Моделювання випадкових процесів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделювання випадкових процесів

Вступ

Випадковий процес (ВП) - це параметрична сім'я. Тому моделювання ВП зводиться до моделювання послідовності випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками.

Розглянемо алгоритми моделювання різних типів ВП, що побудовані з використанням характерних властивостей різних ймовірнісних моделей.

1. Моделювання білих шумів

За означенням білий шум - випадковий процес з незалежними значеннями для різних моментів часу. Це означає, що перерізи ВП не залежать між собою, тобто багатовимірна щільність ймовірності визначається добутком одновимірних щільностей розподілу де одновимірна щільність ймовірності.

Отже, при моделюванні на ЕОМ білого шуму необхідно одержати послідовність незалежних ВВ із заданою щільністю розподілу.

Для випадку ганусового білого шуму моделювання зводиться до одержання послідовності незалежних між собою ганусових ВВ. У загальному випадку негаусових білих шумів моделюється послідовності незалежних між собою ВВ з іншим довільним розподілом.

2. Моделювання корельованих випадкових процесів

На відміну від попереднього випадку, перерізи ВП між собою корельовано. Тому для моделювання необхідно використовувати алгоритм, що враховує цю властивість. Моделювання корольованих ВП базується на таких припущеннях. Якщо існує лінійний фільтр з імпульсною характеристикою, то при подаванні на вхід БШ одержимо на виході фільтру ВП, статистичні характеристики якого визначаються типом білого шуму та імпульсною характеристикою фільтра (та однозначно пов'язаною з нею частотною характеристикою). Зокрема, енергетичний спектр вихідного ВП визначається через спектр вхідного ВП та частотну характеристику фільтра

Кореляційна функція вихідного ВП визначається через енергетичний спектр за допомогою перетворення Вінера-Хінчина.Часове зображення вихідного ВП визначається через імпульсну характеристику фільтру

Тут породний процес, формуючий фільтр, а вихідний ВП називається лінійним ВП.

При моделюванні на ЕОМ здійснюється перехід від неперервного часу до дискретного, а інтеграл заміняється конечною сумою.

Таким чином, кореляційна функція ВП, який моделюється визначається виглядом імпульсної характеристики фільтру, а щільність ймовірності ВП - щільності ймовірності породного процесу При цьому моделювання корельованих ВП зводиться до розв'язання таких задач:

- вибирають відповідну імпульсну характеристику формуючого фільтру, виходячи із необхідної кореляційної функції ВП;

- моделюють породний процес, тобто формують реалізації білого шуму із заданими одновимірною щільності ймовірності;

- формують реалізації лінійного випадкового процесу із заданою кореляційною функцією згідно (5).

Розподіл породного процесу можна вибирати будь-яким із класу безмежно подільних (гаусів, пуансонів, гама, Лапласі розподіл). Зв'язок від ліків імпульсної характеристики формуючого фільтру з параметрами типових видів кореляційних функцій.

Як приклад розглянемо алгоритм моделювання ганусового ВП, що має кореляційну функцію експоненційного типу з заданим параметром. Аналітичні вирази для кореляційної функції і відповідного енергетичного спектра ВП такі

Моделюючий алгоритм має вигляд де це дисперсія ВП, який моделюється; параметр, що визначає швидкість спаду кореляційної функції, стандартні гаусові ВВ із нулевим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

3. Моделювання випадкових процесів з незалежними приростами

Випадковий процес з незалежними приростами можна записати у вигляді рекурентного співвідношення, яке дозволяє одержати поточний відлік процесу через попередній відлік і незалежний приріст де незалежні прирости;

Імовірнісні характеристики ВП залежать від характеристик незалежних приростів. Якщо прирости мають гаусів закон розподілу, то маємо випадковий процес Вінера. Для його моделювання необхідно моделювати прирости у вигляді послідовності незалежних ганусових випадкових величин. Іншим прикладом однорідних ВП із незалежними приростами є пуассонів процес (рис. 1), у якого прирости - це стрибки, що відбуваються у випадкові моменти часу (рис. 1)

Рисунок 1 - Зображення реалізації пуассонового процесу

Для однорідного пуассонового процесу прирости є незалежними ВВ для будь-яких моментів часу, в яких відбуваються стрибки, і мають розподіл Пуассона. Інтервал часу між двома сусідніми стрибками пуассонового процесу є випадковою величиною зі щільністю ймовірності.

Величина стрибка для простого пуассонового процесу дорівнює 1, а для узагальненого пуассонового ВП має довільне випадкове значення.

Алгоритм моделювання пуассонового ВП базується на співвідношенні ВВ, розподілені за законом Пуансона. Випадкові моменти часу, в які відбуваються стрибки, можуть визначатися із рекурентного співвідношення де ВВ, яка має щільність ймовірності (4). При цьому моделювання випадкової величини виконується методом оберненої функції згідно з формулою

Для отриманих згідно (12) випадкових моментів часу моделюються випадкові значення приростів шляхом моделювання ВВ із пуассоновим розподілом, причому. На інтервалі між стрибками моделює мий ВП приймає відповідні сталі значення. моделювання випадковий процес пуассоновий

Моделювання пуассонового процесу використовується для одержання потоків заявок при моделюванні мереж зв'язку.

4. Моделювання марковських випадкових процесів

Марковський ВП - це процес, в якому багатовимірна щільність імовірності визначається через одновимірні щільності та щільність ймовірності значень ВП у сусідні моменти часу

Для дискретного часу типовим представником марковських процесів є ланцюг Маркова - ВП, що заданий у дискретні моменти часу і який приймає один з дискретних станів. Для ланцюга Маркова вважаються заданими: ймовірності початкових станів та матриця ймовірностей переходів:

Розглянемо алгоритм моделювання ланцюга Маркова, що містить у собі такі етапи. Для моделювання початкового стану ланцюга Маркова моделюється ВВ, що приймає дискретні значення з заданими ймовірностями Далі моделюються переходи з одного стану в інший, для чого необхідно сформувати допоміжну матрицю

У сформованій матриці кожен рядок містить межі інтервалів для моделювання дискретної ВВ, що визначає номер стану на наступному кроці. Отриманий у результаті номер стану визначає для кожного наступного моменту часу черговий номер рядка матриці, з якого вибираються межі інтервалів для моделювання чергового стану ланцюга Маркова. Зазначені процедури повторюють дати, доки не буде змальовано необхідне число відліків ланцюга Маркова.

Моделювання ланцюгів Маркова використовують при описуванні процесів обслуговування заявок у мережах зв'язку.

5. Моделювання випадкових фототелеграфних та телеграфних сигналів

Випадковий фототелеграфний сигнал - це ВП, що приймає лише два значення у випадкові моменти часу сигнал, інтервал між якими є випадковою величиною з експоненційним розподілом (рис. 2). Випадковий фототелеграфний сигнал може бути використаний як імовірнісна модель у системах передачі факсових повідомлень.

Рисунок 2 - Реалізація випадкового фототелеграфного сигналу

Моменти переходу від 0 до 1 у фототелеграфному сигналі є випадковими величинами, а інтервали часу між ними підкоряються розподілу (4). Таким чином, моделювання випадкового фототелеграфного сигналу зводиться до моделювання випадкових моментів часу згідно з рекурентним співвідношенням (5). Тут випадкова величина моделюється відповідно до алгоритм (12а).

Телеграфний сигнал - це випадкова послідовність нульових і одиничних посилок, зміна яких відбувається в тактові моменти часу, що визначаються тривалістю посилки (рис.3). Випадковий телеграфний сигнал може служити доброю імовірнісною моделлю для опису повідомлень у системах передачі даних, а також у системах передачі телеграфних повідомлень.

Тривалість посилки є фіксованою величиною, а зміна знаків випадкового телеграфного сигналу відбувається у фіксовані моменти часу

Для цього сигналу випадковим є також значення початкових станів телеграфного сигналу. Задаються імовірності початкових станів сигналу

У кожний тактовий момент часу (17) випадковим чином відбувається (чи не відбувається) перехід з одного стану сигналу в інший. Задаються однокрокові ймовірності переходу (чи не переходу) сигналу в інший стан. Для симетричного випадку:

Алгоритм моделювання випадкового телеграфного сигналу містить такі етапи:

- моделювання ВВ рівномірно розподіленої в інтервалі, що визначається БВВ;

- моделювання початкового стану випадкового телеграфного сигналу, тобто дискретної ВВ, що приймає одне із двох значень з заданими ймовірностями

- моделювання переходів (чи не переходів) сигналу зі стану до стану і навпаки у тактові моменти часу (18) із заданими ймовірностями зводиться до моделювання ланцюга Маркова з двома станами;

- формування відліків випадкового телеграфного сигналу для усіх дискретних моментів часу з урахуванням вибраного інтервалу дискретизації за часом та змодельованих станів сигналу у відповідні моменти часу.

6. Моделювання випадкових імпульсних сигналів

Імпульсний ВП являє собою послідовність імпульсів, що виникають у випадкові моменти часу і мають деяку форму та випадкову амплітуду (рис. 4). Наприклад, нехай інтервали часу між моментами появи імпульсів є ВВ і описуються експоненційним розподілом, випадкові амплітуди імпульсів мають розподіл Релея, а форма імпульсів визначається функцією.

Рисунок 4 - Реалізація випадкового імпульсного ВП

Випадковий імпульсний процес може бути поданий у виді суми імпульсів з випадковою амплітудою, що виникають у випадкові моменти часу

Це співвідношення може бути використане для одержання випадкового імпульсного процесу. Моделювання такого процесу містить такі етапи:

- одержання випадкових моментів часу, де - це ВВ, що моделюється згідно (12а)

- обчислення ВП (19) у дискретні моменти часу.

- моделювання випадкової амплітуди імпульсу що визначається співвідношення де - стандартні гаусові ВВ, незалежні між собою;

Випадкові імпульсні процеси використовуються при моделюванні завад, що діють у деяких каналах зв'язку.

Зазначимо, що тут розглянуто моделювання на ЕОМ лише деяких ВВ та ВП, що можуть бути використані при моделюванні систем та мереж зв'язку.

Размещено на Allbest.ru