Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ

(Технологический университет)

Кафедра экономики и менеджмента

Курсовая работа

Тема: «Оптимальная производственная программа»

(прокатное производство)

Учебный курс: «Экономико-математические методы и модели»

Москва

2005г.

Содержание

Введение

1. Теоретические аспекты

1.1 Симплекс-метод

1.2 Двойственная задача

2. Экономическая формулировка задачи

3. Основные этапы решения

3.1 Задача на максимум прибыли

3.2 Задача на минимум суммарных затрат

4. Алгоритм решения в пакете MS EXCEL

5. Решение поставленных задач в пакете MS EXCEL

5.1 Задача на максимум прибыли

5.2 Задача на минимум суммарных затрат

6. Результаты

7. Анализ результатов

7.1 проверка I теоремы двойственности

7.2 проверка II теоремы двойственности

7.3 проверка следствий из II теоремы двойственности

8 Экономический смысл полученных результатов

Список литературы

Введение

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов.

Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:

1. Содержательная постановка задачи.

2. Системный анализ.

3. Системный синтез (математическая постановка задачи)

4. Разработка или выбор программного обеспечения.

5. Решение задачи.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

задача системный алгоритм двойственность

1. Теоретические аспекты

1.1 Симплекс-метод

Этапы решения задачи симплекс-методом.

1) нахождение исходного опорного решения;

2) осуществление перехода от одного решения к другому;

3) формулировка условия возрастания целевой функции при переходе от одного опорного решения к другому;

4) формулировка условия остановки процедуры симплекс-метода.

Симплекс-метод решения задач линейного программирования позволяет решить задачу любой размерности. Для решения этим методом задача приводится к канонической форме записи:

n - количество переменных

m - количество ограничений.

Все уравнения линейно независимы. Если n = m, то существует бесконечное множество решений, среди которых мы выбираем оптимальное. Если n < m, то решений нет. Поиск базисных и опорных решений системы ограничений задачи линейного программирования, записанной в канонической форме записи с помощью метода Гаусса. Выберем любым образом из n переменных m, назовем их базисными, а остальные (n - m) переменные назовем свободными и приравняем их к нулю. Тогда останется m ограничений и n базисных переменных. В этом случае будет одно решение. Назовем его базисным решением. Число базисных решений ограничено. Опорное решение - это неотрицательное базисное. В задачах линейного программирования нас интересует только опорное решение.

1.2 Двойственная задача

Правила построения двойственных задач:

1) Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи и наоборот.

2) Если в прямой задаче целевая функция стремится к максимуму, то в двойственной задаче целевая функция стремится к минимуму и коэффициентами целевой функции двойственной задачи являются правые части ограничений прямой задачи.

3) Если ограничения прямой задачи имеют знак , то ограничения двойственной задачи имеют знак . Правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции прямой задачи.

4) На переменные прямой и двойственной задачи наложены условия неотрицательности.

Цели составления двойственной задачи:

1. В ряде случаев проще составить и решить двойственную задачу, а затем по ее решению найти решение прямой задачи, чем решать сразу прямую задачу.

2. С помощью двойственной задачи можно проанализировать, как изменится оптимальное решение прямой задачи при изменении ее коэффициентов.

2. Экономическая формулировка задачи

Заготовка весом 8 тонн прокатывается на трех станах.

	Такт прокатки, мин; Затраты, тыс.руб/т	Цена, Тыс.руб/т	Объём заказов, т
	1	2	3
1	10; 51	12; 53	15; 55	60	700
2	8; 70	10; 72	12; 75	80	800
3	5; 38	6; 40	8; 42	50	900
Фонд времени, час	50	60	55

Целевые функции:

1. максимум прибыли производства

2. минимум суммарных затрат

При этом следует учесть следующие ограничения:

1. фонд времени работы станов

2. объем заказов различных видов проката

3. Основные этапы решения

3.1 Задача на максимум прибыли

Пусть x_ik - объем производства i-го проката на k-ом стане.

1. Максимум прибыли

Прямая задача

Целевая функция:

Ограничение по объему заказов:

Ограничение по фонду времени:

Двойственная задача

Целевая функция:

Ограничения:

3.2 Задача на минимум суммарных затрат

Минимум суммарных затрат

Прямая задача

Целевая функция:

Ограничение по объему заказов:

Ограничение по фонду времени:

Двойственная задача

Целевая функция:

Ограничения:

4. Алгоритм решения задачи линейного программирования на компьютере в программе Microsoft Excel

1. Входим в пакет Microsoft Excel;

2. Вводим коэффициенты целевой функции, ограничений;

3. Резервируем ячейки под переменные;

4. Суммируем коэффициенты целевой функции помноженные на переменные, коэффициенты ограничений помноженные на переменные. Для этого:

4.1 Выбираем ячейку, в которой появится сумма;

4.2 Входим в эту ячейку (в нем должен замигать курсор);

4.3 Входим в функцию “Математика и тригонометрия”;

4.4 Выбираем “Сумму произведений”;

4.5 Выделяем мышкой ячейки, которые хотим перемножить;

4.6 В массиве 1 появится соответствующая запись;

4.7 Выбираем массив 2 и т.д.;

4.8 Нажимаем кнопку “Закончить”;

4.9 В ячейке, выбранной под сумму должны появиться нули.

5. В меню “Сервис” имеем “Поиск решения”;

6. Устанавливаем целевую ячейку, переменные и ограничения;

Нажимаем кнопку “Выполнить”.

5. Решение поставленных задач в пакете MS EXCEL

5.1 задача на максимум прибыли

Прямая задача

Переменные

Коэффициенты целевой функции на максимум выручки

Ограничения по объему заказов Коэффициенты ограничения по фонду

времени

Целевая функция на максимум

Двойственная задача

Целевая функция на минимум

5.2 Задача на минимум суммарных затрат

Прямая задача

Переменные

Коэффициенты целевой функции на минимум затрат

Ограничения по объему заказов

Коэффициенты ограничения по фонду времени

Целевая функция на минимум

Двойственная задача

Целевая функция на максимум

6. Результаты

1. Прямая задача на максимум прибыли

Fmax= 119462,9664

2. Двойственная задача на максимум прибыли

Fmin=119462,9664

3. Прямая задача на минимум суммарных затрат

Fmin=125900

4. Двойственная задача на минимум суммарных затрат

Fmax=125900

7. Анализ результатов задачи линейного программирования

7.1 Проверка I теоремы двойственности

Формулировка: значение целевой функции прямой задачи равно значению целевой функции двойственной ей задачи.

На оптимальных решениях прямой и двойственной задачи на минимум суммарных затрат значения целевых функций равны.

F_min^исх = F_max^дв = 125900

На оптимальных решениях прямой и двойственной задачи на максимум прибыли числовые значения целевых функций равны.

F_max^исх = F_min^дв = 119462,9664

Первая теорема двойственности выполняется.

7.2 Проверка II теоремы двойственности

Формулировка: на оптимальных решениях прямой и двойственной задач выполняются следующие соотношения:

Задача на максимум прибыли:

Задача на минимум суммарных затрат:

Вторая теорема двойственности выполняется.

7.3 Проверка следствий из II теоремы двойственности

1 следствие. Формулировка: Если i-ое ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство на оптимальном решении, то соответствующие переменные двойственной задачи на оптимальном решении равны 0.

2 следствие. Формулировка: Если на оптимальном решении двойственной задачи y_i > 0, то соответствующее i-тое ограничение прямой задачи выполняется как равенство на её оптимальном решении.

Задача на максимум выручки:

Задача на минимум суммарных затрат:

1 и 2 следствие из второй теоремы двойственности выполняются.

3 следствие. Формулировка: Если k-тое ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая k-тые переменные прямой задачи на оптимальном решении равны 0.

4 следствие. Формулировка: Если на оптимальном решении прямой задачи k-ая переменная получается строго больше 0, то соответствующее k-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство.

Задача на максимум прибыли:

Задача на минимум суммарных затрат:

3 и 4 следствия из второй теоремы двойственности выполнены.

8. Экономический смысл полученных результатов

Задача на максимум прибыли

По 1 следствию из второй теоремы двойственности объём заказов по третьему виду продукции перевыполнены (соответствующие двойственные переменные равны «0»), следовательно, они являются рентабельными. Соответственно, невыгодными являются второй и третий вид продукции, т.к при увеличении производства 1 вида продукции на 1 тонну прибыль уменьшится на 9994 рублей, а при увеличении второго - на 6976 рублей.

Что касается работы стонов, то их фонд времени израсходован полностью. Мы наиболее заинтересованы в увеличении фонда времени по первому стану, так как его увеличение на 1 час принесёт прибыль 1153,846 тысяч рублей, по второму стану - 800 тысяч рублей, по третьему - 479,0419 тысяч рублей.

Задача на минимум суммарных затрат

Изучив полученные данные, можно сделать вывод, что затраты будут минимальны при строгом выполнении объема заказов (но не при перевыполнении!), что в общем-то логично, т.к. производство каждой тонны продукции сверх заказа потребует дополнительных средств. Наиболее нежелательно перепроизводство второго вида продукции, т.к. это повлечет за собой возрастание затрат на 70 тысяч рублей за каждую тонну, затем первого - 51 тысяч рублей и третьего - 38 тысяч рублей.

Все три двойственных переменных, характеризующих работу станов равны «0». Это объясняется тем, что фонд времени по всем станам не израсходован и имеет большой запас, а его увеличение нецелесообразно, т.к. это приведет только к увеличению выпуска продукции, в чем мы в данном случае не заинтересованы.

Список литературы

1. Сычёв В.И. Курс лекций по дисциплине «Экономико-математические методы и модели». МИСиС, 2001.

2. Розоноэр. Экономико-математические методы и модели. МИСиС, №1118.

3. Розоноэр. Математические методы решения экономических задач. Раздел: постановка задач линейного программирования и геометрические интерпретации. МИСиС, №286.

4. Браверман. Математические методы планирования и управления в экономических системах, 1976.

Рожков И.М., Сычев В.И. «Экономико-математические методы и моделирование» методические указания. Москва 1989г.

Размещено на Allbest.ru