Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• Задание
• Графический анализ данных по импорту товаров
• 1. Основные показатели динамики для временного ряда годовых данных. Приближенный прогноз на следующий год с использованием средних показателей динамики
• 2. Проверка гипотезы о наличии тренда (критерий серий, Критерий Фостера - Стюарта)
• 3. Анализ структуры временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции
• 4. Сглаживание временного ряда квартальных данных с помощью скользящих средних
• 5. Модель временного ряда квартальных данных с учетом сезонных колебаний
• 6. Оценка адекватности и точности модели. Прогнозирование на 2006 год (по кварталам и в целом)
• Заключение
• Список используемой литературы
• Введение
• В современных условиях управленческие решения должны приниматься лишь на основе тщательного анализа имеющейся информации. Для решения подобных задач предназначен аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. Эти методы позволяют выявить закономерности на фоне случайностей, сделать обоснованные прогнозы и выявить вероятность их выполнения.
• При рассмотрении классической модели регрессии характер экспериментальных данных не имеет принципиального значения. Методы исследования моделей, основанных на данных пространственных выборок и временных рядов, существенно отличаются. Это можно объяснить тем, что наблюдения во временных рядах нельзя считать независимыми.
• Под временным рядом понимается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать yt (t=1,2,…,n), где n-число уровней.
• В общем виде при исследовании временного ряда yt выделяются несколько составляющих:
• (t=1,2,…,n) - аддитивная модель,
• - мультипликативная модель
• - тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, то есть длительную тенденцию изменения признака;
• - сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода;
• - циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов;
• - случайная компонента, отражающая влияние неподдающихся учету и регистрации случайных факторов.
• Нужно обратить внимание на то, что в отличие от случайной компоненты первые три составляющие являются закономерными, неслучайными.
• Наиболее важной задачей при исследовании временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.
• Целью данной курсовой работы является изучение и анализ импорта товаров в страны вне СНГ. Необходимо определить основные показатели динамики для временного ряда, проверить гипотезу о наличии тренда, проанализировать структуру временного ряда с помощью коэффициента автокорреляции, провести сглаживание временного ряда, получить модель временного ряда с учетом сезонных колебаний и оценить адекватность и точность полученной модели.
• импорт товар тренд

Задание.

Вариант 6

Имеются данные об импорте товаров (в страны вне СНГ), млрд. долларов США.

Используя предоставленные данные необходимо:

1. Определить основные показатели динамики для временного ряда годовых данных. Сделать приближенный прогноз на следующий год с использованием средних показателей динамики.

2. Проверить гипотезу о наличии тренда (критерий серий, Критерий Фостера-Стюарта).

3. Проанализировать структуру временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции.

4. Сгладить временной ряд квартальных данных с помощью скользящих средних.

5. Получить модель временного ряда квартальных данных с учетом сезонных колебаний.

6. Оценить адекватность и точность модели. Сделать прогноз на 2006 год (по кварталам и в целом).

Таблица 1 Импорт товаров за 2002,2003,2004,2005 ,2006 годы	2002	48.8	9.8	11.8	12.6	14.6	2.9	3.2	3.8	4.1	3.8	4.0	4.4	4.1	4.1	4.8	4.6	5.2
	2003	61.0	12.9	14.7	15.5	17.8	3.8	4.2	4.9	5.0	4.8	4.9	5.3	5.0	5.2	5.6	5.4	6.8
	2004	77.5	16.0	18.0	19.8	23.7	4.5	5.3	6.3	6.1	5.7	6.2	6.6	6.6	6.6	7.1	7.6	9.0
	2005	103.5	21.0	23.9	26.9	31.7	5.7	7.0	8.3	7.9	7.9	8.2	9.0	8.9	8.9	9.6	10.4	11.8
	2006		26.6	32.0			7.1	8.8	10.7	9.6	10.9	11.5
	Импорт товаров в (страны вне СНГ), млрд.долларов США	Всего за год	I	II	III	IV	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь	Ноябрь	Декабрь
			Кварталы

Графический анализ данных по импорту товаров

Прежде, чем приступить к анализу, обратимся к графическому изображению исходных данных за годы, месяцы и кварталы.

Для начала изобразим импорт товаров за годы. Исходные данные представлены в следующей таблице:

Таблица 2 Импорт товаров за 2002, 2003, 2004, 2005 годы (млрд.долларов США)

Импорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	Всего за год
2002	48,8
2003	61,0
2004	77,5
2005	103,5

Как видно из построенного графика, четко прослеживается тенденция к увеличению объемов импорта. Проанализировав полученный график можно сделать вывод о нелинейном развитии процесса, предположив об экспоненциальном или параболическом развитии.

Теперь сделаем графический анализ квартальных данных за четыре года:

Таблица 3 Импорт товаров за кварталы 2002,2003, 2004 и 2005 годов

Импорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	Кварталы
	I	II	III	IV
2002	9,8	11,8	12,6	14,6
2003	12,9	14,7	15,5	17,8
2004	16	18	19,8	23,7
2005	21	23,9	26,9	31,7

Графический анализ исходного временного ряда говорит о наличии ярко выраженной тенденции к увеличению импорта товаров в течении последних четырех лет. Причем наибольший объем импорта прослеживается в четвертом квартале каждого года. Характер тенденции близок к экспоненциальному развитию. Кроме того отчетливо видны и сезонные колебания (период колебания равен одному году).

Построим график месячных данных за четыре года:

Таблица 4 Месячный импорт товаров за 2002, 2003, 2004 и 2005 годы

Импорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	2002	2003	2004	2005
Январь	2,9	3,8	4,5	5,7
Февраль	3,2	4,2	5,3	7,0
Март	3,8	4,9	6,3	8,3
Апрель	4,1	5,0	6,1	7,9
Май	3,8	4,8	5,7	7,9
Июнь	4,0	4,9	6,2	8,2
Июль	4,4	5,3	6,6	9,0
Август	4,1	5,0	6,6	8,9
Сентябрь	4,1	5,2	6,6	8,9
Октябрь	4,8	5,6	7,1	9,6
Ноябрь	4,6	5,4	7,6	10,4
Декабрь	5,2	6,8	9,0	11,8

Как видно из графика яркое выражение имеет сезонность колебаний. Амплитуда колебания довольно не фиксированная, что указыает на наличие мультипликативной модели.

1. Основные показатели динамики для временного ряда годовых данных. Приближенный прогноз на следующий год с использованием средних показателей динамики

Одной из важнейших обобщающих характеристик рядов динамики, изменение которых стабилизировалось в рассматриваемом периоде и при этом подвержено ощутимым случайным колебаниям является средний уровень ряда. Средний уровень ряда находится индивидуально для каждого вида временного ряда. Временным рядом (рядом динамики) называется последовательность значений показателя (признака), упорядоченная в хронологическом порядке. Каждое значение показателя называется уровнем временного ряда. Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

1. По способу выражения уровней временного ряда:

· ряды абсолютных величин;

· ряды средних величин;

· ряды относительных величин.

2. По расстоянию между уровнями:

· ряды с равноотстоящими уровнями во времени;

· ряды с неравноотстоящими уровнями во времени.

3. По характеру случайного процесса:

· стационарные ряды (имеет среднее, дисперсию и ковариацию, независящие от момента времени), то есть

· нестационарные ряды.

4. По характеру временного ряда:

· моментные ряды динамики (характеризуют значение показателя по состоянию на определенный момент времени);

· интервальные ряды динамики (уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени).

Важнейшей особенностью интервальных рядов динамики абсолютных величин является возможность суммирования их уровней. В результате этой процедуры получаются накопленные итоги. На практике часто используют временные ряды с нарастающими итогами. Уровни таких рядов дают обобщающий результат развития показателя с начала отчетного периода. Уровни моментного ряда динамики содержат элементы повторного счета. При исследовании моментного ряда определенный смысл имеет расчет разностей уровней, характеризующих изменение показателя за некоторый отрезок времени.

В исходных данных нам представлен интервальный ряд с равноотстоящими уровнями во времени. Поэтому для определения среднего уровня ряда воспользуемся следующей формулой:

,

где n - длина временного ряда, то есть число уровней

млрд.долл.

Для количественной оценки динамики явлений применяются следующие основные аналитические показатели:

· абсолютный прирост;

· темпы роста;

· темпы прироста.

Причем каждый из перечисленных показателей может быть трех видов:

· цепной;

· базисный;

· средний.

Рассчитаем каждый из этих показателей для интервального ряда с равноотстоящими уровнями во времени.

Абсолютный прирост характеризует изменение показателя за определенный промежуток времени и находится по формуле:

,

где t=2,3,…,n; k=1,2,…,t-1

Причем, если k=1, то находим цепной абсолютный прирост:

Если k=t-1, то находим базисный абсолютный прирост относительно начального уровня.

Рассчитаем показатели, воспользовавшись приведенными формулами.

Цепной абсолютный прирост:

Базисный абсолютный прирост:



Рассчитаем средний абсолютный прирост. Это обобщающая характеристика скорости изменения исследуемого показателя во времени (скорость - это прирост в единицу времени):

,

где - цепной абсолютный прирост

( млрд.долларов/год)

Полученная величина говорит о том, что импорт товаров изменяется со скоростью 18,223 млрд.долларов/год.

Темп роста характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда и определяется по формуле:

Также можно рассчитать как цепной, так и базисный темпы роста. Найдем цепной темп роста, для этого воспользуемся формулой:

Подставив необходимые данные, получаем:

Рассчитаем базисные темпы роста по отношению к начальному уровню:

Средний темп роста - обобщающая характеристика динамики, отражающая интенсивность изменения уровней ряда. Эта величина показывает, сколько в среднем процентов составляет последующий уровень от предыдущего на всем периоде наблюдения. Показатель находится по формуле:



Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Данный показатель показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. Для расчета этой величины необходимо воспользоваться следующей формулой:

Цепной темп прироста:

Базисный темп прироста относительно начального уровня:

Средний темп прироста:

Представим статистические показатели динамики в виде таблицы 5.

Таблица 5 Статистические показатели динамики

t	yt	Абсолютный прирост, млрд.долларов США	Темп роста, %	Темп прироста, %
		Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
1	48,8	-	-	-	-	-	-
2	61,0	12,2	12,2	125	125	25	25
3	77,5	16,5	28,7	127,05	158,81	27,05	58,81
4	103,5	26	54,7	133,55	212,09	33,55	112,09

Наибольший интерес для статистического анализа представляют средние показатели динамики, так как они являются обобщающими характеристиками. С их помощью можно строить прогнозы исследуемых показателей. Но применять их стоит с осторожностью.

Описание динамики ряда с помощью соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае прогнозное значение уровня ряда на L шагов вперед (L-период упреждения):

Данный подход корректен, если характер развития близок к линейному. На это указывают приблизительно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

В нашем случае процесс развития не близок к линейному, а значит, для определения прогнозного значения использовать нельзя.

Применение среднего темпа роста (и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. На это могут указывать примерно постоянные цепные темпы роста. Тогда в этом случае:

,

где берется не в процентном выражении.

В нашем примере темпы роста были примерно одинаковые. Это говорит о том, что для определения прогнозного значения можно использовать средний темп роста:

2. Проверка гипотезы о наличии тренда (критерий серий, критерий Фостера - Стюарта)

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временного ряда начинается с построения графика исследуемого показателя. На этапе графического анализа можно исследовать компонентный состав временного ряда, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания динамики и последующего прогнозирования. При этом если рассматриваются уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, во временном ряде наблюдаются случайные ощутимые колебания. Это мешает видеть основную тенденцию изучаемого явления, поэтому для наглядного представления общей тенденции применяется метод укрупнения интервалов. Уровни нового ряда могут быть получены суммированием уровней исходного ряда или они могут представлять среднее значение.

Если присутствие тренда во временном ряду прослеживается нечетко, то прежде чем перейти к дальнейшему анализу, нужно выяснить, существует ли тенденция в исследуемом процессе. Основные подходы к решению этой проблемы основаны на проверке статистических гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда (Н0:М(уt)=const).

Существует множество критериев, которые отличаются мощностью и сложностью. К таким критериям можно отнести критерии серий и критерий Фостера-Стюарта. Критерии серий делятся на критерий серий, основанный на медиане выборки, и критерий «нисходящих» и «восходящих» серий.

В таблице 6 представлены квартальные данные по импорту товаров за 2002, 2003, 2004 и 2005 годы:

Таблица 6 Импорт товаров за 2002, 2003, 2004 и 2005 года

Импорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	Кварталы
	I	II	III	IV
2002	9,8	11,8	12,6	14,6
2003	12,9	14,7	15,5	17,8
2004	16	18	19,8	23,7
2005	21	23,9	26,9	31,7

Графическое изображение квартальных данных имеется выше.

Проверим гипотезу о наличии тренда с помощью критерия Фостера-Стюарта. Для этого заполним вспомогательную таблицу 7:

Таблица 7 Вспомогательная таблица

t	yt	mt	lt	d
1	9,8	-	-	-
2	11,8	1	0	1
3	12,6	1	0	1
4	14,6	1	0	1
5	12,9	0	0	0
6	14,7	1	0	1
7	15,5	1	0	1
8	17,8	1	0	1
9	16,0	0	0	0
10	18,0	1	0	1
11	19,8	1	0	1
12	23,7	1	0	1
13	21,0	0	0	0
14	23,9	1	0	1
15	26,9	1	0	1
16	31,7	1	0	1

Проверка гипотезы осуществляется в несколько этапов:

1) Для начала определим вспомогательные характеристики mt и lt:

Занесем полученные значения в таблицу.

2) Вычисляем . Эта величина может принимать значения -1,0,1

В нашем случае D=12

3) Применим критерий Стьюдента:

,

где - среднее квадратическое отклонение величины D

Тогда

Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Получаем, , то есть , следовательно гипотеза Н0 отвергается, тренд есть.

Теперь проверим наличие тренда с помощью критерия серий. Во-первых, критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.

Прежде всего образуем последовательность из «+» и «-» по следующему правилу:

,

где i=1,2,…,n-1

Получаем последовательность:

В случае если , учитывается лишь одно значение.

Теперь необходимо подсчитать число серий и протяженность самой длинной серии :

Теперь проверим выполнение неравенств

,

где - табличное значение.

Если оба неравенства выполняются, то принимается гипотеза Н0 при уровне значимости (0,05)

Получили, что 7>7, то есть первое неравенство не выполняется. Проверим второе:

=5, тогда 3<5 верное неравенство. Но поскольку первое неравенство оказалось неверным, следовательно, гипотеза об отсутствии тренда отвергается, то есть в импорте товаров присутствует тенденция.

Проверим эту же гипотезу следующим методом, то есть с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки.

Строим ранжированный ряд:

,

где - наименьшее значение из . Получим:

9,8; 11,8; 12,6; 12,9; 14,6; 14,7; 15,5; 16,0; 17,8; 18,0; 19,8; 21,0; 23,7; 23,9; 26,9; 31,7.

Определим медиану полученного вариационного ряда:

если n=2m+1, то

Ме=

если n=2m, то

Ме=

В нашем случае

Следующий шаг - это образование последовательности из «+» и «-» по правилу:



Если уt=Ме, то это значение пропускается.

Получаем следующую последовательность:

- - - - - - - + - + + + + + + +

Теперь подсчитаем число серий в совокупности , где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или минус тоже считается серией. Таким образом, мы получили:

При отсутствии системной составляющей протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а число серий слишком маленьким, то есть:

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза Н0 отвергается с вероятностью ошибки (), то есть подтверждается наличие неслучайной составляющей, зависящей от t.

В нашем случае:

Получаем, что:

Как видно, ни одно из неравенств системы не выполняется. Это говорит о том, что в импорте товаров в страны вне СНГ подтверждается наличие неслучайной составляющей, зависящей от t.

3. Анализ структуры временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции

При наличии тенденции и периодических колебаний значений каждого последующего уровня ряда зависит от предыдущих.

Корреляционная зависимость между последующими уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровня ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного ряда и уровнями ряда, сдвинутого на несколько шагов во времени. Этот коэффициент называют коэффициентом автокорреляции уровней временного ряда.

Проанализируем структуру временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции на нашем примере. Нам даны квартальные данные об импорте товаров за 2002, 2003, 2004 и 2005 годы(график см.выше):

Таблица 8 Импорт товаров за кварталы 2002,2003, 2004 и 2005 годов

Импорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	Кварталы
	I	II	III	IV
2002	9,8	11,8	12,6	14,6
2003	12,9	14,7	15,5	17,8
2004	16	18	19,8	23,7
2005	21	23,9	26,9	31,7

Таблица 9 Вспомогательная таблица

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	9.8	11.8	12.6	14.6	12.9	14.7	15.5	17.8	16.0	18.0	19.8	23.7	21.0	23.9	26.9	31.7	280.9
	-	9.8	11.8	12.6	14.6	12.9	14.7	15.5	17.8	16.0	18.0	19.8	23.7	21.0	23.9	26.9	259
	-	-	9.8	11.8	12.6	14.6	12.9	14.7	15.5	17.8	16.0	18.0	19.8	23.7	21.0	23.9	232.1
	-	-	-	9.8	11.8	12.6	14.6	12.9	14.7	15.5	17.8	16.0	18.0	19.8	23.7	21.0	208.2
	-	-	-	-	9.8	11.8	12.6	14.6	12.9	14.7	15.5	17.8	16.0	18.0	19.8	23.7	187.2
	-	139.24	158.76	213.16	166.41	216.09	240.25	316.84	256	324	392.04	561.69	441	571.21	723.61	1004.89	5725.19
	-	96.04	139.24	158.76	213.16	166.41	216.09	240.25	316.84	256	324	392.04	561.69	441	571.21	723.61	4816.34
	-	-	96.04	139.24	158.76	213.16	166.41	216.09	240.25	316.84	256	324	392.04	561.69	441	571.21	4092.73
	-	-	-	96.04	139.24	158.76	213.16	166.41	216.09	240.25	316.84	256	324	392.04	561.69	441	3521.52
	-	-	-	-	96.04	139.24	158.76	213.16	166.41	216.09	240.25	316.84	256	324	392.04	561.69	3080.52
	-	115.64	148.68	183.96	188.34	189.63	227.85	275.9	284.8	288	356.4	469.26	497.7	501.9	642.91	852.73	5223.7
	-	-	123.48	172.28	162.54	214.62	199.95	261.66	248	320.4	316.8	426.6	415.8	566.43	564.9	757.63	4751.09
	-	-	-	143.08	152.22	185.22	226.3	229.62	235.2	279	352.44	379.2	378	473.22	637.53	665.7	4336.73
	-	-	-	-	126.42	173.46	195.3	259.88	206.4	264.6	306.9	421.86	336	430.2	532.62	751.29	4004.93

Найдем последовательно коэффициенты автокорреляции:

- коэффициент автокорреляции первого порядка, так как сдвиг во времени равен единице (-лаг).

Аналогично находим остальные коэффициенты.

- коэффициент автокорреляции второго порядка.



- коэффициент автокорреляции третьего порядка.

- коэффициент автокорреляции четвертого порядка.

Таким образом, мы видим, что самым высоким является коэффициент автокорреляции четвертого порядка. Это говорит о том, что во временном ряде присутствуют сезонные колебания с периодичностью в четыре квартала.

Проверим значимость коэффициента автокорреляции. Для этого введем две гипотезы:

Н0:

Н1:

находится по таблице критических значений отдельно для >0 и <0. Причем, если ||>||, то принимается гипотеза Н1,то есть коэффициент значим. Если ||<||, то принимается гипотеза Н0 и коэффициент автокорреляции незначим. В нашем случае коэффициент автокорреляции достаточно велик, и проверять его значимость необязательно.

4. Сглаживание временного ряда квартальных данных с помощью скользящих средних

Распространенным приемом при выявлении и анализе тенденции временного ряда является его сглаживание. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей мере подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Методы сглаживания условно разделяют на два класса, которые опираются на разные подходы. К этим подходам относятся:

· Аналитический подход - основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную неслучайную компоненту.

· Алгоритмический подход - не предполагает описание неслучайной составляющей с помощью единой функции, а представляет лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой момент времени.

Ко второму подходу относится сглаживание временных рядов методом скользящей средней. Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания и выявить тенденцию в развитии процесса, поэтому они служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда. Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур аналитического подхода.

Требуется провести сглаживание временного ряда и восстановить потерянные уровни, используя четырехчленную простую скользящую среднюю. Исходные данные представлены в таблице:

Таблица 10 Импорт товаров за кварталы 2002,2003, 2004 и 2005 годов

Импорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	Кварталы
	I	II	III	IV
2002	9,8	11,8	12,6	14,6
2003	12,9	14,7	15,5	17,8
2004	16	18	19,8	23,7
2005	21	23,9	26,9	31,7

Изобразим графически исходный временной ряд:

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала берется равной или кратной периоду колебаний.

Поэтому для устранения сезонных колебаний часто требуется использовать l=4 или l=12.

Если l четное число (l=2p), то первое и последнее наблюдения на активном участке берутся с половинными весами. Активный участок сглаживания - наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения.

Для четырехчленной скользящей средней воспользуемся следующей формулой:

Получаем:

Аналогично находим остальные сглаженные значения. Полученные результаты сведем в таблицу 11.

Таблица 11 Сглаженные значения

t
1	9,8	-
2	11,8	-
3	12,6	12,59
4	14,6	13,34
5	12,9	14,06
6	14,7	14,83
7	15,5	15,61
8	17,8	16,41
9	16,0	17,36
10	18,0	18,64
11	19,8	20,0
12	23,7	21,36
13	21,0	22,99
14	23,9	24,88
15	26,9	-
16	31,7	-

Недостатком метода скользящей средней является потеря первых и последних уровней ряда. Причем потеря последних уровней ряда является существенным недостатком, так как свежие значения обладают наибольшей информационной ценностью.

Одним из приемов восстановления пропущенных уровней является последовательное прибавление среднего абсолютного прироста на последнем активном участке к последнему сглаженному значению. Для восстановления воспользуемся формулой:

- для последних членов

Тогда:

- для первых членов

Теперь изобразим на графике сглаживающую линию (см. выше)

5. Модель временного ряда квартальных данных с учетом сезонных колебаний

Существует немало способов анализа структуры временных рядов, содержащих сезонные и циклические колебания.

Самым простым подходом можно назвать расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение тренд - сезонной модели. Процедура расчета зависит от принятой модели временного ряда, содержащей сезонность в аддитивной или мультипликативной формах. При этом для аддитивной модели характеристики сезонности будут изменяться в абсолютных величинах, а для мультипликативной в относительных величинах.

В начале анализа данного временного ряда изобразим его графически.

Таблица 12 Импорт товаров за кварталы 2002,2003, 2004 и 2005 годов

Импорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	Кварталы
	I	II	III	IV
2002	9,8	11,8	12,6	14,6
2003	12,9	14,7	15,5	17,8
2004	16	18	19,8	23,7
2005	21	23,9	26,9	31,7



Графический анализ временного ряда говорит о наличии трендовой компоненты. Наблюдается ярко-выраженное увеличение импорта товаров в страны вне СНГ в течение четырех лет. Характер тенденции близок к экспоненциальному развитию. Кроме того отчетливо видны сезонные колебания. Поскольку амплитуда сезонного колебания не имеет фиксированного значения и к концу исследуемого периода увеличивается, то уместно будет предположение о наличии мультипликативной модели.

Проведем сглаживание временного ряда с помощью простой скользящей средней. Результаты расчетов представим в виде следующей таблицы 13.

Таблица 13 Сглаживание исходного ряда с помощью скользящей средней.

№ года	№ квартала	t	Импорт товаров, млрд.долларов США, yt	Скользящая средняя,
1	I	1	9,8	-	-
	II	2	11,8	-	-
	III	3	12,6	12,59	1,001
	IV	4	14,6	13,34	1,094
2	I	5	12,9	14,06	0,917
	II	6	14,7	14,83	0,991
	III	7	15,5	15,61	0,993
	IV	8	17,8	16,41	1,085
3	I	9	16	17,36	0,922
	II	10	18	18,64	0,966
	III	11	19,8	20,0	0,990
	IV	12	23,7	21,36	1,110
4	I	13	21	22,99	0,913
	II	14	23,9	24,88	0,961
	III	15	26,9	-	-
	IV	16	31,7	-	-

Теперь рассчитаем отношение фактических значений к уровням сглаженного ряда. В результате получим временной ряд, уровни которого отражают влияние случайных факторов и сезонности.

Предварительные оценки сезонной составляющей получим усреднением уровней временного ряда для одноименных кварталов:

ь для I квартала:

ь для II квартала:

ь для II квартала:

ь для IV квартала:

Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной форме выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу фаз в цикле. В нашем случае число фаз равно четырем. Просуммировав средние значения по кварталам, получаем:

Поскольку сумма получилась неравной четырем, необходимо произвести корректировку значений сезонной составляющей. Найдем поправку, на которую надо изменить предварительные оценки сезонности:



Определяем скорректированные значения сезонной компоненты по формуле:

Результаты сведем в таблицу 14.

Таблица 14 Оценивание сезонной компоненты в мультипликативной модели.

№ квартала	i	Предварительная оценка сезонной компоненты,	Скорректированное значение сезонной компоненты,
I	1	0,917	0,921
II	2	0,973	0,978
III	3	0,995	1,000
IV	4	1,096	1,101
		3,981	4

Проводим сезонную корректировку исходных данных, то есть, удаляем сезонную составляющую.

Таблица 15 Построение мультипликативной тренд сезонной модели.

t	Импорт товаров , млрд.долларов США	Сезонная компонента,	Десезонализированный импорт товаров,	Расчетное значение,	Расчетное значение импорта товаров,
1	9,8	0,921	10,6406	9,62	8,86002
2	11,8	0,978	12,0654	10,75	10,5135
3	12,6	1	12,6	11,88	11,88
4	14,6	1,101	13,2607	13,01	14,32401
5	12,9	0,921	14,0065	14,14	13,02294
6	14,7	0,978	15,0307	15,27	14,93406
7	15,5	1	15,5	16,4	16,4
8	17,8	1,101	16,1671	17,53	19,30053
9	16	0,921	17,3724	18,66	17,18586
10	18	0,978	18,4049	19,79	19,35462
11	19,8	1	19,8	20,92	20,92
12	23,7	1,101	21,5259	22,05	24,27705
13	21	0,921	22,8013	23,18	21,34878
14	23,9	0,978	24,4376	24,31	23,77518
15	26,9	1	26,9	25,44	25,44
16	31,7	1,101	28,792	26,57	29,25357

Для описания тенденции воспользуемся моделью линейного тренда, поскольку это согласовывается с результатами графического анализа динамики показателя. Модель имеет следующий вид:

Воспользуемся системой нормальных уравнений МНК:

Составим систему уравнений:

Решим систему методом Крамера:

Получаем следующее уравнение тренда:

Теперь заполняем последние два столбца таблицы. Изобразим на графике полученную модель:

Оценим точность полученной модели. Для этого заполним таблицу 16.

Таблица 16 Оценка точности мультипликативной тренд-сезонной модели.

t	Импорт товаров yt, млрд.долларов США	Расчетное значение импорта,	Абсолютная ошибка,
1	9,8	8,86	0,94	0,8836	70,03598
2	11,8	10,51	1,29	1,6641	40,56098
3	12,6	11,88	0,72	0,5184	31,01098
4	14,6	14,32	0,28	0,0784	12,73598
5	12,9	13,02	-0,12	0,0144	27,75973
6	14,7	14,93	-0,23	0,0529	12,03223
7	15,5	16,4	-0,9	0,81	7,122227
8	17,8	19,3	-1,5	2,25	0,135977
9	16	17,19	-1,19	1,4161	4,703477
10	18	19,35	-1,35	1,8225	0,028477
11	19,8	20,92	-1,12	1,2544	2,660977
12	23,7	24,28	-0,58	0,3364	30,59473
13	21	21,35	-0,35	0,1225	8,015977
14	23,9	23,78	0,12	0,0144	32,84723
15	26,9	25,44	1,46	2,1316	76,23473
16	31,7	29,25	2,45	6,0025	183,0947
				19,3722	539,5744

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности модели является коэффициент детерминации. Для его определения воспользуемся формулой:



Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна 96,41% , то есть точность этой модели достаточно велика.

Теперь воспользуемся моделью параболического тренда для описания тенденции. Модель имеет вид:

Проведем сезонную корректировку исходных данных.

Таблица 17 Построение мультипликативной тренд сезонной модели.

t	Импорт товаров , млрд.долларов США	Сезонная компонента,	Десезонализированный импорт товаров,	Расчетное значение,	Расчетное значение импорта товаров,
1	9,8	0,921	10,6406	11,48	10,57308
2	11,8	0,978	12,0654	11,85	11,5893
3	12,6	1	12,6	12,32	12,32
4	14,6	1,101	13,2607	12,89	14,19189
5	12,9	0,921	14,0065	13,56	12,48876
6	14,7	0,978	15,0307	14,33	14,01474
7	15,5	1	15,5	15,2	15,2
8	17,8	1,101	16,1671	16,17	17,80317
9	16	0,921	17,3724	17,24	15,87804
10	18	0,978	18,4049	18,41	18,00498
11	19,8	1	19,8	19,68	19,68
12	23,7	1,101	21,5259	21,05	23,17605
13	21	0,921	22,8013	22,52	20,74092
14	23,9	0,978	24,4376	24,09	23,56002
15	26,9	1	26,9	25,76	25,76
16	31,7	1,101	28,792	27,53	30,31053

Система уравнений МНК:



Получаем систему уравнений:

Решаем методом Крамера:

Получили следующее уравнение тренда: .

Заполним последние два столбца таблицы и изобразим модель графически:

Оценим точность полученной модели:

Таблица 18 Оценка точности мультипликативной тренд-сезонной модели.

t	Импорт товаров yt, млрд.долларов США	Расчетное значение импорта,	Абсолютная ошибка,
1	9,8	10,57	-0,77	0,5929	70,03598
2	11,8	11,59	0,21	0,0441	40,56098
3	12,6	12,32	0,28	0,0784	31,01098
4	14,6	14,19	0,41	0,1681	12,73598
5	12,9	12,49	0,41	0,1681	27,75973
6	14,7	14,01	0,69	0,4761	12,03223
7	15,5	15,2	0,3	0,09	7,122227
8	17,8	17,8	0	0	0,135977
9	16	15,88	0,12	0,0144	4,703477
10	18	18	0	0	0,028477
11	19,8	19,68	0,12	0,0144	2,660977
12	23,7	23,18	0,52	0,2704	30,59473
13	21	20,74	0,26	0,0676	8,015977
14	23,9	23,56	0,34	0,1156	32,84723
15	26,9	25,76	1,14	1,2996	76,23473
16	31,7	30,31	1,39	1,9321	183,0947
				5,3318	539,5744

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Таким образом, данная модель получилась точнее предыдущей и доля объясненной дисперсии уровней ряда равна 99,02%. Дальнейший анализ будем проводить по выбранной модели.

6. Оценка адекватности и точности модели. Прогнозирование на 2006 год (по кварталам и в целом)

Оценим адекватность и точность модели, выбранной в предыдущем пункте. Для этого необходимо:

a) на основе графического изображения ряда остатков сделать вывод о случайности или неслучайности колебаний уровней этого ряда;

b) проверить гипотезу о нормальном распределении остаточной компоненты с помощью выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса;

c) проверить гипотезу об отсутствии в остатках автокорреляции первого порядка (уровень значимости 0,05);

d) привести следующие показатели точности модели: S, R² (с проверкой значимости), А.

Вопрос о возможности применения построенной модели в целях анализа и прогнозирования может быть решен только после проверки ее адекватности, то есть соответствия модели исследуемому процессу.

Проверка адекватности строится на анализе остаточной компоненты, полученной после выделения из временного ряда систематической составляющей.

Если временной ряд складывается из случайной и трендовой компоненты, то ряд остатков

.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если ряд остатков представляет собой случайную компоненту ряда. Поэтому, когда проверяют качество модели, смотрят, удовлетворяет ли ряд остатков таким свойствам, как случайность колебания уровней ряда остатков и соответствие распределения остаточной компоненты нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю.

Для начала анализа построим ряд остатков и занесем все необходимые данные в таблицу 19.

Таблица 19 Ряд остатков

t	yt
1	9,8	10,57	-0,77	0,5929	-0,45653	0,35153
2	11,8	11,59	0,21	0,0441	0,009261	0,001945
3	12,6	12,32	0,28	0,0784	0,021952	0,006147
4	14,6	14,19	0,41	0,1681	0,068921	0,028258
5	12,9	12,49	0,41	0,1681	0,068921	0,028258
6	14,7	14,01	0,69	0,4761	0,328509	0,226671
7	15,5	15,2	0,3	0,09	0,027	0,0081
8	17,8	17,8	0	0	0	0
9	16	15,88	0,12	0,0144	0,001728	0,000207
10	18	18	0	0	0	0
11	19,8	19,68	0,12	0,0144	0,001728	0,000207
12	23,7	23,18	0,52	0,2704	0,140608	0,073116
13	21	20,74	0,26	0,0676	0,017576	0,00457
14	23,9	23,56	0,34	0,1156	0,039304	0,013363
15	26,9	25,76	1,14	1,2996	1,481544	1,68896
16	31,7	30,31	1,39	1,9321	2,685619	3,73301
?		290,7			5,3318	4,436138	6,164343

Изобразим графически ряд остатков:

Проанализировав полученный график можно сделать вывод о случайности колебаний этого ряда.

Так же качество модели можно проверить с помощью показателей асимметрии и эксцесса остатков. Для этого необходимо воспользоваться следующими формулами:

- показатель асимметрии

- показатель эксцесса

В нашем случае получаем:

Если выполняются неравенства

,

то гипотеза о нормальном характере распределения остатков не отвергается. А если выполняется хотя бы одно из неравенств

,

то гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается.

Получаем:

, то есть

Как видно, одно из неравенств не выполнятся, в таком случае необходимо проверить другую пару неравенств:

, то есть

Поскольку одно из неравенств выполняется, то уместен вывод о том, что гипотеза о нормальном характере распределения остатков отвергается.

Если вид функции выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут обладать свойством независимости, то есть могут коррелировать между собой. В этом случае говорят об автокорреляции остатков. При автокорреляции остатков оценки параметров по МНК будут неэффективными, то есть они не будут обладать минимальной дисперсией. Это может привести к грубым ошибкам в интервальных оценках. Автокорреляцию можно обнаружить несколькими способами. Наиболее часто с этой целью используют критерий Дарбина-Уотсона. При этом проверяется гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка, то есть автокорреляции между соседними остаточными членами ряда.

Проверим гипотезу об отсутствии в остатках автокорреляции первого порядка в нашем случае.

Выдвигаем следующие гипотезы:

Н₀: автокорреляция остатков отсутствует

Н₁: существует положительная автокорреляция

Н₁^*: существует отрицательная автокорреляция

Статистика критерия имеет вид:



Или

Для того, чтобы рассчитать наблюдаемое значение статистики, заполним вспомогательную таблицу 20.

Таблица 20 Вспомогательная таблица

t	yt	et	et-1	(et-et-1)2	et2
1	9,8	-0,77	-	-	0,5929
2	11,8	0,21	-0,77	0,9604	0,0441
3	12,6	0,28	0,21	0,0049	0,0784
4	14,6	0,41	0,28	0,0169	0,1681
5	12,9	0,41	0,41	0	0,1681
6	14,7	0,69	0,41	0,0784	0,4761
7	15,5	0,3	0,69	0,1521	0,09
8	17,8	0	0,3	0,09	0
9	16	0,12	0	0,0144	0,0144
10	18	0	0,12	0,0144	0
11	19,8	0,12	0	0,0144	0,0144
12	23,7	0,52	0,12	0,16	0,2704
13	21	0,26	0,52	0,0676	0,0676
14	23,9	0,34	0,26	0,0064	0,1156
15	26,9	1,14	0,34	0,64	1,2996
16	31,7	1,39	1,14	0,0625	1,9321
?	534,38			2,2824	5,3318



По таблице Дарбина-Уотсона определяется критическое значение: и для заданного числа уровней временного ряда n, числа независимых переменных в модели p и уровня значимости б.

d_кр(б=0,05; n=16; p=1)

d_н=1,10

d_в=1,37

По этим значениям числовой промежуток от 0 до 4 разбивается на 5 частей:

Н0 отвергается в пользу Н1: существует положительная автокорреляция остатков	Зона неопределенности	Принимается Н0: автокорреляция остатков отсутствует	Зона неопределенности	Н0 отвергается в пользу Н1*: существует отрицательная автокорреляция остатков

Если d_в<d_экс<4-d_в, то принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

Если 0< d_экс<d_н или 4-d_н< d_экс<4, то принимается соответственно гипотезы Н₁ и Н₁^*.

Если d_н ? d_экс ? d_в или 4-d_в ? d_экс ? 4-d_н, то вопрос о принятии гипотезы Н₀ или ее отклонении остается открытым.

В нашем случае получаем следующее:

Н0 отвергается в пользу Н1: существует положительная автокорреляция остатков	Зона неопределенности	Принимается Н0: автокорреляция остатков отсутствует	Зона неопределенности	Н0 отвергается в пользу Н1*: существует отрицательная автокорреляция остатков

0 1,10 1,37 2,63 2,90 4

Как мы видим, экспериментальное значение () находится в промежутке от 0 до 1,10, то есть принимается гипотеза Н₁ и существует положительная автокорреляция остатков.

Для того, чтобы судить о качестве модели кроме проверки перечисленных условий, также необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих как адекватность модели, так и ее точность. К этим показателям относятся:

·

дисперсия и среднее квадратическое отклонение остатков соответственно

- коэффициент детерминации

- ошибка аппроксимации

· ошибка прогноза - величина, характеризующая расхождение между фактическими и прогнозными значениями показателей:

ь абсолютная ошибка прогноза:

, где

- прогнозное значение показателя

- фактическое значение показателя

ь относительная ошибка прогноза:

ь средние ошибки по модулю:

N - число уровней временного ряда, для которого рассчитывалось прогнозное значение.

Найдем дисперсию остатков и среднее квадратическое отклонение:

На основе найденного в предыдущем пункте коэффициента детерминации (R²=99,02%) можно сделать предположение об адекватности выбранной модели. Проверим значимость коэффициента детерминации с помощью критерия Фишера.

Экспериментальное значение статистики находится по формуле:

Критическое значение находится по таблице Фишера:



Если F_эксп>F_кр, то делается вывод, что связь между переменными существенна. В нашем случае получаем, что:

F_эксп>F_кр, то есть 656,765>3,80. Это говорит о том, что между переменными имеется существенная связь.

Фактические значение результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, тем лучше качество модели. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению определяют среднюю ошибку аппроксимации по выше указанной формуле. Модель считается подобранной удачно, если А<10%. Найдем ошибку аппроксимации для нашей задачи:

А<10%, то есть 3,177%<10%, , следовательно, модель подобрана удачно.

Рассчитаем абсолютные и относительные ошибки прогноза и занесем их в таблицу 21.

Таблица 21 Абсолютные и относительные ошибки прогноза

t	yt		Дt	дt,%
1	9,8	10,57	0,77	7,857143
2	11,8	11,59	-0,21	-1,77966
3	12,6	12,32	-0,28	-2,22222
4	14,6	14,19	-0,41	-2,80822
5	12,9	12,49	-0,41	-3,17829
6	14,7	14,01	-0,69	-4,69388
7	15,5	15,2	-0,3	-1,93548
8	17,8	17,8	0	0
9	16	15,88	-0,12	-0,75
10	18	18	0	0
11	19,8	19,68	-0,12	-0,60606
12	23,7	23,18	-0,52	-2,19409
13	21	20,74	-0,26	-1,2381
14	23,9	23,56	-0,34	-1,42259
15	26,9	25,76	-1,14	-4,23792
16	31,7	30,31	-1,39	-4,38486
?			-5,42	-23,5942

По данным выше формулам найдем средние ошибки по модулю:

Как видим, относительные и абсолютные ошибки имеют незначительную величину, что еще раз доказывает адекватность выбранной модели.

Заключительным этапом применения кривых роста является расчет прогнозов на базе выбранного уравнения.

Для прогнозирования импорта товаров в следующем году оценим значения тренда при t=17, t=18, t=19 и t=20:

Затем умножим полученные значения на соответствующие оценки сезонной составляющей.

Таким образом, ожидаемый импорт товаров в следующем году составляет 130,25 млрд.долларов США.

Кроме точечного прогноза делают интервальный. Но поскольку автокорреляция в нашем случае оказалась положительной, то интервальный прогноз здесь неуместен.

Заключение

В ходе проведения курсовой работы были использованы различные методы: метод сравнения, относительные методы, графический метод, табличный. Целью курсовой работы было выявить адекватную модель для прогнозирования описанного процесса, а именно для анализа и прогнозирования на следующий год импорта товаров в страны вне СНГ. Использовались данные за целые года и за кварталы отдельно. Были рассмотрены данные по импорту за 2002, 2003, 2004 и 2005 годы. В ходе исследования была выбрана модель параболического тренда. Ее адекватность доказывают такие показатели, как коэффициент детерминации (), дисперсия и среднее квадратическое отклонение, которые соответственно равны 0,4101 и 0,6404. Кроме того качество модели подтверждают незначительные средние относительная и средняя абсолютная ошибки по модулю ( и ). Средняя ошибка аппроксимации оказалась равной 3,2%, а следовательно модель вида

подобрана удачно.

На основе выбранной модели был проведен прогноз импорта товаров на 2006 год. Получили, что ожидаемый импорт товаров в следующем году составляет 130,25 млрд.долларов США.

Список используемой литературы

1. Джонстон Дж. Эконометрические методы: Пер. с англ. - М.: Статистика,1980.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: Инфра-М,1997.

3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для ВУЗов/ Под ред. проф. Н.Ш.Кремера - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 311 с.

Размещено на Allbest.ru