Корреляционная функция. Взаимная корреляционная функция. Линейное преобразование случайного процесса

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Корреляционная функция. Взаимная корреляционная функция. Линейное преобразование случайного процесса

1. Корреляционная функция

При исследовании случайных сигналов широко используется теория случайных процессов, основанная на использовании моментов не выше второго порядка. Эта теория получила название корреляционной теории.

Определение. Корреляционной функцией R_x(t₁,t₂) случайного процесса X(t) называется корреляционный момент центрированного случайного процесса в двух сечениях t = t₁ и t = t₂:

Корреляционная функция обладает всеми свойствами корреляционного момента. Часто вместо корреляционной функции рассматривается нормированная корреляционная функция _x(t₁,t₂):

которая является безразмерной величиной.

В дальнейшем будем рассматривать только центрированные случайные процессы. Если процесс будет не центрированным, то об этом будет специально оговорено.

Корреляционная функция R_x(t₁,t₂) случайного процесса X(t) называется еще автокорреляционной функцией.

Для стационарных процессов (в широком и узком смысле) автокорреляционная функция имеет вид

R_x(t₁,t₂) = R_x(0, t₂ - t₁) = R_x() ,

где = t₂ - t_1.

Можно определить и временную автокорреляционную функцию следующим образом

где - реализация центрированного случайного процесса X(t). Для эргодических процессов = R_x().

Ниже приведен обычный график автокорреляционной функции

R_x

2. Свойства автокорреляционных функций

Автокорреляционные функции играют большую роль в представлении случайных процессов и при анализе систем, оперирующих со случайными входными сигналами. Поэтому приведем некоторые свойства автокорреляционных функций стационарных процессов.

1. R_x(0) = M(X²(t)) = D_x(t).

2. R_x() = R_x(-). Автокорреляционная функция является четной функцией. Это свойство симметрии графика функции исключительно полезно при вычислении автокорреляционной функции, так оно означает, что вычисления можно производить только для положительных , а для отрицательных можно их определить, используя свойство симметрии.

3.R_x() R_x(0). Наибольшее значение автокорреляционной функции, как правило, принимает при = 0.

Пример. В случайном процессе X(t) = A Cost, где А - случайная величина с характеристиками: М(А) = 0, D(A) = ², найти М(Х), D(Х) и R_x(t₁,t₂).

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайного процесса:

М(Х) = М(A Cost) = Cost М(А) = 0,

D(Х) = М((A Cost-0)²) = М(А²) Cos²t = ² Cos²t.

Теперь найдем автокорреляционную функцию

R_x(t₁,t₂) = М(А Cost₁ А Cost₂) =

= М(А²) Cost₁ Cost₂ = ² Cost₁ Cost₂^.

3. Взаимная корреляционная функция

Входной Х(t) и выходной Y(t) случайные сигналы системы можно рассматривать как двумерный векторный случайный процесс Введем числовые характеристики этого процесса.

Математическое ожидание и дисперсия векторного случайного процесса определяется как математическое ожидание и дисперсия его компонент:

Корреляционную функцию векторного процесса введем с помощью матрицы второго порядка:

где R_xy (t₁, t₂) взаимная корреляционная функция случайных процессов X(t) иY(t), определяемая следующим образом

Из определения взаимной корреляционной функции вытекает, что

R_xy (t₁,t₂) = R_yx (t₂,t₁).

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов X(t), Y(t) называется функция



Определение. Если взаимная корреляционная функция случайных процессов X(t) и Y(t) равна нулю:

то случайные процессы называются некоррелироваными.

Для суммы случайных процессов X(t) и Y(t) автокорреляционная функция равна

R_x+y(t₁,t₂) = R_x(t₁,t₂) + R_xy(t₁,t₂) + R_yx(t₁,t₂) + R_y(t₁,t₂).

Для некоррелированных случайных процессов X(t) и Y(t) автокорреляционная функция суммы случайных процессов равна сумме автокорреляционных функций

R_x+y(t₁,t₂) = R_x(t₁,t₂) + R_y(t₁,t₂),

а значит и дисперсия суммы случайных процессов равна сумме дисперсий:

D_x+y(t) = D_x(t) + D_y(t).

Если где X₁(t), ..., X_n(t) - некоррелированные случайные процессы, то и

При выполнении различных преобразований со случайными процессами часто удобно записывать их в комплексном виде.

Комплексным случайным процессом называется случайный процесс вида

Z(t) = X(t) + i Y(t),

где X(t) , Y(t) - действительные случайные процессы.

Математическое ожидание, корреляционная функция и дисперсия комплексного случайного процесса определяются следующим образом:

M(Z) = M(X) + i M(Y),

где знак * обозначает комплексное сопряжение;

Пример. Пусть случайный процесс , где - постоянная величина, Здесь А и - независимые случайные величины, причем М(А) = m_A, D(A) = ² , а - равномерно распределенная случайная величина на интервале [0 , 2]. Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию комплексного случайного процесса Z(t).

Решение. Найдем математическое ожидание:

Используя равномерное распределение случайной величины на интервале [0 , 2], имеем

Автокорреляционная функция случайного процесса Z(t) равна

Отсюда имеем

D_z(t₁) = R_z(t_1, t₁) = ² + m_A².

Из полученных результатов следует, что случайный процесс Z(t) стационарный в широком смысле.

4. Линейное преобразование случайного процесса

При решении многих практических задач радиотехники приходится определять характеристики случайного процесса на выходе линейной системы. Линейная система осуществляет линейные операции над входным случайным процессом. Это значит, что если на вход системы поступает случайный процесс X(t), то на выходе этот процесс преобразуется в случайный процесс

Y(t) = A [X(t)],

где А - оператор (преобразование), обладающий свойствами:

A [₁X₁(t) + ₂X₂(t)] = ₁ A [X₁(t)] + ₂[X₂(t)].

Здесь постоянные величины.

Примеры линейных операторов

Оператор умножения на неслучайную функцию f(t):

Y(t) = A [X(t)] = f(t) X(t).

Определим математическое ожидание и автокорреляционную функцию случайного процесса Y(t):

m_y(t) = M(Y(t)) = M(f(t) X(t)) = f(t) M(X(t)),

Оператор дифференцирования:

Представив производную в виде предела

и применив операцию математического ожидания к правой и левой части равенства, получаем

Так как

То

Оператор интегрирования:

Представим интеграл в виде интегральной суммы

и применим к этому равенству операцию математического ожидания. Тогда имеем



Автокорреляционная функция случайного процесса легко определяется:

5. Преобразование Фурье

При анализе различных линейных систем широко используются преобразования Фурье и Лапласа, позволяющие достаточно просто выполнить необходимые вычисления. Основная причина такого упрощения заключается в замене процедуры свертки, используемой при анализе системы во временной области на обычную операцию умножения частотных характеристик и функций, используемых при анализе в частотной области.

Пусть у нас имеется сигнал (неслучайный, который представляет собой функцию времени) f(t), измеряемый в вольтах. Тогда

- преобразование Фурье сигнала f(t) (иногда под преобразованием Фурье понимают сопряженную величину F*()), которое имеет размерность [B/(рад/c)] и определяет относительные амплитуды и фазы незатухающих гармонических составляющих. Таким образом, амплитудное соотношение в преобразовании Фурье характеризует плотность распределения амплитуд по частоте, а значит определяет распределение энергии по спектру. Спектром любого колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд гармоник по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания по частоте преобладают в данном процессе и какова его внутренняя структура.

Для преобразования Фурье разработана теория, суть которой кратко заключается в следующем.

Вводится пространство L² (-,) - пространство суммируемых в квадрате функций, то есть таких функций, для которых

Если f(t) - сигнал, то это условие означает конечность мощности этого сиг-

нала. Для каждой функции f L² (-,) существует предел в среднем функции

при Т и этот предел обозначается

причем F() L² (-,). Существует и обратное преобразование

Для двух преобразований Фурье

,

выполняет обобщенное равенство Парсеваля:

В частности, получаем обычное равенство Парсеваля

6. Спектральная плотность стационарного случайного процесса

Непосредственное применение преобразования Фурье для реализации случайного процесса x(t) неприменимо, так как это преобразование не существует. С целью использования преобразования Фурье при анализе стационарного (центрированного) случайного процесса необходимо видоизменить реализацию процесса таким образом, чтобы преобразование Фурье существовало для каждой реализации. Один из таких способов заключается во введении усеченного процесса X_T(t):

Этот усеченный процесс удовлетворяет требованию существования преобразования Фурье для любой реализации, так как

Это соотношение означает, что оно выполняется для любой реализации случайного процесса X_T(t). Теперь для усеченного процесса можно ввести преобразование Фурье, понимая под этим преобразование Фурье любой его реализации:

Целью дальнейшего является доказательство того факта, что в пределе при Т существует, если даже не существует преобразование Фурье для какой-либо реализации.

Первый этап доказательства состоит в применении равенства Парсеваля:

(1)

Заметим, что

(2)

Усредним теперь во времени левую часть равенства (1) с целью получения средней мощности случайного процесса

(3)

Левая часть полученного равенства представляет собой квадрат эффективного значения функции X_T(t). Кроме того, для эргодического процесса при Т эта величина приближается к значению среднего квадрата случайного процесса M(X²(t)).

В соотношении (3) нельзя перейти к пределу при Т, так как не существует .

Поэтому сначала возьмем математическое ожидание левой и правой частей этого равенства

и перепишем его, устремив Т . Тогда

Для стационарного процесса

Поэтому получаем соотношение

(4)

Величина

называется спектральной плотностью случайного процесса. Укажем, что после выполнения операции усреднения по множеству реализаций (по ансамблю) справедлив переход к пределу при Т . Если X(t) - напряжение, то ([X] = B), S_x() имеет размерность а интеграл от S_x() в соответствии с (4) определяет средний квадрат этого напряжения, то есть

Более наглядная физическая интерпретация спектральной плотности может быть дана путем анализа средней мощности. Если X(t) - флуктуационное напряжение или ток, протекающий через резистор сопротивления 1 Ом, то М(Х²) есть средняя мощность, рассеиваемая этим резистором.

Спектральную плотность можно интерпретировать как среднюю мощность, сосредоточенную в пределах полосы частот шириной 1 Гц.

Вследствие этого спектральную плотность часто называют спектром плотности мощности.

От двусторонней спектральной плотности случайного процесса можно перейти к односторонней, где фигурирует обычно частота f. С этой целью запишем

и в первом интеграле сделаем замену переменной, положив = 2f, а во втором - = - 2f.

Тогда

Так как в силу соотношения (2) функция S_x() = S_x(-), то есть является четной функцией, то

где

и

Представим интеграл в этом соотношении в виде интегральной суммы



где D_k - дисперсия случайного процесса на k-ой гармонике. Отсюда получаем, что G_x(f) = D_k/f_k - дисперсия (мощность) k-ой гармоники, отнесенная к полосе частот f_k, то есть спектральная плотность дисперсии (мощности) случайного процеса.

Пример. Стационарный случайный процесс имеет двухстороннюю спектральную плотность

Определить среднюю мощность процесса, рассеиваемую на резисторе сопротивлением 1 Ом в диапазоне изменения от -4 до 4.

Решение Средняя мощность процесса M(X²(t)) для указанного диапазона равна:

автокорреляционная функция случайный процесс

В радиотехнике часто используется понятие "белого шума". Под "белым шумом" принято понимать стационарный случайный процесс, спектральная плотность которого постоянна на всех частотах. Термин "белый шум" образно подчеркивает аналогию со светом, у которого в пределах видимого диапазона частот интенсивность всех спектральных составляющих примерно одинакова. Белый шум является математической моделью процесса, который реально в природе не существует, так как мощность его равна бесконечности. Однако это удобная модель для описания широкополосных случайных процессов систем, в полосе пропускания которых спектр можно считать постоянным.

Размещено на Allbest