Исследование моделей авторегрессии и скользящего среднего первого и второго порядков

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

Исследование моделей авторегрессии и скользящего среднего первого и второго порядков

Модели случайных процессов, имеющих место в системах передачи информации, зачастую могут быть представлены в виде временных рядов. В частности частотно-селективные и временные селективные замирания могут быть представлены посредством моделей авторегрессии. При этом повышение порядка модели позволяет повысить степень ее адекватности реальному случайному процессу. В лабораторной работе рассмотрены два типа временных рядов - авторегрессионные последовательности и процессы со скользящим средним.

Цель работы: изучение авторегрессионных моделей, а также моделей скользящего среднего, позволяющих имитировать случайные процессы с заданным спектром и корреляционной функцией; анализ статистических характеристик имитируемых случайных процессов.

авторегрессионный автокорреляционный статистический

1. Модель авторегрессии первого порядка

,

где - независимые отсчеты гауссовой случайной величины с нулевым средним и единичной дисперсией, .

Автокорреляционная функция:

Нормированная автокорреляционная функция: , , .

Дисперсия: , где - дисперсия белого шума.

Спектр: , .

2. Модель авторегрессии второго порядка

.

Автокорреляционная функция:

, , , .

Дисперсия: .

Спектр:

3. Модель скользящего среднего первого порядка

,

где - независимые гауссовы случайные величины, .

Автокорреляционная функция: , .

Дисперсия: .

Спектр: , .

4. Модель скользящего среднего второго порядка

.

Автокорреляционная функция:

Дисперсия: .

Спектр:

Порядок выполнения работы:

1. Загрузить пакет SciLab_4_1 и выбрать опцию Editor. Перенести соответствующие Script-файлы в программное окно.

2. Получить графики временных реализаций (Time Realization), корреляционных функций (Correlation Function) и спектров (Spectrum) для соответствующих моделей временных рядов: авторегрессии 1-го порядка (AR_1), авторегрессии 2-го порядка (AR_2), скользящего среднего 1-го порядка (МА_1), скользящего среднего 2-го порядка (МА_2) в соответствии с вариантом задания (таблица 1). При этом в программном окне коэффициентам авторегрессионного уравнения и соответствуют обозначения G1 и G2; коэффициентам корреляции и уравнений авторегрессии соответствуют обозначения p 1 и p 2; коэффициентам и уравнений скользящего среднего - обозначения J 1 и J 2, соответственно. В отчете должно быть представлено 12 графиков.

3. Вычислить дисперсию случайного процесса для каждой модели временного ряда (значение в окне Variance в режиме Time Realization - VarZ).

4. Вычислить значения и для модели авторегрессии второго порядка.

5. Вычислить значения и для моделей скользящего среднего.

Таблица 1. Варианты заданий

Номер варианта	AR_1	AR_2	MA_1	MA_2
1	0.85	0.82; 0.4	0.5	1.5; 1.3
2	0.92	0.88; 0.6	0.75	-1.2; 1.4
3	0.76	-0.95; 0.92	-0.8	0.7; 0.3
4	0.97	0.6; -0.1	1.5	-0.6; 1.1
5	0.9	0.98; 0.93	-1.2	1.3; -0.6
6	0.82	-0.5; 0.4	0.7	0.5; 1.2
7	0.88	0.92; 0.82	-0.6	0.75; 0.9
8	0.95	-0.2; 0.8	1.3	-0.8; 1.5
9	0.78	0.97; 0.94	0.8	0.8; -1.2
10	0.98	-0.1; -0.9	-0.9	-0.9; 1.3

Содержание отчета:

1. Название работы, ФИО студентов, цель работы.

2. Необходимые теоретические сведения.

3. Графики временных реализаций, корреляционных функций и спектров для соответствующих моделей временных рядов: авторегрессии 1-го и 2-го порядка, скользящего среднего 1-го и 2-го порядка.

4. Вычисленные значения дисперсии, а также соответствующих коэффициентов корреляции.

5. Выводы по работе.

Контрольные вопросы:

Откуда произошло название «скользящее среднее»?

Дайте определение понятия «корреляция».

Что характеризует корреляционная функция случайного процесса?

Что характеризует спектр сигнала?

Как вычислить энергию сигнала, зная спектральную плотность мощности?

Каким образом в моделях авторегрессии задается аддитивный гауссов шум?

Существуют ли неустойчивые процессы со скользящим средним?

Каково условие стационарности для процесса авторегрессии 2-го порядка?

Как влияет изменение знака перед коэффициентом на форму спектра процесса авторегрессии 1-го порядка?

Можно ли назвать процесс со скользящим средним коррелированным?

Script-файлы:

!!! Коэффициенты G1 и G2 нужно вычислить самостоятельно по формулам, исходя из заданных (в варианте задания) нормированных коэффициентов корреляции p1 и p2.

% AR_1_timereal

N=30;

q=grand(1,N,'nor',0,1)

p=0.9; z(1)=grand(1,1,'nor',0,1);

for i=2:N

z(i)=p*z(i-1)+q(i);

disp([i,z(i)]);

end

plot(z)

% AR_1_corr

N=20;

p(1)=-0.7;

for i=2:N

p(i)=p(1)^i;

disp([i,p(i)]);

end

plot(p)

% AR_1_spectrum

p=0.5;

varZ=1/(1-p^2);

U1='varZ= ';

disp(varZ)

i=0:0.1:5;

w=i./10;

S=2./(1+p^2-2*p*cos(2*3.1415926*w));

plot(w,S)

% AR_2_timereal

N=50;

G1=0.75; G2=-0.5;

q=grand(1,N,'nor',0,1);

z(1)=grand(1,1,'nor',0,1); z(2)=grand(1,1,'nor',0,1);

for i=3:N

z(i)=G1*z(i-1)+G2*z(i-2)+q(i);

disp([i,z(i)])

end

plot(z)

% AR_2_corr

N=20;

G1=0.75; G2=-0.5; p(1)=G1./(1-G2); p(2)=G1*p(1)+G2;

for i=3:N

p(i)=G1*p(i-1)+G2*p(i-2);

disp([i,p(i)])

end

plot(p)

set("figure_style","new")

a=get("current_axes");

a.data_bounds=[0 -1; 20 1];

% AR_2_spectrum

G1=0.75; G2=-0.5;

varZ=(1./((1-G2).^2-(G1)^2)).*((1-G2)/(1+G2));

U1='varZ= ';

disp(varZ)

w=0:0.01:0.5;

S=2./(1+(G1)^2+(G2)^2-2*G1.*(1-G2).*cos(2*3.1415926*w)-2*G2*cos(4*3.1415926*w));

plot(w,S)

% MA_1_timereal

N=30;

J=0.5; q=grand(1,N,'nor',0,1);

for i=1:N-1

z(i)=q(i+1)-J*q(i);

disp([i,z(i)])

end

plot(z)

% MA_1_spectrum

J=-0.7;

varZ=(1+J^2);

U1='varZ= ';

disp(varZ);

i=0:0.1:5;

w=i/10;

S=2./(1+J^2-2*J*cos(2*3.1415926*w));

plot(w,S)

% MA_2_timereal

N=30;

J1=0.7; J2=-0.3; q=grand(1,N,'nor',0,1);

for i=1:N-2

z(i)=q(i+2)-J1*q(i+1)-J2*q(i);

disp([i,z(i)])

end

plot(z)

% MA_2_spectrum

J1=-0.7; J2=-0.7;

varZ=(1+J1^2+J2^2);

U1='varZ= ';

disp(varZ);

i=0:0.1:5;

w=0:0.01:0.5;

S=2.*(1+(J1)^2+(J2)^2-2*J1.*(1-J2).*cos(2*3.1415926*w)-2*J2*cos(4*3.1415926*w));

plot(w,S)

Библиографический список

1. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. В 2 вып. Вып. 1 / Дж. Бокс, Г. Дженкинс; пер. с англ. А. Л. Левшина, под ред. В. Ф. Писаренко. - М. : Мир, 1974. - 406 с.

2. Васильев, К. К. Методы обработки сигналов : учебное пособие / К. К. Васильев. - Ульяновск : УлГТУ, 2001. - 80 с. (имеется электронная версия)

3. Васильев, К.К. Математическое моделирование систем связи : учебное пособие / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. - Ульяновск : УлГТУ, 2008. - 168 с.

Размещено на Allbest.ru