Теория вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Основные определения. Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом.

Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий (элементарное событие соответствует элементарному исходу).

Случайными событиями (событиями), будем называть подмножества пространства элементарных событий.

Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.

Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда.

Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло. Обозначается , .

Пример 6. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков.

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB.

Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих A, но не принадлежащих B. Обозначается A\B.

Очевидно, что

A + A = A, AA = A, .

Нетрудно доказать равенства:

, (A+B)C= AC + BC.

Определения суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности событий:

событие, состоящее из элементарных событий, каждое из которых принадлежит хотя бы одному из;

,

событие, состоящее из элементарных событий, каждое из которых принадлежит одновременно всем .

Вероятность события. Аксиоматическое определение вероятности

Числовая функция P, определенная на совокупности событий , называется вероятностью, если:

1. P(A) 0 для любого A из ;

2. если A и B несовместны, то P(A+B) = P(A) + P(B);

3. для любой убывающей последовательности событий {A_i} из ,, такой, что , имеет место равенство .

Тройку называют вероятностным пространством.

Вероятность события. Классическое определение вероятности

Определенная таким образом функция P(A) удовлетворяет всем аксиомам 1-4(здесь множество состоит из всех подмножеств множества: ). Таково классическое определение вероятности события A.

Принята следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события A называется отношение числа исходов, благоприятствующих A, к общему числу исходов.

Из приведенных определений следует:

элементарное событие вероятность байес

P()=0, , .

Вероятность суммы событий

Для любых двух событий A и B справедливо:

Если события A и B несовместны, то

.

Вероятность произведения событий. Условная вероятность. Независимые события

Условная вероятность P(A/B) события A при условии, что событие B произошло, P(B) > 0, определяется формулой

.

Для любых двух событий A и B справедливо:

.

События A и B называются независимыми, если . Для любых двух независимых, событий A и B справедливо: .

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Пусть A - произвольное событие, а события B₁, B₂, …, B_n - попарно несовместны и образуют полную группу событий, т.е. . Тогда имеет место следующая формула для вероятности события A - формула полной вероятности -

где P(B_k)>0, k=1, 2, …, n, A B₁+ B₂ + …+ B_n.

Если событие A произошло, то вероятность того, что имело место событие B_k вычисляется по формуле Байеса:

.

Размещено на Allbest.ru