Размещено на http://www.allbest.ru/

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра системного анализа и управления

Курсовая работа

по курсу

Теория принятия решений

на тему: Системы массового обслуживания

Выполнил

студент группы 2221

Алябьев И. А.

Проверили:

проф. Черемисина Е.Н.

доцент Крейдер О.А.

Дубна, 2011

Введение

Во многих областях практической деятельности человечество сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.

Постановка задачи

Цель: Рассмотреть типовую задачу СМО, рассчитать основные характеристики СМО.

Исходные данные: В торговом зале фирмы обслуживанием покупателей занимаются 2 продавца () На обслуживание одного покупателя продавец в среднем затрачивает 20 сек.(или1/3 мин. Т.е., =3чел/мин). Интенсивность входящего потока покупателей составляет 5 чел/мин.

Представление о модели: Расчетная математическая модель, реализованная с применением программных средств Microsoft Office

Ожидаемый результат: нахождение оптимального количества обслуживающих механизмов (продавцов)

Критерии оценки результата: результат удовлетворяет заданным в условии задачи параметрам. Руководством фирмы установлено, что длина очереди не должна превышать 2 человека .

Теоретическая часть

Полагая, что покупатели прибывают в магазин «случайно» можно считать, что вероятность прибытия покупателя за любой малый промежуток времени , начинающийся в произвольный момент времени и имеющий продолжительность с точностью до пренебрежимо малых величин пропорционально величине c некоторым коэффициентом . Вероятность того, что за этот промежуток времени в магазин не прибудет ни одного покупателя, может быть приблизительно оценена как .

Исходя из этого, в теории вероятности делаются выводы:

промежутки времени между двумя приходами покупателей подчиняются экспоненциальному распределению

(1)

Вероятность того, что за любой промежуток времени в магазин прибудет покупателей (клиентов, заявок…) может быть определена как

, (2)

т.е. входной поток покупателей является пуассоновским.

- интенсивность входного потока, т.е. среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

[чел/мин; руб/час; чеков/час; кг/час…]

где - среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками (приходами покупателей).

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания тоже можно считать распределенным экспоненциально.

(3)

где -- интенсивность движения очереди (среднее число заявок, поступающих на обслуживание в единицу времени;

-- среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходной поток заявок (заявок, прошедших обслуживание) связан с потоком обслуживания в канале СМО также, в большинстве случаев, подчиняется показательному закону распределения с плотностью

, (4)

где - интенсивность обслуживания в канале (одним продавцом…), т.е. среднее число заявок (клиентов), обслуживаемых в единицу времени.

= 1/t_обсл = [ чел/мин; руб./день; кг./час; докум./день….]

Одной из наиболее важных характеристик СМО, связывающей показатели и , является интенсивность нагрузки (),

, (5)

которая показывает степень согласованности входного потока заявок с интенсивностью их обслуживания.

Величину часто называют приведенной плотностью потока требования (заявок) или интенсивностью нагрузки -- среднее число требований, приходящихся на среднее время обслуживания одного требования.

Рассмотрим наиболее общий случай СМО, когда n -- канальная система работает в режиме с ожиданием обслуживания и с ограничением на длину очереди (в очереди не может быть более m требований). При этом, мы предполагаем, что входящий поток требований на обслуживание описывается пуассоновским законом распределения с интенсивностью , а время обслуживания требований распределено по показательному закону с интенсивностью .

Вероятность того, что в системе отсутствуют требования (Р₀) может быть определена по формуле:

Вероятность того, что в системе обслуживания находятся k требований на обслуживание (P_k) может быть определена как:

Отношение /n часто обозначается через Х и называется уровнем загрузки системы.

Х = /n (7)

Если , то очередь на обслуживание не образуется и система находится в стационарном состоянии, которое характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований в течении заданного промежутка времени зависит только от его продолжительности.

Вероятность отказа в обслуживании требования (заявки, клиента…), если в систему поступает заявок на обслуживание

(8)

Вероятность обслуживания поступившей заявки (или относительная пропускная способность СМО)

. (9)

Абсолютная пропускная способность системы (число фактически обслуженных требований в единицу времени)

. (10)

Среднее число занятых каналов обслуживания

,

так как А -- это интенсивность потока обслуживания заявок, а каждый канал способен в единицу (в среднем) обслуживать заявок.

Коэффициент использования (занятости) каналов:

(11)

Коэффициент простоя каналов обслуживания:

. (12)

Среднее число требований (заявок) в очереди:

L_ср =1*P_n+1+2*P_n+2+…m*P_n+m =

Среднее время обслуживания требований:

(13)

Среднее время ожидания в очереди:

Так как, если заявка на обслуживание поступит в тот момент, когда все каналы заняты и очереди нет, то время ожидания составит в среднем , а если заявка поступит в тот момент, когда в очереди находится одно требование на обслуживание, и т.д. Среднее время пребывания заявки в СМО

. (14)

Образование очереди возможно только тогда, когда вновь поступившая заявка застанет на обработке в системе не менее n требований на обслуживание, т.е когда в СМО будет находиться n, n+1, n+2,…n+m-1 требований на обслуживание.

Учитывая то, что заявки в СМО поступают независимо друг от друга, вероятность того, что все каналы обслуживания будут заняты равна сумме вероятностей Отсюда вероятность образования очереди:

Выше были приведены формулы для расчета основных характеристик СМО для случая, в котором допускается возникновение очереди при наличии ограничения на ее длину В том случае, если количество заявок в очереди на обслуживание превышают заданную величину m, то эти заявки исключаются из дальнейшего обслуживания. Под величиной ограничения очереди m может также пониматься и количество мест для стоянки автомобилей, помещений для хранения и обработки товаров и др..

Если , то мы имеем дело с первым частным случаем СМО - системы с отказами. Наиболее типичным примером такой СМО является работа стола заказов (или справочной службы) по телефону - если все телефоны заняты приемом заказов, то звонок нового покупателя получает отказ - сигнал занято.

В том случае, когда m При расчете основных характеристик СМО в таблице Excel величина m может быть взята в 10 -50 раз больше величины (m = (10 50) . , то получаем СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди.

Практическая часть

На листе Excel разработана таблицу исходных данных, подобную приведенной на рис. 1.

Рис. 1 Фрагмент листа Excel с таблицей исходных данных

В ячейках С3:С5 размещены исходные данные задачи. В ячейке С6 в соответствии с формулой 1-4 рассчитана величина плотности потока заявок , по формуле: =$C$3/$C$4 Обратите внимание, что в формуле использованы абсолютные ссылки на ячейки..

Сделана таблица расчета основных показателей работы СМО. Таблица может иметь вид, подобный показанному на рисунке.

Рис. 2. Фрагмент листа Excel с таблицей расчета основных показателей СМО

При записи достаточно сложных формул (например, таких как Р₀ или L_оч) оказывается удобным записывать их части в отдельных ячейках.

В ячейку Е9 записана формула =$C$6/E8, возвращающая значение Х - уровня загрузки СМО. В ячейке Е10 размещена формула для вычисления =E10+($C$6^F2)/ФАКТР(F2);

В ячейку Е11 записана формула

система массовый обслуживание очередь

=($C$6^(E8+1))/((ФАКТР(E8))*E8)*((1-($C$6/E8)^$C$5)/(1-$C$6/E8));

В ячейку Е12 записана формула =1/(E10+E11), реализующая вычисление вероятности отсутствия требования в СМО (Р₀).

В ячейке Е13 размещена формула вычисления

Р_отк =(($C$6^(E8+$C$5))/(ФАКТР(E8)*E8^$C$5))*E12

и копируем ее в ячейки F13:I13. В ячейке Е14 размещена формула вычисления Р_обсл =1-E13 и скопирована в ячейки F14:I14. В ячейке Е15 размещена формула вычисления абсолютной пропускной способности (А) =$C$3*E14 и скопирована ее в ячейки F15:I15.

В ячейке Е16 размещена формула вычисления вероятности отказа обслуживания заявки (вероятности образования очереди

(Р_оч) =(($C$6^E8)/ФАКТР(E8))*(((1-($C$6/E8)^$C$5)/(1-($C$6/E8)))*E12)

и скопирована в ячейки F16:I16. В ячейке Е17 размещена формула вычисления среднего числа занятых каналов обслуживания

(N_ср) =E15/$C$4

и скопирована в ячейки F17:I17.

В ячейках Е18:Е19 размещены формулы для вычисления коэффициента занятости и простоя каналов обслуживания (К_зан и К_прост), соответственно, =E17/E8 и =1-E18.

Cкопированы в ячейки F18:I19. В ячейках E20:E21 размещены части формулы для вычисления сомножителей формулы определения длины очереди заявок (L_оч):

Е20 =($C$6^(E8+1))/(((E8-$C$6)^2)*ФАКТР(E8-1))

Е21 =1-(($C$5+1)*($C$6/E8)^$C$5) +$C$5*($C$6/E8)^($C$5+1).

В ячейке Е22 размещена формула, реализующая вычисление Lоч =E20*E21.

В ячейках Е23:Е25 размещена формула для вычисления среднего времени ожидания в очереди; среднего времени обслуживания требования и среднего времени пребывания требования в СМО (от момента поступления требования до его исполнения), соответственно.

Е23 =E16/($C$4*(E8-$C$6))

Е24 =E14/$C$4

Е25 =E24+E23

Таким образом, в результате выполненных действий, на листе Excel будет получена таблица (рис.3) с данными, характеризующими работу СМО.

Из анализа полученной таблицы следует, что при наличии двух продавцов СМО будет находиться в стационарном режиме (X<0), однако, средняя длина очереди будет составлять Lср =3.086. При трех продавцах средняя длина очереди составит Lср = 0,905, что удовлетворяет условиям задачи. При этом, вероятность отказа в обслуживании покупателей составит менее 5% (Р_отк =0,043)

Рис. 3. Фрагмент рабочего лиcта Excel с таблицей расчета основных показателей СМО в режиме отображения формул

Заключение

В данной курсовой работе была рассмотрена задача СМО -- задача о многоканальном обслуживании входящих заявок с очередью и отказами, с помощью программных средств Microsoft Office. Были найдены основные показатели работы конкретной СМО.

Список литературы

1.Курицкий. Б.Я Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.- СПб.:BHV -Санкт-Петербург,1997.-84с

2.Левин. Л.А. Excel в финасово-экономическом анализе: Уч.-метод. пособие. КГТЭИ, 1998

3.Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. СПб:Питер,2002.-176с

4. Спирин А.А., Фомин. Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле: Уч. Пособие для экон. и товаровед. факт. торг. вузов. М.:Экономика,1988.-149с.

5. Экономический анализ: уч. Пособие/ под ред. М.И.Баканова, А.Д Шеремета.-М.: Финансы и статистика, 2000.-656с.

Размещено на Allbest.ru