Статистична якість регресійних моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни «Економіко-математичне моделювання»

Варіант № 8

ЗМІСТ

1. Теоретичний аналіз статистичної якості рівняння парної лінійної регресії

1.1 Завдання на теоретичне дослідження

1.2 Результати теоретичне дослідження

2. Практичне дослідження статистичної якості регресійних моделей

2.1 Завдання на практичне дослідження

2.2 Результати практичного дослідження

Список використаної літератури

1. Теоретичний аналіз статистичної якості рівняння парної лінійної регресії

1.1 Завдання на теоретичне дослідження

Аналіз статистичної якості рівняння парної лінійної регресії за допомогою оціки дисперсії похибки та коефіцієнта детермінації. Перевірка адекватності моделі парної лінійної регресії за допомогою критерію Фішера.

1.2 Результати теоретичного дослідження

статистична якість лінійна регресія дисперсія

Одновимірна (парна) лінійна регресійна модель результативного параметру di від факторного параметру pi, вимірених при статистичному спостереженні, представляється як [1]:

, (1.1)

де - постійна складова (початок відліку);

- коефіцієнт регресії;

- відхилення фактичних значень від розрахункової оцінки

в ітому вимірі, де:

(1.2)

Існують різні способи оцінювання параметрів регресії. Найпростішим, найуніверсальнішим є метод найменших квадратів [1]. За цим методом параметри визначаються виходячи з умови, що найкраще наближення, яке мають забезпечувати параметри регресії, досягається, коли сума квадратів різниць між фактичними значеннями результативного параметру та його оцінками є мінімальною, що можна записати як

. (1.3)

Відмітимо, що залишкова варіація (1.3) є функціоналом від параметрів регресійного рівняння:

(1.4)

де n - кількість точок статистичного спостереження за результативним

di та факторним pi параметрами

За методом найменших квадратів параметри регресії і є розв'язком системи двох нормальних рівнянь [1]:

, (1.5)

.

Розв'язок цієї системи має вигляд:

, (1.6)

.

Середньоквадратична помилка парної регресії, знаходиться за формулою

, (1.7)

Для щільності та напрямку лінійного зв'язку використовується лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона):

(1.8)

який набуває значень у межах +1, тому характеризує не лише щільність, а й напрямок зв'язку. При r>0 зв'язок між показниками прямий, а при r<0 - обернений. Якщо : вважається, що зв'язок між Х та Y практично відсутній; зв'язок слабкий; зв'язок середній; зв'язок сильний; зв'язок дуже сильний.

Щільність зв'язку оцінюється коефіцієнтом детермінації для даної моделі

(1.9)

При >0,75 - сильний кореляційний зв'зок, 0,36>>0,75 кореляційний зв'язок середньої щільності; <0,36 кореляційній зв'язок низької щільності [1].

Для перевірки істотності зв'язку потрібно порівняти фактичне значення статистики Фішера (Fкритерій) з його критичним (табличним) значенням, яке потрібно визначити з урахуванням умов аналітичного групування і заданого рівня істотності, скориставшись таблицею [1].

При виконанні процедури перевірки значущості коефіцієнта детермінації висувається нульова гіпотеза H0 проти альтернативи H1, котрі заключаються в наступному:

H0: істотної різниці між вибірковим коефіцієнтом детермінації та коефіцієнтом детермінації генеральної сукупності не існує. Ця гіпотеза рівносильна гіпотезі H0: b=0, тобто змінні X не впливають суттєво на залежну змінну Y. Для оцінки істотності коефіцієнта детермінації використовується статистика:

(1.10)

що для парної регресії (кількість факторних ознак m=1) має Fрозподіл Фішера з f1=1 та f2=n2 ступенями вільності.

Значення статистики порівнюється з критичним значенням цієї статистики, знайденим за таблицею при заданому рівні значущості =0,05 та відповідному числі ступенів вільності. Якщо F>F1,n2, , то обчислений коефіцієнт детермінації істотно відрізняється від нуля. Цей висновок забезпечується з ймовірністю 1.. Рівень істотності =0,05.

2. Практичне дослідження статистичної якості регресійних моделей

2.1 Завдання на практичне дослідження

По статистичним даним для результативного показника Y та факторів X1 та X2 (табл.2.1) побудована кореляційна матриця [R] (табл.2.2) і 2 рівняння регресії.

Таблиця 2.1

Вихідні дані статистичних досліджень

Таблиця 2.2

Кореляційна матриця [R] статистичних досліджень

Дослідити статистичну якість моделей (при рівні довірчої ймовірності Р=0,95) та вибрати оптимальну модель. Зробити економічний аналіз отриманої моделі залежності рівня попиту Y на основний товар від рівня ціни на основний товар X2 та рівня ціни на товар замінник X1.

2.2 Результати практичного дослідження

Практичне дослідження виконуємо в середовищі «електронних таблиць» Excel 2007 в розділі «Статистичний аналіз даних» (рис.2.1).

Рис.2.1. Вихідні дані та розрахунок кореляційної матриці в середовищі Excel 2007

Рис.2.2. Форма розрахунку лінійної регресії Y = f (X1,X2) в середовищі Еxcel 2007

Таблиця 2.3

Результати розрахунку лінійної регресії (модель 1 форма y=a0+a1*x1+a2*x2)

Таблиця 2.4

Результати розрахунку лінійної регресії (модель 2 форма y=a1*x1+a2*x2)

Аналіз результатів розрахунків, наведених в табл.2.3 - 2.4, та графіків результатів, наведених на рис.2.3, показують, що практично рівних коефіцієнтах детермінації R =0,9845 0,9947, побудована модель 1 є більш оптимальною, оскільки модуль рівня середньоквадратичного відхилення модельного рівняння від фактичної кривої спостережень у моделі 1 становить 0,3727, а моделі 2 є значно більшим та дорівнює 1,2685.

Рис.2.3. Аналіз оптимальності побудованих регресійних моделей

Окрім цього, аналіз кореляційної матриці (рис.2.1) показує:

- Між рівнем попиту Y та рівнем ціни X1 товара замінника існує позитивний напрямок кореляційного зв'язку сильного рівню 0,964;

- Між рівнем попиту Y та рівнем ціни X2 основного товару існує негативний напрямок кореляційного зв'язку сильного рівню 0,747.

Модель 1 Y = 8,722+1,611*x10,444*x2

Модель 2 Y = 2,857*x1+0,830*x2

Тобто, отримані знаки в регресійному рівнянні моделі 1 повністю відповідають напрямку знаків в кореляційній матриці, а отримані знаки в регресійному рівнянні моделі 2 не відповідають напрямку знаків в кореляційній матриці.

Економічне трактування отриманого регресійного рівняння моделі 1 є наступним [2]:

- Зростання попиту на ринку на основний товар відбувається при прямому зниженні цін на нього;

- Зростання попиту на ринку на основний товар відбувається при зростанні цін на товар - замісник основного товару на ринку, або зниження попиту на основний товар відбувається при зниженні цін на альтернативний товар - замісник основного товару на ринку.

Список використаної літератури

1. Наконечний С. І., Терещенко Т. О., Романюк Т. П. Економетрія: Підручник. -- Вид.3тє, доп. та перероб. -- К.: КНЕУ, 2004. -- 520 с.

2. Старостина А.О. Маркетинг : підручник / А. О. Старостіна, Н. П. Гончарова, Є. В. Крикавський та ін. ; за ред. А. О. Старостіної. - К. : Знання, 2009. - 1070 с.

Размещено на Allbest.ru