Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛЕКЦИЯ № 9

Понятие и использование парной линейной регрессии

4. Парная линейная регрессия

4.1. Взаимосвязи экономических переменных

С тех пор как экономика стала серьезной самостоятельной наукой, исследователи пытаются дать свое представление о возможных путях экономического развития, спрогнозировать ту или иную ситуацию, предвидеть будущие значения экономических показателей, указать инструменты изменения ситуации в желательном направлении. С другой стороны, во многих случаях различные экономисты предлагают разные, а зачастую противоположные методы решения той или иной задачи. Политики либо управляющие производством, выбирая одну из возможных стратегий решения, получают определенный результат. Плох он или хорош, и можно ли было получить лучший результат, проверить весьма затруднительно. Экономическая ситуация практически никогда не повторяется в точности, следовательно, нет возможности применить две стратегии при одних и тех же условиях с целью сравнения конечного результата. Поэтому одной из центральных задач экономического анализа является предсказание либо прогнозирование развития некоторого экономического объекта при создании тех или иных условий. Поняв глубинные движущие силы исследуемого процесса, можно научиться рационально управлять его развитием.

Поведение и значение любого экономического показателя зависят практически от бесконечного количества факторов, и все учесть нереально. Но в этом и нет необходимости. Обычно лишь ограниченное количество факторов действительно существенно воздействуют на исследуемый экономический показатель. Доля влияния остальных факторов столь незначительна, что их игнорирование не может привести к существенным отклонениям в поведении исследуемого объекта. Выделение и учет в модели лишь ограниченного числа реально доминирующих факторов и является серьезной предпосылкой для качественного анализа, прогнозирования и управления ситуацией. Экономическая теория выявила и исследовала значительное число устоявшихся и стабильных связей между различными показателями. Например, хорошо изученными являются зависимости спроса или потребления от уровня дохода и цен на товары; зависимость между уровнями безработицы и инфляции; зависимость объема производства от целого ряда факторов (размера основных фондов, их возраста, качества персонала и т.д.); зависимость между производительностью труда и уровнем механизации, а также многие другие зависимости.

Любая экономическая политика заключается в регулировании экономических переменных, и она должна базироваться на знании того, как эти переменные связаны с другими переменными, ключевыми для принимающего решения политика или предпринимателя. Так, в рыночной экономике нельзя непосредственно регулировать темп инфляции, но на него можно воздействовать средствами фискальной (бюджетно-налоговой) и монетарной (кредитно-денежной) политики. Поэтому, в частности, должна быть изучена зависимость между предложением денег и уровнем цен.

Однако в реальных ситуациях даже устоявшиеся зависимости могут проявляться по-разному. Еще более сложной является задача анализа малоизученных и нестабильных зависимостей, построение моделей которых является краеугольным камнем эконометрики. Здесь следует отметить, что такие экономические модели невозможно строить, проверять и совершенствовать без статистического анализа входящих в них переменных с использованием реальных статистических данных. Инструментарием такого анализа являются методы статистики и эконометрики, в частности регрессионного и корреляционного анализа. Следует иметь в виду, что статистический анализ зависимостей сам по себе не вскрывает существо причинных связей между явлениями, т.е. он не решает вопроса, в силу каких причин одна переменная влияет на другую. Решение такой задачи является результатом качественного (содержательного) изучения связей, которое обязательно должно либо предшествовать статистическому анализу, либо сопровождать его.

В естественных науках большей частью имеют дело со строгими (функциональными) зависимостями, при которых каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Однако в подавляющем большинстве случаев между экономическими переменными таких зависимостей нет. Например, нет строгой зависимости между доходом и потреблением, ценой и спросом, производительностью труда и стажем работы и т.д. Это связано с целым рядом причин и, в частности, с тем, что, во-первых, при анализе влияния одной переменной на другую не учитывается целый ряд других факторов, влияющих на нее; во-вторых, это влияние может быть не прямым, а проявляться через цепочку других факторов; в-третьих, многие такие воздействия носят случайный характер и т.д. Поэтому в экономике говорят не о функциональных, а о корреляционных, либо статистических, зависимостях. Нахождение, оценка и анализ таких зависимостей, построение формул зависимостей и оценка их параметров являются одним из важнейших разделов эконометрики.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. Такую статистическую зависимость называют корреляционной.

экономический показатель парный регрессия

4.2 Суть регрессионного анализа

Можно указать два варианта рассмотрения взаимосвязей между двумя переменными X и У. В первом случае обе переменные считаются равноценными в том смысле, что они не подразделяются на первичную и вторичную (независимую и зависимую) переменные. Основным в этом случае является вопрос о наличии и силе взаимосвязи между этими переменными. Например, между ценой товара и объемом спроса на него, между урожаем картофеля и урожаем зерна, между интенсивностью движения транспорта и числом аварий. При исследовании силы линейной зависимости между такими переменными обращаются к корреляционному анализу, основной мерой которого является коэффициент корреляции. Вполне вероятно, что связь в этом случае вообще не носит направленного характера. Например, урожайность картофеля и зерновых обычно изменяется в одном и том же направлении, однако очевидно, что ни одна из этих переменных не является определяющей.

Другой вариант рассмотрения взаимосвязей выделяет одну из величин как независимую (объясняющую), а другую как зависимую (объясняемую). В этом случае изменение первой из них может служить причиной для изменения другой. Например, рост дохода ведет к увеличению потребления; рост цены -- к снижению спроса; снижение процентной ставки увеличивает инвестиции; увеличение обменного курса валюты сокращает объем чистого экспорта и т.д. Однако такая зависимость не является однозначной в том смысле, что каждому конкретному значению объясняющей переменной (набору объясняющих переменных) может соответствовать не одно, а множество значений из некоторой области. Другими словами, каждому конкретному значению объясняющей переменной (набору объясняющих переменных) соответствует некоторое вероятностное распределение зависимой переменной (рассматриваемой как СВ). Поэтому анализируют, как объясняющая(ие) переменная(ые) влияет(ют) на зависимую переменную «в среднем». Зависимость такого типа, выражаемая соотношением

(4.1)

называется функцией регрессии Y на X. При этом X называется независимой (объясняющей) переменной (регрессором), Y -- зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении зависимости двух СВ говорят о парной регрессии.

Зависимость нескольких переменных, выражаемая функцией

(4.2)

называют множественной регрессией.

Термин «регрессия» (движение назад, возвращение в прежнее состояние) был введен Фрэнсисом Галтоном в конце XIX века при анализе зависимости между ростом родителей и ростом детей. Галтон заметил, что рост детей у очень высоких родителей в среднем меньше, чем средний рост родителей. У очень низких родителей, наоборот, средний рост детей выше. И в том, и в другом случае средний рост детей стремится (возвращается) к среднему росту людей в данном регионе. Отсюда и выбор термина, отражающего такую зависимость.

В настоящее время под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.

Для отражения того факта, что реальные значения зависимой переменной не всегда совпадают с ее условными математическими ожиданиями и могут быть различными при одном и том же значении объясняющей переменной (наборе объясняющих переменных), фактическая зависимость должна быть дополнена некоторым слагаемым е, которое, по существу, является СВ и указывает на стохастическую суть зависимости. Из этого следует, что связи между зависимой и объясняющей(ими) переменными выражаются соотношениями

(4.3)(4.4)

называемыми регрессионными моделями (уравнениями).

Обсуждение регрессионных моделей в следующих главах поможет глубже изучить данное понятие.

Возникает вопрос о причинах обязательного присутствия в регрессионных моделях случайного фактора (отклонения). Среди таких причин выделим наиболее существенные.

1. Невключение в модель всех объясняющих переменных. Любая регрессионная (в частности, эконометрическая) модель является упрощением реальной ситуации. Последняя всегда представляет собой сложнейшее переплетение различных факторов, многие из которых в модели не учитываются, что порождает отклонение реальных значений зависимой переменной от ее модельных значений. Например, спрос (Q) на товар определяется его ценой (Р), ценой (Ps) на товары-заменители, ценой (Рс) на дополняющие товары, доходом (/) потребителей, их количеством (N), вкусами (Т), ожиданиями (W) и т. д. Безусловно, перечислить все объясняющие переменные здесь практически невозможно. Например, мы не учли такие факторы, как традиции, национальные или религиозные особенности, географическое положение региона, погода и многие другие, влияние которых приведет к некоторым отклонениям реальных наблюдений от модельных, которые можно выразить через случайный член : Q = f(P, Ps, Pc, I, N, T, W, ). Проблема еще и в том, что никогда заранее не известно, какие факторы при создавшихся условиях действительно являются определяющими, а какими можно пренебречь. Здесь уместно отметить, что в ряде случаев учесть непосредственно какой-то фактор нельзя в силу невозможности получения по нему статистических данных. Например, величина сбережений домохозяйств может определяться не только доходами их членов, но и, например, здоровьем последних, информация о котором в цивилизованных странах составляет врачебную тайну и не раскрывается. Кроме того, ряд факторов носит принципиально случайный характер (например, погода), что добавляет неоднозначности при рассмотрении некоторых моделей (например, модель, прогнозирующая объем урожая).

Неправильный выбор функциональной формы модели.

Из-за слабой изученности исследуемого процесса либо из-за его переменчивости может быть неверно подобрана функция, его моделирующая. Это, безусловно, скажется на отклонении модели от реальности, что отразится на величине случайного члена. Например, производственная функция (У) одного фактора (X) может моделироваться функцией Y = , хотя должна была использоваться другая модель: У = (0 < b < 1), учитывающая закон убывающей эффективности. Кроме того, неверным может быть подбор объясняющих переменных.

Агрегирование переменных. Во многих моделях рассматриваются зависимости между факторами, которые сами представляют сложную комбинацию других, более простых переменных. Например, при рассмотрении в качестве зависимой переменной совокупного спроса проводится анализ зависимости, в которой объясняемая переменная является сложной композицией индивидуальных спросов, оказывающих на нее определенное влияние помимо факторов, учитываемых в модели. Это может оказаться причиной отклонения реальных значений от модельных.

Ошибки измерений. Какой бы качественной ни была модель, ошибки измерений переменных отразятся на несоответствии модельных значений эмпирическим данным, что также отразится на величине случайного члена.

5. Ограниченность статистических данных. Зачастую строятся модели, выражаемые непрерывными функциями. Но для этого используется набор данных, имеющих дискретную структуру. Это несоответствие находит свое выражение в случайном отклонении.

6. Непредсказуемость человеческого фактора. Эта причина может «испортить» самую качественную модель. Действительно, при правильном выборе формы модели, скрупулезном подборе объясняющих переменных все равно невозможно спрогнозировать поведение каждого индивидуума.

Таким образом, случайный член является отражением влияния всех описанных выше причин и не только их. Этот список может быть дополнен.

Решение задачи построения качественного уравнения регрессии, соответствующего эмпирическим данным и целям исследования, является достаточно сложным и многоступенчатым процессом. Его можно разбить на три этапа:

выбор формулы уравнения регрессии;

определение параметров выбранного уравнения;

анализ качества уравнения и проверка адекватности уравнения эмпирическим данным, совершенствование уравнения.

Выбор формулы связи переменных называется спецификацией уравнения регрессии. В случае парной регрессии выбор формулы обычно осуществляется по графическому изображению реальных статистических данных в виде точек в декартовой системе координат, которое называется корреляционным полем (диаграммой рассеивания) (рис. 4.1).

Рис. 4.1

На рис. 4.1 представлены три ситуации.

На графике 4.1, взаимосвязь между X и Y близка к линейной, и прямая 1 достаточно хорошо соответствует эмпирическим точкам. Поэтому в данном случае в качестве зависимости между X и Y целесообразно выбрать линейную функцию .

На графике 4.1,б реальная взаимосвязь между X и У, скорее всего, описывается квадратичной функцией (линия 2). И какую бы мы ни провели прямую (например, линия 1), отклонения точек наблюдений от нее будут существенными и неслучайными.

На графике 4.1,в явная взаимосвязь между X и У отсутствует. Какую бы мы ни выбрали форму связи, результаты ее спецификации и параметризации (определение коэффициентов уравнения) будут неудачными. В частности, прямые 1 и 2, проведенные через центр «облака» наблюдений и имеющие противоположный наклон, одинаково плохи для того, чтобы делать выводы об ожидаемых значениях переменной У по значениям переменной X.

В случае множественной регрессии определение подходящего вида зависимости является более сложной задачей.

Вопросы определения параметров уравнения (параметризации) и проверки качества (верификации) уравнения регрессии будут обсуждены ниже.

4.3 Парная линейная регрессия

Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Модель линейной регрессии (линейное уравнение) является наиболее распространенным (и простым) видом зависимости между экономическими переменными. Кроме того, построенное линейное уравнение может служить начальной точкой эконометрического анализа.

Например, Кейнсом была предложена формула такого типа для моделирования зависимости частного потребления С от располагаемого дохода , где C0--величина автономного потребления, -- предельная склонность к потреблению. Однако при использовании этой модели при анализе конкретных данных мы практически всегда будем иметь определенную погрешность, так как строгой функциональной зависимости между этими показателями нет. Однако никто не будет отрицать, что люди (домохозяйства) с большим доходом имеют большее в среднем потребление. Данная ситуация наглядно представлена на рис. 4.2.

Рис 4.2

Из предыдущих рассуждений ясно, что линейная регрессия (теоретическое линейное уравнение регрессии) представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием зависимой переменной У и одной объясняющей переменной X ( -- значения независимойпеременной в -м наблюдении, .

Отметим, что принципиальной в данном случае является линейность по параметрам и .

Для отражения того факта, что каждое индивидуальное значение отклоняется от соответствующего условного математического ожидания, необходимо ввести в соотношение (4.5) случайное слагаемое

(4.6)

Соотношение (4.6) называется теоретической линейной регрессионной моделью; и -- теоретическими параметрами (теоретическими коэффициентами) регрессии; -- случайным отклонением.

Следовательно, индивидуальные значения представляются в виде суммы двух компонент -- систематической и случайной (), причина появления которой достаточно подробно рассмотрена в параграфе 4.2. В общем виде теоретическую линейную регрессионную модель будем представлять в виде

(4.7)

Для определения значении теоретических коэффициентов регрессии необходимо знать и использовать все значения переменных X и У генеральной совокупности, что практически невозможно.

Таким образом, задачи линейного регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных X и У :

а) получить наилучшие оценки неизвестных параметров и ;

б) проверить статистические гипотезы о параметрах модели;

в) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений).

Следовательно, по выборке ограниченного объема мы сможем построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии (4.8)

где -- оценка условного математического ожидания

и -- оценки неизвестных параметров и , называемые эмпирическими коэффициентами регрессии. Следовательно, в конкретном случае (4.9)

где отклонение -- оценка теоретического случайного отклонения .

В силу несовпадения статистической базы для генеральной совокупности и выборки оценки и практически всегда отличаются от истинных значений коэффициентов и , что приводит к несовпадению эмпирической и теоретической линий регрессии. Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к определению отличающихся друг от друга оценок. Возможное соотношение между теоретическим и эмпирическим уравнениями регрессии схематично изображено на

рис 4.3

Размещено на http://www.allbest.ru/

задача состоит в том, чтобы по конкретной выборке , i = 1, 2, ... , n, найти оценки и неизвестных параметров и , так, чтобы построенная линия регрессии являлась бы наилучшей в определенном смысле среди всех других прямых. Другими словами, построенная прямая должна быть «ближайшей» к точкам наблюдений по их совокупности. Мерами качества найденных оценок могут служить определенные композиции отклонений . Например, коэффициенты и эмпирического уравнения регрессии могут быть оценены исходя из условия минимизации одной из следующих сумм:

Однако первая сумма не может быть мерой качества найденных оценок в силу того, что существует бесчисленное количество прямых (в частности, ), для которых (доказательство этого утверждения выносится в качестве упражнения).

Метод определения оценок коэффициентов из условия минимизации второй суммы называется методом, наименьших Модулей (МНМ).

Самым распространенным и теоретически обоснованным является метод нахождения коэффициентов, при котором минимизируется третья сумма. Он получил название метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод оценки является наиболее простым с вычислительной точки зрения. Кроме того, оценки коэффициентов регрессии, найденные МНК при определенных предпосылках, обладают рядом оптимальных свойств.

Среди других методов определения оценок коэффициентов регрессии отметим метод моментов (ММ) и метод максимального правдоподобия (ММП).

Размещено на Allbest.ru