Система кількох випадкових величин (n-вимірний випадковий вектор)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Система кількох випадкових величин (n-вимірний

випадковий вектор)

1. Поняття системи випадкових величин

Нехай - це простір елементарних подій. Пов'яжемо з множиною дві випадкові величини. Системою двох випадкових величин (, ) або випадковим вектором з компонентами і називається пара числових функцій елементарної події ₁=f₁() =f₂(), для яких за будь-яких значень x,y існує p(<x, <y), що визначається як функція спільного розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин або двовимірної випадкової величини - вектора (, ) З випадковим вектором (, ) можна пов'язати простір стандартних елементарних подій, які мають вигляд [=x, =y], де (x,y) - будь-яка можлива подія вектора (, ). Геометрично події зображуються точками площини (x,y), а результат випробування - влученням в одну з цих точок. Множина збігається з площиною x,y чи з її частиною.

Випадковий вектор (, ) називається дискретним, якщо його можливі значення можна перенумерувати, тобто (,).

Сукупність Р(=х_і, =у_j)=P_ij називається законом розподілу випадкового вектора (, ). Його завдання у вигляді двовимірної таблиці (табл. 1) називається рядом розподілу

Таблиця 1

Введемо закони розподілу кожної з компонент випадкового вектора (, ) за формулами:

Р(=х_i)=Р_i=

Р(=y_j)=Р_j=

Умовні закони розподілу визначаються за формулами:

Для них справедливі такі умови нормування:

Щільністю імовірності f_, (x,y) випадкового вектора (, ) у точці (x,y) називається границя відносини ймовірності влучення в область G, що містить точку , до площі цієї області , у процесі, коли ця область зменшується до точки або інакше у прямокутній декартовій системі координат .

Двовимірний випадковий вектор (,) називається неперервним, якщо функція розподілу для нього неперервна за кожною із змінних і щільність розподілу ймовірності для нього існує всюди на площині (x,y), за винятком, можливо, окремих точок розриву.

При цьому справедливі такі формули взаємозв'язку функції розподілу двовимірної випадкової величини та її щільності розподілу.

2. Умовна щільність і ознаки незалежності випадкових величин

Рівномірний розподіл на площині. Випадковий вектор (,) називається рівномірно розподіленим в області D, якщо

Закони розподілу проекцій випадкового вектора:

Проекції неперервного випадкового вектора є неперервні випадкові величини. Зворотна задача відновлення f_,(x,y) по f(x) і f(y) у загальному випадку є нерозв'язною, оскільки невідомо, як пов'язані між собою і .

Умовною щільністю ймовірності f(x/=y) називається величина, яка визначається за формулою.

Випадкові величини , називаються незалежними, якщо за будь-яких можливих значень x,y їхні умовні щільності ймовірності є тотожніми з безумовними або.

Ознаки незалежності випадкових величин. Якщо двовимірна щільність розподілу f_,(x,y) може бути подана у вигляді то випадкові величини , - незалежні. Звідси випливає, що 3 n-вимірний випадковий вектор.

Нехай маємо - простір елементарних подій .

Випадковим вектором називається сукупність числових функцій елементарної події .

₁=₁(); ₂=₂();…;_n=_n(),

Для якої існує ймовірність Р(₁<x₁, ₂<x₂,…,_n<x_n), що називається функцією розподілу випадкової векторної величини.

F(x₁,x₂,…x_n)=Р(₁<x₁, ₂<x₂,…,_n<x_n),

Де можливі значення випадкового вектора, тобто точки n-вимірного простору R_n. Результат випробування - влучення в точку R_n,

= {=x₁,…=x_n}-елементарна подія.

Має місце і обернена формула зв'язку ймовірності випадкового вектора та загальної щільності ймовірності:

Можна ввести також парціальні щільності ймовірності випадкового вектора за кожною з його компонент, проінтегрувавши загальну щільність ймовірності за іншими компонентами, наприклад, щільність імовірності для першої, другої та -ї компоненти, відповідно.

3. Функції випадкових величин

Нехай на якійсь множині задана випадкова величина =f().

Під функцією =() розуміється нова випадкова величина =[f()].

Таким чином, значення х,y випадкових величин і =(), що відповідні тому самому (тобто одержані в результаті того самого випробування), пов'язані функціональною залежністю

y=(х).

Приклад 1. Знаючи закон розподілу випадкової величини (табл. 2), знайти закон розподілу випадкової величини =().

Якщо всі (х_к) різні, то події [=x_k] і [=(x_k)] тотожні. Тоді закон розподілу випадкової величини дає табл. 3.

Таблиця 3

Якщо серед чисел (х_к) є однакові, тоді кожній групі однакових значень слід відвести в таблиці один стовпчик, а їхні ймовірності скласти.

Приклад 2. Р(_n=k)=C _n=0,1,…до,…n... Знайти Р

Р(Тому закон розподілу випадкової величини можна подати у вигляді табл. 4. випадковий величина вектор щільність

Таблиця 4

Приклад 3. (рис. 2). Для неперервної випадкової величини задача ставиться так: знаючи щільність ймовірності випадкової величини , знайти щільність імовірності випадкової величини =().

Рисунок 2

а) Нехай y=(x) зростаюча і диференційована функція (рис. 3).

Рисунок 3

[x<<x+x]=[y<<y+y],

Рисунок 4

Якщо функція монотонно спадає, то x<0

Нехай функція y=(x) має один екстремум.

x₁=₁(y); x₂=₂(y)

Размещено на Allbest.ru