Практическая эконометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Известны следующие данные об удельном весе пашни, лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и уровне рентабельности производства сельскохозяйственной продукции по КСП административных районов области за год:

№ района	Фактор	Уровень рентабельности всей сельскохозяйственной продукции,%
	удельный вес пашни в сельскохозяйственных угодьях, %	удельный вес лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях, %
1	80,0	20,0	2,0
2	87,2	12,8	1,8
3	90,8	9,2	1,1
4	94,7	5,3	3,5
5	81,4	18,6	10,1
6	89,2	10,8	3,3
7	71,3	28,7	24,2
8	86,2	13,8	1,9
9	71,4	28,6	20,8
10	77,1	22,9	19,2
11	86,0	14,0	3,4
12	87,0	13,0	2,7
13	87,2	12,8	1,4
14	75,0	25,0	20,1
15	86,2	13,8	7,8
16	86,1	13,9	7,7
17	85,9	14,1	3,3
18	94,4	5,6	1,1
19	84,4	13,6	2,2
20	98,3	1,7	1,1

По имеющимся данным требуется:

1 . вычислить описательные (дескриптивные) статистики;

вычислить параметры уравнения множественной регрессионной модели;

требуется исследовать зависимость результативного показателя от переменных факторов и отобрав наиболее значимые, построить уравнение регрессии. В случае обнаружения мультиколлинеарности использовать методы позволяющие уменьшить ее влияние;

оценить качество построенного уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R"h скорректированного коэффициента корреляции;

оценить значимость построенного уравнения регрессии с помощью F- критерия;

построить 95%-ные интервалы для оценок параметров уравнения регрессии;

рассчитать прогнозное значение результативного показателя, если значение каждой независимой переменной увеличится на 10% от его среднего значения;

рассчитать частные коэффициенты эластичности.



1. Вычислить описательные (дескриптивные) статистики

Решение

Задачи проведем с использованием ППП MS Excel и Statgraphics. Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены в таб.1.2

Таблица 1.1

	у	Х1	Х2
1	2	80	20
2	1,8	87,2	12,8
3	1,1	90,8	9,2
4	3,5	94,7	5,3
5	10,1	81,4	18,6
6	3,3	89,2	10,8
7	24,2	71,3	28,7
8	1,9	86,2	13,8
9	20,8	71,4	28,6
10	19,2	77,1	22,9
11	3,4	86	14
12	2,7	87	13
13	1,4	87,2	12,8
14	20,1	75	25
15	7,8	86,2	13,8
16	7,7	86,1	12,9
17	3,3	85,9	14,1
18	1,1	94,4	5,6
19	2,2	84,4	13,6
20	1,1	98,3	1,7



Таблица 1.2.

y		x1		x2
Среднее	6,935	Среднее	84,99	Среднее	14,86
Стандартная ошибка	1,720882194	Стандартная ошибка	1,625113761	Стандартная ошибка	1,628680447
Медиана	3,3	Медиана	86,15	Медиана	13,7
Мода	1,1	Мода	87,2	Мода	12,8
Стандартное отклонение	7,696019135	Стандартное отклонение	7,267729682	Стандартное отклонение	7,283680388
Дисперсия выборки	59,22871053	Дисперсия выборки	52,81989474	Дисперсия выборки	53,052
Эксцесс	0,29908623	Эксцесс	-0,082633291	Эксцесс	-0,073181947
Асимметричность	1,34190185	Асимметричность	-0,353531273	Асимметричность	0,418200554
Интервал	23,1	Интервал	27	Интервал	27
Минимум	1,1	Минимум	71,3	Минимум	1,7
Максимум	24,2	Максимум	98,3	Максимум	28,7
Сумма	138,7	Сумма	1699,8	Сумма	297,2
Счет	20	Счет	20	Счет	20

Для провидения Многофункционального анализа в ППП Statgraphics используется пункт меню Multiple Variable Analysis. Для получения показателей описательной статистики необходимо просчитать итоговую статистику. Итоговая статистика - показатели вариации . Результат представлен в таб. 1.3. дескриптивный статистика регрессия

Таблица 1.3. Summary Statistics

	y	x1	x2
Count	20	20	20
Average	6,935	84,99	14,86
Variance	59,2287	52,8199	53,052
Standard deviation	7,69602	7,26773	7,28368
Minimum	1,1	71,3	1,7
Maximum	24,2	98,3	28,7
Range	23,1	27,0	27,0
Stnd. skewness	2,44997	-0,645457	0,763526
Stnd. kurtosis	0,273027	-0,0754335	-0,0668057

Эта таблица показывает итоговую статистику для каждой из отобранных переменных данных. Она включает меры центральной тенденции, меры изменчивости, и мер формы. Особенно интересный - стандартизированный перекос и стандартизированный эксцесс, который может использоваться, чтобы определить, прибывает ли образец от нормального распределения. Ценности этих статистических данных вне диапазона-2 к 2 указывают существенные отклонения от нормальности, которая имела бы тенденцию лишать законной силы многие из статистических процедур обычно, обращались к этим данным. В этом случае, следующие переменные показывают стандартизированные ценности перекоса вне ожидаемого диапазона: x2 Следующие переменные показывают стандартизированные ценности эксцесса вне ожидаемого диапазона: «ни один»



Сравнивая значение средних квадратных отклонений и средних величин и определяя коэффициенты

2.

Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии. Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии.

Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. результаты вычислений -- матрица коэффициентов парной корреляции -- представлены в таб. 1.4.

Таблица 1.4.

	y	x1	x2
y	1
x1	-0,842473764	1
x2	0,848802124	-0,997740478	1



1) у = f(x₁)

	у	x1
y	1
x1	-0,84247	1

2) y = f(x₂)

	у	x2
y	1
x2	0,848802	1

При проведении многофакторного анализа -- Multiple Variable Analysis -- вычисляются линейные коэффициенты парной корреляции и линейные коэффициенты частной корреляции.

В результате получаем матрицы коэффициентов парной и частной корреляции таб.1.5.(1;2)

Таблица 1.5.(1)

Correlations

	y	x1	x2
y		-0,8425 ( 20) 0,0000	0,8488 ( 20) 0,0000
x1	-0,8425 ( 20) 0,0000		0,9977 ( 20) 0,0000
x2	0,8488 ( 20) 0,0000	0,9977 ( 20) 0,0000

Корреляция

(Типовой Размер)

P-ценность

Эта таблица показывает корреляции момента продукта Pearson между каждой парой переменных. Эти коэффициенты корреляции располагаются между-1 и 1 и мера сила линейных отношений между переменными. Также показанный в круглых скобках - число пар ценностей данных, используемых, чтобы вычислить каждый коэффициент. Третье число в каждом местоположении стола - P-ценность, которая проверяет статистическое значение предполагаемых корреляций. P-ценности ниже 0.05 указывают статистически существенные корреляции отличные от нуля на 95%-ом уровне веры. Следующие пары переменных имеют P-ценности ниже 0.05: y и x1; y и x2; x1 и x2

Таблица 1.5.(2)

Partial Correlations

	y	x1	x2
y		0,1242 ( 20)	0,2274 ( 20)
x1	0,1242 ( 20)		-0,9923 ( 20)
x2	0,2274 ( 20)	-0,9923 ( 20)

Корреляция

(Типовой Размер)

Эта таблица(1.5.(2)) показывает частичные коэффициенты корреляции между каждой парой переменных. Частичные корреляции измеряют силу линейных отношений между переменными, сначала регулировавшими для их отношений к другим переменным в таблице. Они полезны в оценке, насколько полезный одна переменная был бы в улучшении предсказания второй переменной, данной, что информация от всех других переменных была уже принята во внимание. Также показанный в круглых скобках - число пар ценностей данных, используемых, чтобы вычислить каждый коэффициент.

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь выработки у как с коэффициентом обновления основных фондов -- х₁ так и с долей рабочих высокой квалификации - х₂ (r_yx1 = -0,8425 и r_yx2 = -0,8488). Но в то же время межфакторная связь r_x1x2 -= 0,9977 весьма тесная и превышает тесноту связи х₂ с у. В связи с этим для улучшения данной модели можно исключить из нее фактор х₂ как малоинформативный, недостаточно статистически надежный.

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели. Более тесно связаны у и х₁: r_{yx1 x2} = -0,1242, связь у и х₂ гораздо слабее: r_{yx2 x1} = -0,2274, а межфакторная зависимость х₁ и х₂ выше, чем парная у и х₂: r_{yx2 x1} = 0,2274 > r_{x1x2 y} = -0,9923. Все это приводит к выводу о необходимости исключить фактор х₂ из правой части уравнения множественной регрессии.

При сравнении коэффициентов парной и частной корреляции видно, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи:

r_yx1= -0,8425 ; r_{yx1 x2}=-0,1242; r_yx2 =-0,8488; r_{yx2 x1}=-0,2274

Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, теснота парной зависимости которого меньше тесноты межфакторной связи.

3.Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Результаты анализа представлены в таб.1.6.(1,2,3)



Таблица 1.6.(1)

Регрессионная статистика

Множественный R	0,851336846
R-квадрат	0,724774426
Нормированный R-квадрат	0,692394946
Стандартная ошибка	4,268377991
Наблюдения	20

Таблица 1.6.(2)

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	815,6216385	407,81082	22,38375789	1,7272E-05
Остаток	17	309,7238615	18,219051
Итого	19	1125,3455

Таблица 1.6. (3)

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-109,6345589	200,1229127	-0,547836	0,590925787
x1	1,034658425	2,0054393	0,5159261	0,612551119
x2	1,926913819	2,00104754	0,9629525	0,349069893
	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-531,85699	312,5879	-531,857	312,5879
x1	-3,1964486	5,265765	-3,19645	5,265765
x2	-2,2949274	6,148755	-2,29493	6,148755

1)у = f(x₁)

Регрессионная статистика

Множественный R	0,842474
R-квадрат	0,709762
Нормированный R-квадрат	0,693638
Стандартная ошибка	4,259747
Наблюдения	20



Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	798,7275	798,7275	44,01808	3,16E-06
Остаток	18	326,618	18,14544
Итого	19	1125,346

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	82,75636	11,46778	7,216425	1,03E-06
x1	-0,89212	0,134465	-6,63461	3,16E-06

Продолжение Таблицы

	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	58,66345	106,8493	58,66345	106,8493
x1	-1,17462	-0,60962	-1,17462	-0,60962

2)y = f(x₂)

Регрессионная статистика

Множественный R	0,848802
R-квадрат	0,720465
Нормированный R-квадрат	0,704935
Стандартная ошибка	4,180467
Наблюдения	20

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	810,7721	810,7721	46,39266	2,24E-06
Остаток	18	314,5734	17,4763
Итого	19	1125,346

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-6,39225	2,168488	-2,94779	0,008608
x1	0,896854	0,131673	6,811216	2,24E-06
	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-10,9481	-1,83642	-10,9481	-1,83642
x1	0,620219	1,173489	0,620219	1,173489



Для вычисления параметров множественной регрессии можно использовать процедуру Multiple Regression.

Результаты вычисления функции Multiple Regression будут в таб.1.7.

По результатам вычислений составим уравнение множественной регрессии вида

Значение случайных ошибок параметров b₀ , b₁ и b₂ с учетом округления:

m_b0=200,1229127; m_b1=2,0054393; m_b2=2,00104754.

Таблица 1.7.

Multiple Regression Analysis

Dependent variable: y

Parameter	Estimate	Standard Error	T Statistic	P-Value
CONSTANT	-109,635	200,123	-0,547836	0,5989
x1	1,03466	2,00544	0,515926	0,6126
x2	1,92691	2,00105	0,962953	0,3491

Analysis of Variance

Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value
Model	815,622	2	407,811	22,38	0,0000
Residual	309,724	17	18,2191
Total (Corr.)	1125,35	19

R-squared = 72,4774 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 69,2395 percent

Standard Error of Est. = 4,26838

Mean absolute error = 3,31222

Durbin-Watson statistic = 1,71883 (P=0,2578)

Lag 1 residual autocorrelation = -0,0639807

Продукция показывает результаты приспособления линейному кратному числу модели регрессии, чтобы описать отношения между y и 2 независимые переменные. Уравнение подогнанной модели

у = -109,635 + 1,03466*Х1 + 1,92691*Х2

Так как P-ценность в столе ANOVA - меньше чем 0.01, есть a статистически существенные отношения между переменными в 99%-ый уровень доверия Статистическое R-Squared указывает что модель как приспособлено объясняют 72,4774 % изменчивости в y. Откорректированный R-squared статистический, то, который является более подходящим для того, чтобы сравнить модели с различными числами независимых переменных, является 69,2395 %. Стандартная ошибка оценки показывает стандартное отклонение residuals, чтобы быть 4,26838. Эта ценность может использоваться, чтобы строить пределы предсказания для новых наблюдений, выбирая возможность Сообщений из текстового меню. Средняя абсолютная ошибка (БОЛЬШЕ) 3,31222- средняя ценность residuals. Durbin-Уотсон (СОБСТВЕННЫЙ ВЕС) статистические тесты residuals, чтобы определить, есть ли какая-нибудь существенная корреляция, основанная на заказе, в котором они происходят в вашей картотеке данных. Так как P-ценность больше чем 0.05, нет никакого признака последовательной автокорреляции в residuals. В определении, может ли модель быть упрощена, заметим, что самая высокая P-ценность на независимых переменных - 0,6126, принадлежа x1. Так как P-ценность больше или равна 0.10, тот срок не статистически существенен в 90%-ом или более высоком уровне веры.



Они по показывают, какое значение данной характеристики сформировалось под влиянием случайных факторов. Эти значения используются для расчета f-критерия Стьюдента:

.

Величина b_о оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели факторов x₁, и х₂) факторов на результат у.

Величины Ь_{ и Ь₂ указывают, что с увеличением x₁, и х₂ на единицу их значений результат увеличивается соответственно на и на . при фиксированном значении другого фактора. Сравнивать эти значения не следует, так как они зависят от единиц измерения каждого признака и потому несопоставимы между собой.

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи R_yx1x2 дает F-критерий Фишера:

По данным таблиц 1.6; 1.7., дисперсионного анализа, ⁼ 22,3837. Вероятность случайно получить такое значение F-критерия составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5%; об этом свидетельствует величина Р-- значения из этих же таблиц. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи R²_yx1x2

Значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации приведены в таблицах 1.6; 1.7., в рамках регрессионной статистики.

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации R²_yx1x2 = 0,7248 оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 72,4% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами, -- на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации R²_yx1x2 = 0,6924 определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели и потому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую детерминированность результата у в модели факторами х₁ и х₂.

5.Информация для оценки целесообразности включения в модель фактора х₁ после фактора х₂ и фактора х₂ после фактора х₁ может быть получена в ППП Statgraphics с помощью частных F-критериев Фишера.

Результаты вычисления показаны в таблице 1.8.(1,2)

Частный F-критерий -- F_{частн х2}, показывает статистическую значимость включения фактора х₂ в модель после того, как в нее включен фактор х₁



Таблица 1.8.(1)

Further ANOVA for Variables in the Order Fitted

Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value
x1	798,728	1	798,728	43,84	0,0000
x2	16,8941	1	16,8941	0,93	0,3491
Model	815,622	2

F_{частн х2} = 0,93. Вероятность случайной природы его значения (Р - значение = 0,3491) составляет 34,9% против принятого уровня значимости б = 0,05, (5%). Следовательно, включение в модель фактора х₂ -- уровень рентабельности всей сельскохозяйственной продукции - после того как в уравнение включен фактор х₁ - коэффициент обновления основных фондов -- статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака х₂ оказывается незначимым, несущественным; фактор х₂ включать в уравнение после фактора х₁ не следует.

Таблица 1.8.(2)

Further ANOVA for Variables in the Order Fitted

Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value
x1	810,772	1	810,772	44,50	0,0000
x2	4,84954	1	4,84954	0,27	0,6126
Model	815,622	2



Эта таблица показывает статистическое значение каждой переменной, поскольку это было добавлено к модели. Мы можете использовать эту таблицу, чтобы помочь определять насколько модель могла быть упрощена, особенно если Вы приспосабливаете полиномиалу.

При включении х₁ после х₂ результат расчета частного F-критерия для х₁ будет иным: F_{частн х1}=0,27. Вероятность его случайного формирования составила 61,2%, что значительно меньше принятого стандарта а = 0,05 (5%). Следовательно, значение частного F-критерия для дополнительно включенного фактора х₁ не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора х₁ является существенным. Фактор х₁ должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора х₂.

-80,9959



6. Средние частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора . на 1% от своей средней и при фиксированном воздействии на у всех прочих Факторов, включенных в уравнение регрессии. Для линейной зависимости

где - коэффициент регрессии при в уравнении множественной регрессии.

Здесь

Значения частных коэффициентов эластичности говорят о более сильном влиянии на результат у признака фактора х_1, чем признака фактора х₂: 12,6799% против 4,1289%.

7. Определяем точечный прогноз годового производства сельскохозяйственной продукции путем подстановки в уравнение регрессии прогнозных значений факторных признаков (х₁ = 85 и х₂ = 15):

Стандартная ошибка регрессии (S) определена в «Регрессионной статистике» ППП Excel: S=4,2684.

Размещено на Allbest.ru