Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1.

Для производства столов и стульев имеются ресурсы трех видов: доски 1-го типа - 500 м, доски 2-го типа - 290 м и трудовые ресурсы 440 чел.-ч. От реализации столов организация получает прибыль в размере 12 у.д.е., стульев - 5 у.д.е. Затраты ресурсов на единицу изделия представлены в таблице 10.

Таблица 10 - Исходные данные

Определить выпуск продукции при максимальной прибыли.

Решение:

1) Формулируем экономико-математическую модель задачи в общем виде:

Введем следующие обозначения:

i - индекс видов изделий;

j - индекс вида ресурса;

а_ij - расход j-ого ресурса на производство i-ого изделия;

b_j - объём ресурса j-го вида;

c_i - оценка переменных в целевой функции (прибыль единицы i-ого изделия);

x_i - значения отыскиваемых переменных величин (количество i-ых изделий).

В принятых обозначениях математическая модель задачи имеет вид:

Система ограничений общей задачи линейного программирования в развернутом виде записывается так:

Каждое из ограничений данной системы является ограничением определенного вида сырья. При этом в левой части ограничения отражается потребность в сырье, а в правой - его запас (ресурс).

2) Запишем модель задачи в численном виде:

Введем неизвестные х₁? 0 и х₂?0, соответствующие количествам столов и стульев, планируемым к производству.

Тогда суммарный расход досок I вида будет 5x₁+х₂; суммарный расход досок II вида 2x₁+х₂; суммарный расход человеко-часов 3x₁+2х₂. Поскольку запасы ресурсов ограничены, то получаем систему ограничений:

Функция цели, соответствующая условиям задачи (максимум прибыли), будет иметь вид: f(x)=12x₁+5х₂ > max - целевая функция.

Решим данную задачу симплекс-методом

От общей формы модели переходим к канонической форме за счет введения трех дополнительных неизвестных х₃, х₄ и х₅. Тогда модель принимает следующий вид:

f(x)=12x₁+ 5х₂+0•х₃+0•х₄+0•х₅ > max

Для модели в канонической форме составляем исходную симплексную таблицу и проверяем индексную строку. При проверке индексной строки делается вывод, что исходное базисное решение неоптимально, поскольку в строке есть два отрицательных элемента -12 и -5, которые соответствуют векторам х₁ и х₂. Минимальный отрицательный элемент в индексной строке -12. Следовательно, вектор х₁ необходимо ввести в базис для улучшения решения.

Определяется вектор, который следует исключить из базиса. Составляются отношения компонент вектора X к положительным компонентам вектора А₁ и находят среди этих отношений минимальное число: ?=min (500/5; 290/2; 440/3) = min (100; 145; 146.67)=100 соответствует индексу i=3. Следовательно, из базиса надо исключить вектор х₃. Первая строка, соответствующая этому вектору, будет ведущей. Число 5, стоящее на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, будет разрешающим элементом.

Далее делят ведущую строку на 5. Получают преобразованную ведущую строку (1; 0,2; 0,2; 0; 0) и с помощью разрешающего элемента преобразуют симплексную таблицу по правилу прямоугольника. Приступают к составлению второй таблицы. Вместо единичного вектора х₃ мы вводим в базис вектор х₁ (итерация I).

Вновь проверяют индексную строку. Наличие в ней числа -2,6 говорит о том, что базисное решение X = (100, 0, 0, 90, 140) неоптимально и его можно улучшить за счет введения в базис вектора х₂ (итерация II).

При просмотре индексной строки видно, что все числа неотрицательны. Следовательно, базисное (оптимальное) решение X_опт= (80, 100, 0, 30, 0) оптимально, т.е. обеспечивает максимальное значение функции цели f_max=1460.

Таким образом, предприятие получит максимальную прибыль в 1460 руб., если примет план по выпуску 80 столов и 100 стульев. При этом останется неизрасходованным доски II типа в количестве 30 м.

Задача №3.

Сетевая модель комплекса работ с исходным событием 0, завершающим событием 6, и с указанными в таблице 67 продолжительностями работ показана на рисунке 5. Рассчитать величину критического пути и определить параметры событий и работ. Результаты представить графически и в виде таблицы.

Таблица 67 - Исходные данные

Рисунок 5 - Сетевая модель

Решение:

Выпишем все существующие полные пути: ?₁=(0-2-4-6), ?₂=(0-2-4-5-6), ?₃=(0-1-3-5-6), ?₄=(0-1-4-5-6), ?₅=(0-1-4-6).

Рассчитаем их длительность: t(?₁)=2+2+1=5, t(?₂)=2+2+2+3=9, t(?₃)=3+1+4+3=11, t(?₄)=3+0+2+1=6, t(?₅)=3+0+1=4.

Критический путь ?₃=(0-1-3-5-6), длиной 1. На рисунке показан линией

Продолжительности выполнения работ t_ij известны и приписаны у соответствующих дуг графика; (рис). Определим, прежде всего, ранние сроки свершения событий t_i сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно, t_р(0) = 0. Очевидно, что событие (1) свершится спустя 3 ед. времени после свершения события (0), так как время выполнения операции (0,1) равно 3 ед. Следовательно, t_р(0)=t_р(0)+t (0,1)=0+3=3. Для события (2) и (3) аналогично. Событию (4) предшествуют два пути: ₁ = (0,1) и ₂=(0,2). Продолжительность первого пути равна t (1,4)=3+0=2 ед. времени, а второго - 2+2=4 ед. времени. Поскольку событие (4) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то t_р(4)=max{t_р(2)+t (2,4); t_р(1)+t (1,4)}=max {4; 3}=4 и т.д.

Определим поздние сроки свершения событий j сетевого графика. В нашем примере t_п(6)=t_кр=11. Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно, t_п(5)= t_п(5) - t (5,6)=11-3=8. Из события (4) исходят две операции, поэтому t_п(4)=min{t_п(6) - t (4,6); t_п(5) - t (4,5)}=min {11-1; 8-2}=min {10; 6}=6 и т.д.

Определим резерв времени события i

R(1)= t_п(1) - t_р(1)=3-3=0; R(2)= t_п(2) - t_р(2)= 4-2=2; и т.д.

Анализируя резервы времени события, видно, что резервы времени есть только у событий, не принадлежащих критическому пути. Критические работы, как и критические события, резервов времени не имеют.

Все остальные временные параметры легко определяются по найденным значениям t_п и t_р на основании приведенных выше формул. Представим расчеты временных параметров сетевого графика в виде таблицы.

Временные параметры сетевого графика для событий

Временные параметры сетевого графика для работ

Список используемой литературы

1. Кузнецов В.П. Экономико-математические методы и модели. - Мн.: Минский институт управления, 2000. - 264 с.

2. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К.-Мн.: ТетраСистемс, 2002. - 432 с.

3. Пугачева О.В. Экономико-математические методы и модели: практическое пособие для студентов экономических специальностей вузов / О.В. Пугачева; М-во образования РБ, Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, - Гомель: ГТУ им. Ф. Скорины, 2006. - 108 с.

4. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие / Под общ. ред. А.В. Кузнецова. - Мн.: БГЭУ, 2000. - 512 с.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 382 с.

Размещено на Allbest.ru