Математические методы экономического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

8. Составить только математическую модель

Предприятие может работать по пяти технологическим процессам (T₁, T₂, T₃, Т₄, Т₅), выпуская количество продукции за единицу времени соответственно 90, 180, 28, 38, 45. Составить программу максимального выпуска продукции при условии, что известны количество сырья, расход электроэнергии, заработная плата и накладные расходы при изготовлении продукции в единицу времени по заданным технологиям.

Таблица 1

Решение

18. Составить только математическую модель

Нужно распилить большое число брёвен длиной 13 м. на бруски размерами 2; 3; 4 м., количество которых, в зависимости от размеров, должны быть в отношении 5:9:3. Найти план распила с минимальным числом отходов.

Решение

Прежде чем строить модель, определим возможные способы распила бревен, указав, сколько соответствующих брусьев при этом получается.

Теперь составим математическую модель, приняв, что всего поступает на распил а бревен.

Введем переменную х - число комплектов, тогда целевая функция будет Z = x > max, при условиях, что все бревна должны быть распилены, т.е. х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = а.

Число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности

6х₁ + 5х₂ = 5х; х₂ + 4х₃ = 9х; 3х₄ = 3х.

Из последнего равенства, определив х = и исключив х из остальных выражений, придем окончательно к следующей задаче:

28. Решить графическим методом

Решение

С помощью таблицы Гаусса приводим систему к единичному базису. Одновременно исключаем из целевой функции базисные переменные. Для этого коэффициенты при переменных в целевой функции записываем в таблицу четвертой строкой как коэффициенты некоторого дополнительного уравнения с правой частью, равной нулю.

(*)

В полученной системе ограничений отбрасываем неотрицательные базисные переменные х₃, х₄, х₅ и заменяем равенства неравенствами. В целевую функцию вводим свободный член -22, полученный на месте нуля в столбце правых частей. При этом изменяем его знак на противоположный. Получаем задачу линейного программирования с двумя переменными, которую решаем графическим методом.

(1)

и (2)

и (3)

max Z₁(М*) = 2·4+2·6+22 = 82

Значения остальных переменных оптимального решения исходной задачи определяем, исходя из системы ограничений (*). Для этого выразим из этой системы базисные переменные через правые части и свободные переменные и подставим значения

Оптимальное решение

.

Ответ: Z_max = 22 при .

38. Решить симплекс-методом или методом искусственного базиса

Завод выпускает обычные станки и станки с программным управлением, затрачивая на один обычный станок 200 кг стали и 200 кг цветного металла, а на один станок с программным управлением 700 кг стали и 100 кг цветного металла. Завод может израсходовать в месяц до 46 т стали и до 22 т цветного металла, и имеет обязательное задание: выпускать в месяц не менее 80 станков.

Сколько станков каждого вида должен выпускать в месяц завод, чтобы объем реализации был максимальным, если обычный станок стоит 1000 ден. ед., а станок с программным обеспечением 5000 ден.ед.

Дополнительное условие: должно быть выпущено в месяц не менее 30 обычных станков.

Разделим 1 и 2 неравенство на 100, и домножим 3-e неравенство на -1 и перепишем систему

Введем дополнительные переменные x₃, x₄, x₅.

Ограничения:

Добавим 3 дополнительные переменные и 1 искусственный базис

Выберем ключевой элемент (3,1)

Выберем ключевой элемент (1,2)

Получен оптимальный план x* = (80, 300/7), т.к. 300/7=42,85, а количество станков может быть только целым, то мы можем округлить это число до 43 станков. Тогда оптимальный план x* = (80, 43)

Z(x*)= 3655000

48. На складах А, В, С находится сортовое зерно 100, 150. 350 т, которое нужно доставить в четыре пункта. Пункту 1 необходимо поставить 50 т, пункту 2 - 100 т. пункту 3 - 200 т. пункту 4 - 150 т сортового зерна. Стоимость доставки 1 т зерна со склада А в указанные пункты соответственно равна (д. е) 80, 30, 50, 20; со склада В - 40, 10, 60, 70; со склада С - 10. 90, 40, 30.

Составьте оптимальный план перевозки зерна из условий минимума стоимости перевозки.

Решение

Проверим задачу на условие разрешимости (для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения). Так как оно не выполняется (запасы груза больше, чем потребности пунктов), то вводим фиктивный Пункт 5, стоимость доставки в который из любого пункта 0 и с потребностью 100.

Z=0•50+0•50+20•100+10•100+10•50+40•200+30•50=13000

Считаем потенциалы для базисных переменных. Полагая u₁=0, получим:

х₁₅: u₁ + v₄ = 20, 0 + v₄ = 20 > v₄ = 20,

x₂₂: u₂ + v₂ = 10, 10 + v₂ = 10 > v₂ = 0,

x₂₅: u₂ + v₅= 0, u₂ - 10 = 0 > u₂ = 10,

x₃₁: u₃ + v₁ = 10, 10 + v₁ = 10 > v₁=0,

x₃₃: u₃ + v₃ = 40, 10+ v₃ = 40 > v₃ = 30,

x₃₄: u₃ + v₄ = 30, u₃ + 20 = 30> u₃ = 10,

x₃₅: u₃ + v₅= 0, 10 + v₅ = 0 > v₅ = -10.

Оценки для небазисных переменных определяются следующим образом:

х₁₁: = c₁₁ - u₁ -v₁ = 80 - 0 - 0 = 80,

х₁₂: = c₁₂ - u₁ -v₂ = 30- 0 - 0 =30,

х₁₃: = c₁₃ - u₁ -v₃ = 50 - 30 -0 =20,

х₁₅: = c₁₅ - u₁ -v₅ = 0+10 - 0 =10,

х₂₁: = c₂₁ - u₂ -v₁ = 40 - 10 - 0 = 30,

х₂₃: = c₂₃ - u₂ -v₃ =60 - 30 - 10 = 20,

х₂₄: = c₂₄ - u₂ -v₄ = 70 - 20 - 10 = 40,

х₃₂: = c₃₂ - u₃ -v₂ = 90 - 10 - 0 =80.

Следовательно, опорный план является оптимальным.

58. Решить задачу о назначениях

Фирма, выпускающая сложную электронную аппаратуру, получил заказ на несколько тысяч новых изделий, собирающихся из нескольких блоков. Руководство фирмы приняло решение разместить заказ на изготовление 5-ти блоков 5-ти фирмам-поставщикам. Каждому поставщику предложено определить стоимость выполнения заказов, что отражено в таблице. Большие цены свидетельствуют о нежелании принять заказ. Фирма-поставщик может выполнить только один заказ. Как в этих условиях фирме заключить пять контрактов с поставщиками, чтобы минимизировать при этом свои расходы?

Решение

Шаг №1.

1. Проводим редукцию матрицы по строкам. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

Затем такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу.

2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость.

В итоге получаем следующую матрицу:

Поскольку расположение нулевых элементов в матрице не позволяет образовать систему из 5-х независимых нулей (в матрице их только 3), то решение недопустимое.

3. Проводим модификацию матрицы. Вычеркиваем строки и столбцы с возможно большим количеством нулевых элементов:

Получаем сокращенную матрицу (элементы выделены):

Минимальный элемент сокращенной матрицы (5) вычитаем из всех ее элементов:

Затем складываем минимальный элемент с элементами, расположенными на пересечениях вычеркнутых строк и столбцов:

Шаг №2.

1. Проводим редукцию матрицы по строкам. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

Затем такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу.

2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость.

В итоге получаем следующую матрицу:

Поскольку расположение нулевых элементов в матрице не позволяет образовать систему из 5-х независимых нулей (в матрице их только 4), то решение недопустимое .

3. Проводим модификацию матрицы. Вычеркиваем строки и столбцы с возможно большим количеством нулевых элементов:

Получаем сокращенную матрицу (элементы выделены):

Минимальный элемент сокращенной матрицы (1) вычитаем из всех ее элементов:

Затем складываем минимальный элемент с элементами, расположенными на пересечениях вычеркнутых строк и столбцов:

Шаг №3.

1. Проводим редукцию матрицы по строкам. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

Затем такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу.

2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость.

В итоге получаем следующую матрицу:

Количество найденных нулей равно k = 5. В результате получаем эквивалентную матрицу Сэ:

4. Методом проб и ошибок определяем матрицу назначения Х, которая позволяет по аналогично расположенным элементам исходной матрицы (в квадратах) вычислить минимальную стоимость назначения.

линейный программирование задача разрешимость

Cmin = 15 + 38 + 13 + 13 + 21 = 100

Ответ. Cmin = 15 + 38 + 13 + 13 + 21 = 100

Размещено на Allbest