Теоретические аспекты линейного программирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и др). Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев - невозможно.

Первые постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским математиком Л.В.Канторовичем, которому за эти работы была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Значительное развитие теория и алгоритмический аппарат линейного программирования получили с изобретением и распространением ЭВМ и формулировкой американским математиком Дж. Данцингом симплекс-метода.

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения. Для решения задач линейного программирования разработано сложное програмное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов.

В развитие и совершенствование этих систем вложен труд и талант многих матеметиков, аккумулирован опыт решения тысяч задач. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области математического программирования. Линейное программирование тесно связано с другими методами математического программирования (например, нелинейного программирования, где целевая функция нелинейна).

Задачи с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями называют задачами нелинейного программирования с линейными ограничениями. Оптимизационные задачи такого рода можно классифицировать на основе структурных особенностей нелинейных целевых функций. Если целевая функция Е - квадратичная функция, то мы имеем дело с задачей квадратичного программирования; если Е - это отношение линейных функций, то соответствующая задача носит название задачи дробно-линейного программирования, и т.д. Деление оптимизационных задач на эти классы представляет значительный интерес, поскольку специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке методов их решения.

Современные методы линейного программирования достаточно надежно решают задачи общего вида с несколькими тысячами ограничений и десятками тысяч переменных. Для решения сверхбольших задач используются уже, как правило, специализированные методы.

Целью данной работы является решение оптимизационного плана производства изделий на предприятии. Для этого необходимо решить следующие пункты:

· Исследовать теоретические аспекты линейного программирования;

· Изучить методы решения подобных задач;

· Решить оптимизационную задачу;

· Проанализировать полученные выводы.

1. Теоретические аспекты линейного программирования

1.1 Понятие и сущность линейного программирования

Линейное программирование - один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и др. задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.

Итак, линейное программирование возникло после Второй Мировой Войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической «стройности».

Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

· рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

· оптимизации производственной программы предприятий;

· оптимального размещения и концентрации производства;

· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

· управления производственными запасами;

· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так, по оценкам американских экспертов, около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.

Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например:

· количество продукции - расход сырья

· количество продукции - качество продукции

Выбор компромиcного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого. Приведем примеры.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации:

«Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости».

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимальности 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

а) получить максимальную производительность при заданной себестоимости;

б) получить минимальную себестоимость при заданной производительности;

В первом случае критерий оптимизации - производительность, а во втором - себестоимость.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой - критерием оптимальности.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации.

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот - любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть скалярными (оптимизация проводится по одному критерию), векторными (оптимизация проводится по многим критериям), поисковыми (включают методы регулярного и методы случайного поиска), аналитическими (методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления и др.), вычислительными (основаны на математическом программировании, которое может быть линейным, нелинейным, дискретным, динамическим, стохастическим, эвристическим и т.д.), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми и др. Подвергаться оптимизации могут задачи как с ограничениями, так и без них.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

- целевая функция:



= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn > max(min);	(1.1)

- ограничения:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn {? = ?} b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn {? = ?} b2, ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn {? = ?} bm;	(1.2)

- требование неотрицательности:

xj ? 0,	(1.3)

При этом aij, bi, cj ( ) - заданные постоянные величины.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3).

Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) - прямыми.

Вектор , удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План , при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

2. Методы решения задач линейного программирования

2.1 Симплекс метод

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X1, X2, ..., Xr. Тогда наша система уравнений (2.1) может быть записана как

(2.1)

К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных (мы это сделали для определенности записи). Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными.

Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X1, X2, ..., Xr, то решение {b1, b2,..., br, 0, ..., 0} будет опорным при условии, что b1, b2,..., br ? 0.

Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем.

Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m < n), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.

Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то, осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению.

Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении линейная форма, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным.

Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений.

Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения.

При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода.

Приведенная схема симплексного метода явно выражает его алгоритмический характер (характер четкого предписания о выполнении последовательных операций), что позволяет успешно программировать и реализовать этот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.

Не останавливаясь подробнее на сути алгоритма, опишем его вычислительную сторону. Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц, которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована, система ограничений приведена к допустимому базисному виду, c помощью которого из целевой функции должны быть исключены базисные переменные. Вопрос об этих предварительных преобразованиях мы рассмотрим ниже. Сейчас же будем считать, что они уже выполнены и задача имеет вид (2.2):

(2.2)

Здесь для определенности записи считается, что в качестве базисных переменных можно взять переменные X1, X2, ..., Xr и что при этом b1, b2,..., br ? 0 (соответствующее базисное решение является опорным).

Для составления симплекс-таблицы во всех равенствах в условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся в левую часть, свободные оставляются справа, т.е. задача записывается в виде системы равенств(2.3):

(2.3)

Далее эта система оформляется в виде симплекс-таблиц (табл 2.1):

Таблица 2.1 - Симплекс-таблица

Примечание. Названия базисных переменных здесь взяты лишь для определенности записи и в реальной таблице могут оказаться другими.

2.2 Порядок работы с симплекс - таблицей

Первая симплекс-таблица подвергается преобразованию, суть которого заключается в переходе к новому опорному решению.

Алгоритм перехода к следующей таблице такой:

· просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов ) выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;

· просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;

· среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;

· в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных:

· разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы.

· строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место.

· в новой таблице все элементы ключевого столбца = 0, кроме разрезающего, он всегда равен 1.

· столбец, у которого в ключевой строке имеется 0,в новой таблице будет таким же.

· строка, у которой в ключевом столбце имеется 0,в новой таблице будет такой же.

· в остальные клетки новой таблицы записывается результат преобразования элементов старой таблицы(рис. 2.1):

Рисунок 2.1 - получение нового элемента в симлекс - таблице

В результате получают новую симплекс-таблицу, отвечающую новому базисному решению.

Теперь следует просмотреть строку целевой функции (индексную), если в ней нет отрицательных значений (в задачи на нахождение максимального значения), либо положительных (в задачи на нахождение минимального значения) кроме стоящего на месте (свободного столбца), то значит, что оптимальное решение получено. В противном случае, переходим к новой симплекс таблице по выше описанному алгоритму.

2.3 Двойственная задача линейного программирования

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования. Решая одну из них, автоматически решается и другая задача. Такие задачи называют взаимодвойственными. Покажем по данной задаче, будем называть ее исходной, построить двойственную ей.

Построим ей двойственную задачу по следующим правилам:

Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.

Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.

Столбец свободных членов исходной является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.

Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.

Транспонированной называется матрица, у которой строки и столбцы меняются местами. Поэтому коэффициенты при переменных yi в задаче II это, соответственно, коэффициенты i-ого неравенства в задаче I. Неравенства, находящиеся напротив друг друга, называются сопряженными.

Двойственность является фундаментальным понятием в теории линейного программирования. Основные результаты теории двойственности заключены в двух теоремах, называемых теоремами двойственности.

Теорема 1 (первая теорема двойственности)

Если одна из пары двойственных задач I и II разрешима, то разрешима и другая, причем значения целевых функций на оптимальных планах совпадают, F(x*)=G(y*), где х*, у* - оптимальные решения задачи I и II

Теорема 2 (вторая теорема двойственности)

Планы х* и у* оптимальны в задачах I и II тогда и только тогда, когда при подстановке их в систему ограничений задачи I и II соответственно, хотя бы одно из любой пары сопряженных неравенств обращается в равенство.

2.4 Применение линейного программирования

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

· задача о смесях (планирование состава продукции);

· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

· математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

3. Решение оптимизационной задачи линейного программирования в Excel

Постановка задачи оптимизации. Предприятие «Успех» выпускает несколько видов изделий, для производства изделий используется токарное, фрезерное, сварочное, гравировальное, камнерезное и шлифовальное оборудование. В этом году предприятие «Успех» заключил контракт с ювелирной фирмой на поставку 12 единиц обработанных алмазов, а также мебельная фабрика заказала 100 штук брусков формы А. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в табл. 3.1, в ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Таблица 3.1 - Исходные данные об изготовлении деталей на предприятии

Тип оборудования	Затраты времени (станко-ч) на обработку одного изделия вида	Общий фонд рабочего времени оборудования (ч)
	Шпингалеты	Бруски формы А	Трубы d5	Алмазы (обработка)	Диски	Свечи зажигания
Фрезерное	2	4	1	0	2	3	600
Токарное	1	0	2	0	0	0	600
Сварочное	2	6	1	3	0	0	670
Шлифовальное	0	5	0	0	3	0	700
Гравировальное	0	0	0	4	0	2	350
Каменерезное	0	0	1	0	6	0	370
Прибыль (руб от 1 ед)	40	100	120	100	200	30

Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Построение аналитической модели

Составим аналитическую модель задачи. Для этого сначала введем переменные, которые требуется определить:

X1 - единиц шпингалетов, которое необходимо изготовить;

X2 - штук брусков формы А, которое необходимо изготовить;

X3 - штук труб d5, которое необходимо изготовить;

X4 - единиц изделий алмазов (обработка), которое необходимо изготовить;

X5 - штук дисков, которое необходимо изготовить;

X6 - единиц изделий свеч зажиганий, которое необходимо изготовить.

Система ограничений состоит из двух групп. Первая группа устанавливает ограничение на работу времени каждого оборудования.

Ограничение времени работы фрезерного оборудования:

2X1 + 4X2 + 1X3 +0X4 + 2X5 + 3X6 ? 600;

Аналогичные рассуждения относительно возможного использования токарного, сварочного, шлифовального, гравировального и камнерезного оборудования приведут к следующим неравенствам:

1X1 + 0X2 + 2X3 +0X4 + 0X5 + 0X6 ? 600;

2X1 + 6X2 + 1X3 +3X4 + 0X5 + 0X6 ? 670;

0X1 + 5X2 + 0X3 +0X4 + 3X5 + 0X6 ? 700;

0X1 + 0X2 + 0X3 +4X4 + 0X5 + 2X6 ? 350;

0X1 + 0X2 + 1X3 +0X4 + 6X5 + 0X6 ? 370.

Вторая группа накладывает ограничения на количество производимых единиц изделий, т.к. имеется заказ на производство брусков формы А и обработку алмазов:

Х2 ? 100, Х4 ? 12.

Целевая функция в нашей задаче должна выражать максимальную прибыль от реализации всех изделий:

F= 40X1 + 100X2 + 120X3 + 100X4 + 200X5 + 30X6 > max

Целевую функцию надо максимизировать. Таким образом, формальная постановка задачи оптимизации имеет следующий вид:

2X1 + 4X2 + 1X3 +0X4 + 2X5 + 3X6 ? 600;

1X1 + 0X2 + 2X3 +0X4 + 0X5 + 0X6 ? 600;

2X1 + 6X2 + 1X3 +3X4 + 0X5 + 0X6 ? 670;

0X1 + 5X2 + 0X3 +0X4 + 3X5 + 0X6 ? 700;

0X1 + 0X2 + 0X3 +4X4 + 0X5 + 2X6 ? 350;

0X1 + 0X2 + 1X3 +0X4 + 6X5 + 0X6 ? 370.

F= 40X1 + 100X2 + 120X3 + 100X4 + 200X5 + 30X6 > max

Решение задачи.

В данной курсовой работе было использовано средство Excel для решения задачи на ЭВМ.

1) Для начала введен все исходные данные из таблиц (рис. 3.1)



Рисунок 3.1 - Исходные данные задачи.

2) С помощью «Поиск решения» - внесем все условия задачи и исходные данные (рис. 3.2)

Рисунок 3.2 - Ввод данных в «Поиск решения»

3) Введем ограничение на значение хij, нажав на кнопку «Параметры». Отметив, в диалоговом окне «Неотрицательные значения» (рис. 3.3)



Рисунок 3.3 - Условие неотрицательности переменных

4) Нажав кнопку «Выполнить» - получим решение уравнение (рис. 3.4), также нажав на кнопку «Отчеты» - сможем проанализировать переменные (рис. 3.5, рис. 3.6, рис. 3.7).

Рисунок 3.4 - Решение уравнения



Рисунок 3.5 - отчет «Результат»

Рисунок 3.6 - отчет «Устойчивость»



Рисунок 3.7 - отчет «Пределы»

Анализ по отчетам:

· Отчет по результатам

В этом отчете дается информация о значении целевой ячейки - 27 020. Изменяемые ячейки - это данные о нахождение оптимального плана производства изделий. Ограничения свидетельствуют об использовании ресурсов. В данном случае был полностью использования ресурс времени на обработку изделий на фрезерном оборудовании и сварочном, каменерезное, т.к. в столбце разница значение 0. Не используется полностью ресурс времени на токарное и шлифовальное, гравировальное оборудование. Также произведен необходимый объем изделий - брусков формы А и обработанных алмазов;

· Отчет по устойчивости

Здесь возможно посмотреть нормированный градиент, отрицательное значение имеет ячейка «шпингалеты», «алмазы(обработка)», «бруски формы А»;

· Отчет по пределам

В данном отчете предоставляется информация о нижних и верхних пределах изменяемых ячеек, при котором целевой результат не изменится. Изделия вида Диски, можно изготовлять от 0 до 56 единиц. Свечи зажигания - от 0 до 18, трубы d5 - от 0 до 34, алмазы только значение - 12, бруски формы А - 100, а шпингалеты - 0.

4. Экономическая интерпретация результатов оптимизационной задачи

программирование оптимизация производственный

В процессе проведения данной курсовой работы был разработан план оптимального производства изделий на предприятии «Успех». На основании разработанной экономико-математической модели для предприятия можно изменить структуру производства с целью получения максимальной прибыли, на основании имеющегося ресурсного потенциала.

То есть необходимо изменить структуру производства выделения ресурсов для изделий. Для получения максимального результата требуется производить 100 брусков формы А, 34 единицы труб d5, 12 штук обработанных алмазов, диски - 56 штук, свечи зажигания 18 штук, шпингалеты - производить для предприятия невыгодно.

Максимальная прибыль по данному плану составляет 27 020 рублей.

Проанализировав данные отчетов, можно сказать, что при заданном плане производства остаются свободные временные ресурсы на оборудование - токарное, шлифовальное и камнерезное. Также производство шпингалетов невыгодно для предприятия, а обработанные алмазы и бруски формы А - рассматриваются как разовые заказа, поскольку в отчете по пределам их значения не могут меняться, а значит при изменении объема производства, могут уменьшить прибыль.

Исходя из полученных результатов, лицу приминающему решению стоит обратить внимание на неиспользуемые ресурсы рабочего времени, либо ввести новую смену, либо продать часть оборудования. Также необходимо отказаться от производства шпингалетов или пересмотреть технологию обработки и расхода рабочего времени, возможно применить новые технологии сборки.

Заключение

В данной курсовой работе был составлен оптимальный план производства изделий нескольких видов для получения максимальной прибыли. Для этого автор изучил все выше описанные методы. Сведение к математическим моделям реальные экономические задачи весьма актуально и помогает принимать решения как в производстве, в транспортировке, при планировании задач.

Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике, военном деле и других областях. Эти задачи интересны и с математической точки зрения. С появлением ЭВМ, ростом их производительности повысился интерес к задачам такого типа и к математике в целом.

Список литературы

1. Беннинга, Шимон. Финансовое моделирование с использованием Excel, [текст]: 2-е издание. : Пер. с англ.-М.:ООО «И.Д.Виль-ямс»,2007.-592с.

2. Волошин, Г. Я. Методы оптимизации в экономике. Учебное пособие/ Г. Я. Волошин. М: ДиС, 2004. 320 c.

3. Гарнаев, А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах./ А. Ю.

4. Гельман В. Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум / В. Я. Гельман. СПб: Питер, 2004. 240 с.

5. Глухих И.Н. Теория систем и системный анализ: Электронное учебное пособие. - Тюмень: Тюменский государственный университет, 2003г.

6. Долженков В.А., Колесников Ю.В. Microsoft Excel 2002ю СПб.: 2002. 1072с.

7. Дубина А.Г., Орлова С.С., Шубина И.Ю., Хромов А,В. Excel для экономистов и менеджеров. СПб.:Питер,2004. 295с.

8. Колокольникова, А.И. Компьютерное моделирование финансовой деятельности: учебное пособие. Кемерово: Кемеровский институт (филиал) ГОУ ВПО «РГТЭУ», 2008. 156 с.

9. Макарова, Н.В. Статистика в Excel / Н. В. Макарова, В. Я. Трофимец: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2006. 368с.

10. Романов А.Н., Одинцов Б.Е. Информационные системы в экономике (лекции, упражнения и задачи): Учеб. пособие. М.:Вузовский учебник, 2006. 300с.

11. Сайт учебника «Финансовые вычисления для профессионалов».URL: http://www.som.pu.ru/ ~bukh/fc.htm

Размещено на Allbest.ru