

2. Ответы на теоретические вопросы

3. Решение задачи

Список литературы



1. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Теоретические вопросы:

1. Какие виды математического моделирования Вы знаете.

2. Что входит в проект экспериментальных исследований?

3. Статистический корреляционный метод анализа экспериментальных или иных данных. вид математический моделирование

4. Регрессионное и факторное планирование экспериментов

5. Принципиальные основы выбора вида эмпирической формулы с двумя параметрами.

6. Методы оценки точности подобранной эмпирической формулы.

7. Методы определения параметров эмпирической формулы.

Условие задачи:

Давление насыщенного пара в аппарате p(Па) соответствует удельному объем v (м³/кг). Численные значения этих параметров даны в таблице (3.1).

Найти эмпирическую формулу для зависимости F(v,p)=0:

Через средние арифметические, геометрические и гармонические значения переменных, а затем методом средних определить параметры уравнения;

С использованием специальных стандартных программ на ЭВМ;

Сопоставить оба метода поиска вида эмпирической формулы и точности определения ее параметров;

Сделать вывод о проделанной работе по методам подбора эмпирической формулы.



2. ОТВЕТЫ НА ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1. Какие виды математического моделирования Вы знаете?

Линейная зависимость. На координатной плоскости Оху строится система точек M₁ (x₁, у₁). Если эти точки оказываются примерно на одной прямой линии L, то принимается, что зависимость между х и у линейная:

y= ах + b, где аиЬ-постоянные.

Метод выравнивания. Если точки M₁ (x₁, у₁) не располагаются на прямой линии, тогда во многих случаях, вводя новые переменные:

X = f(x, y), Y = р(х, у),

Можно добиться того, чтобы преобразованные точки N_i (X_i , Y_i), где X_i = f(x_i, у_i), Y = p(x_i, у_i), лежали на некоторой прямой плоскости OXY (метод выравнивания). Обязательным требованием при этом является взаимная однозначность преобразования.

Метод выбранных точек.

Метод средних.

Метод наименьших квадратов.

2. Что входит в проект экспериментальных исследований?

Проект объекта испытаний

Проект множества типовых условий

План испытаний

Проект технологии испытаний (с параметрами измеряемых показателей процесса)

Проект обеспечения безопасности испытаний

Перечень ожидаемых результатов.

3. Статистический и корреляционный метод анализа экспериментальных или иных данных.

3.1 Понятие корреляционной связи

Содержание теории корреляции составляет изучение зависимости вариации признака от окружающих условий.

При изучении конкретных зависимостей выявляют факторные и результативные признаки. В корреляционных связях между изменениями факторного и результативного признака нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных.

Кроме того, сам признак-фактор в свою очередь может зависеть от изменения ряда обстоятельств. В сложном взаимодействии находится результативный признак - в более общем виде он выступает как фактор изменения других признаков. Отсюда результаты корреляционного анализа имеют значение в данной связи, а интерпретация этих результатов в более общем виде требует построения системы корреляционных связей.

При исследовании корреляционных зависимостей между признаками решению подлежит широкий круг вопросов, к которым следует отнести :

Предварительный анализ свойств моделируемой совокупности единиц;

Установление факта наличия связи, определение её формы и направления;

Измерение степени тесноты связи между признаками;

Построение регрессивной модели, т.е. нахождение аналитического выражения связи;

Оценка адекватности модели, её экономическая интерпретация и практическое использование.

Для того, чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали желаемый результат, должны выполняться определённые требования:

Требование однородности тех единиц, которые подвергаются изучению.

Количественная оценка однородности исследуемой совокупности по комплексу признаков (расчет относительных показателей вариации, коэффициент вариации, отношение размаха вариации к среднему квадратическому отклонению).

Достаточное число наблюдений.

Исследуемая совокупность должна иметь нормальное распределение.

Факторы должны иметь количественное выражение.

3.2 Статистические методы выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками

Простейшим приёмом обнаружения связи является сопоставление двух параллельных рядов - ряда значений признака-фактора и соответствующих ему значений результативного признака. Значение факторного признака располагается в возрастающем порядке и затем прослеживается направление изменения величины результативного признака. Результативный признак (функция) обозначается через у, а факторный признак через х.

Ниже приведён пример обнаружения корреляционной связи между стажем (факторный признак) и заработной платой (результативный признак). В таблице (2.1) работники ранжированы по стажу.



Таблица 2.1 Сведения о стаже и заработной плате рабочих на промышленном предприятии

№ п/п	Стаж, лет	Зарплата, т.р.
1	0,8	575,8
2	2	576,4
3	2	691,8
4	2	704,5
5	3	619,7
6	4	614,1
7	4	714,5
8	4	764,3
9	4	800,4
10	4	801,5
11	4	900,7
12	5	670,4
13	5	700,5
14	6	1307,4
15	7	587,3
16	7	714,5
17	7	763,1
18	8	1100,1
19	8	1121,3
20	9	1100,9
21	10	814,4
22	10	860,5
23	10	871,3
24	11	767,5
25	11	904,4
26	12	1409,4
27	15	1499,7
28	16	1607,4
29	17	1500,5
30	19	1598,5

Можно видеть, что в целом для всей совокупности увеличение стажа приводит к увеличению заработной платы, т.е. связь - прямая, хотя в отдельных случаях наличие такой связи не усматривается.

Наличие большого числа различных значений результирующего признака затрудняет восприятие таких параллельных рядов. В таких случаях целесообразнее воспользоваться для установления факта наличия связи корреляционной таблицей. Корреляционная таблица позволяет изложить материал сжато, компактно и наглядно.

Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений фактического и результативного признаков. В первый столбик следует вписать значения факторного признака (х), а первую строку заполнить значениями результативного признака (у). Числа, полученные на пересечении строк и столбцов, означают частоту повторения данного сочетания значений х и у.

Таблица 2.2.

Корреляционная таблица зависимости заработной платы от стажа

Центральные значения	660	830	1170	1340	1515
Группы по x	Группы по y
	До 745	745-915	1085-1255	1255-1425	Свыше 1425	fx	yi
До 5 лет	7	4				11	722
5-8 лет	3	2	2	1		8	915
8-11 лет		3	1			4	915
11-14 лет		2		1		3	1000
14-17 лет					2	2	1515
Свыше 17 лет					2	2	1515
fy	10	11	3	2	4	30

Примечание: в таблице используются следующие обозначения:

y_j - среднее значение результативного признака для j-той группы значений факторного признака;

f_x - частота повторения данного варианта значения факторного признака во всей совокупности;

f_y - частота повторения результативного признака во всей совокупности.

Данная корреляционная таблица уже при общем знакомстве даёт возможность выдвинуть предположение о наличии или отсутствии связи, а также выяснить её направление, Если частоты расположены по диагонали из верхнего левого угла в правый нижний, то связь между признаками прямая. Если же частоты расположены по диагонали справа налево, - то связь обратная. В данном случае можно предположить наличие прямой связи.

Корреляционная зависимость чётко обнаруживается только при рассмотрении средних значений результативного признака, соответствующих определённым значениям факторного признака, т.к. при достаточно большом числе наблюдений в каждой группе влияние прочих случайных факторов будет взаимопогашаться, и чётче выступит зависимость результирующего признака от фактора, положенного в основу группировки.

Для предварительного выявления наличия связи и раскрытия её характера, применяют графический метод. Используя данные об индивидуальных значениях признака-фактора и соответствующих ему значениях результативного признака, строится в прямоугольных координатах точечный график, который называют «полем корреляции». Для данного примера поле корреляции имеет следующий вид (рис. 2.1).

Рис. 2.1



Точки корреляционного поля не лежат на одной линии, они вытянуты определённой полосой слева на право. Нанеся средние значения факторного и результирующего признаков на график и соединяя последовательно отрезками прямых соответствующие им точки, получают эмпирическую линию связи.

Если эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, то это свидетельствует о наличии прямолинейной корреляционной связи между признаками. Если же имеется тенденция неравномерного изменения значений результирующего признака, и эмпирическая линия связи будет приближаться к какой- либо кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи.

4. Регрессионное и факторное планирование экспериментов

Регрессионное и факторное планирование экспериментов подразумевает возможность построения аналитической регрессионной модели объекта испытаний. Такое планирование наиболее часто используется при исследования технологических процессов.

Регрессионные планы испытаний позволяют, как определить условия испытаний, так и оценить необходимое число экспериментов для достижения целей испытаний. Таким образом определяют затраты на проведение испытаний.

Факторным пространством называют пространство размерности n, в котором определен фактор X, значения которого Х_i = (x_i1. x_i2, …, x_in) в i-том эксперименте равны значениям контролируемых переменных, занумерованных в удобном для экспериментатора порядке.

Задачи факторного планирования возникли при сельскохозяйственных исследованиях, но потом стали использоваться в других областях деятельности. Как и регрессионные планы, планы факторные относятся к методам математической статистики. Важное отличие от регрессионного - число уровней контролируемой переменной. При факторном планировании рассматривают количественные и качественные перемены.

Количественной называют переменную, все значения которой рассматриваются как некоторые числа.

Переменную называют качественной переменной, если хотя бы одно ее значение рассматривается как символ (может быть записанный в виде числа).

Строгий способ введения этих понятий заключается в следующем: считать качественными переменными те, для которых рассматривается модель для качественных переменных и считать количественными переменными те, для которых рассматривается модель для количественных переменных.

При факторном планировании каждое из различных значений, которые принимает переменная X_i в плане D_xi = {X_iu}, (i=1, ... m; u=1, ... N) называют уровнем. Число различных уровней переменной XI обозначают через si. Каждому из различных уровней переменной Xi ставят в соответствие символы 0,1, si-1, независимо от того, является ли переменная Xi количественной или качественной. В этом случае говорят о факторе Fi, принимающем значения 0,1,…, si-1.

План называют симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней.

План называют равномерным, если уровни любого фактора встречаются в плане одинаковое для данного фактора число раз.

План называют факторным в случае определенного типа модели, для которой данный план рассматривается.

План, содержащий N = si*...s_m различных опытов, называют полным факторным планом.

План, содержащий меньшее число опытов, называют дробным планом.

Часто под факторным планом понимают множество точек факторного пространства с относительными значениями параметров -1 и +1 (то есть рассматривается всего два уровня факторов: максимальный и минимальный). Такой факторный план включает комбинации из наибольших и наименьших значений каждого из факторов. Он содержит 2^т экспериментов (где m - число факторов). Иногда в факторные планы включают центральную точку плана, соответствующую средним адиабатным значениям факторов, то есть рассматривают три уровня факторов.

Факторное планирование эксперимента может быть априорным статистическим и непрерывным (последовательным). Под статистическим (в рамках регрессионным) планированием эксперимента здесь понимается априорное планирование всего множества экспериментов в целом до их начала. Для широкого класса функций n(х) статистическое планирование экспериментов по этапам с учетов полученных на предыдущих этапах результатов, вплоть до достижения целей экспериментов. При последовательном планировании выделенные ресурсы (материальные, время) разбивают на несколько частей, каждая из которых используется для обеспечения соответствующих этапов испытаний. Логическая последовательность действий при последовательном планировании экспериментов включает «планирование» «эксперимент» - «анализ» - «планирование». При этом этап «анализ» подразумевает не только обычный регрессионный анализ экспериментальных данных, но и анализ сведений, поступающих извне. Реализация последовательности этапов прекращается при достижении целей экспериментального исследования, в том числе и определения параметров исследуемого процесса с заданной точностью.

С вычислительной точки зрения, последовательное планирование при критерии минимума определителя дисперсной матрицы, заключается в поиске на каждом этапе минимального значения определителя матрицы:

Min | D_u (N+1,x)|

х € X

где D_u - матрица, состоящая из элементов D_oP (б, в<=1), соответствующих параметрам, интересующим экспериментатора.

План Е₁(Т) будет предпочтительнее плана Е₂(Т), если для одних и тех же затрат первый определитель будет меньше второго:

I D_u (E₁(T))| < | D_u (E₂(T))|, где T

- затраты, отведенные на данный эксперимент.

Когда требуется определить, какая из функций n(х,q₁), n(x, q₂), …, n(x, q_m) является истинной, могут проводиться дискриминирующие эксперименты.

Планирование дискриминирующих экспериментов заключается в поиске таких точек, результаты изменений, в которых позволили бы отличить одну модель от другой и сделать вывод об истинности одной из моделей. При этом может выдвигаться и проверяться совокупность конкурирующих гипотез. В этом случае экспериментатор должен:

выбрать совокупность конкурирующих гипотез;

построить функцию потерь;

провести анализ априорных сведений для определения вероятностей появления соответствующих гипотез;

выбрать оптимальное решающее правило;

оптимально разместить затраты в области планирования эксперимента.

Главными недостатками рассматриваемых методов при их использовании в планировании испытаний многофункциональных систем являются:

Применение их в том случае, когда возможно описание процесса регрессионной математической моделью (ограничения, накладываемые на вид функции параметров эффекта в зависимости от параметров факторного пространства);

Большое число необходимых для его реализации экспериментов (при факторном планировании на двух уровнях оно равно 2^П* где п - число факторов, влияющих на исследуемый процесс);

Отсутствие обоснованных процедур сокращения числа экспериментов в плане в том случае, когда полный факторный план не может быть реализован ввиду отсутствия необходимых опытных образцов, средств или времени на проведение испытаний.

Технические условия проведения испытаний не рассматриваются.

При изменении структуры объекта или его функционирования использования любых ранее полученных результатов становится некорректным.

5. Принципиальные основы выбора вида эмпирической формулы с двумя параметрами

Самым простым способом убедиться в том, имеет ли смысл подбирать для наблюденных данных линейную функцию, является графический. Нанесем данные опыта на график, который удобнее всего строить на миллиметровой бумаге. Расположение точек вблизи прямой покажет, что наблюденные опытные данные можно изображать линейной функцией. Если это так, то остается лишь определить коэффициенты а и Ь.

Наиболее выгодным и точным способом определения коэффициентов является способ наименьших квадратов. Мы рассмотрим два способа, которые отличаются от способа наименьших квадратов своей простотой.

Способ натянутой нити основан на геометрическом подборе прямой на глаз. Нанеся наблюденные значения на миллиметровку, подбираем графически прямую, ближе всего подходящую к наблюденным точкам. Выбрав две произвольные точки на этой прямой (не обязательно являющиеся наблюденными значениями), определяем их координаты (x₁, y₁), (х₂, у₂). Тогда для определения коэффициентов а и b получаем два простых уравнения:

ax₁+b=y₁, ax₂+b=y₂.

Способ средней не требует графического изображения экспериментальных данных и состоит в следующем. Пусть наблюденные значения даны в таблице (2.3)

Таблица 2.3

x	x1	x2	x3	…	xn-1	xn
y	y1	y2	y3	…	yn-1	yn

Даже в том случае, если между х и у теоретически установлена линейная зависимость у=ах+Ь, наблюденные значения у_i , будут отличны от ax_i+b вследствие наличия экспериментальных ошибку. Обозначим через Д_i соответствующую ошибку

Д_i =у_i -ах_i- b (i=1,2, …, n).

Если выбирать параметры а и b так, чтобы для всех n наблюдений ошибки уравновешивались, т.е. У Д_i = 0, то это привело бы нас к одному уравнению, тогда как для нахождения коэффициентов а и b их требуется два. Поэтому мы предположим, что уравновешивание происходит не только для всех произведенных наблюдений в целом, но и для каждой группы, содержащей половину (или почти половину) всех наблюдений, в отдельности. В таком случае мы придем к системе уравнений, которая может быть записана следующим образом:

У (yi - axi - b) = 0, У (yi - axi - b) = 0,

где число m, означающее число наблюдений в первой группе, может быть выбрано произвольно. Обычно его выбирают так, чтобы число наблюдений во второй группе равнялось также т, если п четно, и m ±1, если n нечетно. Полученную систему для определения коэффициентов а и b запишем в виде

a Уx_i+mb= Уy_i

aУx_i+(n-m)b= Уy_i.

6. Методы оценки точности подобранной эмпирической формулы

Знание меры точности h позволяет определить вероятную, среднюю и среднюю квадратичную ошибки и дает возможность оценить надежность произведенных измерений. Поэтому естественно возникает задача - определить меру точности по результатам измерений. При этом мы будем полагать, что все измерения произведены с одинаковой тщательностью, т.е. являются равноточными, и что случайные ошибки распределены по закону Гаусса.

Пусть результатами измерений некоторой величины А являются числа

x₁, x₂, …, x_n.

Рассмотрим гипотезы, состоящие в том, что измеряемая величина рвана х, а мера точности произведенных измерений равна h.

При сделанных допущениях о значениях х и h вероятность получения результатов измерений равна:

ц(х - х1) ц(x-x₂) … ц(x-x_n) dеⁿ

или, пользуясь выражением для плотности нормального распределения,

hⁿ /n^n/2e ^{- h 2 [(x - x)2 + (х-х)2 + ... +(x-xn)2} dеⁿ

Так как до испытаний все значения х и h следует считать равновероятными, то вследствие теоремы Бейсса вероятность самой гипотезы пропорциональная, т.е. равна:

Ghⁿ е^{- h 2 [(x - x)2 + (х-х)2 + ... +(x-xn)2}

где G - постоянный множитель пропорциональности, куда включены также не зависящие от h и от х множители 1/ n^n/2 и dеⁿ. Наивероятнейшим значением, которое можно получить из ряда измерений одинаковой точности, является такое значение, для которого сумма квадратов разностей этого значения и результатов измерений является наименьшей. Это положение называется принципом наименьших квадратов.

7. Методы определения параметров эмпирической формулы

Если вид эмпирической формулы выбран, то решается задача определения наилучших коэффициентов (параметров) входящих в эту формулу. Геометрически это сводится к проведению кривой наиболее тесно примыкающей к данной системе точек. На практике наиболее часто используют три метода определения параметров эмпирической формулы:

1) метод выбранных точек,

2) метод средних,

3)метод наименьших квадратов.

Методом выбранных точек мы пользовались, когда рассматривали линейную зависимость

у = ах + Ь,

для увеличения точности рекомендуется пользоваться сеткой с мелкими делениями. Достоинство метода: простота и наглядность. Метод средних. Если в эмпирическую формулу

y= f (х; a₁, а₂, …, а_n),

подставить в исходные данные M_i (x_i, y_i), то левая часть формулы не будет равна правой. Разности или невязки называются уклонениями и представляют собой расстояния по вертикали точек М, от графика функции, взятые со знаком (+) или (-).

По методу средних за наилучшее положение кривой принимается то, для которого равна нулю алгебраическая сумма уклонений, т.е. должно иметь место равенство

Е = Уе_i =0

Для определения постоянных в уравнении, все уклонения разбиваются на m групп. Приравняв к нулю алгебраическую сумму уклонений каждой группы, получаем систему уравнений, содержащую столько уравнений, сколько имеется неизвестных коэффициентов.

Метод наименьших квадратов. Пусть известен вид эмпирической формулы

Y=f (х; a₁, a₂, …, а_m),

и уклонения, тогда согласно методу наименьших квадратов наилучшим коэффициентом считаются те, для которых сумма квадратов уклонений будет минимальной.

Этот метод имеет следующее преимущество, если сумма квадратов уклонений мала, то сами эти уклонения также малы по абсолютной величине. Для метода средних, где составляется алгебраическая сумма уклонений, такого вывода сделать нельзя.

Этот метод заложен в специальных программа ПК, что обеспечивает высокую точность в определении параметров.



3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Условия задачи: Давление насыщенного пара в аппарате p(Па) соответствует удельному объем v (м³/кг). Численные значения этих параметров даны в таблице (3.1).

Найти эмпирическую формулу для зависимости F(v,p)=0:

Через средние арифметические, геометрические и гармонические значения переменных, а затем методом средних определить параметры уравнения;

С использованием специальных стандартных программ на ЭВМ;

Сопоставить оба метода поиска вида эмпирической формулы и точности определения ее параметров;

Сделать вывод о проделанной работе по методам подбора эмпирической формулы.

Таблица 3.1

v	3,1	6,1	9,2	11	13	15	17
p	2,5	2,7	3,3	3,7	4,3	5,4	6,8

Подбор эмпирической формулы через средние арифметические, геометрические и гармонические значения переменных.

№	x=p	y=v
1	2,5	3,1
2	2,7	6,1
3	3,3	9,2
4	3,7	11
5	4,3	13
6	5,4	15
7	6,8	17

Для x=p:



1. Среднеарифметическое:

2. Среднегеометрическое:

4. Среднегармоническое:

7.

Для y=v:

1. Среднеарифметическое:

2. Среднегеометрическое:

5. Среднегармоническое:

Сводим все полученные данные в таблицу (3.2):

№	_xS	_yS	yS	|yS-yS|
1			27,1	16,47
2
3	4,1
4
5	4,1
6
7

Вид формулы:



Способ выбранных точек:

(1)

(2)

Из уравнения (1) выражаем b:

b=

Подставим b=y₁-ax₁ в уравнение (2):

y₂=a+

y₂=(a + - a)/

6,1=(0,2а+7,75)/2,7

0,2a=8,72

a=43,6

Теперь подставим полученное значение a=43,6

b=

b=(3,1-43,6)2,5

b=--101.25

Проверка уравнения:

Y= 43.6-101.25/2.5

- уравнение верно.

Оценка точности:

Расчетные данные y (Таблица 3.3):

№	xзаданное	yрасчетное	Д yзаданное-yрасчетное
1	2,5	3,1	0
2	2,7	6,1	0
3	3,3	12.9	3.7
4	3,7	16.2	5.2
5	4,3	20	7
6	5,4	24.85	9.15
7	6,8	28.7	11.7

Оценка погрешности:

Подбор эмпирической формулы с помощью ЭВМ.

Линейная зависимость

Логарифмическая зависимость

Степенная зависимость



Полиномиальная зависимость (степень n=2)

Полиномиальная зависимость (степень n=3)



Полиноминальная зависимость (степень n=5)

Экспоненциальная зависимость

Эмпирическая формула y = -6E-05x⁵ + 0,0035x⁴ - 0,0683x³ + 0,6327x² - 2,5809x + 6,1546, полученная полиноминальной зависимостью (степень n=5) обладает наименьшей погрешностью по сравнению с остальными (R²=0,999).

Вывод: Мною была проведена работу по подбору эмпирической формулы расчетным методом и с помощью ЭВМ.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Артамонов Н.А., Исаев В.В.; Моделирование химико-технологических процессов: Метод. Указания по выполнению контрольных заданий и курсовой работы./Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности. М.: 2003, 15 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Т. 1, гл. 5. Метод вычислений. М.: Книга, 1966.

3. Демидович Б.П. и др. Гл. 2. Численные методы анализа. М.: Книга, 1967.

Размещено на Allbest.ru